2020九年级数学下册 第2章 直线与圆的位置关系章末总结提升练习 （新版）浙教版 7页

直线与圆的位置关系 章末总结提升(见B本65页)‎ ‎, 探究点　　1　直线与圆的位置关系)‎ ‎【例1】已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P，满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是(　D　)‎ A．相切　　　　　　　 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交 ‎ 变式　已知y是关于x的函数，且x，y满足方程组 ‎(1)求函数y的表达式；‎ ‎(2)若点P的坐标为(m，0)，求以P为圆心、1为半径的圆与函数y的图象有交点时，m的取值范围．‎ 解：(1)①×3，得3x＋9y＝12－3a③，‎ ‎②＋③，得4x＋8y＝12，即x＋2y＝3，得y＝x＋.‎ ‎(2)当y＝0时，x＝3，即函数y的图象与x轴交于点A(3，0)，‎ 当x＝0时，y＝，即函数y的图象与y轴交于点B ，‎ 当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，‎ 此时∠PCA＝90°‎ ‎∴∠PCA＝∠BOA，且∠BAO＝∠PAC，∴△ABO∽△APC，‎ ‎∴＝，即＝，∴AC＝2，∴PA＝ 此时，P的横坐标为3－或3＋，‎ ‎∴当圆P与直线y有交点时，3－≤m≤3＋.‎ ‎, 探究点　　2　切线的判定与性质)‎ 7‎ 例2图 ‎【例2】 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O为圆心、OC为半径作半圆．‎ ‎(1)求证：AB为⊙O的切线．‎ ‎(2)如果tan∠CAO＝，求cos B的值．‎ 解：(1)证明：如图，作OM⊥AB于点M，‎ 例2答图 ‎∵OA平分∠CAB，OC⊥AC，OM⊥AB，‎ ‎∴OC＝OM，∴AB是⊙O的切线，‎ ‎(2)设BM＝x，OB＝y，则y2－x2＝1①，‎ ‎∵cos B＝＝，∴＝，‎ ‎∴x2＋3x＝y2＋y②，‎ 由①②可以得到y＝3x－1，‎ ‎∴(3x－1)2－x2＝1，‎ ‎∴x＝，y＝，∴cos B＝＝.‎ 变式图 变式　2017·衡阳中考如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D.‎ ‎(1)E为BD的中点，连结CE，求证：CE是⊙O的切线．‎ ‎(2)若AC＝3CD，求∠A的大小．‎ 解：(1)证明：连结OC，‎ ‎∵OA＝OC，∴∠A＝∠1，‎ 7‎ 变式答图 ‎∵AO＝OB，E为BD的中点，‎ ‎∴OE∥AD，∴∠1＝∠3，∠A＝∠2，‎ ‎∴∠2＝∠3，‎ 在△COE与△BOE中， ‎∴△COE≌△BOE，‎ ‎∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∴CE是⊙O的切线．‎ ‎(2)∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AD，‎ ‎∵AB⊥BD，∴△ABC∽△BDC，‎ ‎∴＝，∴BC2＝AC·CD，‎ ‎∵AC＝3CD，∴BC2＝AC2，‎ ‎∴tan∠A＝＝，∴∠A＝30°.‎ ‎, 探究点　　3　切线长定理与三角形的内切圆)‎ 例3图 ‎【例3】 2017·宁波中考如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2，以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为(　B　)‎ A.　　 B.　　 C．π　　 D．2π 变式　2017·武汉中考已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为(　C　)‎ A. B. C. D．2 7‎ ‎1．如果直线l与⊙O有公共点，那么直线l与⊙O的位置关系是(　D　)‎ A．相交　　　　　 B．相切 C．相离 D．相切或相交 第2题图 ‎2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为(　A　)‎ A. B. C. D．2 第3题图 ‎3．遵义中考如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，连结AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC和△ADC的内切圆，则PQ的长是____．‎ 第4题图 ‎4．如图所示，已知在等边△ABC中，AB＝12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD.‎ ‎(1)求证：DF是⊙O的切线．‎ ‎(2)求FG的长．‎ ‎(3)求tan∠FGD的值．‎ 第4题答图 解：(1)证明：连结OD，如图(1)，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，‎ ‎∴△ODB是等边三角形，‎ ‎∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，‎ ‎∴OD∥AC，∵DF⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线．‎ 7‎ ‎(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，‎ ‎∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6.‎ 在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，‎ ‎∴AF＝AC－CF＝12－3＝9，‎ 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，‎ ‎∴FG＝AF×sin A＝9×＝.‎ ‎ (3)如图，过D作DH⊥AB于点H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，‎ ‎∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.‎ 在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3 .在Rt△AFG中，∵∠AFG＝30°，‎ ‎∴AG＝AF＝，∵GH＝AB－AG－BH＝12－－3＝，‎ ‎∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝.‎ 第5题图 ‎5．如图所示，A(－8，0)，B(－6，0)．点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD∥AB，∠CDA＝90°.点P从点Q(7，0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．‎ ‎(1)点C的坐标是　(0，6)　；‎ ‎(2)当∠BCP＝15°时，求t的值；‎ ‎(3)以点P为圆心、PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的一边(或边所在的直线)相切时，求t的值．‎ 解：(2)当点P在点B右侧时，如图(a)．‎ 由∠BCP＝15°，得∠PCO＝30°.OP＝t－7，则PC＝2(t－7)，‎ 在Rt△POC中，CP2－OP2＝62，故4(t－7)2－(t－7)2＝36，‎ 此时t＝7±2(舍去7－2)，‎ 当点P在点B左侧时，如图(b)，‎ 由∠BCP＝15°，得∠PCO＝60°，PC＝2CO＝12，‎ 故PO＝＝6.此时t＝7＋6.‎ ‎∴t的值为7＋2或7＋6.‎ 7‎ 第5题答图 ‎(3)由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：‎ ‎①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP＝90°，‎ 从而∠OCP＝45°，得到OP＝6.此时t＝1.‎ ‎②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，‎ 即点P与点O重合，此时t＝7.‎ ‎③当⊙P与AD相切时，由题意知，∠DAO＝90°，‎ ‎∴点A为切点，如图(c)．‎ PC2＝PA2＝(15－t)2，PO2＝(t－7)2.‎ 所以(15－t)2＝(t－7)2＋62，解得t＝.‎ ‎∴t的值为1或7或.‎ ‎6．如图所示，在直角坐标系中，直线l：y＝－2x－8分别与x轴、y轴相交于A，B 两点，点P(0，k)是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心、3为半径作⊙P.‎ ‎(1)连结PA，若PA＝PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)当⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形时，求点P的坐标．‎ 第6题图 解：(1)如图1，⊙P与x轴相切，‎ ‎∵直线y＝－2x－8与x轴交于A(－4，0)，与y轴交于B(0，－8)，‎ ‎∴OA＝4，OB＝8.‎ 由题意，OP＝－k，∴PB＝PA＝8＋k.‎ ‎∵在Rt△AOP中，k2＋42＝(8＋k)2‎ ‎∴k＝－3，∴OP等于⊙P的半径．‎ ‎∴⊙P与x轴相切．‎ 7‎ 第6题答图 ‎(2)如图2，设⊙P1与直线l交于C，D两点，连结P‎1C，P1D，‎ 当圆心P1在线段OB上时，作P1E⊥CD于点E，‎ ‎∵△P1CD为正三角形，∴DE＝CD＝，P1D＝3.‎ ‎∴P1E＝.‎ ‎∵∠AOB＝∠P1EB＝90°，∠ABO＝∠P1BE，‎ ‎∴△AOB∽△P1EB.∴＝，即＝，‎ ‎∴P1B＝.∴P1O＝BO－BP1＝8－.‎ ‎∴P1.‎ 当圆心P2在线段OB延长线上时，同理可得P2.‎ 7‎