2020九年级数学上册 第二十四章 圆 直角三角形内切圆半径公式的应用同步辅导素材新人教版 1页

直角三角形内切圆半径公式的应用 ‎ 设直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，其内切圆的半径为r，我们可由切线长定理可得到r=（具体推导过程同学们可自己完成）.利用这一公式可求解一些与直角三角形内切圆有关的计算问题.‎ ‎ 图1‎ ‎ 一、求内切圆的直径 ‎ 例1 （2016·德州）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，如图1，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？” （　　） ‎ A. 3步 B. 5步 C. 6步 D.8步 ‎ 分析：先根据勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角内切圆半径公式求内切圆的半径，即可得到内切圆的直径。‎ 解：根据勾股定理得，斜边为=17. 所以该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r==3（步）. 所以内切圆的直径为6步，故选C.‎ 二、求线段的长度 ‎ 例2（2016·遵义）如图2，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是 （　　）‎ ‎ A. B. C. D. 2 ‎ 图2‎ 分析：根据矩形的性质可知⊙P和⊙Q的半径相等，利用直角三角形内切圆半径公式即可求出⊙P的半径r的长度．连接点P，Q，过点Q作QE∥BC，过点P作PE∥AB交QE于点E，求出线段QE，EP的长，再由勾股定理即可求出线段PQ的长．‎ ‎ 解：∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎ ∴△ACD≌△CAB.‎ ‎ ∴⊙P和⊙Q的半径相等．‎ ‎ 在Rt△ABC中，AC==5.‎ ‎∴⊙P的半径r===1．‎ ‎ ∴⊙Q的半径为1.‎ 如图2，连接点P，Q，过点Q作QE∥BC，过点P作PE∥AB交QE于点E，则∠QEP=90°．‎ 在Rt△QEP中，QE=BC-2r=3-2=1，EP=AB-2r=4-2=2，‎ ‎ ∴PQ===．故选B．‎ ‎ ‎ 1‎