2013年江苏省南京市中考数学试卷（含答案） 11页

南京市2013年初中毕业生学业考试 数 学 注意事项：‎ ‎1. 本试卷共6页。全卷满分120分。考试时间为120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答 ‎ 在本试卷上无效。‎ ‎2. 请认真核对监考教师在答题卡上所黏贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符，再将自 ‎ 己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。‎ ‎3. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，‎ ‎ 再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，‎ ‎ 在其他位置答题一律无效。‎ ‎4. 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。‎ 一、 选择题 (本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰 ‎ 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)‎ ‎1. 计算12-7´(-4)+8¸(-2)的结果是 (A) -24 (B) -20 (C) 6 (D) 36‎ ‎2. 计算a3．( )2的结果是 (A) a (B) a5 (C) a6 (D) a9‎ ‎3. 设边长为3的正方形的对角线长为a，下列关于a的四种说法： a是无理数；‚ a可以 ‎ 用数轴上的一个点来表示；ƒ 30 (C) k1k2<0 (D) k1k2>0‎ ‎6. 如图，一个几何体上半部为正四棱椎，下半部为立方体，且有一个面涂 ‎ 有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是 ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ 二、填空题 (本大题共10小题，每小题2分，共20分。不须写出解答过程，请把答案直接 ‎ 填写在答题卡相应位置上)‎ ‎7. -3的相反数是 ；-3的倒数是 。‎ ‎8. 计算 - 的结果是 。‎ ‎9. 使式子1+ 有意义的x的取值范围是 。‎ ‎10. 第二届亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000‎ ‎ 名青少年志愿者提供服务，将13000用科学记数法表示为 。‎ A B C D B’‎ ‎1‎ C’‎ D’‎ ‎11. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置，‎ ‎ 旋转角为a (0°226。‎ ‎ 综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优或额不少于226元，‎ ‎ 那么该商品的标价至少为630元。 (8分)‎ ‎24. (本题8分)‎ ‎ 解：(1) 60；(1分)‎ ‎ (2) 当20£x£30时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b。‎ ‎ 根据题意，当x=20时，y=60；当x=30时，y=24。‎ ‎ 所以，解得。所以，y与x之间的函数关系式为y= -3.6x+132。‎ ‎ 当x=22时，y= -3.6´22+132=52.8。‎ ‎ 所以，小丽出发第22min时的速度为52.8km/h。(5分)‎ ‎ (3) 小丽驾车从甲地到乙地行驶的路程为 ‎ ´+´+60´+´+´+48´+´ ‎ =33.5(km)。‎ ‎ 所以，小丽驾车从甲地到乙地共耗油33.5´=3.35(L) (8分)‎ ‎25. (本题8分)‎ ‎ 解法一：(1) 直线PC与圆O相切。‎ j A B C D O M P N ‎ 如图j，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。‎ ‎ ∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。‎ ‎ ∵ÐBAC=ÐBNC，∴ÐBNC=ÐACD。‎ ‎ ∵ÐBCP=ÐACD，∴ÐBNC=ÐBCP。‎ ‎ ∵CN是圆O的直径，∴ÐCBN=90°。‎ ‎ ∴ÐBNC+ÐBCN=90°，∴ÐBCP+ÐBCN=90°。‎ ‎ ∴ÐPCO=90°，即PC^OC。‎ ‎ 又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (4分)‎ ‎ ‎ ‎ (2) ∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，即ÐOAD=90°。‎ ‎ ∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，即OM^BC。‎ ‎ ∴MC=MB。∴AB=AC。‎ ‎ 在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，‎ ‎ 由勾股定理，得AM===6。‎ ‎ 设圆O的半径为r。‎ ‎ 在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，‎ ‎ 由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。‎ ‎ 在△OMC和△OCP中，‎ ‎ ∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，‎ ‎ ∴△OMC～△OCP。∴ = ，即 = 。‎ ‎ ∴PC= 。(8分)‎ A B C D O M P k ‎ 解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图k，连接OC。‎ ‎ ∵AD是圆O的切线，∴AD^OA，‎ ‎ 即ÐOAD=90°。‎ ‎ ∵BC//AD，∴ÐOMC=180°-ÐOAD=90°，‎ ‎ 即OM^BC。‎ ‎ ∴MC=MB。∴AB=AC。∴ÐMAB=ÐMAC。‎ ‎ ∴ÐBAC=2ÐMAC。又∵ÐMOC=2ÐMAC，∴ÐMOC=ÐBAC。‎ ‎ ∵AB//CD，∴ÐBAC=ÐACD。∴ÐMOC=ÐACD。又∵ÐBCP=ÐACD，‎ ‎ ∴ÐMOC=ÐBCP。∵ÐMOC+ÐOCM=90°，∴ÐBCP+ÐOCM=90°。‎ ‎ ∴ÐPCO=90°，即PC^OC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。‎ ‎ (2) 在Rt△AMC中，ÐAMC=90°，AC=AB=9，MC= BC=3，‎ ‎ 由勾股定理，得AM===6。‎ ‎ 设圆O的半径为r。‎ ‎ 在Rt△OMC中，ÐOMC=90°，OM=AM-AO=6-r，MC=3，OC=r，‎ ‎ 由勾股定理，得OM 2+MC 2=OC 2，即(6-r)2+32=r2。解得r= 。‎ ‎ 在△OMC和△OCP中，∵ÐOMC=ÐOCP，ÐMOC=ÐCOP，‎ ‎ ∴△OMC～△OCP，∴ = ，即 = 。‎ ‎ ∴PC= 。(8分)‎ ‎26. (本题9分)‎ ‎ (1) 证明：y=a(x-m)2-a(x-m)=ax2-(2am+a)x+am2+am。‎ ‎ 因为当a¹0时，[-(2am+a)]2-4a(am2+am)=a2>0。‎ ‎ 所以，方程ax2-(2am+a)x+am2+am=0有两个不相等的实数根。‎ ‎ 所以，不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点。(3分)‎ ‎ (2) 解：j y=a(x-m)2-a(x-m)=(x- )2- ，‎ ‎ 所以，点C的坐标为(,- )。‎ ‎ 当y=0时，a(x-m)2-a(x-m)=0。解得x1=m，x2=m+1。所以AB=1。‎ ‎ 当△ABC的面积等于1时，´1´| - |=1。‎ ‎ 所以´1´( -)=1，或´1´=1。‎ ‎ 所以a= -8，或a=8。‎ ‎ k 当x=0时，y=am2+am，所以点D的坐标为(0, am2+am)。‎ ‎ 当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，‎ ‎ ´1´| - |= ´1´| am2+am |。‎ ‎ 所以´1´( -)= ´1´(am2+am)，或´1´ = ´1´(am2+am)。‎ ‎ 所以m= - ，或m= ，或m= 。 (9分)‎ ‎27. (本题10分)‎ ‎ (1) jk；l (4分)‎ ‎ (2) 解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。‎ ‎ 第一种情况：如图j，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、‎ ‎ PQ2，分别使ÐCPQ1=ÐA，ÐBPQ2=ÐA，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。‎ ‎ 第二种情况：如图k，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作ÐCBM=ÐA，BM交AC ‎ 于点M。‎ ‎ 当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使ÐAP1Q=ÐABC，此 ‎ 时△AP1Q与△ABC互为逆相似；‎ ‎ 当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使ÐAP2Q1=ÐABC，‎ ‎ ÐCP2Q2=ÐABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似。‎ ‎ 第三种情况：如图l，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作ÐBCD=ÐA，ÐACE=ÐB，‎ ‎ CD、CE分别交AC于点D、E。‎ ‎ 当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使ÐAP1Q=ÐABC，此时 ‎ △AQP1与△ABC互为逆相似；‎ ‎ 当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使ÐAP2Q1=ÐACB，‎ ‎ ÐBP2Q2=ÐBCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；‎ ‎ 当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使ÐBP3Q’=ÐBCA，‎ ‎ 此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。 (10分)‎ A B C Q1‎ P j Q2‎ A B C Q1‎ M Q2‎ Q P1‎ P2‎ A B C Q1‎ Q’‎ Q P1‎ P2‎ D’‎ E Q2‎ P3‎ k l