初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第一章 数与式第一章第4讲分式及其运算 37页

第 4 讲　分式及其运算 要点梳理 1 ． 分式的基本概念 (1) 形如 的式子叫 分式； (2) 当 __ __ 时 ， 分式 A B 有意义；当 __ __ 时 ， 分式 A B 无意义； 当 时 ， 分式 A B 的值为零． B≠0 B ＝ 0 A ＝ 0 且 B≠0 要点梳理 2 ． 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘 ( 或除以 ) ， 分 式的值不变 ， 用式子表示为 。 ． 同一个不等于零的整式 要点梳理 3 ． 分式的运算法则 (1) 符号法则：分子、分母与分式本身的符号 ， 改变其中 任何两个 ， 分式的值不变． 用式子表示： a b ＝－ a － b ＝ － a － b ＝－ － a b ；－ a b ＝ a － b ＝ － a b . (2) 分式的加减法： 同分母加减法： ； 异分母加减法： ． a c ± b c ＝ a±b c 要点梳理 ( 3 ) 分式的乘除法： a b · c d ＝ ； a b ÷ c d ＝ ． ( 4 ) 分式的乘方： ( a b ) n ＝ ． 要点梳理 4 ． 最简分式 如果一个分式的分子与分母没有公因式 ， 那么这个分式叫做最简分式． 5 ． 分式的约分、通分 把分式中分子与分母的公因式约去 ， 这种变形叫做约分 ， 约分的根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式 ， 这种变形叫做分式的通分 ， 通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 要点梳理 6 ． 分式的混合运算 在分式的混合运算中 ， 应先算乘方 ， 再将除法化为乘法 ， 进行约分化简 ， 最后进行加减运算．若有括号 ， 先算括号里面的．灵活运用运算律 ， 运算结果必须是最简分式或整式． 7 ． 解分式方程 ， 其思路是去分母转化为整式方程 ， 要特别注意验根．使分母为 0 的未知数的值是增根 ， 需舍去． 一个思想 类比是一种在不同对象之间 ， 或者在事物与事物之间 ， 根据它们某些相似之处进行比较 ， 通过联想和预测 ， 推出它们在其他方面也可能相似 ， 从而去建立猜想和发现规律的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点 ， 利用已有的知识来认识新知识 ， 分式与分数有许多类似的地方 ， 因此在分式的学习中 ， 要注意与分数进行类比学习理解． 两个技巧 (1) 分式运算中的常用技巧 分式运算题型多 ， 方法活 ， 要根据特点灵活求解．如： ① 分组通分； ② 分步通分； ③ 先 “ 分 ” 后 “ 通 ” ； ④ 重新排序； ⑤ 整体通分； ⑥ 化积为差 ， 裂项相消． (2) 分式求值中的常用技巧 分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化．主要有以下技巧： ① 整体代入法； ② 参数法； ③ 平方法； ④ 代入法； ⑤ 倒数法． 1 ． ( 2014· 温州 ) 要使分式 x ＋ 1 x － 2 有意义 ， 则 x 的取值应满足 ( ) A ． x ≠ 2 B ． x ≠ － 1 C ． x ＝ 2 D ． x ＝－ 1 2 ． ( 2014· 广州 ) 计算： x 2 － 4 x － 2 ， 结果是 ( ) A ． x － 2 B ． x ＋ 2 C. x － 4 2 D. x ＋ 2 x A B 3 ． ( 2014· 河北 ) 化简： x 2 x － 1 － x x － 1 ＝ ( ) A ． 0 B ． 1 C ． x D. x x － 1 4 ． ( 2014· 济南 ) 化简 m － 1 m ÷ m － 1 m 2 的结果是 ( ) A ． m B. 1 m C ． m － 1 D. 1 m － 1 C A 5 ． ( 2014· 淄博 ) 方程 3 x － 7 x ＋ 1 ＝ 0 解是 ( ) A ． x ＝ 1 4 B ． x ＝ 3 4 C ． x ＝ 4 3 D ． x ＝－ 1 B 分式的概念 ， 求字母的取值范围 【 例 1 】 (1) ( 2014· 贺州 ) 分式 2 x － 1 有意义 ， 则 x 的取值范 围是 ( ) A ． x ≠ 1 B ． x ＝ 1 C ． x ≠ － 1 D ． x ＝－ 1 (2) ( 2014· 毕节 ) 若分式 x 2 － 1 x － 1 的值为零 ， 则 x 的值为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ．－ 1 D ． ± 1 A C 【 点评 】 　 (1) 分式有意义就是使分母不为 0 ， 解不等式即可求出 ， 有时还要考虑二次根式有意义； (2) 首先求出使分子为 0 的字母的值 ， 再检验这个字母的值是否使分母的值为 0 ， 当它使分母的值不为 0 时 ， 这就是所要求的字母的值． 1 ． ( 1 ) ( 2013· 广州 ) 若代数式 x x － 1 有意义 ， 则实数 x 的取值 范围是 ( ) A ． x ≠ 1 B ． x ≥ 0 C ． x ＞ 0 D ． x ≥ 0 且 x ≠ 1 ( 2 ) 当 x ＝ __ __ 时 ， 分式 | x | － 3 x － 3 的值为 0. D -3 分式的性质 【 例 2 】 ( 1 ) ( 2014· 贺州 ) 先化简 ， 再求值： ( a 2 b ＋ ab ) ÷ a 2 ＋ 2a ＋ 1 a ＋ 1 ， 其中 a ＝ 3 ＋ 1 ， b ＝ 3 － 1. ( 2 ) ( 2014· 济宁 ) 已知 x ＋ y ＝ xy ， 求代数式 1 x ＋ 1 y － ( 1 － x )( 1 － y ) 的值 ． 【 点评 】 　 (1) 分式的基本性质是分式变形的理论依据 ， 所有分式变形都不得与此相违背 ，否则分式的值改变； ( 2) 将分式化简 ， 即约分 ，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底； (3) 巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值． 2 ． ( 1 ) ( 2012· 义乌 ) 下列计算错误的是 ( ) A. 0.2 a ＋ b 0.7 a － b ＝ 2 a ＋ b 7 a － b B. x 3 y 2 x 2 y 3 ＝ x y C. a － b b － a ＝－ 1 D. 1 c ＋ 2 c ＝ 3 c ( 2 ) ( 2014· 广安 ) 化简 ( 1 － 1 x － 1 ) ÷ x － 2 x 2 － 2x ＋ 1 的结果是 __ __ ． A x － 1 分式的四则混合运算 【 例 3 】 ( 2014· 深圳 ) 先化简 ， 再求 值： ( 3x x － 2 － x x ＋ 2 ) ÷ x x 2 － 4 ， 在－ 2 ， 0 ， 1 ， 2 四个数中选一个合适的代入求值． 【 点评 】 　准确、灵活、简便地运用法则进行化简 ， 注意在取 x 的值时 ， 要考虑分式有意义 ， 不能取使分式无意义的 0 与 ±2. 3 ． ( 1 ) ( 2014· 十堰 ) 已知 a 2 － 3a ＋ 1 ＝ 0 ， 则 a ＋ 1 a － 2 的值为 ( ) A. 5 ＋ 1 B ． 1 C ． － 1 D ． － 5 B ( 2 ) ( 2014· 娄底 ) 先化简 x 2 － 4 x 2 － 9 ÷ ( 1 － 1 x － 3 ) ， 再从不等式 2x － 3 ＜ 7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值 ． 分式方程的解法 【 例 4 】 ( 2014· 舟山 ) 解方程： x x ＋ 1 － 4 x 2 － 1 ＝ 1. 解：去分母 ， 得 x ( x － 1 ) － 4 ＝ x 2 － 1 ， 去括号 ， 得 x 2 － x － 4 ＝ x 2 － 1 ， 解得 x ＝－ 3 ， 经检验 x ＝－ 3 是分式方程的解 【 点评 】 　 (1) 按照基本步骤解分式方程 ， 其关键是确定各分式的最简公分母． 若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项； (2) 检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去． 4 ． ( 1 ) ( 2014· 德州 ) 分式方程 x x － 1 － 1 ＝ 3 （ x － 1 ）（ x ＋ 2 ） 的解是 ( ) A ． x ＝ 1 B ． x ＝－ 1 ＋ 5 C ． x ＝ 2 D ． 无解 D ( 2 ) ( 2014· 巴中 ) 若分式方程 x x － 1 － m 1 － x ＝ 2 有增根 ， 则这个 增根是 __ __ ． ( 3 ) ( 2014· 新疆 ) 解分式方程： 3 x 2 － 9 ＋ x x － 3 ＝ 1. x ＝ 1 试题 当 a 取什么实数时 ， 关于 x 的方程 x x － 2 ＋ x － 2 x ＋ 4 x － a 2 x （ x － 2 ） ＝ 0 只有一个实根？ 审题视角 原分式方程去分母 ， 化为整式方程 ， 可知是一 元二次方程 ， 该一元二次方程的实根有两种情况：方程有 两个相等的实数根 ， 它们是原方程的一个实根；或方程有 两个不相等的实根 ， 恰有一个是增根 ， 另一个是原方程的 根 ． 规范答题 解： x x － 2 ＋ x － 2 x ＋ 4 x － a 2 x （ x － 2 ） ＝ 0 ， 去分母 ， 得 2 x 2 ＋ 2( x － 2) 2 ＋ 4 x － a ＝ 0 ， 4 x 2 － 4 x ＋ 8 － a ＝ 0 ， 方程 4 x 2 － 4 x ＋ 8 － a ＝ 0 只有一个实根的情况有两种： (1) 这个二次方程有相等的两实根 ， 那么有 Δ ＝ ( － 4) 2 － 4 × 4 × (8 － a ) ＝ 0 ， 解得 a ＝ 7 ， 这时 4 x 2 － 4 x ＋ 1 ＝ 0 ， x ＝ 1 2 是原方程的一个实数根． (2) 方程的两个不等实根中恰有一个是原方程的增根 ， 这个增根是 x ＝ 0 或 x ＝ 2. 令 ? ＝ ( － 4) 2 － 4 × 4 × (8 － a ) ＞ 0 ， 解得 a ＞ 7 ， 若增根为 x ＝ 0 ， 代入 4 x 2 － 4 x ＋ 8 － a ＝ 0 ， 解得 a ＝ 8 ， 此时 4 x 2 － 4 x ＝ 0 ， 解得 x ＝ 1 是原方程的一个实数根 ， x ＝ 0 是增根 ， 舍去． 若增根为 x ＝ 2 ， 代入 4 x 2 － 4 x ＋ 8 － a ＝ 0 ， 解得 a ＝ 16 ， 此时 4 x 2 － 4 x － 8 ＝ 0 ， x 2 － x － 2 ＝ 0 ， 解得 x ＝－ 1 是原方程的一个实数根 ， x ＝ 2 是增根 ， 舍去． 综上所述 ， 当 a ＝ 7 或 a ＝ 8 或 a ＝ 16 时 ， 关于 x 的方程 x x － 2 ＋ x － 2 x ＋ 4 x － a 2 x （ x － 2 ） ＝ 0 只有一个实根． 答题思路 第一步：去分母 ， 把分式方程转化为整式方程； 第二步：通过原分式方程的各个分母来确定分式方程的增根； 第三步：把增根代入到转化得到的整式方程中 ， 以确定分式方程中某些系数的值； 第四步：考虑方程根的性质 ， 以确定分式方程中某些系数的值； 第五步：反思回顾 ， 查看关键点、易错点 ， 完善解题步骤． 试题 当 a 取什么值时 ， 方程 x － 1 x － 2 － x － 2 x ＋ 1 ＝ 2 x ＋ a （ x － 2 ）（ x ＋ 1 ） 的解是负数？ 错解 解：原方程两边同乘以 ( x － 2)( x ＋ 1) ， 得 x 2 － 1 － x 2 ＋ 4 x － 4 ＝ 2 x ＋ a ， 2 x ＝ a ＋ 5 ， ∴ x ＝ a ＋ 5 2 . 由 a ＋ 5 2 ＜ 0 ， 得 a ＜－ 5. 故当 a ＜－ 5 时 ， 原方程的解是负数． 剖析 (1) 分式中的分母不能为零 ， 这是同学们熟知的 ， 但在解题时 ， 往往忽略题目中的这一隐含条件 ， 从而导致解题错误； (2) 利用分式的基本性质进行恒等变形时，应注意分子与分母同乘或同除以的整式的值不能是零； ( 3) 解分式方程为什么要检验？因为用各分母的最简公分母去乘方程的两边时 ， 不能肯定所得方程与原方程同解．如果最后 x 取值使这个最简公分母不为零 ， 则这个步骤符合方程同解原理 ， 这个取值就是方程的解；否则 ， 不能保证新方程与原方程同解．从另一角度看 ， 既然使各分母的最简公分母为零 ， 则必使某个分母为零 ， 该分式则无意义 ， 原方程不可能成立 ， 这个取值就不是原方程的解． 正解 解：当 x ≠ － 1 且 x ≠ 2 时 ， 原方程两边都乘以 ( x － 2)( x ＋ 1) ， 得 x 2 － 1 － x 2 ＋ 4 x － 4 ＝ 2 x ＋ a ， 2 x ＝ a ＋ 5 ， ∴ x ＝ a ＋ 5 2 . 由 a ＋ 5 2 ＜ 0 ， 得 a ＜－ 5 ， 又由 a ＋ 5 2 ≠ 2 ， 得 a ≠ － 1 ； a ＋ 5 2 ≠ － 1 ， 得 a ≠ － 7 ， 故当 a ＜－ 5 且 a ≠ － 7 时 ， 原方程的解是负数．