2019年深圳中考数学试题（解析版） 17页

‎{来源}2019年深圳中考数学 ‎{适用范围:3． 九年级}‎ ‎{标题}2019年深圳市中考数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，合计36分． ‎ ‎{题目}1．（2019年深圳第1题）的绝对值是 A.-5   B.   C.5    D. ‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质，‎-‎‎1‎‎5‎的绝对值是‎1‎‎5‎，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-2-4]绝对值 }‎ ‎{考点:绝对值的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019年深圳第2题）下列图形中，是轴对称图形的是 A B C D ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，判断即可得出答案．因此本题选A ．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-13-1-1]轴对称}‎ ‎{考点:轴对称图形}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．（2019年深圳第3题）预计2025年，中国用户将超过460 000 000户。将数据460 000 000用科学计数法表示为：‎ A． B． C． D． ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}4．（2019年深圳第4题）下列哪个图形是正方体的展开图 A B C D ‎ ‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查正方体的展开图。选项B属于正方体的展开图中1-4-1型，A，C，D选项在折的过程中均有正方形重叠。因此本题选B ‎{分值}3‎ ‎ {章节:[1-4-1-2]点、线、面、体}‎ ‎{考点:几何体的展开图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019年深圳第5题）一组数：20，21，22，23，23，这组数的中位数和众数分别是 A．20，23 B．21，23 C．21，22 D． 22，23‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了中位数和众数，根据一组数据按照由小到大（或由大而小）的顺序排列，中间位置的数或者中间两个数据的平均数为这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据成为这组数据的众数，对各选项分析判断后即可得出答案．因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:中位数}{考点:众数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ 题7图 ‎{题目}6．（2019年深圳第6题）下列运算正确的是 A． B． C． D． ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查整式的运算，根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于每一个因式的乘方的积，对各选项分析判断后利用排除法求解．本题选C ‎{分值}3‎ ‎ {章节:[1-15-2-3]整数指数幂}‎ ‎{考点: 合并同类项}{考点:同底数幂的乘法}{考点: 幂的乘方}{考点:积的乘方 }‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ 图1‎ A B ‎{题目}7．（2019年深圳第7题）如图1，已知直线∥，直线交直线、于、B两点，AC为角平分线，则下列说法错误的是 A．∠1= ∠4 B．∠1= ∠5 ‎ C．∠2= ∠3 D． ∠1= ∠3‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，根据角平分线的性质，易得∠1= ∠2，根据平行线的性质，可得∠2= ∠3，∠2= ∠4，根据等量代换，可得∠1= ∠4，选项A，C，D正确。同时，∠1和∠5并不是平行线所截出的同位角，因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-3]平行线的性质}‎ ‎{考点:平行线的性质与判定}{考点:角平分线的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ 图2‎ ‎{题目}8．（2019年深圳第8题）如图2，已知△ABC中，AB=AC,AB=5,BC=3,以A、B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN，与AC相交于点D,则△BDC的周长为 A．8 B．10 ‎ C．11 D． 13 ‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了垂直平分线的作图知识判断出MN是AB的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质可得BD=AD，所以△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=3+5=8，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}‎ ‎{考点:垂直平分线的性质}{考点:与垂直平分线有关的作图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9．（2019年深圳）已知 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，‎ 则y＝ax＋bx 和 的图象为（ ）‎ A. B. ‎ ‎ ‎ C. D. ‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了反比例函数、一次函数和二次函数图象的性质，由于抛物线开口向下，因此a＜0，又由于对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可知a，b异号，所以b＞0．所以直线应该呈下降趋势，与y轴交于正半轴，又抛物线与y轴交于下半轴，因此c＜0，所以反比例函数经过二、四象限，因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数的系数与图象的关系}‎ ‎{考点:反比例函数的图象}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{题目}10．（2019年深圳）下面命题正确的是（ ）‎ A． 矩形对角线互相垂直 B． 方程x2 =14x的解为x=14‎ C．六边形内角和为540°‎ D． 一条斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了命题的真假问题，解答过程如下：‎ A.矩形的对角线应满足互相相等关系，故A命题错误；‎ B.方程x2=14x的解应是x=0或x=14，故B命题错误；‎ C.六边形内角和根据内角和公式应等于180°×（6-2）=720°，故C命题错误；‎ D.是全等判定定理中的“HL”定理，故D命题正确.‎ 因此本题答案是D.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-5-4] 命题、定理、证明}‎ ‎{考点:命题}{考点:矩形的性质}{考点:一元二次方程的解}{考点:多边形的内角和}‎ ‎{考点:全等三角形的判定HL}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{题目}11．（2019年深圳）定义一种新运算，例如，若，则m＝（ ）‎ A.－2 B.－ C.2 D. ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了负指数幂参与的计算问题，先根据定义，∴，∴，，因此本题答案是 ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}‎ ‎{考点:新定义}‎ ‎{考点:负指数参与的运算}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:新定义}‎ ‎{题目}12．（2019年深圳）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论正确的有几个（ ）‎ ‎①△BEC≌DAFC；‎ ‎②DECF为等边三角形；‎ ‎③∠AGE=∠AFC；‎ ‎④若AF=1,则 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎{答案} D ‎{解析}本题考查了菱形的性质，全等三角形判定与性质、一线三等角等有关的几何综合题.‎ ‎①选项：先由菱形的性质可知，AB=BC,∠BAC=∠CAD=60°，AD//BC，因此可得∠B=180°－∠BAD=60°，又AB=BC,∴△ABC是等边三角形，∴ BC=AC，又∠B=∠CAD=60°,BE=AF，∴△BEC≌DAFC，故正确；‎ ‎②选项：由①得EC=FC，∠BCE=∠ACF，∴∠ACF+∠ECG=∠BCE+∠ECG=∠BCA=60°，∴DECF为等边三角形，故正确；‎ ‎③选项：由②得∠CEF=60°，∴∠B=∠BAC=∠CEF=60°，∴∠AGE+∠AEG=∠AEG+∠BEC=120°，证得∠AGE=∠BEC，∴∠AGE=∠AFC，故正确；‎ ‎④选项：方法1：在△AEF中，由角平分，线定理得:,故正确；‎ 方法2：作EM//BC交AC于M点，则：易证△AEM是等边三角形，则EM=3，∴故正确；‎ 方法3：过点G分别向AE，AF作垂线，垂足为H，I，易证得△AHG≌DAIG，∴GH=GI，‎ 又∵BE=AF=1，∴AE=3，，设点A到EF距离为h，则，即，故正确.‎ 因此本题①②③④均正确，选D.‎ ‎ {分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{考点:几何选择压轴}{考点:与矩形菱形有关的综合题}‎ ‎{考点:全等三角形的性质}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:一线三等角}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3分，合计12分． ‎ ‎{题目}13．（2019年深圳）分解因式：____________________________.‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行分解，得到 ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解－提公因式法}‎ ‎{考点:因式分解－平方差}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{题目}14．（2019年深圳）现有8张同样的卡片，分别标有数字：1，1，2，2，2，3，4，5，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后从中随机抽出一张，抽到标有数字2的卡片的概率是____________.‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了一步事件的概率；共有8张，标有数字2的卡片总共有3张，因此本题答案是.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{考点:一步事件的概率}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{题目}15．（2019年深圳）如图，在正方形ABCD中，BE=1，将BC沿CE翻折，使B点对应点刚好落在对角线AC上，将AD沿AF翻折，使点D对应点刚好落在对角线AC上，求EF=_______________.‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了与正方形有关的折叠问题，先作FM⊥AB于点M，由折叠可知：EX=EB=AX=1，AE=，AM=DF=YF=1，∴正方形的边长AB=FM=，EM=,‎ M Y X ‎∴，因此本题答案是.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-18-2-3] 正方形}‎ ‎{考点:折叠问题}{考点:正方形的性质}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:高度原创}{类别:思想方法}‎ O y x A B ‎{题目}16．（2019年深圳）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，C（0，－3），CD=3AD，点A在反比例函数图象上，且y轴平分∠ACB，求k=______________.‎ C D ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数综合题，如图所示，作AE⊥x轴，由题意，可证△COD∽△AED，‎ ‎∵CD=3AD， C(0，－3)，∴AE=1，OD=3DE，设DE=x，则OD=3x，‎ ‎∵y轴平分∠ACB，∴BO=DO=3x，‎ ‎∵∠ABC=90°，AE⊥x轴，∴可证△CBO∽△BAE，则E ，‎ ‎∴，∴，因此本题答案为.‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图象和性质}‎ ‎{考点:双曲线与几何图形的综合}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{类别:高度原创}{类别:思想方法}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题(共7小题。第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分。共52分)‎ ‎{题目}17．（2019年深圳第17题）计算：-2cos600++(π-3.14)0‎ ‎{解析}本题考查了二次根式，600的余弦值，负指数幂和零指数幂．‎ ‎{答案}解原式=3 - 2×+ 8 + 1‎ ‎ =3-1+8+1‎ ‎ =11‎ ‎{分值}5‎ ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:算术平方根}‎ ‎{考点:余弦}‎ ‎{考点:负指数的定义}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{题目}18．（2019年深圳第18题）先化简，再将x= -1代入求值.‎ ‎{解析}本题考查了分式的加减、因式分解－完全平方公式、两个分式的乘除、分式的混合运算、通分、约分、分式的值。‎ ‎{答案}解：‎ ‎ 原式= ‎ ‎ =‎ ‎ = x+2‎ ‎ 当时x= - 1时，原式=x+2= - 1+2 = 1‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:因式分解－提公因式法}‎ ‎{考点:因式分解－完全平方}‎ ‎{考点:通分}‎ ‎{考点:约分}‎ ‎{考点:两个分式的加减}‎ ‎{考点:两个分式的乘除}‎ ‎{考点:分式的混合运算}‎ ‎{考点:分式的值}‎ ‎{题目}19．（2019年深圳第19题）某校为了了解学生对中国民族乐器的喜爱情况，随机抽取了本校的部分学生进行调查（每名学生选择并且只能选择一种喜爱的乐器），现将收集到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图 （1） 这次共抽取 名学生进行调查，扇形统计图中的x= ；‎ （2） 请补全统计图；‎ （3） 在扇形统计图中“杨琴”所对扇形的圆心角是 度 ；‎ （4） 若该校有3000名学生，请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 名。‎ ‎{解析}本题考查了条形统计图、扇形统计图以及由部分求总体和有总体求部分的运用．‎ ‎{答案}解：（1）80÷40％=200， x=30÷200×100％=15％‎ (2) 如上图所示：‎ (3) ‎×360=36‎ (4) ‎×3000=900 ‎ ‎{分值}7‎ ‎{章节:[1-10-1]统计调查}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:抽样调查}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{考点:扇形统计图}‎ ‎{考点:统计的应用问题}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共7小题，合计52分．‎ ‎{题目}20．（2019年深圳）（本小题满分8分）‎ G 图7‎ 如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC,施工队站在点D处看向B，测得仰角为45o.再由D走到E处测量，DE//AC,ED=500米，测得仰角为53o,求隧道BC的长.(sin53o≈,cos53o≈,tan53o≈)‎ ‎{解析}本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，会准确地选择合适的锐角三角函数求线段的长．(1)根据仰角为45o这个已知条件可证得ΔABD是等腰直角三角形,从而可求出AB的长；(2)作EG⊥AC可得到矩形ADEG，求出EG长为600米，在RtΔCGE中，利用53o角的正切值即可求出CG的长，从而利用线段的和差关系求得BC的长.‎ ‎{答案}解：过点E作EG⊥AC，交AC于点G.‎ 由题意可知，∠ADB= 45o,∠CEG= 53o ‎∵AD⊥BC ∴∠BAD= 90o ‎∴∠ABD=90o-∠ADB=90o- 45o=45o ‎∴∠ABD= ∠ADB=45o ∴AB=AD=600米 ‎∵DE//AC ∴∠ADE=180o- 90o=90o ‎∵EG⊥AC ∴∠EGA= 90o ‎∴四边形ADEG是矩形 ‎∴EG=AD=600米, AG=DE=500米 ‎∴BG=AB-AG=600-500=100米 在RtΔCEF中，‎ ‎∴CG=tan53oEG≈=800‎ ‎∴BC=CG-BG=800-100=700米 答：隧道BC的长为700米.‎ ‎{分值}8分 ‎{章节:[1-28-3]锐角三角函数}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{考点:等腰直角三角形}‎ ‎{考点:矩形的性质}‎ ‎{考点:矩形的判定}‎ ‎{考点:正切}‎ ‎{考点:三角函数的关系}‎ ‎{题目}21．（2019年深圳）（本小题满分8分）‎ 现在A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A发电厂焚烧20‎ 吨垃圾比B发电厂焚烧30吨垃圾少发1800度电.(1)求焚烧一吨垃圾，A、B两个发电厂各发电 多少度？(2)A、B两个发电厂供焚烧90吨垃圾，且A发电厂焚烧的垃圾不多于B发电厂焚烧垃 圾的两倍，试问，当A、B两个发电厂总发电量最大时，A、B两个发电厂的发电量各为多少 度？‎ ‎{解析}本题考查了二元一次方程组应用题，以及二元一次方程组的解法，一次函数应用题的 最值问题，利用一次函数的增减性求函数最大值.(1)此题的第一小题可以选择设两个未知数，‎ 从而建立二元一次方程组的方法来求得焚烧一吨垃圾A、B两个发电厂各发电多少度；也可 以只设一个未知数，通过解一元一次方程来解决实际问题;(2)第二小题的难点在于怎样计算 A、 B两个发电厂总发电量，解决这个问题的关键是设A发电厂焚烧x吨垃圾，这样就可以用 含x的式子表示出总发电量y了.题中还涉及了最大值的问题，因此需要用到一次函数的增减性来确定x的取值，从而可以分别求出A、B两个发电厂的发电量.‎ ‎{答案}解：(1)设每焚烧一吨垃圾，A发电厂发电a吨，B发电厂发电b吨.‎ ‎ 根据题意得：‎ ‎ 解得 ‎ 答：每焚烧一吨垃圾，A发电厂发电300吨，B发电厂发电260吨.‎ ‎(2)设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧(90-x)吨垃圾，总发电量为y吨.‎ ‎ 根据题意得：‎ ‎ y=300x+260(90-x)=40x+23400‎ ‎ ∵ A发电厂焚烧的垃圾不多于B发电厂焚烧垃圾的两倍 ‎∴x ≤ 2(90-x) 解得x ≤ 60‎ ‎ ∵k=40>0‎ ‎∴y随x的增大而增大 ‎∴当x=60时，总发电量y取最大值，最大值y=40×60+23400=25800度 此时A发电厂的发电量为：300×60=18000度 B发电厂的发电量为：260×30=7800度 ‎ 答：当A、B两个发电厂总发电量最大时，A发电厂的发电量为18000度，‎ B发电厂的发电量为7800度.‎ ‎{分值}8分 ‎{章节:[1-8-3]实际问题与二元一次方程组}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{考点:简单的列二元一次方程组应用题}‎ ‎{考点:其他一次函数的综合题}‎ ‎{考点:一次函数的性质}‎ ‎{题目}22．如图抛物线经y=ax2+bx+c过点A（一I, 0），点C(O，3），且OB=OC.‎ ‎（1）或抛物线的解析式及其对称轴：‎ ‎（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值.‎ ‎（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．‎ ‎{解析}本题考查了二次函数与轴对称，三角形面积的相关知识，比如 给与坐标轴的三个点求二次函数的解析式；通过作轴对称求两条线段的距离之和最短，从而求四边形的最短周长；通过把三角形面积之比转化为相关线段（底和高）之比，求得线段长度及点的坐标。整体综合性强，难度适中。‎ ‎（1）由OB=OC，求得点B的坐标，由待定系数法求抛物线解析式；‎ ‎（2）四边形ACDE已有两条边AC、DE的长度是固定不变的，要想周长最短，只需要CD+AE之和最短即可，CD、AE在抛物线的对称轴x=1的同侧，所以可以通过轴对称，和构造平行四边形，根据“两点之间，线段最短”，将两条线段的和转化为一条线段的长度；‎ ‎（3）存在性问题，可根据△ACP和△BCP的面积之比为3∶5或5∶3，分两种情况讨论，每种情况下都可以用底和高表示三角形的面积，由此得到直线CP的解析式，然后与抛物线解析式联立，即可求出点P 坐标.‎ ‎{答案}解： （1）∵OB=OC，C（0，3）‎ ‎∴B（3，0）‎ 把A(-1，0)，B（3，0），C（0,3）代入y=ax‎2‎+bx+c中，得 c=3‎a-b+c=0‎‎9a+3b+c=0‎‎ 解得：‎a=-1‎b=2‎c=3‎ ‎∴二次函数的解析式为y=-x‎2‎+2x+3‎ 图22-1‎ ‎（2）如图22-1，把点C沿y轴向下平移1个单位长度，得到点C‎，‎‎(0,2)‎ ‎∵DE=1且DE∥‎CC‎，‎ ‎∴四边形CC‎，‎ED为平行四边形，‎CD=C‎，‎E ‎∵直线x=1为抛物线的对称轴，点A、B关于直线x=1对称 连接C‎，‎B交直线x=1于点E，‎ ‎∴BE=AE，此时AE+CD=BE+C‎，‎E=BC‎，‎，根据两点之间，线段最短，得BC‎，‎为AE+CD之和的最小值，BC‎，‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎‎13‎，‎ 又∵AC=‎1+‎‎3‎‎2‎=‎‎10‎，DE=1‎ ‎∴四边形CAED的周长的最小值为‎13‎‎+‎‎10‎+1.‎ ‎（3）设直线CP与x轴的交点为点Q,点P的坐标为（x，y）‎ 过点P作PH⊥x轴于点H,‎ ‎∴‎S‎△ACP‎=S‎△ACQ+S‎△APQ=‎1‎‎2‎AQ∙OC+‎1‎‎2‎AQ∙PH ‎=‎1‎‎2‎∙AQ∙‎‎3-y ‎∴‎S‎△BCP‎=S‎△BCQ+S‎△BPQ=‎1‎‎2‎BQ∙OC+‎1‎‎2‎BQ∙PH ‎=‎1‎‎2‎∙BQ∙‎‎3-y H 图22-2‎ Q ‎∵直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，下面分两种情况谈论：‎ ① 当S‎△ACP‎:S‎△BCP=3:5‎时，即 ‎1‎‎2‎‎∙AQ∙‎‎3-y‎1‎‎2‎‎∙BQ∙‎‎3-y‎=‎3‎‎5‎ ‎得AQBQ‎=‎‎3‎‎5‎ ‎∵AB =4，∴AQ=‎3‎‎2‎ ∴‎Q(‎1‎‎2‎，0)‎ 设直线CQ的解析式为y=kx+b 得‎1‎‎2‎k+b=0‎b=3‎ 解得k=-6‎b=3‎ ∴直线CQ的解析式为y=-6x+3‎ 又∵点P为直线CQ与抛物线的交点 联立y=-6x+3‎y=-x‎2‎+2x+3‎ 解得x=8‎y=-45‎ 或x=0‎y=3‎（舍）‎ ‎∴点P的坐标为（8,-45）‎ ② 当S‎△ACP‎:S‎△BCP=5:3‎时，即 ‎1‎‎2‎‎∙AQ∙‎‎3-y‎1‎‎2‎‎∙BQ∙‎‎3-y‎=‎5‎‎3‎ ‎得AQBQ‎=‎‎5‎‎3‎ ‎∵AB =4，∴AQ=‎5‎‎2‎ ∴‎Q(‎3‎‎2‎，0)‎ 设直线CQ的解析式为y=kx+b 得‎3‎‎2‎k+b=0‎b=3‎ 解得k=-2‎b=3‎ ∴直线CQ的解析式为y=-2x+3‎ 又∵点P为直线CQ与抛物线的交点 联立y=-2x+3‎y=-x‎2‎+2x+3‎ 解得x=4‎y=-5‎ 或x=0‎y=3‎（舍）‎ ‎∴点P的坐标为（4,-5）‎ 综上所述，点P的坐标为（8，-45）或（4，-5）.‎ ‎{分值}9‎ ‎{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}‎ ‎{难度: 4-较高难度} ‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}‎ ‎{考点:线段公理}‎ ‎{考点:三角形的面积}‎ ‎{考点:最短路线问题}‎ ‎{考点:平移的性质}‎ ‎{题目}23．如图，在平面直角坐示系中，点、、,以线段BC为直径作圆，圆心为点,线段AC交⊙于点D,连接OD.‎ ‎ (1)求证：直线OD是⊙的切线；‎ ‎（2）点F为轴上的一个动点，连接CF交⊙于点G，连接BG.‎ ‎ ① 当时，直接写出所有符合条件的点F的坐标 ‎ 备用图 图11‎ 图10‎ ‎② 试求的最大值；‎ ‎{解析}本题考查了圆、三角函数、相似、勾股定理的相关知识。所涉及的方法有：数形结合、分类讨论、方程思想。‎ ‎（1）连接DE、DB,证∠EDB=∠EBD, ∠ODB=∠OBD,从而得到∠EDO=∠EBO=90°,即可证明切线。‎ ‎（2）问题①分两种情况：点F位于AB上；点F位于BA的延长线上求解。本题的关键是求AF的长度，将角度的正切值转化为线段比去对应求解，故应把∠ACF放在直角三角形中，过点F1作F1N⊥AC,利用三角函数及相似求出AF长度即可。‎ ‎ 问题②最值问题最好是利用相似比例问题去转化，会减少计算量；此题如果用代数解法，则对同学们的计算能力要求高些，或利用高中的相关公式（倍角公式或基本不等式）进行秒杀也是可以的。‎ ‎{答案}‎ ‎（1）证明：连接DE、DB，则：‎ ‎∵BC为直径 ‎∴∠BDC=90°‎ ‎∴∠BDA=90°‎ ‎∵OA=OB ‎∴OD=OB=OA ‎∴∠OBD=∠ODB ‎∵EB=ED ‎∴∠EBD=∠EDB ‎∴∠EBD+∠OBD=∠EDB+∠ODB 即: ∠EBO=∠EDO ‎∵CB⊥x轴 ‎∴∠EBO=90°‎ ‎∴∠EDO=90°‎ ‎∵D点在OE上 ‎∴直线OD是⊙的切线 ‎（2）如图1，当F位于AB上时：‎ x y D G F1‎ E C B O A N 图1‎ 作F1N⊥AC于点N，‎ ‎∵△ANF1∽△ABC ‎∴‎ ‎∴设AN=3x,则N F1=4x, AF1=5x ‎∴CN=CA-AN=10-3x ‎∴‎ 解得：‎ ‎∴‎ D O G C E B A x y F2‎ M 图2‎ 即 如图2，当F位于BA的延长线上时：‎ ‎∵△AMF2∽△ABC ‎∴设AM=3x,则MF2=4x, AF2=5x ‎∴CM=CA+AM=10+3x ‎∴‎ 解得：‎ ‎∴AF2=5x=2‎ OF2=3+2=5‎ 即 F2 (5,0)‎ ‎ ‎ ‎(3)方法1：‎ ‎△CBG∽△CFB ‎∴‎ 令 当时，‎ 此时 方法2：‎ M x y C E B F O G ‎.‎ 如图，作GM⊥BC于点M,‎ ‎∵∠MBG+∠BCG=∠CFB+∠BCG ‎∴∠MBG=∠CFB ‎∴△MBG∽△BFC ‎∴‎ ‎(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)‎ ‎∵MG≤半径=4‎ ‎∴‎ ‎∴的最大值为 方法3：‎ ‎∵BC为直径 ‎∴∠CGB=∠CBF=90°‎ ‎∴∠CBG=∠CFB(记为a,其中0°