初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第六章 图形性质2 第24讲 圆的基本性质 38页

人教 数 学 第六章　图形的性质 ( 二 ) 第 24 讲　圆的基本性质 要点梳理 1 ． 主要概念 (1) 圆：平面上到 的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆． 叫圆心 ， 叫半径 ， 以 O 为圆心的圆记作 ⊙ O . (2) 弧和弦：圆上任意两点间的部分叫 ， 连接圆上任意两点的线段叫 ， 经过圆心的弦叫直径 ， 直径是最长的 ． 定点 定长 定点 定长 弧 弦 弦 要点梳理 (3) 圆心角：顶点在 ， 角的两边与圆相交的角叫圆心角． (4) 圆周角：顶点在 ， 角的两边与圆相交的角叫圆周角． (5) 等弧：在 中 ， 能够 完全 的 弧． 圆心 圆上 同圆或等圆 重合 要点梳理 2 ． 圆的有关性质 (1) 圆的对称性： ① 圆是 图形 ， 其对称轴是 ． ② 圆是 图形 ， 对称中心是 ． ③ 旋转不变性 ， 即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度 ， 都能与原来的图形重合． 轴对称 过圆心的任意一条直线 中心对称 圆心 要点梳理 (2) 垂径定理及推论： 垂径定理：垂直于弦的直径 ， 并且 __ ． 垂径定理的推论： ① 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径 ， 并且 ； ② 弦的垂直平分线 ， 并且平分弦所对的两条弧； ③ 平分弦所对的一条弧的直径 ， 垂直平分弦 ， 并且平分弦所对的另一条弧． 平分弦 平分弦所对的两条弧 垂直于弦 平分弦所对的两条弧 经过圆心 要点梳理 (3) 弦、弧、圆心角的关系定理及推论： ① 弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中 ， 相等的圆心角所对的弧 ， 所对的弦 ． ② 推论：在同圆或等圆中 ， 如果两 个 、 、 __ __ 、 中有一组量相等 ， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 相等 相等 圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距 要点梳理 (4) 圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 ． 圆周角定理的推论： ① 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧 ． ② 半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 ； 90° 的圆周角所对的弦是 ． 一半 相等 直角 直径 要点梳理 (5) 点和圆的位置关系 ( 设 d 为点 P 到圆心的距离 ， r 为圆的半径 ) ： ① 点 P 在圆上 ⇔ ； ② 点 P 在圆内 ⇔ ； ③ 点 P 在圆外 ⇔ ． d ＝ r dr 要点梳理 (6) 过三点的圆： ① 经过不在同一直线上的三点 ， 有且只有一个圆． ② 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边 的交点 ， 这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部． 垂直平分线 要点梳理 (7) 圆的内接四边形： 圆内接四边形的对角 ． 3 ． 相关辅助线 互补 一个防范 对垂径定理的理解 ， 同学们往往把定理所需要的条件遗漏 ， 如容易漏掉经过圆心或者垂直 ， 而这两个条件必须同时具备． 一种思想 分类讨论思想：在很多没有给定图形的题目中 ， 常常不能根据题目的条件把图形确定下来 ， 因此会导致解的不唯一性．对于这种多解题必须要分类讨论 ， 分类时要注意标准一致 ， 不重不漏．如：圆周角所对的弦是唯一的 ， 但是弦所对的圆周角不是唯一的． 两条辅助线 (1) 有关弦的问题 ， 常作其弦心距 ， 构造直角三角形； (2) 有关直径的问题 ， 常作直径所对的圆周角． 1 ． ( 2014 · 毕节 ) 如图 ， 已知 ⊙ O 的半径为 13 ， 弦 AB 长为 24 ， 则点 O 到 AB 的距离是 ( ) A ． 6 　　　 B ． 5 C ． 4 D ． 3 B 2 ． ( 2014 · 重庆 ) 如图 ， △ ABC 的顶点 A ， B ， C 均在 ⊙ O 上 ， 若 ∠ ABC ＋ ∠ AOC ＝ 90° ， 则 ∠ AOC 的大小是 ( ) A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 70° C 3 ． ( 2014 · 赤峰 ) 如图 ， AB 是 ⊙ O 的直径 ， C ， D 是 ⊙ O 上两点 ， CD ⊥ AB. 若 ∠ DAB ＝ 65° ， 则 ∠ BOC ＝ ( ) A ． 25° B ． 50° C ． 130° D ． 155° C 4 ． ( 2014· 济南 ) 如图 ， ⊙ O 的半径为 1 ， △ ABC 是 ⊙ O 的内 接等边三角形 ， 点 D ， E 在圆上 ， 四边形 BCDE 为矩形 ， 这个矩形的面积是 ( ) A ． 2 B. 3 C. 3 2 D. 3 2 B 5 ． ( 2014· 凉山州 ) 已知 ⊙ O 的直径 CD ＝ 10 cm ， AB 是 ⊙ O 的弦 ， AB ⊥ CD ， 垂足为 M ， 且 AB ＝ 8 cm ， 则 AC 的长为 ( ) A ． 2 5 cm B ． 4 5 cm C ． 2 5 cm 或 4 5 cm D ． 2 3 cm 或 4 3 cm C 　 圆周角与圆心角的关系 【 例 1 】 　 ( 2014 · 山西 ) 如图 ， ⊙ O 是 △ ABC 的外接圆 ， 连接 OA ， OB ， ∠ OBA ＝ 50° ， 则 ∠ C 的度数为 ( ) A ． 30° 　　 B ． 40° C ． 50° D ． 80° B 【 点评 】 　当图中出现同弧或等弧时 ， 常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角 ， 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 ， 通过相等的弧把角联系起来． 1 ． ( 2014 · 临沂 ) 如图 ， 在 ⊙ O 中 ， AC ∥ OB ， ∠ BAO ＝ 25° ， 则 ∠ BOC 的度数为 ( ) A ． 25° B ． 50° C ． 60° D ． 80° B 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【 例 2 】 　 ( 2014 · 龙东 ) 直径为 10 cm 的 ⊙ O 中 ， 弦 AB ＝ 5 cm ， 则弦 AB 所对的圆周角是 ． 30 ° 或 150° 【 点评 】 　在很多没有给定图形的问题中 ， 常常不能根据题目的条件把图形确定下来 ， 因此会导致解的不唯一性 ， 这种题一题多解 ， 必须分类讨论．本题中 ， 弦所对的圆周角不是唯一的 ， 圆周角的顶点可能在优弧上 ， 也可能在劣弧上 ， 依据 “ 圆内接四边形的对角互补 ” ， 这两个角互补． 2 ． ( 2013· 内江 ) 如图 ， 半圆 O 的直径 AB ＝ 10 cm ， 弦 AC ＝ 6 cm ， AD 平分 ∠ BAC ， 则 AD 的长为 ( ) A ． 4 5 cm B ． 3 5 cm C ． 5 5 cm D ． 4 cm A 点与圆的位置关系 【 例 3 】 矩形 ABCD 中 ， AB ＝ 8 ， BC ＝ 3 5 ， P 点在边 AB 上 ， 且 BP ＝ 3 AP ， 如果圆 P 是以点 P 为圆心 ， PD 为 半径的圆 ， 那么下列判断正确的是 ( ) A ． 点 B ， C 均在圆 P 外 B ． 点 B 在圆 P 外 ， 点 C 在圆 P 内 C ． 点 B 在圆 P 内 ， 点 C 在圆 P 外 D ． 点 B ， C 均在圆 P 内 C 【 点评 】 　本题考查了点与圆的位置关系的判定 ， 根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可． 3 ． 在数轴上 ， 点 A 所表示的实数为 3 ， 点 B 所表示的实数为 a ， ⊙ A 的半径为 2. 下列说法中不正确的是 ( ) A ． 当 a ＜ 5 时 ， 点 B 在 ⊙ A 内 B ． 当 1 ＜ a ＜ 5 时 ， 点 B 在 ⊙ A 内 C ． 当 a ＜ 1 时 ， 点 B 在 ⊙ A 外 D ． 当 a ＞ 5 时 ， 点 B 在 ⊙ A 外 A 垂径定理及应用 【 例 4 】 　 ( 2014 · 南宁 ) 在直径为 200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后 ， 截面如图．若油面的宽 AB ＝ 160 cm ， 则油的最大深度为 ( ) A ． 40 cm B ． 60 cm C ． 80 cm D ． 100 cm A 【 点评 】 　本题考查垂径定理及其推论、勾股定理、方程思想． 4 ． ( 2014 · 哈尔滨 ) 如图 ， ⊙ O 是 △ ABC 的外接圆 ， 弦 BD 交 AC 于点 E ， 连接 CD ， 且 AE ＝ DE ， BC ＝ CE. (1) 求 ∠ ACB 的度数； (2) 过点 O 作 OF ⊥ AC 于点 F ， 延长 FO 交 BE 于点 G ， DE ＝ 3 ， EG ＝ 2 ， 求 AB 的长． 试题 △ ABC 内接于半径为 r 的 ⊙ O ， 且 BC ＞ AB ＞ AC ， OD ⊥ BC 于 D ， 若 OD ＝ 1 2 r ， 求 ∠ A 的度数 ． 错解 解：当圆心 O 在 △ ABC 内时 ， 如图 ， 连接 OB ， OC . ∵ OD ＝ 1 2 r ＝ 1 2 OC ， OD ⊥ BC ， ∴∠ OCD ＝ 30 ° ， ∴∠ DOC ＝ 60 ° . 同理 ， ∠ BOD ＝ 60 ° ， ∴∠ BOC ＝ 120 ° ， ∴∠ A ＝ 60 ° . 当圆心 O 在 △ ABC 外时 ， 如图 ， 同上 ， 可求 得 ∠ BOC ＝ 120 ° ， ∴∠ A ＝ ∠ BOC ＝ 120 ° . 综上 ， ∠ A 的 度数为 60 ° 或 120 ° . 剖析 　上述解法看上去好像思考周全 ， 考虑了两种情况 ， 其实又错了 ， 因为 BC ＞ AB ＞ AC ， BC 是不等边 △ ABC 的最大边 ， 所以 ∠ A ＝ 60° 不正确 ， 产生错误的根源是图画得不准确 ， 忽视了圆心的位置 ， 实际上本题的圆心应在 △ ABC 的外部． 正解 解： ∵ OD ＝ 1 2 r ＝ 1 2 OC ， OD ⊥ BC ， ∴∠ OCD ＝ 30 ° ， ∠ DOC ＝ 60 ° . 同理 ， ∠ BOD ＝ 60 ° ， ∴∠ BOC ＝ 120 ° ， ∴ BAC ︵ 度数为 120 ° ， BmC ︵ 度数为 240 ° ， ∴∠ A ＝ 120 ° .