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- 2021-11-11 发布
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二次函数与相切
1.如图,抛物线经过点,和,点是轴上的一个动点,连接,取的中点,将线段绕点顺时针旋转得线段,连接、、.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当为何值时,点在此抛物线上;
(3)在点运动过程中,是否存在为等腰三角形?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由;
(4)在点运动过程中,若以为直径的圆与直线相切,直接写出的值.
解析:(1)设该抛物线的解析式为,把代入
得,解得
∴,即
(2)分别过点、作轴的垂线,
垂足为、
∵,∴
∵,∴
又∵,∴
∴,即
∴,,∴
把点坐标代入抛物线的解析式,得
整理得:,
解得:或
∴当或时,点在此抛物线上
(3)存在
∵,,
∴,
若,则,解得
∴,
若AB=BC,
则
解得,∴
若,则,解得
∴,
(4)或
提示:设的中点为,过点作轴,交于,作于
∵,,∴,,
∵,,∴
∴,,,
∴,
由,
得
∴
∵,∴
又∵,∴
∴,即,∴
∵以为直径的圆与直线相切,∴
∴
整理得:,解得:或
2.如图,在平面直角坐标系中,点、点,四边形是矩形,以点为圆心的过点,点从点出发,沿以每秒个单位的速度运动,设运动时间为秒.
(1)当为何值时,与相切?
(2)当直线将的周长分成的两部分时,求的值;
(3)直线为的垂直平分线,垂足为.当点在、上运动时,是否存在点,使直线与相切?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
解析:
(1)设与相切于点,连接
则,∴
由得:
∴,∴
∴当时,与相切
(2)
设直线交于、,与轴交于另一点
连接、、、,作于
∵直线将的周长分成的两部分
∴,∴
∴,
∴
设,则
∵,
∴
又,∴
∴,∴
整理得:
解得:(舍去),
∴
由得:
∴,∴
即
(3)
设直线与相切于点
i)当点在上时,连接,
直线与轴相交于点
设,,则,
由得:
即①
由得:
即②
由①②得:,即,代入②并整理得:
,解得:(舍去),
∴
即
ii)
当点在上时,则四边形是矩形
∴,∴
∴
综上所述,当或时,直线与相切
3.矩形内接于,将沿翻折,点落在上点处,连接.
(1)如图1,判断四边形的形状,并说明理由;
(2)如图2,是的切线,切点是,交的延长线于点.动点从点出发,以的速度沿射线的方向运动,以点为圆心,长为半径作圆,设点运动的时间为(秒).若的直径为,.
①当为何值时,与直线相切;
②根据与线段公共点的个数,直接写出相应的的值或取值范围.
解析:(1)四边形是等腰梯形,理由如下:
连接
由题意,,
∵,
∴,∴
∴,∴四边形是等腰梯形
(2)
①设与直线相切于点,连接
则
∵的直径为,∴
易证,∴
设,则
在中,
解得,∴,,
∵是的切线,∴
∵,∴
∴,∴,∴
∴,∴
∴
∵,∴,解得
∴当秒时,与直线相切
②当与线段公共点的个数是个时,或
当与线段公共点的个数是个时,
当与线段公共点的个数是个时,
4.如图,直线与轴交于点,与轴交于点,直线与轴正半轴交于点,与轴负半轴交于点,且,.点为线段上的一个动点,过点作轴的平行线分别交直线、于点、.
(1)设线段的长为,求与之间的函数关系式;
(2)当时,求点的坐标;
(3)是否存在点,使得过、、三点的圆与x轴相切?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.
解析:
(1)在中,令,得
∴,
∵,∴
∵直线与轴正半轴交于点,
与轴负半轴交于点
∴,
设直线的解析式为,把代入
,∴
∴直线的解析式为
在中,当时,
在中,当时,
∴
(2)设线段的中点为,以为斜边向上作等腰
以为圆心,长为半径作
∵,∴过点
∴,∴
由(1)知,,,
∴,
∴
∴
∴整理得:
解得:(舍去),
∴点的坐标为
(3)假设存在
设过、、三点的圆为
显然圆心是线段的中垂线和线段的中垂线的交点
由题意,,∴
∴,是等腰直角三角形
∴线段的中垂线过点
设线段的中垂线交轴于,直线的解析式为
∵,∴
∴,代入,得
∴直线的解析式为
设线段的中点为,与轴相切于点
由(2)知
把代入,得
∴
由,得
整理得:,解得:,(舍去)
∴存在点,使得过、、三点的圆与x轴相切
5.如图,抛物线交轴于点,,交轴于点,将抛物线沿轴翻折得抛物线.
(1)求的解析式;
(2)在的对称轴上找出点,使点到点的对称点及两点的距离差最大,并说出理由
(3)平行于轴的一条直线交抛物线于、两点,若以为直径的圆恰与轴相切,求此圆的半径.
解析:
(1)由题意知,抛物线上的点、、关于轴的对称点为,,
设的解析式为
则∴
∴l1的解析式为
(2)的对称轴为,在直线上,故
当点与点、点不在一直线上时,中,当点与点、点在一直线上时,这些线段间关系为:
故此时点到、两点的距离差最大
设的解析式为,将代入上式得
∴直线的解析式为
而直线和直线的交点即为
由得
∴即为所求
(3)
设,,所求圆的半径为,由图可知
∵对称轴为,∴
由得,即
将代入的解析式
得,即
∵圆与轴相切,∴
当时,,解得,(舍去)
当时,,解得,(舍去)
故所求的圆有两个,在轴上方的圆半径为,在轴下方的圆半径为
6.已知过原点的两条直线与圆心为,半径为的圆相切,切点分别为、,交轴于点,抛物线经过、两点,顶点为,且与轴交于、两点.
(1)求点的坐标;
(2)求抛物线解析式;
(3)直线与抛物线交于不同的两点、,当该直线与相切时,求点、、、围成的多边形的面积(结果保留根号).
解析:(1)∵直线与相切于、
∴,
∵,,∴,
∴,
∴
(2)
设抛物线解析式为,把点代入得:
,∴
∴抛物线解析式为
(3)令,解得,
∴,,∴
当直线与相切时,
令,解得,x2=2
∴,,∴
∴
7.已知抛物线()恒过定点、(在的左侧).
(1)求、两点的坐标;
(2)点在直线下方的抛物线上,当面积的最大值为时,求抛物线的解析式;
(3)若经过点的始终与轴相切,设,求与的函数关系式,并求点到点距离的最小值.
解析:(1)
∵
对于任意实数,当时,;当时,
∴抛物线恒过定点和
∵在的左侧,∴,
(2)设直线的解析式为
∴解得
∴直线的解析式为
过点作轴,交直线于点
设,则
∴
∴
=
∵面积的最大值为
∴
解得
∴抛物线的解析式为
(3)
∵,,
过点且与轴相切
∴,∴
即
设点到点的距离为
则
∴的最小值为
∴的最小值为
8.如图,在平面直角坐标系中,和是两个全等的直角三角形,,,直角边、在轴上,点的坐标为,抛物线经过、、三点,与轴的另一个交点为
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点为线段上一动点(不与、重合),过点作轴的平行线交抛物线于点,连接、,当四边形为等腰梯形时,求点的坐标;
(3)在抛物线的段上(包括点)是否存在点,使既与轴相切,又与直线相交?若存在,求点横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.
解析:(1)∵,,
∴,
∴,
∵抛物线经过点
∴,∴
∵抛物线过、两点
∴解得,
∴抛物线的解析式为
(2)
设直线的解析式为
∴,∴,∴
设,则
作于,于
∵四边形为等腰梯形,∴
∴,∴
∴或
当时,,∴
此时点与点重合,不能形成等腰梯形
当时,,∴
∴当四边形为等腰梯形时,点的坐标为
(3)
作的平分线交CD于,交抛物线于,作于,则
设,则
∵,,∴
易证,∴
∴,∴,∴
易得直线的解析式为
令,解得(舍去),
∵既与轴相切,又与直线相交
∴点横坐标的取值范围为:
9.如图,直线与抛物线交于、两点,抛物线的对称轴与轴交于点.
(1)证明直线过定点,并求出点的坐标;
(2)当时,证明是等腰直角三角形;
(3)对于任意的实数,是否都存在一条固定的直线与以为直径的圆相切?若存在,请求出该直线的解析式;若不存在,请说明理由.
解析:(1)∵
∴当时,
∴直线过定点
(2)
当时,直线
交点、的坐标符合方程组:
解得
∴,
∴
∵,,∴
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形
(3)存在一条固定的直线与以为直径的圆相切,此直线即轴,解析式是
理由如下:
交点、的坐标符合方程组:
∴
即
∴,
∴
∴
即以为直径的圆的半径为
∵的中点是,即
∴以为直径的圆的圆心坐标为
∵圆心到轴的距离等于圆的半径
∴存在定直线与以为直径的圆相切,此直线即轴,解析式是
10.如图,已知抛物线与坐标轴分别交于、、三点,过坐标原点的直线与抛物线交于、两点.分别过点、作平行于轴的直线、.
(1)求抛物线对应二次函数的解析式;
(2)求证以为直径的圆与直线相切;
(3)求线段的长(用表示),并证明、两点到直线的距离之和等于线段的长.
解析:(1)设抛物线对应二次函数的解析式为
把、、三点坐标代入得
解得
∴
(2)
设,,∵点、在抛物线上
∴,,∴
又∵,∴
∵,∴
设的中点,分别过点、向直线作垂线,垂足为、
则,∴
即的中点到直线的距离等于长度的一半
∴以为直径的圆与直线相切
(3)过点作交于点
则
又∵,,∴
∴
∵点、既在的图象上又在抛物线上
∴,即,解得
∴,∴
∴
延长交于点,过点作于点
则
又∵
∴
即、两点到距离之和等于线段的长
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