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- 2021-11-11 发布
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课时作业(二十)
[28.2.2 第1课时 解直角三角形在实际中的一般应用]
一、选择题
1.2017·益阳如图K-20-1,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC互相垂直,∠CAB=α,则拉线BC的长度为(点A,D,B在同一条直线上)( )
图K-20-1
A. B. C. D.h·cosα
2.2017·温州如图K-20-2,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=,则小车上升的高度是( )
图K-20-2
A.5米 B.6米
C.6.5米 D.12米
3.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图K-20-3,旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C=α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为( )
7
图K-20-3
A.米 B.米
C.米 D.米
4.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图K-20-4所示的位置,其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=135°,AB=AE=1.3米,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(栏杆宽度忽略不计,参考数据:≈1.4)( )
图K-20-4
图K-20-5
5.在课题学习后,同学们为教室窗户设计一个遮阳篷,小明同学绘制的设计图如图K-20-6所示,其中AB表示窗户,且AB=2.82米,△BCD表示直角遮阳篷,已知当地一年中午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°,最大夹角β为66°,根据以上数据,计算出遮阳篷中CD的长约是(结果精确到0.1米,参考数据:sin18°≈0.31,tan18°≈0.32,sin66°≈0.91,tan66°≈2.25)( )
图K-20-6
A.1.2米 B.1.5米 C.1.9米 D.2.5米
二、填空题
6.如图K-20-7,为测量河宽AB(假设河的两岸平行),在点C处测得∠ACB=30°,在点D处测得∠ADB=60°,且CD=60 m,则河宽AB为________m(结果保留根号).
7
图K-20-7
7.某电动车厂新开发的一种电动车如图K-20-8所示,它的大灯A射出的光线AB,AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°,大灯A与地面的距离为1 m,则该车大灯照亮地面的宽度BC约是________m.(不考虑其他因素,结果精确到0.1 m,参考数据:sin8°≈0.14,tan8°≈0.14,sin10°≈0.17,tan10°≈0.18)
图K-20-8
8.如图K-20-9,秋千链子的长度OA=3 m,静止时秋千踏板处于A位置.此时踏板距离地面0.3 m,秋千向两边摆动.当踏板处于A′位置时,摆角最大,即∠AOA′=50°,则踏板在A′位置时,与地面的距离约为________m.(sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,结果精确到0.01 m)
图K-20-9
三、解答题
9.如图K-20-10是某小区的一个健身器材示意图,已知BC=0.15 m,AB=2.7 m,∠BOD=70°,求端点A到底面CD的距离(精确到0.1 m).
(参考数据:sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)
图K-20-10
10.2017·安徽如图K-20-11,游客在点A处坐缆车出发,沿A—B—D的路线可至山顶D处,假设AB和BD都是直线段,且AB=BD=600 m,α=75°,β=45°,求DE的长.
(参考数据:sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,≈1.41)
图K-20-11
7
11.某广场的旗杆AB旁边有一个半圆的时钟模型,如图K-20-12所示,时钟的9点和3点的刻度线刚好和地面重合,半圆的半径为2米,旗杆的底端A到钟面9点处刻度C的距离为5米.一天李华同学观察到阳光下旗杆顶端B的影子刚好投到钟面11点的刻度上,同时测得1米长的标杆的影长为1.6米.
(1)计算时钟的时针从9点转到11点时的旋转角是多少度;
(2)求旗杆AB的高度(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732).
图K-20-12
转化思想2017·凉山州如图K-20-13,若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯,路灯的灯臂BC长2米,且与灯柱AB成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直,当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好,此时,路灯的灯柱AB的高应该设计为多少米(结果保留根号)?
图K-20-13
7
详解详析
[课堂达标]
1.[解析] B ∵∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠CAD=∠BCD.
在Rt△BCD中,∵cos∠BCD=,
∴BC==.
故选B.
2.A 3.A
4.[解析] B 如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EH⊥AG于点H,
则∠EHG=∠HEF=90°.
∵∠AEF=135°,
∴∠AEH=∠AEF-∠HEF=45°,∠EAH=45°.
在△EAH中,∠EHA=90°,∠EAH=45°,AE=1.3米,
∴EH=AE·sin∠EAH=1.3×≈1.3×0.7=0.91(米).
∵AB=1.3米,
∴AB+EH≈1.3+0.91=2.21≈2.2(米).
5.[解析] B 设CD的长为x米,在Rt△BCD中,∠BDC=α=18°.
∵tan∠BDC=,
∴BC=CD·tan∠BDC≈0.32x.
在Rt△ACD中,∠ADC=β=66°.
∵tan∠ADC=,
∴AC=CD·tan∠ADC≈2.25x.
∵AB=AC-BC,
∴2.82≈2.25x-0.32x,解得x≈1.5.
6.[答案] 30
[解析] ∵∠ACB=30°,∠ADB=60°,
∴∠CAD=30°,
∴AD=CD=60 m.
在Rt△ABD中,AB=AD·sin∠ADB=60×=30 (m).
7.[答案] 1.6
[解析] 过点A作AD⊥MN于点D,如图所示.
由题意可得,AD=1 m,∠ABD=8°,∠ACD=10°,∠ADC=∠ADB=90°,
∴BD=≈≈7.14(m),
CD=≈≈5.56(m),
∴BC=BD-CD=7.14-5.56≈1.6(m).
8.[答案] 1.37
[解析] 如图,过点A′作A′D⊥OA于点D,A′C垂直地面于点C,延长OA交地面于点B,
7
则四边形BCA′D为矩形,
∴A′C=DB.
∵∠AOA′=50°,且OA=OA′=3 m,
∴在Rt△OA′D中,OD=OA′·cos∠AOA′≈3×0.643≈1.929(m).
又∵AB=0.3 m,∴OB=OA+AB=3.3 m,
∴A′C=DB=OB-OD≈3.3-1.929≈1.37(m).
9.[解析] 过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,构造Rt△ABF,运用解直角三角形的知识求出AF,进而求出AE得出结果.
解:过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥AE于点F,如图所示.
∵OD⊥CD,∠BOD=70°,∴AE∥OD,∴∠A=∠BOD=70°.
在Rt△ABF中,AB=2.7 m,
∴AF=AB·cosA·2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918(m),
∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1(m).
答:端点A到底面CD的距离约是1.1 m.
10.[解析] 分别在Rt△ABC和Rt△BDF中,运用解直角三角形的知识求得BC和DF的近似值,再根据线段的和差求DE.
解:在Rt△ABC中,∵cosα=,
∴BC=AB·cosα≈600×0.26=156(m);
在Rt△BDF中,∵sinβ=,
∴DF=BD·sinβ=600×=300 ≈300×1.41=423(m).
又EF=BC,
∴DE=DF+EF≈423+156=579(m).
11.解:(1)时钟的时针从9点转到11点转过2个大格,则旋转角的度数为2×30°=60°.
(2)如图,过点D作DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,设半圆圆心为O,连接OD.
∵点D在11点的刻度上,∴∠COD=60°,
∴DE=OD·sin60°=2×=(米),
OE=OD·cos60°=2×=1(米),
∴CE=2-1=1(米),
∴DF=AE=5+1=6(米).
∵同时测得1米长的标杆的影长为1.6米,
∴=,
7
∴BF==(米),
∴AB=BF+DE=+≈5.5(米).
答:旗杆AB的高度约为5.5米.
[素养提升]
解:如图,延长OC,AB交于点P.
∵∠ABC=120°,∴∠PBC=60°.
∵∠OCB=90°,∴∠P=30°.
∵AD=20米,∴OA=AD=10米.
∵BC=2米,
∴在Rt△CPB中,PC=BC·tan60°=2 米,PB=2BC=4米.
∵∠P=∠P,∠PCB=∠A=90°,
∴△PCB∽△PAO,∴=,
∴PA===10 (米),
∴AB=PA-PB=(10 -4)米.
答:路灯的灯柱AB的高应该设计为(10 -4)米.
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