• 1.65 MB
  • 2021-11-11 发布

人教版中考数学二轮复习专题练习上二次函数与相切

  • 32页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
二次函数与相切 ‎1.如图,抛物线经过点,和,点是轴上的一个动点,连接,取的中点,将线段绕点顺时针旋转得线段,连接、、.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)当为何值时,点在此抛物线上;‎ ‎(3)在点运动过程中,是否存在为等腰三角形?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(4)在点运动过程中,若以为直径的圆与直线相切,直接写出的值.‎ 解析:(1)设该抛物线的解析式为,把代入 得,解得 ‎∴,即 ‎(2)分别过点、作轴的垂线,‎ 垂足为、‎ ‎∵,∴‎ ‎∵,∴‎ 又∵,∴‎ ‎∴,即 ‎∴,,∴‎ 把点坐标代入抛物线的解析式,得 整理得:,‎ 解得:或 ‎∴当或时,点在此抛物线上 ‎(3)存在 ‎∵,,‎ ‎∴,‎ 若,则,解得 ‎∴,‎ 若AB=BC,‎ 则 解得,∴‎ 若,则,解得 ‎∴,‎ ‎(4)或 提示:设的中点为,过点作轴,交于,作于 ‎∵,,∴,,‎ ‎∵,,∴‎ ‎∴,,,‎ ‎∴,‎ 由,‎ 得 ‎∴‎ ‎∵,∴‎ 又∵,∴‎ ‎∴,即,∴‎ ‎∵以为直径的圆与直线相切,∴‎ ‎∴‎ 整理得:,解得:或 ‎2.如图,在平面直角坐标系中,点、点,四边形是矩形,以点为圆心的过点,点从点出发,沿以每秒个单位的速度运动,设运动时间为秒.‎ ‎(1)当为何值时,与相切?‎ ‎(2)当直线将的周长分成的两部分时,求的值;‎ ‎(3)直线为的垂直平分线,垂足为.当点在、上运动时,是否存在点,使直线与相切?若存在,求的值;若不存在,说明理由.‎ 解析:‎ ‎(1)设与相切于点,连接 则,∴‎ 由得:‎ ‎∴,∴‎ ‎∴当时,与相切 ‎(2)‎ 设直线交于、,与轴交于另一点 连接、、、,作于 ‎∵直线将的周长分成的两部分 ‎∴,∴‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ 设,则 ‎∵,‎ ‎∴‎ 又,∴‎ ‎∴,∴‎ 整理得:‎ 解得:(舍去),‎ ‎∴‎ 由得:‎ ‎∴,∴‎ 即 ‎(3)‎ 设直线与相切于点 i)当点在上时,连接,‎ 直线与轴相交于点 设,,则,‎ 由得:‎ 即①‎ 由得:‎ 即②‎ 由①②得:,即,代入②并整理得:‎ ‎,解得:(舍去),‎ ‎∴‎ 即 ii)‎ 当点在上时,则四边形是矩形 ‎∴,∴‎ ‎∴‎ 综上所述,当或时,直线与相切 ‎3.矩形内接于,将沿翻折,点落在上点处,连接.‎ ‎(1)如图1,判断四边形的形状,并说明理由;‎ ‎(2)如图2,是的切线,切点是,交的延长线于点.动点从点出发,以的速度沿射线的方向运动,以点为圆心,长为半径作圆,设点运动的时间为(秒).若的直径为,.‎ ‎①当为何值时,与直线相切;‎ ‎②根据与线段公共点的个数,直接写出相应的的值或取值范围.‎ 解析:(1)四边形是等腰梯形,理由如下:‎ 连接 由题意,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,∴‎ ‎∴,∴四边形是等腰梯形 ‎(2)‎ ‎①设与直线相切于点,连接 则 ‎∵的直径为,∴‎ 易证,∴‎ 设,则 在中,‎ 解得,∴,,‎ ‎∵是的切线,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴,∴,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∴‎ ‎∵,∴,解得 ‎∴当秒时,与直线相切 ‎②当与线段公共点的个数是个时,或 当与线段公共点的个数是个时,‎ 当与线段公共点的个数是个时,‎ ‎4.如图,直线与轴交于点,与轴交于点,直线与轴正半轴交于点,与轴负半轴交于点,且,.点为线段上的一个动点,过点作轴的平行线分别交直线、于点、.‎ ‎(1)设线段的长为,求与之间的函数关系式;‎ ‎(2)当时,求点的坐标;‎ ‎(3)是否存在点,使得过、、三点的圆与x轴相切?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.‎ 解析:‎ ‎(1)在中,令,得 ‎∴,‎ ‎∵,∴‎ ‎∵直线与轴正半轴交于点,‎ 与轴负半轴交于点 ‎∴,‎ 设直线的解析式为,把代入 ‎,∴‎ ‎∴直线的解析式为 在中,当时,‎ 在中,当时,‎ ‎∴‎ ‎(2)设线段的中点为,以为斜边向上作等腰 以为圆心,长为半径作 ‎∵,∴过点 ‎∴,∴‎ 由(1)知,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴整理得:‎ 解得:(舍去),‎ ‎∴点的坐标为 ‎(3)假设存在 设过、、三点的圆为 显然圆心是线段的中垂线和线段的中垂线的交点 由题意,,∴‎ ‎∴,是等腰直角三角形 ‎∴线段的中垂线过点 设线段的中垂线交轴于,直线的解析式为 ‎∵,∴‎ ‎∴,代入,得 ‎∴直线的解析式为 设线段的中点为,与轴相切于点 由(2)知 把代入,得 ‎∴‎ 由,得 整理得:,解得:,(舍去)‎ ‎∴存在点,使得过、、三点的圆与x轴相切 ‎5.如图,抛物线交轴于点,,交轴于点,将抛物线沿轴翻折得抛物线.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)在的对称轴上找出点,使点到点的对称点及两点的距离差最大,并说出理由 ‎(3)平行于轴的一条直线交抛物线于、两点,若以为直径的圆恰与轴相切,求此圆的半径.‎ 解析:‎ ‎(1)由题意知,抛物线上的点、、关于轴的对称点为,,‎ 设的解析式为 则∴‎ ‎∴l1的解析式为 ‎(2)的对称轴为,在直线上,故 当点与点、点不在一直线上时,中,当点与点、点在一直线上时,这些线段间关系为:‎ 故此时点到、两点的距离差最大 设的解析式为,将代入上式得 ‎∴直线的解析式为 而直线和直线的交点即为 由得 ‎∴即为所求 ‎(3)‎ 设,,所求圆的半径为,由图可知 ‎∵对称轴为,∴‎ 由得,即 将代入的解析式 得,即 ‎∵圆与轴相切,∴‎ 当时,,解得,(舍去)‎ 当时,,解得,(舍去)‎ 故所求的圆有两个,在轴上方的圆半径为,在轴下方的圆半径为 ‎6.已知过原点的两条直线与圆心为,半径为的圆相切,切点分别为、,交轴于点,抛物线经过、两点,顶点为,且与轴交于、两点.‎ ‎(1)求点的坐标;‎ ‎(2)求抛物线解析式;‎ ‎(3)直线与抛物线交于不同的两点、,当该直线与相切时,求点、、、围成的多边形的面积(结果保留根号).‎ 解析:(1)∵直线与相切于、‎ ‎∴,‎ ‎∵,,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎(2)‎ 设抛物线解析式为,把点代入得:‎ ‎,∴‎ ‎∴抛物线解析式为 ‎(3)令,解得,‎ ‎∴,,∴‎ 当直线与相切时,‎ 令,解得,x2=2‎ ‎∴,,∴‎ ‎∴‎ ‎7.已知抛物线()恒过定点、(在的左侧).‎ ‎(1)求、两点的坐标;‎ ‎(2)点在直线下方的抛物线上,当面积的最大值为时,求抛物线的解析式;‎ ‎(3)若经过点的始终与轴相切,设,求与的函数关系式,并求点到点距离的最小值.‎ 解析:(1)‎ ‎∵‎ 对于任意实数,当时,;当时,‎ ‎∴抛物线恒过定点和 ‎∵在的左侧,∴,‎ ‎(2)设直线的解析式为 ‎∴解得 ‎∴直线的解析式为 过点作轴,交直线于点 设,则 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎∵面积的最大值为 ‎∴‎ 解得 ‎∴抛物线的解析式为 ‎(3)‎ ‎∵,,‎ 过点且与轴相切 ‎∴,∴‎ 即 设点到点的距离为 则 ‎∴的最小值为 ‎∴的最小值为 ‎8.如图,在平面直角坐标系中,和是两个全等的直角三角形,,,直角边、在轴上,点的坐标为,抛物线经过、、三点,与轴的另一个交点为 ‎.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)点为线段上一动点(不与、重合),过点作轴的平行线交抛物线于点,连接、,当四边形为等腰梯形时,求点的坐标;‎ ‎(3)在抛物线的段上(包括点)是否存在点,使既与轴相切,又与直线相交?若存在,求点横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.‎ 解析:(1)∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵抛物线经过点 ‎∴,∴‎ ‎∵抛物线过、两点 ‎∴解得,‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎(2)‎ 设直线的解析式为 ‎∴,∴,∴‎ 设,则 作于,于 ‎∵四边形为等腰梯形,∴‎ ‎∴,∴‎ ‎∴或 当时,,∴‎ 此时点与点重合,不能形成等腰梯形 当时,,∴‎ ‎∴当四边形为等腰梯形时,点的坐标为 ‎(3)‎ 作的平分线交CD于,交抛物线于,作于,则 设,则 ‎∵,,∴‎ 易证,∴‎ ‎∴,∴,∴‎ 易得直线的解析式为 令,解得(舍去),‎ ‎∵既与轴相切,又与直线相交 ‎∴点横坐标的取值范围为:‎ ‎9.如图,直线与抛物线交于、两点,抛物线的对称轴与轴交于点.‎ ‎(1)证明直线过定点,并求出点的坐标;‎ ‎(2)当时,证明是等腰直角三角形;‎ ‎(3)对于任意的实数,是否都存在一条固定的直线与以为直径的圆相切?若存在,请求出该直线的解析式;若不存在,请说明理由.‎ 解析:(1)∵‎ ‎∴当时,‎ ‎∴直线过定点 ‎(2)‎ 当时,直线 交点、的坐标符合方程组:‎ 解得 ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∵,,∴‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴是等腰直角三角形 ‎(3)存在一条固定的直线与以为直径的圆相切,此直线即轴,解析式是 理由如下:‎ 交点、的坐标符合方程组:‎ ‎∴‎ 即 ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 即以为直径的圆的半径为 ‎∵的中点是,即 ‎∴以为直径的圆的圆心坐标为 ‎∵圆心到轴的距离等于圆的半径 ‎∴存在定直线与以为直径的圆相切,此直线即轴,解析式是 ‎10.如图,已知抛物线与坐标轴分别交于、、三点,过坐标原点的直线与抛物线交于、两点.分别过点、作平行于轴的直线、.‎ ‎(1)求抛物线对应二次函数的解析式;‎ ‎(2)求证以为直径的圆与直线相切;‎ ‎(3)求线段的长(用表示),并证明、两点到直线的距离之和等于线段的长.‎ 解析:(1)设抛物线对应二次函数的解析式为 把、、三点坐标代入得 解得 ‎∴‎ ‎(2)‎ 设,,∵点、在抛物线上 ‎∴,,∴‎ 又∵,∴‎ ‎∵,∴‎ 设的中点,分别过点、向直线作垂线,垂足为、‎ 则,∴‎ 即的中点到直线的距离等于长度的一半 ‎∴以为直径的圆与直线相切 ‎(3)过点作交于点 则 又∵,,∴‎ ‎∴‎ ‎∵点、既在的图象上又在抛物线上 ‎∴,即,解得 ‎∴,∴‎ ‎∴‎ 延长交于点,过点作于点 则 又∵‎ ‎∴‎ 即、两点到距离之和等于线段的长