2020九年级数学下册 第2章 圆周角 6页

‎2.1圆的对称性 知|识|目|标 ‎1．通过观察生活中的圆形物体和自己画圆，理解圆的有关概念．‎ ‎2．通过测量比较，能判断点与圆的位置关系．‎ ‎3．在复习回顾中心对称与轴对称的基础上，理解圆的对称性.‎ 目标一　理解圆的有关概念 例1 教材补充例题下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤长度相等的弧是等弧．其中错误的说法有(　　)‎ A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 例2 教材补充例题如图2－1－1所示，已知CD是⊙O的直径，∠EOD＝78°，点A在DC的延长线上，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．‎ 图2－1－1‎ ‎【归纳总结】圆中容易混淆的两组基本概念：‎ ‎(1)弦与直径：‎ ‎①直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径；‎ ‎②弦是连接圆上任意两点的线段，但直径是经过圆心的弦．‎ ‎(2)弧与半圆：‎ ‎①半圆是弧，但弧不一定是半圆；‎ ‎②圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧叫作半圆. ‎ 6‎ 目标二　能判断点与圆的位置关系 例3 教材补充例题2017·陕西模拟⊙O的半径为5，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，2)，则点P与⊙O的位置关系是(　　)‎ A．点P在⊙O内 B．点P的⊙O上 ‎ C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外 ‎【归纳总结】判断点与圆的位置关系的方法：‎ ‎(1)判断点与圆的位置关系的“三步法”：①连接该点和圆心；②计算该点与圆心之间的距离d；③依据圆的半径r与d的大小关系得出结论．‎ ‎(2)点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径的关系，这是从形到数的认识；反过来，也可以通过点到圆心的距离与半径的关系来判断点与圆的位置关系，这是从数到形的认识．‎ 目标三　理解圆的对称性 例4 教材补充例题在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明(　　)‎ A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心 ‎ B．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴 ‎ C．圆的直径互相平分 ‎ D．直径是圆内最长的弦 ‎【归纳总结】圆的对称性：‎ ‎(1)轴对称性：圆是对称轴最多的轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，或者说过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．‎ ‎(2)中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．事实上圆绕着圆心旋转任意角度都能和自身重合，圆的这一性质也称为圆的旋转不变性．‎ 知识点一　圆的定义 圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形，这个定点叫作圆心，定长叫作半径．圆也可以看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，定点叫作圆心，定点与动点的连线段叫作半径．‎ 知识点二　点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则点与圆的三种位置关系和d与r的大小关系的对应关系如下表：‎ 点与圆 的位置 关系 图形表示 点到圆心的距离 d与半径r的关系 点在 圆内 点P在⊙O内⇔d＜r 6‎ 点在 圆上 点P在⊙O上⇔d＝r 点在 圆外 点P在⊙O外⇔d>r ‎[注意] 符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．‎ 知识点三　圆的有关概念 ‎1．弦、直径 弦：连接圆上任意两点的______叫作弦．‎ 直径：经过______的弦叫作直径．‎ 直径是圆中______的弦．‎ ‎2．弧、半圆、优弧、劣 弧：圆上任意________的部分叫作圆弧，简称弧．‎ 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．‎ 劣弧：小于半圆的弧是劣弧．‎ 优弧：大于半圆的弧是优弧．‎ ‎3．弦与弧的区别：‎ 弦 弧 定义 连接圆上任意两点的线段叫作弦 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧 表示 用线段形式表示，如CD 用符号“⌒”表示，如 区分 弦与直径的关系 弧与半圆的关系 ‎4．把能够重合的两个圆叫作______，把能够互相重合的弧叫作______．‎ 知识点四　圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆又是中心对称图形，______是它的对称中心．‎ ‎[点拨] “直径是圆的对称轴”这一说法是错误的，因为对称轴都是直线，而直径是线段．‎ ‎1．判断正误：‎ ‎(1)弦是直径；(　　)‎ ‎(2)半圆是弧；(　　)‎ ‎(3)长度相等的弧是等弧；(　　)‎ ‎(4)经过圆内一点可以作无数条直径．(　　)‎ ‎2．若一个点到一个圆的最短距离为‎4 cm，最长距离为‎8 cm，则这个圆的半径为________．‎ 答案：6 cm 以上答案是否正确？若不正确，请给出正确的答案．‎ 6‎ 6‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　[解析] C　根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径确定了，只能说明圆的大小确定了，但是位置没有确定；直径是弦，但弦不一定是直径；能够互相重合的弧叫作等弧，所以①③⑤的说法是错误的．‎ 例2　[解析] 已知∠EOD＝78°，与∠A构成了内、外角的关系，而∠E的度数也未知，且AB＝OC这一条件不能直接使用，因此想到同圆的半径相等，需作半径OB，从而得到OB＝AB.‎ 解：如图，连接OB.‎ ‎∵AB＝OC，OB＝OC，‎ ‎∴AB＝OB，‎ ‎∴∠A＝∠1.‎ 又∵OB＝OE，‎ ‎∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A，∴∠DOE＝∠E＋∠A＝3∠A.‎ 而∠DOE＝78°，‎ ‎∴3∠A＝78°，‎ ‎∴∠A＝26°.‎ 例3　A 例4　[解析] B　根据将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合，显然说明了圆的轴对称性．‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] ‎ 知识点三　1.线段　圆心　最长 ‎2．两点间　4.等圆　等弧 知识点四　圆心 ‎[反思] 1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎[解析] 直径是弦，但弦不一定是直径，故(1)不正确；弧包括半圆、优弧和劣弧，故(2)正确；等弧是能够重合的弧，故(3)不正确；经过圆内一点只能作一条直径或无数条直径(圆内一点正好是圆心)，故(4)不正确．‎ 反思：要切实去掌握弦、直径、弧、等弧等各种概念的包含关系与成立条件．‎ ‎2．不正确．当点P在⊙O内时(如图①)，此时PA＝‎4 cm，PB＝‎8 cm，AB＝‎12 cm，因此圆的半径为‎6 cm；‎ 当点P在⊙O外时(如图②)，此时PA＝4 cm，PB＝8 cm，直线PB过圆心O，直径AB＝PB－PA＝8－4＝4(cm)，因此圆的半径为2 cm.‎ 所以这个圆的半径为6 cm或2 cm.‎ 6‎ 图①　　　　　　　　　　图②‎ 反思：在没有图形的情况下要进行分类讨论．‎ 6‎