初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第七章 图形变化考点突破34锐角三角函数和解直角三角形 23页

考点跟踪突破 34 　锐角三角函数和解直角三角形 一、选择题 ( 每小题 5 分 ， 共 25 分 ) 1 ． ( 2014· 滨州 ) 在 Rt △ ACB 中 ， ∠ C ＝ 90 ° ， AB ＝ 10 ， sin A ＝ 3 5 ， cos A ＝ 4 5 ， tan A ＝ 3 4 ， 则 BC 的长为 ( ) A ． 6 B ． 7.5 C ． 8 D ． 12.5 A 2 ． ( 2014· 威海 ) 如图 ， 在下列网格中 ， 小正方形的边长均 为 1 ， 点 A ， B ， O 都在格点上 ， 则 ∠ AOB 的正弦值是 ( ) A . 3 10 10 B . 1 2 C . 1 3 D . 10 10 D 3 ． ( 2014· 凉山州 ) 在 △ ABC 中 ， 若 | cos A － 1 2 | ＋ ( 1 － tan B ) 2 ＝ 0 ， 则 ∠ C 的度数是 ( ) A ． 45 ° B ． 60 ° C ． 75 ° D ． 105 ° C 4 ． ( 2014· 苏州 ) 如图 ， 港口 A 在观测站 O 的正东方向 ， OA ＝ 4 km ， 某船从港口 A 出发 ， 沿北偏东 15 ° 方向航行 一段距离后到达 B 处 ， 此时从观测站 O 处测得该船位于 北偏东 60 ° 的方向 ， 则该船航行的距离 ( 即 AB 的长 ) 为 ( ) A ． 4 km B ． 2 3 km C ． 2 2 km D ． ( 3 ＋ 1 ) km C 5 ． ( 2014· 德州 ) 如图是拦水坝的横断面 ， 斜坡 AB 的水平 宽度为 12 米 ， 斜面坡度为 1 ∶ 2 ， 则斜坡 AB 的长为 ( ) A ． 4 3 米 B ． 6 5 米 C ． 12 5 米 D ． 24 米 B 二、填空题 ( 每小题 5 分 ， 共 25 分 ) 6 ． ( 2014· 温州 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90 ° ， AC ＝ 2 ， BC ＝ 1 ， 则 tan A 的值是 __ __ ． 7 ． ( 2013· 安顺 ) 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90 ° ， tan A ＝ 4 3 ， BC ＝ 8 ， 则 △ ABC 的面积为 __ __ ． 24 8 ． ( 2013· 杭州 ) 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90 ° ， AB ＝ 2BC ， 现给出下列结论： ① sin A ＝ 3 2 ； ② cos B ＝ 1 2 ； ③ tan A ＝ 3 3 ； ④ tan B ＝ 3 . 其中正确的是 ． ( 填序号 ) ②③④ 9 ． ( 2014 · 舟山 ) 如图 ， 在地面上的点 A 处测得树顶 B 的仰角为 α 度 ， AC ＝ 7 米 ， 则树高 BC 为 米． ( 用含 α 的代数式表示 ) 7 tan α 10 ． ( 2014· 宁波 ) 为解决停车难的问题 ， 在如图一段长 56 米的路段开辟停车位 ， 每个车位是长 5 米宽 2.2 米的矩形 ， 矩形的边与路的边缘成 45 ° 角 ， 那么这个路段最多可以 划出 ____ 个这样的停车位． ( 2 ≈ 1.4) 17 三、解答题 ( 共 50 分 ) 11 ． ( 10 分 ) ( 2014· 内江 ) “ 马航事件 ” 的发生引起了我国政府的高度 重视 ， 迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻 ． 如图 ， 在一次 空中搜寻中 ， 水平飞行的飞机观测得在点 A 俯角为 30 ° 方向的 F 点处有疑似飞机残骸的物体 ( 该物体视为静止 ) ． 为了便于观察 ， 飞 机继续向前飞行了 800 米到达 B 点 ， 此时测得点 F 在点 B 俯角为 45 ° 的方向上 ， 请你计算当飞机飞临 F 点的正上方点 C 时 ( 点 A ， B ， C 在同一直线上 ) ， 竖直高度 CF 约为多少米？ ( 结果保留整数 ， 参考 数值： 3 ≈ 1.7 ) 解： ∵ ∠ BCF ＝ 90 ° ， ∠ FBC ＝ 45 ° ， ∴ BC ＝ CF ， ∵∠ CAF ＝ 30 ° ， ∴ tan 30 ° ＝ CF AB ＋ BC ＝ CF CF ＋ AB ＝ CF 800 ＋ CF ＝ 3 3 ， 解 得 CF ＝ 400 3 ＋ 400 ≈ 400 × ( 1.7 ＋ 1 ) ＝ 1 080 ( 米 ) ． 答：竖直高 度 CF 约为 1 080 米 12 ． (10 分 ) ( 2014 · 宁波 ) 如图 ， 从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地 ， 图中 AC ＝ 10 千米 ， ∠ CAB ＝ 25° ， ∠ CBA ＝ 37° ， 因城市规划的需要 ， 将在 A ， B 两地之间修建一条笔直的公路． (1) 求改直的公路 AB 的长； 解： (1) 作 CH ⊥ AB 于点 H. 在 Rt △ ACH 中 ， CH ＝ AC · sin ∠ CAB ＝ AC· sin 25° ≈ 10 × 0.42 ＝ 4.2 千米 ， AH ＝ AC · cos ∠ CAB ＝ AC · cos 25° ≈ 10 × 0.91 ＝ 9.1 千米 ， 在 Rt △ BCH 中 ， BH ＝ CH÷ tan ∠ CBA ＝ 4.2÷ tan 37° ≈ 4.2÷0.75 ＝ 5.6 千米 ， ∴ AB ＝ AH ＋ BH ＝ 9.1 ＋ 5.6 ＝ 14.7 千米．故改直的公路 AB 的长 14.7 千米 (2) 问公路改直后比原来缩短了多少千米？ ( sin 25° ≈ 0.42 ， cos 25° ≈ 0.91 ， sin 37° ≈ 0.60 ， tan 37° ≈ 0.75) (2) 在 Rt △ BCH 中 ， BC ＝ CH÷ sin ∠ CBA ＝ 4.2÷ sin 37° ≈ 4.2÷0.6 ＝ 7 千米 ， 则 AC ＋ BC － AB ＝ 10 ＋ 7 － 14.7 ＝ 2.3 千米．答：公路改直后比原来缩短了 2.3 千米 13 ． (10 分 ) ( 2014· 遵义 ) 如图 ， 一楼房 AB 后有一假山 ， 其坡度 为 i ＝ 1 ∶ 3 ， 山坡坡面上 E 点处有一休息亭 ， 测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC ＝ 25 米 ， 与亭子距离 CE ＝ 20 米 ， 小丽从 楼房顶测得 E 点的俯角为 45 ° ， 求楼 房 AB 的高． ( 注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 ) 解： 解：过点 E 作 EF ⊥ BC 的延长线于点 F ， EH ⊥ AB 于点 H ， 在 Rt △ CEF 中 ， ∵ i ＝ EF CF ＝ 1 3 ＝ tan ∠ ECF ， ∴∠ ECF ＝ 30 ° ， ∴ EF ＝ 1 2 CE ＝ 10 米 ， CF ＝ 10 3 米 ， ∴ BH ＝ EF ＝ 10 米 ， HE ＝ BF ＝ BC ＋ CF ＝ (25 ＋ 10 3 ) 米 ， 在 Rt △ AHE 中 ， ∵∠ HAE ＝ 45 ° ， ∴ AH ＝ HE ＝ (25 ＋ 10 3 ) 米 ， ∴ AB ＝ AH ＋ HB ＝ (35 ＋ 10 3 ) 米． 答：楼房 AB 的高为 (35 ＋ 10 3 ) 米 14 ． (10 分 ) ( 2013 · 绍兴 ) 如图 ， 伞不论张开还是收紧 ， 伞柄 AP 始终平分同一平面内两条伞架所成的角 ∠ BAC ， 当伞收紧时 ， 点 D 与点 M 重合 ， 且点 A ， E ， D 在同一条直线上 ， 已知部分伞架的长度如下： ( 单位： cm ) 伞架 DE DF AE AF AB AC 长度 36 36 36 36 86 86 (1) 求 AM 的长； (2) 当 ∠ BAC ＝ 104° 时 ， 求 AD 的长． ( 精确到 1 cm ) 备用数据： sin 52° ≈ 0.7880 ， cos 52° ≈ 0.6157 ， tan 52° ≈ 1.2799. 解： (1) 由题意 ， 得 AM ＝ AE ＋ DE ＝ 36 ＋ 36 ＝ 72 ( cm ) ．故 AM 的长为 72 cm (2) ∵ AP 平分 ∠ BAC ， ∠ BAC ＝ 104 ° ， ∴∠ EAD ＝ 1 2 ∠ BAC ＝ 52 ° . 过点 E 作 EG ⊥ AD 于点 G ， ∵ AE ＝ DE ＝ 36 ， ∴ AG ＝ DG ， AD ＝ 2AG. 在 △ AEG 中 ， ∵∠ AGE ＝ 90 ° ， ∴ AG ＝ AE· cos ∠ EAG ＝ 36· cos 52 ° ＝ 36 × 0.615 7 ＝ 22.165 2 ， ∴ AD ＝ 2AG ＝ 2 × 22.165 2 ≈ 44 ( cm ) ． 故 AD 的长约为 44 cm 15 ． ( 10 分 ) ( 2013· 眉山 ) 如图 ， 某防洪指挥部发现长江边一 处长 500 米 ， 高 10 米 ， 背水坡的坡角为 45 ° 的防洪大堤 ( 横断面为梯形 ABCD ) 急需加固 ． 经调查论证 ， 防洪指挥 部专家组制定的加固方案是：背水 坡面用土石进行加固 ， 并使上底加宽 3 米 ， 加固后背水坡 EF 的坡比 i ＝ 1 ∶ 3 . (1) 求加固后坝底增加的宽度 AF ； (2) 求完成这项工程需要土石多少立方米？ ( 结果保留根号 )