九年级数学下册第26章概率初步章末小结与提升课时作业新版沪科版 8页

1 概率初步 章末小结与提升 概率初步 {事件{确定性事件{必然事件:在一定条件下,必然会发生的事件,P(A) = 1 不可能事件:在一定条件下,必然不会发生的事件,P(A) = 　0　 随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,0 < P(A) < 1 概率{定义:刻画一随机事件发生可能性大小的数值 公式:在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其 中的m种结果,则P(A) = 　m n　 求法{用列举法求概率{列表法 画树状图法 用频率估计概率:利用多次重复试验,通过统计试验结果去估算概率 类型 1　必然事件、不可能事件、随机事件 典例 1　下列说法中不正确的是 (　　) A.抛掷一枚硬币,硬币落地时正面朝上是随机事件 B.把 4 个球放入三个抽屉中,其中一个抽屉中至少有 2 个球是必然事件 C.任意打开九年级下册数学教科书,正好是 97 页是确定事件 D.一只盒子中有白球 m 个,红球 6 个,黑球 n 个(每个球除了颜色外都相同),如果从中任取一 个球,取得的是红球的概率与不是红球的概率相同,那么 m 与 n 的和是 6 【解析】事件分为确定事件和不确定事件,确定事件分为必然事件和不可能事件.本题的易错 点在于把随机事件当作确定事件,从而错选. 【答案】 C 【针对训练】 1.下列事件是必然事件的是 (A) A.地球绕着太阳转 B.抛一枚硬币,正面朝上 2 C.明天会下雨 D.打开电视,正在播放新闻 2.下列事件:①随意翻到一本书的某页,这页的页码是奇数;②测得北京某天的最高气温是 100 ℃;③掷一次骰子,向上一面的数字是 2;④度量四边形的内角和,结果是 360°.其中是随 机事件的是　①③　.(填序号) 类型 2　概率的计算 典例 2　一袋中装有形状大小都相同的四个小球,每个小球上各标有一个数字,分别 是 1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数;然后将小球 放回袋中搅拌均匀,再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数. (1)写出按上述规定得到所有可能的两位数; (2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于 4 且小于 7 的概率. 【解析】(1)用列表分析所有可能的结果: 　　个 位 十位　　 1 4 7 8 1 1 1 1 4 1 7 1 8 4 4 1 4 4 4 7 4 8 7 7 1 7 4 7 7 7 8 8 8 1 8 4 8 7 8 8 则所得的所有可能的两位数为:11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88. (2)算术平方根大于 4 且小于 7 的共 6 个,分别为 17,18,41,44,47,48,则所求概率 P= 6 16 = 3 8. 【针对训练】 3 1.某校安排三辆车,组织八年级学生开展“合肥工业游”活动,其中方圆和吴敏同学都可以选 三辆车中的任何一辆搭乘,他们乘坐同一辆车的概率是 (B) A.1 4 B.1 3 C.3 4 D.1 2 2.(安徽中考)如图,管中放置着三根同样的绳子 AA1,BB1,CC1. (1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子 AA1 的概率是多少? (2)小明先从左端 A,B,C 三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端 A1,B1,C1三个绳头中随机 选两个打一个结,求这三根绳子连接成一根长绳的概率. 解:(1)小明可选择的情况有 3 种,每种发生的可能性相等,恰好选中绳子AA1的情况只有 1 种, 所以小明恰好选中绳子 AA1 的概率 P=1 3. (2)画树状图如下: 其中左、右打结是相同字母(不考虑下标)的情况,不可能连结成为一根长绳, 所以能连结成为一根长绳的情况有 6 种: ①左端连 AB,右端连 A1C1 或 B1C1; ②左端连 BC,右端连 A1B1 或 A1C1; ③左端连 AC,右端连 A1B1 或 B1C1. 故这三根绳子连结成为一根长绳的概率 P=6 9 = 2 3. 类型 3　概率的实际应用 典例 3　“校园诗歌大赛”结束后,张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得 分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图的部分信息如下: 4 (1)本次比赛参赛选手共有　　　　人,扇形统计图中“69.5~79.5”这一组人数占总参赛人 数的百分比为　　　　; (2)赛前规定,成绩由高到低前 60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为 78 分,试判断 他能否获奖,并说明理由; (3)成绩前四名是 2 名男生和 2 名女生,若从他们中任选 2 人作为获奖代表发言,试求恰好选 中 1 男 1 女的概率. 【解析】(1)50;30%. (2)不能;由频数分布直方图可得“89.5~99.5”这一组人数为 12 人,12÷50=24%,则 79.5~89.5 和 89.5~99.5 两组占参赛选手的 60%,而 78<79.5,所以他不能获奖. (3)由题意得树状图如下: 由树状图知,共有 12 种等可能结果,其中恰好选中 1 男 1 女的结果共有 8 种,故 P= 8 12 = 2 3. 【针对训练】 1.小明和小红玩抛硬币游戏,连续抛两次.小明说:“如果两次都是正面,那么你赢;如果两次 是一正一反,则我赢.”小红赢的概率是 1 4　.据此判断该游戏　不公平　.(填“公平”或“不 公平”) 2.经过校园某路口的行人,可能左转,也可能直行或右转. 假设这三种可能性相同,现有小明 和小亮两人经过该路口,请用列表法或画树状图法,求两人之中至少有一人直行的概率. 解:依据题意,列表得: 5 　　小 亮 小明　　 左转 直行 右转 左转 (左转,左 转) (左转,直 行) (左转,右 转) 直行 (直行,左 转) (直行,直 行) (直行,右 转) 右转 (右转,左 转) (右转,直 行) (右转,右 转) 或画树状图得: 由表格(或树状图)可知,共有 9 种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,其中两人中 至少有一人直行的结果有 5 种:(左转,直行),(直行,左转),(直行,直行),(直行,右转),(右转, 直行), 所以 P(两人中至少有一人直行)=5 9. 类型 4　用频率估计概率 典例 4　在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20 个, 某学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重 复试验,下表是活动进行中的一组统计数据: 摸球次 数 n 100150200500800 100 0 摸到白 58 96 116295484 601 6 球 的次数 m 摸到白 球 的频率 m n 0.5 8 0.6 4 0.5 8 0.5 9 0.6 05 0.6 01 (1)请估计:当 n 很大时,摸到白球的频率将会接近　　　　.(精确到 0.1) (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个? (3)解决了上面的问题,小明同学猛然想起过去一个悬而未决的问题,这个问题是:在一个不 透明的口袋里装有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,如何估计白球的个数(可以借 助其他工具及用品)?请你运用统计与概率的思想和方法解决这个问题,写出解决这个问题的 主要步骤及估算方法. 【解析】(1)由表中数据可以看出,当摸球次数大于 500 时,摸到白球的频率稳定在 0.6 左右, 故当 n 很大时,摸到白球的频率约为 0.6. (2)白球有 20×0.6=12(个), 黑球有 20×0.4=8(个). (3)①标记:从口袋中摸出一定数目的白球做上标记,然后放回口袋中,充分搅匀; ②试验:进行多次摸球试验(每次摸出一个球,再放回),记录摸到标记球的次数,计算频率,由 频率估算概率; ③估算: 有标记球的个数 摸到有标记球的概率=白球总个数. 【针对训练】 1.在一个不透明的袋子中有 1 个红球,1 个绿球和 n 个白球,这些球除颜色外都相同. (1)从袋中随机摸出 1 个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,不断重复该试验,发现摸到白 球的频率稳定在 0.75,则 n 的值为　6　; (2)当 n=2 时,把袋中的球搅匀后任意摸出 2 个球,求摸出的 2 个球颜色不同的概率. 7 解:(2)任意摸出 2 个球,共有 12 种等可能的结果,即(红,绿),(红,白 1),(红,白 2),(绿, 红),(绿,白 1),(绿,白 2),(白 1,红),(白 1,绿),(白 1,白 2),(白 2,红),(白 2,绿),(白 2,白 1), 其中 2 个球颜色不同的结果有 10 种,则所求概率为5 6. 2.在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验,统计发芽种子数,获得如下频数表. 试验种子 n(粒) 15 50 100200500 100 0 200 0 300 0 发芽频数 m 14 45 92 188476 951 190 0 285 0 发芽频率m n 1 0.8 0 0.9 0 0.9 2 0.9 4 0.9 52 0.9 51 a b (1)计算表中 a,b 的值; (2)估计该麦种的发芽概率; (3)如果该麦种发芽后,只有 87%的麦芽可以成活,现有 100 千克麦种,则有多少千克的麦种可 以成活? 解:(1)a=1900÷2000=0.95,b=2850÷3000=0.95. (2)随着大量重复试验,发芽频率逐渐稳定在 0.95 附近,所以该麦种的发芽概率约为 0.95. (3)100×0.95×87%=82.65(千克). 3.4 件同型号的产品中,有 1 件不合格品和 3 件合格品. (1)从这 4 件产品中随机抽取 1 件进行检测,不放回,再随机抽取 1 件进行检测.请用列表法或 画树状图的方法,求两次抽到的都是合格品的概率;(解答时可用 A 表示 1 件不合格品,用 B,C,D 分别表示 3 件合格品) (2)在这 4 件产品中加入 x 件合格品后,进行如下试验:随机抽取 1 件进行检测,然后放回,多 次重复这个试验,通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在 0.95,则可以推算出 x 的值大约是多少? 解:(1) 8 共有 12 种情况,抽到的都是合格品的情况有 6 种, ∴P(两次抽到的都是合格品)= 6 12 = 1 2. (2)∵大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在 0.95, ∴抽到合格品的概率等于 0.95,∴x + 3 x + 4=0.95,解得 x=16.