2019年浙江衢州中考数学试题（解析版） 17页

‎{来源}2019年衢州中考数学试卷 ‎{适用范围:3.九年级}‎ ‎{标题}2019年浙江省衢州市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 ‎{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3 分，合计30分． ‎ ‎{题目}1．（2019年衢州）在，0，1，－9四个数中，负数是 （　　）‎ A． B．0 C．1 D．－9‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了正、负数的意义．比0小的数是负数，因此本题选D．‎ ‎{分值}3分 ‎{章节:[1-1-1-1]正数和负数}‎ ‎{考点:负数的定义}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}2．（2019年衢州）浙江省陆域面积为101 800平方千米，其中数据101 800用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.101 8×105 B．1.018×105 C．0.101 8×106 D．1.018×106‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．所以101 800用科学记数法表示为1.018×105．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-1-5-2]科学计数法}‎ ‎{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}3．（2019年衢州）如图是由4个大小相同的立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　　）‎ 主视方向 ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了三视图中主视图，从前向后看到的平面图形是主视图．从图中几何体的主视方向从前向后看，一共有2列，左侧一列有两个正方体，右侧一列有一个正方体，所以主视图中左侧一列有两个正方形，右侧一列有一个正方形，因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-29-2]三视图}‎ ‎{考点:几何体的三视图}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}4．（2019年衢州）下列计算正确的是（　　）‎ A．＝ B．＝ C．＝ D．＝‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了整式的加减与幂的运算．在算式中，、不是同类项，不能合并，选项A不正确．在算式中，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”得＝，选项B正桷．在中，根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减“得＝．在算式中，根据”幂的乘方，底数不变，指数相乘‘得＝，选项D不正确．因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-15-2-3]整数指数幂}‎ ‎{考点:整式加减}‎ ‎{考点:同底数幂的乘法}‎ ‎{考点:同底数幂的除法}‎ ‎{考点:幂的乘方}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}5．（2019年衢州）在一个箱子里放有1个自球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是（　　）‎ A．1 B． D． D．‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了等可能条件下的概率计算方法，解答时利用概率公式P＝求解．因为箱子里放有1个自球和2个红球，所以n＝1＋2＝3．因为白球是1个，所以m＝1．于是P（从箱子里任意摸出1个球，摸到白球）＝．因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-25-1-2]概率}‎ ‎{考点:一步事件的概率}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}6．（2019年衢州）二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是（　　）‎ A．（1，3） B．（1．－3） C（－1．3） D．（－1，－3）‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了二次函数图象的顶点坐标公式．在二次函数y＝a(x＋h)2＋k图象中，顶点坐标为(－h，k)．∴y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标为（1，3），因此本题选A．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-22-1-3]二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质}‎ ‎{考点:二次函数y＝a(x＋h)2＋k的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}7．（2019年衢州）“三等分角“大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪“能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA、OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动．C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　）‎ A．60° B．65° C．75° D．80°‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角、三角形的内角和定理．设∠O＝x，∵OC＝CD，∴∠O＝∠CDO．∴∠ECD＝∠O＋∠CDO＝2x．∵CD＝ED，∴∠CED＝∠ECD＝2x．∴∠BDE＝∠CED＋∠O＝2x＋x＝3x．∵∠BDE＝75°，∴3x＝75°．解得x＝25°．∴∠CDE＝50°．∴∠ECD＝50°．在△CDE中∠EDC＝180°－∠CDE－∠ECD＝180°－50°－50°＝80°，因此本题选D．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}‎ ‎{考点:等边对等角}‎ ‎{考点:三角形的外角}‎ ‎{考点:三角形内角和定理}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}8．（2019年衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A、B、C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝8 dm，DC＝2 dm，则圆形标志牌的半径为（　　）‎ A．6 dm B．5 dm C．4 dm D．3 dm ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了垂径定理与勾股定理．如答图，连接OA、OB、OD．∵OA＝OB，∴点O在AB的垂直平分线上，．∵CD垂直平分AB于点D，∴点O在CD上．∴OD⊥AB．∴AD＝AB＝×8＝4．设⊙O的半径为R．∵CD＝2，∴OD＝R－2．在Rt△OAD中，由勾股定理得OA2＝AD2＋OD2．∴R2＝(R－2)2＋42．解得R＝5．因此本题选B．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径}‎ ‎{考点:垂径定理的应用}‎ ‎{考点:勾股定理}‎ ‎{考点:垂直平分线的判定}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}9．（2019年衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。则原来的纸带宽为（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了矩形的性质、正六边形的性质．如答图．设正六边形的中心为点O．则△OAB是等边三角形．∴∠ABC＝60°．过点A作AC⊥OB，则AC为纸带宽．在Rt△ABC中，∵AB＝2，∠ABC＝60°，∴AC＝AB·sin∠ABC＝2×sin60°＝2×＝．因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-24-3]正多边形和圆}‎ ‎{考点:等边三角形的性质}‎ ‎{考点:正多边形和圆}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}10．（2019年衢州）10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A－D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（　　）‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了动态问题的函数图象．求解时分别求出各段的函数表达式．当点P在线段EA上时运动时，y＝EP·BC＝×x·4＝2x，此时自变量x的取值范围是0≤0≤2．当点P在线段AD上运动时，y＝S正方形ABCD－S△BCE－S△AEP－S△CDP＝42―×2×4－×2×(x－2)―×(6－x)×4＝x＋2，此时2＜x≤6．当点P线段CD上运动时，y＝×CP×BC＝×(10－x)×4＝20－2x，此时自变量x的取值范围是6＜x≤10．因此本题选C．‎ ‎{分值}3‎ ‎{章节:[1-19-2-2]一次函数}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{考点:一次函数与几何图形综合}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，合计24分．‎ ‎{题目}11．（2019年衢州）计算：＝________．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了分式的计算．算式是同分母分式相加，根据“同分母分式相加，分母不变，分子相加”，得＝．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-15-2-2]分式的加减}‎ ‎{考点:两个分式的加减}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}12．（2019年衢州）数据2，7，5，7，9的众数是________．‎ ‎{答案}7‎ ‎{解析}本题考查了众数的定义．在2，7，5，7，9中，数7出现了2次，次数最多，所以众数为7．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}‎ ‎{考点:众数}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:1-最简单}‎ ‎{题目}13．（2019年衢州）已知实数m、n满足，则代数式的值为________．‎ ‎{答案}5‎ ‎{解析}本题考查了因式分解的平方差公式以及整体思想．∵∴＝(m＋n)(m－n)＝1×3＝3．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-14-3]因式分解}‎ ‎{考点:因式分解-平方差}‎ ‎{类别:思想方法}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}14．（2019年衢州）如图，人字梯AB、AC的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是______米．（结果精确到0.1 m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）‎ ‎{答案}1.5‎ ‎{解析}本题考查了锐角三角函数的应用．在Rt△ACD中，∵sinα＝，∴AD＝AC·sin50°＝2×0.77≈1.5（米）．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}‎ ‎{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}15．（2019年衢州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，□ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限．将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F．若y＝（k≠0）图象经过点C，且S△BEF＝1，则k的值为________．‎ ‎{答案}24‎ ‎{解析}本题考查了平行四边形的性质，反比例函数的性质、相似三角形的性质．如答图．过点C作CG⊥x轴于点G．设BE＝x．∵点B为OE的中点，∴OB＝x．由翻折得OA＝OE．∴OA＝2x，AE＝4x，AB＝3x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，AB∥CD，AD∥BC．∴CD＝3x．∴△EBF∽△EAD，△BEF∽△CDF．∴＝＝＝，＝＝＝．∵S△BEF＝1，∴S△EAD＝16，S△CDF＝9．∴S△AOD＝S△DOE＝ S△EAD＝8．∴S四边形ODFB＝8－1＝7．∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠CBG．又∵∠AOD＝∠BGC＝90°，AD＝BC，∴△AOD≌△BCG．∴S△AOD＝S△BCG．∴S△BCG＝8．∴S矩形ODCG＝S四边形ODFB＋S△CDF＋S△BCG＝7＋9＋8＝24．∴k＝S矩形ODCG＝24．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}‎ ‎{考点:反比例函数的几何意义}‎ ‎{考点:由平行判定相似}‎ ‎{考点:相似三角形面积的性质}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}16．（2019年衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形．‎ ‎（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B、D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为________．‎ ‎（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推…，摆放第n个“7”字图形得顶点Fn－1，…，则顶点F2 019，的坐标为________．‎ ‎{答案}（1）　（2）（，）‎ ‎{解析}本题考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、点的坐标、规律探究．‎ ‎（1）∵∠AOB＝∠ABC ＝90°，∴∠OAB＋∠OBA＝∠DBC＋∠OBA．∴∠OAB＝∠DBC．又∵∠AOB＝∠BCD ＝90°，∴△OAB∽△CDB．∴＝＝．‎ ‎（2）如答图，过点C作CG⊥y轴于点G，过点F作FK⊥x轴于点K，GC与FK交于点H．在Rt△BCD中，∵CD＝1，BC＝2，∴BD＝＝．∵S△BCD＝BC·CD＝BD·CG，∴CG＝＝＝．由（1）知＝．设OB＝x，则OA＝2x．在Rt△OAB中，由勾股定理得OA2＋OB2＝AB2．∴(2x)2＋x2＝12．解得x＝．∴OB＝，OA＝．在Rt△GCD中，同理可求DG＝．在Rt△BCG中，同理可求BG＝．∴OG＝OB＋BG＝＋＝．∴C ‎（，）．易证△AKF∽△BOA，∴＝＝．同理可求AK＝，KF＝．∴FH＝FK－HK＝FK－OG＝－＝，OK＝OA＋AK＝＋＝．∴F（，）．过点C作CM⊥AF于点M．在Rt△MCF中，∵CM＝AB＝1，MF＝DE＝1，∴CF＝＝．在Rt△FCH中，由勾股定理得CH＝＝＝．过点F作FH1∥x轴，F1H1∥y轴，FH1交F1H1于点H1．∵CF＝FF1，∠F1H1F＝∠FHC，∠H1＝∠FHC，∴△F1H1F≌△FHC．∴FH1＝CH，FH＝F1H1．∵将点F（，）沿CF的方向平行2 019次得F2 019，此时水平方向平移的距离是CH的2 019倍，即2 019×，竖直方向平行的距离是FH的2 019倍，即2 019×．∴点F2 019的横坐标为OK＋2 019×＝＋＝，纵坐标为FK＋2 019×＝＋＝．∴F2 019（，）．‎ ‎{分值}4‎ ‎{章节:[1-7-2]平面直角坐标系}‎ ‎{考点:相似三角形的判定（两角相等）}‎ ‎{考点:相似三角形的性质}‎ ‎{考点:点的坐标}‎ ‎{考点:坐标与图形的性质}‎ ‎{类别:易错题}‎ ‎{难度:5-高难度}‎ ‎{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共 小题，合计分．‎ ‎{题目}17．（2019年衢州）计算：．‎ ‎{解析}本题考查了实数的运算．涉及的知识点有绝对值、0次幂、算术平方根、特殊三角函数值，先正确计算出其中每一个的值，再求它们的和．‎ ‎{答案}解：原式＝3＋1-2＋1＝3．‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-28-2-1]特殊角}‎ ‎{考点:绝对值的性质}‎ ‎{考点:零次幂}‎ ‎{考点:平方的算术平方根}‎ ‎{考点:特殊角的三角函数值}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}18．（2019年衢州）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC、CD上，且BE＝DF，连结AE、AF．‎ 求证：AE＝AF．‎ ‎{解析}本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定．利用全等三角形的判定方法“SAS”证明．‎ ‎{答案}证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D．∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF．∴AE＝CF．‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-18-2-2]菱形}‎ ‎{考点:菱形的性质}‎ ‎{考点:全等三角形的判定SAS}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}19．（2019年衢州）如图，在4×4的方格子中，△ABC的三个顶点都在格点上．‎ ‎（1）在图1中画出线段CD，使CD⊥CB，其中D是格点；‎ ‎（2）在图2中画出平行四边形ABEC，其中E是格点．‎ 图1‎ 图2‎ ‎{解析}本题考查了垂线的画法、平行四边形的判定．‎ ‎（1）利用网格的特征作图；（2）利用平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”画图．‎ 图1‎ 图2‎ ‎{答案}解：‎ ‎（1）线段CD就是所要求作的图形．‎ ‎（2）□ABEC就是所要求作的图形．‎ ‎{分值}6‎ ‎{章节:[1-18-1-2]平行四边形的判定}‎ ‎{考点:垂直的画法}‎ ‎{考点:两组对边分别相等的四边形是平行四边形}‎ ‎{类别:北京作图}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}20．（2019年衢州）某校为积极响应“南孔圣地，衡州有礼”城市品牌建设，在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动，其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程．为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图。‎ ‎30%‎ 礼行 礼知 礼思 礼艺 礼源 被抽样学生参与综合实践课程情况 扇形统计图 ‎15%‎ 人数（人）‎ 课程 礼行 礼知 礼思 礼艺 礼源 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎8‎ 被抽样学生参与综合实践课程情况 条形统计图 ‎（1）请问被随机抽取的学生共有多少名？并补全条形统计图；‎ ‎（2）在扇形统计图中，求选择“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数；‎ ‎（3）若该校共有学生1 200人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？‎ ‎{解析}本题考查了数据的收集、整理与描述、条形统计图、扇形统计图、样本估计总体思想．‎ ‎（1）利用“礼思”的具体数目及百分比求出抽取的学生人数，再求出“礼艺”的人数，补条形统计图．（2）圆心角的度数＝“礼行”的百分比×360°．（3）“礼源”的百分比×1 200．‎ ‎{答案}解：（1）学生共有40人．条形统计图如图所示．‎ 人数（人）‎ 课程 礼行 礼知 礼思 礼艺 礼源 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ 被抽样学生参与综合实践课程情况 条形统计图 ‎（2）选“礼行”课程的学生所对应的扇形圆心角的度数为×360°＝36°．‎ ‎（3）参与“礼源”课程的学生约有1200×＝240（人）．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-10-1]统计调查}‎ ‎{考点:统计的应用问题}‎ ‎{考点:条形统计图}‎ ‎{考点:扇形统计图}‎ ‎{考点:用样本估计总体}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:2-简单}‎ ‎{题目}21．（2019年衢州）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC．以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．‎ ‎（1）求证：DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DE＝，∠C＝30°，求的长．‎ ‎{解析}本题考查了切线的判定、弧长的计算．‎ ‎（1）连接OD，证明DE⊥OD．（2）先分别求出⊙O的半径、所对的圆心角的度数，再利用弧长计算．‎ ‎{答案}（1）证明：如图，连结OD．∵OC＝OD，AB＝AC，∴∠1＝∠C，∠C＝∠B．∴∠1＝∠B．∵DE⊥AB，∴∠2＋∠B＝90°．∴.∠2＋∠1＝90°．∴∠ODE＝90°．∴.DE为⊙O的切线．‎ ‎（2）连结AD．∵AC为⊙O的直径，.∠ADC＝90°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD．∴∠AOD＝60°．∵DE＝，∴BD＝CD＝．∴OC＝2．∴＝＝．‎ ‎{分值}8‎ ‎{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}‎ ‎{考点:切线的判定}‎ ‎{考点:弧长的计算}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{难度:3-中等难度}‎ ‎{题目}22．（2019年衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入 住的房间数为60间．经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：‎ x（元）‎ ‎…‎ ‎190‎ ‎200‎ ‎210‎ ‎220‎ ‎…‎ y（间）‎ ‎…‎ ‎65‎ ‎60‎ ‎55‎ ‎50‎ ‎…‎ ‎0‎ ‎170‎ ‎190‎ ‎210‎ ‎230‎ ‎250‎ x(元)‎ y(间)‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象；‎ ‎（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）设客房的日营业额为w（元），若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的目营业额最大？最大为多少元？‎ ‎{解析}本题考查了利用函数解决实际问题、函数图像的画法、待定系数法、配方法、二次函数的性质．‎ ‎（1）直接将表格中点在直角坐标系中描出，进而画出图像；（2）利用待定系数法求解；（3）列出w关于x的函数关系式，然后利用利用二次函数的性质求解．‎ ‎{答案}解：（1）如图所示．‎ ‎0‎ ‎170‎ ‎190‎ ‎210‎ ‎230‎ ‎250‎ x(元)‎ y(间)‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎（2）解：设y＝kx＋b（k≠0），把（200，60）和（220，50）代入，得解得∴y＝（170≤x≤240）．‎ ‎（3）w＝x·y＝x＝．‎ ‎∵a＝＜0．‎ ‎∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小．故当x＝170时，w有最大值，最大值为12 750元．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}‎ ‎{考点:一次函数的图象}‎ ‎{考点:待定系数法求一次函数的解析式}‎ ‎{考点:二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质}‎ ‎{考点:商品利润问题}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{类别:常考题}‎ ‎{题目}23．（2019年衢州）定义；在平圆直角坐标系中，对于任意两点A（a，b）、B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A，B的融合点．‎ 例如：A（－1，8），B（4，－2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（l，2）是点A，B的融合点．‎ ‎（1）已知点A（－1，5），B（7，7），C（2，4）．请说明其中一个点是另外两个点的融合点；‎ ‎（2）如图，点D（3，0），点E（1，2t＋3）是直线上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．‎ ‎①试确定y与x的关系式；‎ ‎②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．‎ ‎{解析}本题考查了新定义、点的坐标、分类思想．‎ ‎（1）根据融合点的定义进行检验；（2）①根据融合点的定义列出关于横坐标与纵坐标的两个等式，进而得到y与x的函数关系式；②按∠DTH＝90°、∠DHT＝90°、∠HTD＝90°三种情形分类求解．‎ ‎{答案}解：∵＝2，＝4，∴.点C（2，4）是点A、B的融合点．‎ ‎（2）①由融合点定又知x＝，∴t＝3x－3．又∵y＝，∴t＝．∴3x－3＝．∴y＝2x－1．‎ ‎②要使ADTIH为直角三角形，可分三种情况讨论：‎ ‎（Ⅰ）当∠THD＝90°时，如图1所示，设T（m，2m－1），则点E（m，8m＋3）．由点T是点D、‎ E的融合点，可得m＝或2m－1＝，解得m＝．∴点E1（，6）．‎ ‎（Ⅱ）当∠TDH＝90°时，如图2所示，则点T为（3，5）．由点T是点D、E的融合点，可得点E2（6，15）．‎ ‎（Ⅲ）当∠HTD＝90°时，该情况不存在．‎ 综上所述，符合题意的点为（，6）、（6，15）．‎ ‎{分值}10‎ ‎{章节:[1-19-2-2]一次函数}‎ ‎{考点:新定义}‎ ‎ {类别:新定义}‎ ‎{难度:4-较高难度}‎ ‎{题目}24．（2019年衢州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6．∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．点M是线段AD上的动点，连接BM并延长分别交DE、AC于点F、G．‎ ‎（1）求CD的长；‎ ‎（2）若点M是线段AD的中点，求的值；‎ ‎（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得∠CPG＝60°？‎ ‎{解析}本题考查了直角三角形的性质、全等三角形、相似三角形的判定、切线的性质、等腰三角形的性质．‎ ‎（1）在Rt△ADC利用边角关系求解；（2）证明△BFE∽△BGA ‎，利用相似三角形的对应边成比例求解；（3）按①当⊙Q与DE相切，②当⊙Q经过点E，③⊙Q经过点D三种情形分类求解．‎ ‎{答案}解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAC＝30°．在Rt△ADC中，DC＝AC·tan30°＝．‎ ‎（2）易得BC＝，BD＝．由DE∥AC，得∠EDA＝∠DAC，∠DFM＝∠ACM．∵AM＝DM，∴△DFM≌△AGM．DF＝AG．∵DE∥AC，∴△BFE∽△BGA．∴＝＝．∴＝＝＝＝．‎ ‎（3）∵∠CPG＝60°，过C、P、G作外接圆，圆心为Q．∴△CQG是顶角为120°的等腰三角形．‎ ‎①当⊙Q与DE相切时，如图1，过点Q作QH⊥AC，并延长HQ与DE交于点P，连接QC、QG．设⊙Q的半径QP＝r，则QH＝r，r＋r＝．解得t＝．∴CG＝×＝4，AG＝2．‎ 易知△DFM∽△AGM，可得＝＝，则＝．∴DM＝．‎ ‎②当⊙Q经过点E时，如图2，过C点作CK⊥AB，垂足为K．设⊙Q的半径QC＝QE＝r，则QK＝．在Rt△EQK中，12＋()2＝r2，解得r＝．∴CG＝×＝．易知△DFM∽△AGM，可得DM＝．‎ ‎③当⊙Q经过点D时，如图3，此时点M与点G重合，且恰在点A处，可得DM＝．‎ ‎∴综上所述，当DM＝或＜DM≤时，满足条件的点P只有一个．‎ ‎{分值}12‎ ‎{章节:[1-24-1-1]圆}‎ ‎{考点:几何综合}‎ ‎{类别:高度原创}‎ ‎{难度:5-高难度}‎