13年4月松江中考数学二模试题 10页

2013 年松江区初中毕业生学业模拟考试 数学试卷 （满分 150 分，完卷时间 100 分钟） 2013.4 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．下列各运算中，正确的运算是（ ） （A） 523  ； （B） 623 4)2( aa  ； （C） 326 aaa  ； （D） 9-)3-( 22 aa  ． 2．用换元法解方程 13 23  x x x x 时，可以设 x xy 3 ，那么原方程可以化为（ ） （A） 02y2  y ； （B） 012  yy ； （C） 0122  yy ； （D） 022  yy ． 3．数据 10、5、7、12、10、8 的众数和中位数分别是（ ） （A）10，9； （B）10，8； （C）8，10； （D）10，10． 4．已知 a >b ，下列关系式中一定正确的是（ ） （A） a > b ； （B） a2 < b2 ； （C） a2 < b2 ； （D） 2a > ab ． 5．现有两根木棒，它们的长度分别是 5dm 和 8dm．如果不改变木棒的长度，要钉成一个三 角形的木架，那么在下列四根木棒中应选取（ ） （A）3dm 长的木棒；（B）8dm 长的木棒；（C）13dm 长的木棒；（D）16dm 长的木棒． 6．下列命题正确的是（ ） （A）一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形； （B）两条对角线相等的四边形是矩形； （C）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形； （D）四条边相等的四边形是正方形． 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7.计算： 23 = ． 8.因式分解：  24 a ． 9.方程 112 x 的根是 ． 10.在函数 xy 3 的图像所在的每个象限中， y 的值随 x 的值增大而 ．（增大或减小） 11.如果关于 x 的一元二次方程 02  mxx 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围 是 ． 12.将抛物线 2xy  向右平移 1 个单位，所得新的抛物线的表达式 为 ． 13.一个不透明的口袋中，装有红球 4 个，白球 8 个，黑球 3 个， 这些 球除颜色不同外没有任何区别，从中任意摸出一个球， 则摸到黑 球的概率为 ． 14.为了解九年级学生体能情况，随机抽查了其中的 40 名学生，测试了 1 分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图的频数分布直方图，则仰卧 起坐的次数在 20～25 次之间的频率是 ． 15.已知斜坡的坡度为 5:1i ，如果这一斜坡的高度为 2 米，那么这一 斜坡的水平距离为 米． 16.已知⊙O1 和⊙O2 外切，O1O2=8，⊙O1 的半径分别为 5，则⊙O2 的 半径为 ． 17.如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，点 E、F 分别是 AB、DC 的中点， aAD  ， bEF  ，那么 BC ．（用 a 、b 表示）． 18.三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心．边长为 2 的等边三角形 的垂心到这个三角形各顶点之间的距离之和为___________． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 先化简，再求值： )1 11(44 2 2   aaa aa ，其中 2a ． A B E D C F (第 17 题图) 人数 次数 4 8 16 15 20 25 30 35 （每组可含最低值，不含最高值） （第 14 题图） 20．（本题满分 10 分） 解方程组：      02 6-2 22 yxyx yx 21．(本题满分 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分) 如图，已知在△ ABC 中， AC＝15，AB=25，sin∠CAB= 5 4 ，以 CA 为半径的⊙C 与 AB、BC 分别交于点 D、E，联结 AE，DE． （1）求 BC 的长； （2）求△ AED 的面积． A D E C B （第 21 题图） 22．（本题满分 10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分） 声音在空气中传播的速度 y（米／秒）（简称音速）是气温 x（℃）（ 0≤x≤30）的一次函数．下 表列出了一组不同气温时的音速： 气温 x（℃） …… 5 10 15 20 …… 音速 y（米/秒） …… 334 337 340 343 …… （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）小明在距烟花燃放地点 503.7 米处看到烟花燃放 1.5 秒后才听到声响，求此时的气温． 23.（本题满分 12 分，每小题 6 分） 如图，已知在△ ABC 中，∠BAC=90，AB=AC，点 D 在边 BC 上，以 AD 为边作正方形 ADEF，联结 CF，CE． （1）求证：FC⊥BC； （2）如果 BD=AC，求证：CD=CE． 24．（本题满分 12 分，第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分） F E D C A B （第 23 题图） 已知抛物线 cbxxy  2 经过点 A（0，1)，B (4，3)． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求 tan∠ABO 的值； （3）过点 B 作 BC⊥ x 轴，垂足为 C，在对称轴的左侧且平行于 y 轴的直线交线段 AB 于点 N，交抛物线于点 M，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点 M 的坐标． 25．（本题满分 14 分，第（1）小题 3 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 6 分） A B o x y （第 24 题图） 如图，已知在 Rt△ ABC 中，∠BAC=90°，AB=4，点 D 在边 AC 上，△ ABD 沿 BD 翻折， 点 A 与 BC 边上的点 E 重合，过点 B 作 BG∥AC 交 AE 的延长线于点 G，交 DE 的延长线于 点 F． (1) 当∠ABC=60°时，求 CD 的长； (2) 如果 AC=x，AD=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数定义域； (3) 联结 CG，如果∠ACB=∠CGB，求 AC 的长． 2013 年松江区初中毕业生学业模拟考试数学参考答案及评分标准 E A D G F B C （第 25 题图） 2013.4 一、选择题 1、B ； 2、D； 3、A； 4、C； 5、B； 6、C． 二、填空题 7、 9 1 ； 8、  aa  22 ； 9、 1x ； 10、减小； 11、m ＞ 4 1 ； 12、 2)1(  xy ； 13、 5 1 ； 14、 10 3 ； 15、10； 16、3； 17、 ab 2 ； 18、 32 ． 三、解答题 19．解: 原式= 1 2 )1( )2( 2    a a aa a ……………………………………………………………6 分 = 2 1 )1( 2 2    a a aa a ）（ ……………………………………………………………1 分 = a a 2 ………………………………………………………………………1 分 当 2a 时， 21 2 222  a a ………………………………………2 分 20．解：由②得 0,02  yxyx …………………………………………………………4 分原 方程组化为      02 62 yx yx ，      0 62 yx yx …………………………………………2 分 解得           2 2 2 4 2 2 1 1 y x y x ……………………………………………………4 分 21．解：（1）过点 C 作 CH⊥AB，垂足为 H， 在 Rt△CHA 中，sin∠CAB= 5 4AC CH …………………………………………………………1 分 ∵AC=15，∴CH=12 ……………………………………………………………………………1 分 ∴ AH=9 …………………………………………………………………………………………1 分 ∵AB=25， ∴HB=16，∴BC= 2022  HBCH …………………………………………1 分 (2) 过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F， ∵EF⊥AB, CH⊥AB，∴EF∥CH………………………………………………………………1 分 ∴ BC BE CH EF  ……………………………………………………………………………………1 分 ∵BE=BC-CE=20-15=5 ，∴ 20 5 12 EF ，∴EF=3……………………………………………1 分 在⊙C 中，CH⊥AB，CH 过圆心，∴AD=2AH=18……………………………………………2 分 ∴ 273182 1 2 1  EFADS AED ……………………………………………………1 分 22. 解：（1）设一次函数的关系式为 y=kx+b(k≠0) …………………………………………1 分 ∵一次函数的图像过点（5，334），（10，337） 得      331 5 3 b k ………………………………………………………4 分 ∴ 解 ∴ 3315 3  xy ………………………………………………………………………………1 分 （2）由题意得： 7.5035.1)3315 3( x …………………………………………………2 分 解得 x=8 …………………………………………………………………………………1 分 答：此时的气温为 8℃．………………………………………………………………………1 分 23.证明： (1)∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90° ……………………………………1 分 ∵四边形 ADEF 是正方形，∴∠DAF=90°，AD=AF ………………………………………1 分 ∴∠DAC+∠CAF=90°,∴∠BAD=∠CAF……………………………………………………1 分 ∵AB=AC ，∴△ABD≌△ACF ………………… ……………………………………………1 分 ∴∠B=∠ACF ………………… ………………………………………………………………1 分 ∵∠B+∠ACB=90°，∴∠ACF+∠ACB=90°，即∠BCF=900 ∴FC⊥BC ………………………………………………………………………………………1 分 (2) ∵△ABD≌△ACF,∴BD=FC………………………………………………………………1 分 又∵BD= AC, ∴AC=FC ………………………………………………………………………1 分 ∴∠CAF=∠CFA ………………………………………………………………………………1 分 ∵∠DAF=∠EFA=90°，∴∠DAC=∠EFC……………………………………………………1 分 又∵AD=FE，∴△ADC≌△FEC………………………………………………………………1 分 ∴CD=CE ………………………………………………………………………………………1 分 24. 解：（1）∵抛物线 cbxxy  2 经过点 A（0，1)，B(4，3). 所以      3416 1 cb c …………………………………………………………………1 分      33710 3345 bk bk 解得      1 2 9 c b ………………………………………………………………………………1 分 ∴抛物线的解析式为 12 92  xxy ………………………………………………………1 分 (2)过点 B 作 y 轴的垂线，垂足为 H，过点 A 作 AG⊥BO，垂足为 G ∵A（0，1)，B(4，3)，∴OA=1,OB=5 ………………………………………………………1 分 ∵ BHAOAGBOS ABO  2 1 2 1 ，∴ 412 152 1  AG ，∴AG= 5 4 ………1 分 ∴OG= 5 3 ，∴BG= 5 22 …………………………………………………………………………1 分 ∴tan∠ABO= 11 2BG AG ………………………………………………………………………1 分 为 )0(  kbkxy （3）∵设直线 AB 的解析式 解得      1 2 1 /b k ， 将 A（0，1)，B(4，3)代入得 ∴直线 AB 的解析式为 12 1  xy ……………………………………………………………1 分 设 M )12 9,( 2  mmm ，N )12 1,( mm ，MN= )12 1(12 92  mmm ……………1 分 ∵四边形 MNCB 为平行四边形，∴MN=BC=3，∴ )12 1(12 92  mmm =3 解得 3,1 21  mm ……………………………………………………………………………1 分 ∵抛物线的对称轴为直线 4 9x ，直线 MN 在抛物线对称轴的左侧 ……………………1 分 ∴ 1m ，∴M )2 9,1( ……………………………………………………………………………1 分 25.解：（1）在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°, ∠ABC=60°，∵AB=4， ∴ 34AC …………………………………………………………………………………1 分 由翻折得∠ABD=30°，得 3 34AD …………………………………………………………1 分 ∴CD= 3 38 ……………………………………………………………………………………1 分 (2) 由翻折得∠BED=∠BAD=90°，∴∠CED=90°，∴∠CED=∠CAB 又∵∠DCE=∠DCE，∴△ CED∽△CAB………………………………………………………1 分      / / 43 1 bk b ∴ CB CD AB DE  ，∵ yADxAC  , ，∴ yxDC  ，∵ 4AB 216 xBC  …………………………………………………………………………………1 分 ∵DE=AD=y， 2164 x yxy   …………………………………………………………………1 分 ∴ )0(16164 2  xx xy …………………………………………………………2 分 (3)过点 C 作 CH⊥BG，垂足为 H ∵BG∥AC，∴ ∠ACB=∠CBG，∵∠ACB=∠CGB，∴∠CBG=∠CGB， ∴CB=CG…………………………………………………………………………………………1 分 ∴BH=HG=AC=x，∴BG=2x，…………………………………………………………………1 分 ∵AE⊥BD，∴∠ADB+∠DAE=∠DAE+∠BAG=90°， ∴∠ADB=∠BAG ………………………………………………………………………………1 分 又∵∠BAC=∠ABG=90°,△ ABD∽△BGA ∴ BG AB AB AD  ……………………………………………………………………………………1 分 ∴ x y 2 4 4  ，∴ xy 8 …………………………………………………………………………1 分 ∵ x xy 16164 2  ， ∴ x x x 161648 2  ，解得 52x （负值已舍） 即 AC= 52 ……………………………………………………………………………………1 分