2020年湖北省随州市中考数学试卷【含答案；word版本试题；可编辑】 12页

‎2020年湖北省随州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）‎ ‎1. ‎2020‎的倒数是（ ）‎ A.‎-2020‎ B.‎2020‎ C.‎-‎‎1‎‎2020‎ D.‎‎1‎‎2020‎ ‎2. 如图，直线‎1‎‎1‎‎ // ‎l‎2‎，直线‎1‎与l‎1‎，l‎2‎分别交于A，B两点，若‎∠1‎＝‎60‎‎∘‎，则‎∠2‎的度数是（ ）‎ A.‎60‎‎∘‎ B.‎100‎‎∘‎ C.‎120‎‎∘‎ D.‎‎140‎‎∘‎ ‎3. 随州‎7‎月份连续‎5‎天的最高气温分别为：‎29‎，‎30‎，‎32‎，‎30‎，‎34‎（单位：‎​‎‎∘‎C），则这组数据的众数和中位数分别为（ ）‎ A.‎30‎，‎32‎ B.‎31‎，‎30‎ C.‎30‎，‎31‎ D.‎30‎，‎‎30‎ ‎4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）‎ A.圆柱 B.圆锥 C.四棱柱 D.四棱锥 ‎5. ‎2‎x‎2‎‎-4‎‎÷‎‎1‎x‎2‎‎-2x的计算结果为（ ）‎ A.xx+2‎ B.‎2xx+2‎ C.‎2xx-2‎ D.‎‎2‎x(x+2)‎ ‎6. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x只，兔有y只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）‎ A.x+y=35‎‎2x+4y=94‎‎ ‎ B.‎x+y=35‎‎4x+2y=94‎ C.‎2x+y=35‎x+4y=94‎‎ ‎ D.‎x+4y=35‎‎2x+y=94‎ ‎7. 小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离‎(s)‎与出发时间‎(t)‎之间的对应关系的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8. 设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）‎ A.h＝R+r B.R＝‎2r C.r=‎3‎‎4‎a D.‎R=‎3‎‎3‎a ‎9. 将关于x的一元二次方程x‎2‎‎-px+q＝‎0‎变形为x‎2‎＝px-q，就可以将x‎2‎表示为关于x ‎ 12 / 12‎ 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x‎3‎＝x⋅‎x‎2‎＝x(px-q)‎＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x‎2‎‎-x-1‎＝‎0‎，且x>0‎，则x‎4‎‎-2x‎3‎+3x的值为（ ）‎ A.‎1-‎‎5‎ B.‎3-‎‎5‎ C.‎1+‎‎5‎ D.‎‎3+‎‎5‎ ‎10. 如图所示，已知二次函数y＝ax‎2‎+bx+c的图象与x轴交于A(-1, 0)‎，B(3, 0)‎两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：‎ ‎①‎2a+b＝‎0‎；‎ ‎②‎2c<3b；‎ ‎③当‎△ABC是等腰三角形时，a的值有‎2‎个；‎ ‎④当‎△BCD是直角三角形时，a=-‎‎2‎‎2‎．‎ 其中正确的有（ ）‎ A.‎1‎个 B.‎2‎个 C.‎3‎个 D.‎4‎个 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）‎ ‎11. 计算：‎(-1‎)‎‎2‎+‎9‎=‎________．‎ ‎12. 如图，点A，B，C在‎⊙O上，AD是‎∠BAC的角平分线，若‎∠BOC＝‎120‎‎∘‎，则‎∠CAD的度数为________．‎ ‎13. 幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫图．将数字‎1∼9‎分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是‎15‎，则m的值为________．‎ ‎14. 如图，‎△ABC中，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，点P，M，N分别为DE，DF，EF的中点，若随机向‎△ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为________．‎ ‎15. 如图，直线AB与双曲线y=kx(k>0)‎在第一象限内交于A、B两点，与x轴交于点C，点B为线段AC的中点，连接OA，若‎△AOC的面积为‎3‎，则k的值为________．‎ ‎ 12 / 12‎ ‎16. 如图，已知矩形ABCD中，AB＝‎3‎，BC＝‎4‎，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：‎ ‎①‎△MHN∽△BCF；‎ ‎②折痕MN的长度的取值范围为‎30)‎秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转‎90‎‎∘‎，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与‎△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得‎1‎分，至多得 ‎ 12 / 12‎ 参考答案与试题解析 ‎2020年湖北省随州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）‎ ‎1.D ‎2.C ‎3.D ‎4.A ‎5.B ‎6.A ‎7.B ‎8.C ‎9.C ‎10.B 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）‎ ‎11.‎‎4‎ ‎12.‎‎30‎‎∘‎ ‎13.‎‎9‎ ‎14.‎‎1‎‎16‎ ‎15.‎‎2‎ ‎16.①②③④‎ 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）‎ ‎17.原式＝‎a‎2‎‎+2ab-2ab-2‎b‎2‎ ‎＝‎a‎2‎‎-2‎b‎2‎ 当a=‎‎5‎，b=‎‎3‎时，‎ 原式＝‎(‎5‎‎)‎‎2‎-2×(‎‎3‎‎)‎‎2‎＝‎5-6‎＝‎-1‎．‎ ‎18.∵ ‎△‎＝‎‎(2m+1‎)‎‎2‎-4×1×(m-2)‎ ‎＝‎‎4m‎2‎+4m+1-4m+8‎ ‎＝‎4m‎2‎+9>0‎，‎ ‎∴ 无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；‎ 由根与系数的关系得出x‎1‎‎+x‎2‎=-(2m+1)‎x‎1‎x‎2‎‎=m-2‎‎ ‎，‎ 由x‎1‎‎+x‎2‎+3‎x‎1‎x‎2‎＝‎1‎得‎-(2m+1)+3(m-2)‎＝‎1‎，‎ 解得m＝‎8‎．‎ ‎19.‎‎10‎ ‎180‎‎∘‎ ‎18‎ 因为年龄在“x<20‎”的‎4‎人中有‎2‎名男性，‎2‎名女性，‎ 设‎2‎名男性用A，B表示，‎2‎名女性用C，D表示，‎ 根据题意，画树状图如下：‎ 由上图可知：共有‎12‎种等可能的结果，符合条件的结果有‎2‎种，‎ 所以恰好抽到‎2‎名男性的概率为：‎2‎‎12‎‎=‎‎1‎‎6‎．‎ ‎20.由题意得，在Rt△ABD中，‎∠ADB＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ AD＝AB＝‎25‎米，‎ ‎∵ CD＝‎5‎米，‎ ‎∴ AC＝AD+CD＝‎25+5‎＝‎30‎（米），‎ ‎ 12 / 12‎ 即A与C之间的距离是‎30‎米；‎ 在Rt△ACE中．‎∠ACE＝‎60‎‎∘‎，AC＝‎30‎米，‎ ‎∴ AE＝‎30⋅tan‎60‎‎∘‎＝‎30‎‎3‎（米），‎ ‎∵ AB＝‎25‎米，‎ ‎∴ BE＝AE-AB＝‎(30‎3‎-25)‎米，‎ ‎∵ ‎3‎‎≈1.73‎，‎ ‎∴ BE≈1.73×30-25‎＝‎27‎米．‎ 即天线BE的高度为‎27‎米．‎ ‎21.证明：连接OM，如图‎1‎，‎ ‎∵ OC＝OD，‎ ‎∴ ‎∠OCM＝‎∠OMC，‎ 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，‎ ‎∴ CD=‎1‎‎2‎AB＝BD，‎ ‎∴ ‎∠DCB＝‎∠DBC，‎ ‎∴ ‎∠OMC＝‎∠DBC，‎ ‎∴ OM // BD，‎ ‎∵ MN⊥BD，‎ ‎∴ OM⊥MN，‎ ‎∵ OM过O，‎ ‎∴ MN是‎⊙O的切线；‎ 连接DM，CE，‎ ‎∵ CD是‎⊙O的直径，‎ ‎∴ ‎∠CED＝‎90‎‎∘‎，‎∠DMC＝‎90‎‎∘‎，‎ 即DM⊥BC，CE⊥AB，‎ 由（1）知：BD＝CD＝‎5‎，‎ ‎∴ M为BC的中，‎ ‎∵ sinB=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴ cosB=‎‎4‎‎5‎，‎ 在Rt△BMD中，BM＝BD⋅cosB＝‎4‎，‎ ‎∴ BC＝‎2BM＝‎8‎，‎ 在Rt△CEB中，BE＝BC⋅cosB=‎‎32‎‎5‎，‎ ‎∴ ED＝BE-BD=‎32‎‎5‎-5=‎‎7‎‎5‎．‎ ‎22.根据表格数据可知：‎ 前‎5‎天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：‎ p‎＝x+1‎，‎1≤x≤5‎且x为整数；‎ q‎＝‎5x+65‎，‎1≤x≤5‎且x为整数；‎ 当‎1≤x≤5‎且x为整数时，‎ W‎＝‎‎(x+1-0.5)(5x+65)‎ ‎＝‎5x‎2‎+‎135‎‎2‎x+‎‎65‎‎2‎；‎ 当‎6≤x≤30‎且x为整数时，‎ ‎ 12 / 12‎ W‎＝‎‎(1-0.5)(-2x‎2‎+80x-200)‎ ‎＝‎-x‎2‎+40x-100‎．‎ 即有W=‎5x‎2‎+‎135‎‎2‎x+‎65‎‎2‎,1≤x≤5x‎-x+40x-100,6≤x≤30x ‎，‎ 当‎1≤x≤5‎且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，‎ 故当x＝‎5‎时，W有最大值为：‎495‎元；‎ 当‎6≤x≤30‎且x为整数时，‎ W=-x‎2‎+40x-100‎‎＝‎-(x-20‎)‎‎2‎+300‎，‎ 故当x＝‎20‎时，W有最大值为：‎300‎元；‎ 由‎495>300‎，可知：‎ 第‎5‎天时利润最大为‎495‎元．‎ m≥‎‎8‎‎5‎ ‎23.①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a‎2‎‎+‎b‎2‎＝c‎2‎．‎ ‎3‎ m‎2‎‎,b＝c,a+d＝‎m ‎24.由题意：‎-b‎2a=‎‎3‎‎2‎‎16a+4b+1=0‎‎ ‎，‎ 解得a=-‎‎1‎‎4‎b=‎‎3‎‎4‎‎ ‎，‎ ‎∴ 抛物线的解析式为y=-‎1‎‎4‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x+1‎，‎ 令y＝‎0‎，可得x‎2‎‎-3x-4‎＝‎0‎，解得x＝‎-1‎或‎4‎，‎ ‎∴ A(-1, 0)‎，‎ 令y＝‎0‎，得到x＝‎1‎，‎ ‎∴ C(0, 1)‎，‎ ‎∴ OA＝OC＝‎1‎，‎ ‎∴ ‎∠CAO＝‎45‎‎∘‎．‎ 如图‎1‎中，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥AB于F．‎ ‎∵ ‎∠NEM＝‎∠DFM＝‎∠NMD＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠NME+∠DMF＝‎90‎‎∘‎，‎∠DMF+∠MDF＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠NME＝‎∠MDF，‎ ‎∵ NM＝DM，‎ ‎∴ ‎△MEN≅△DFM(AAS)‎，‎ ‎∴ NE＝MF，EM＝DF，‎ ‎∵ ‎∠CAO＝‎45‎‎∘‎，AN=‎2‎t，AM＝‎3t，‎ ‎∴ AE＝EN＝t，‎ ‎∴ EM＝AM-AE＝‎2t，‎ ‎∴ DF＝‎2t，MF＝t，OF＝‎4t-1‎，‎ ‎∴ D(4t-1, 2t)‎，‎ ‎∴ ‎-‎1‎‎4‎(4t-1‎)‎‎2‎+‎3‎‎4‎(4t-1)+1‎＝‎2t，‎ ‎∵ t>0‎，故可以解得t=‎‎3‎‎4‎，‎ 经检验，t=‎‎3‎‎4‎时，M，N均没有达到终点，符合题意，‎ ‎∴ D(2, ‎3‎‎2‎)‎．‎ 如图‎3-1‎中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，‎∠QCP＝‎∠MDB时，‎ ‎ 12 / 12‎ 取E(‎1‎‎2‎, 0)‎，连接EC，过点E作EG⊥EC交PC于G，‎ ‎∵ M(‎5‎‎4‎, 0)‎，D(2, ‎3‎‎2‎)‎，‎B(4, 0)‎ ‎∴ FM＝‎2-‎5‎‎4‎=‎‎3‎‎4‎，DM=‎‎3‎‎5‎‎4‎，BM=‎‎11‎‎4‎，BD=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴ DF＝‎2MF，‎ ‎∵ OC＝‎2OE，‎ ‎∴ tan∠OCE＝tan∠MDF=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴ ‎∠OCE＝‎∠MDF，‎ ‎∴ ‎∠OCP＝‎∠MDB，‎ ‎∴ ‎∠ECG＝‎∠FDB，‎ ‎∴ tan∠ECG＝tan∠FDB=‎‎4‎‎3‎，‎ ‎∵ EC=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴ EG=‎‎2‎‎5‎‎3‎，可得G(‎11‎‎6‎, ‎2‎‎3‎)‎，‎ ‎∴ 直线CP的解析式为y=-‎2‎‎11‎x+1‎，‎ 由y=-‎2‎‎11‎x+1‎y=-‎1‎‎4‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x+1‎‎ ‎，解得x=0‎y=0‎‎ ‎或x=‎‎41‎‎11‎y=‎‎39‎‎121‎‎ ‎，‎ ‎∴ P(‎41‎‎11‎, ‎39‎‎121‎)‎，‎ ‎∴ PC=‎‎41‎‎5‎‎11‎，‎ 当MDCQ‎=‎BDCP或MDPC‎=‎BDCQ时，‎△QCP与‎△MDB相似，可得CQ=‎‎615‎‎242‎或‎2050‎‎363‎，‎ ‎∴ Q(0, -‎373‎‎242‎)‎或‎(0, -‎1687‎‎363‎)‎．‎ 如图‎3-2‎中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，‎∠QCP＝‎∠DMB时，设PC交x轴于k．‎ ‎∵ tan∠OCK＝tan∠DMB＝‎2‎，‎ ‎∴ OK＝‎2OC＝‎2‎，‎ ‎∴ 点K与F重合，‎ ‎∴ 直线PC的解析式为y=-‎1‎‎2‎x+1‎，‎ 由y=-‎1‎‎2‎x+1‎y=-‎1‎‎4‎x‎2‎+‎3‎‎4‎x+1‎‎ ‎，解得x=0‎y=1‎‎ ‎或x=5‎y=-‎‎3‎‎2‎‎ ‎，‎ ‎∴ P(5, -‎3‎‎2‎)‎，‎ ‎∴ PC=‎‎5‎‎5‎‎2‎，‎ 当DMPC‎=‎BMCQ或DMCQ‎=‎BMPC时，‎△QCP与‎△MDB相似，可得CQ=‎‎55‎‎6‎或‎75‎‎22‎，‎ ‎∴ Q(0, -‎49‎‎6‎)‎或‎(0, -‎53‎‎22‎)‎．‎ ‎ 12 / 12‎ 当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，‎∠QCP＝‎∠DBM时，同法可得P(‎25‎‎3‎, -‎91‎‎9‎)‎，Q(0, -‎257‎‎18‎)‎或‎(0, ‎1151‎‎99‎)‎，‎ 当点Q在点C上方，‎∠QCP＝‎∠DMB时，同法可得P(1, ‎3‎‎2‎)‎，Q(0, ‎17‎‎6‎)‎或‎(0, ‎37‎‎22‎)‎，‎ 当点Q在点C上方，‎∠QCP＝‎∠MDB时，同法可得P(‎25‎‎11‎, ‎171‎‎121‎)‎，Q(0, ‎617‎‎242‎)‎或‎(0, ‎1613‎‎363‎)‎，‎ 当点Q在点C下方，点P在y轴的左侧时，‎∠QCP＝‎∠DBM时，同法可得P(-‎7‎‎3‎, -‎19‎‎9‎)‎，Q(0, -‎59‎‎18‎)‎或‎(0, -‎251‎‎99‎)‎．‎ ‎ 12 / 12‎