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  • 2021-11-11 发布

广东珠海市斗门区2020年九年级毕业生第一次模拟考试数学试卷 解析版

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‎2020年广东省珠海市斗门区中考数学一模试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请将所选选项在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.‎ ‎1.(3分)2020的相反数是(  )‎ A.2020 B. C.﹣2020 D.﹣‎ ‎2.(3分)在下列交通标志中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎3.(3分)新冠病毒(COVID﹣19)肆虐全球,截止至4月17日,全球约有2180000人感染新冠病毒,将2180000用科学记数法可表示为(  )‎ A.218×104 B.21.8×105 C.2.18×106 D.0.218×106‎ ‎4.(3分)已知直线y=x+b经过第一、三、四象限,则b的值可能是(  )‎ A.﹣1 B.0 C. D.3‎ ‎5.(3分)下列计算正确的是(  )‎ A.a2+a2=a4 B.a6÷a2=a4 ‎ C.(a2)3=a5 D.(a﹣b)2=a2﹣b2‎ ‎6.(3分)一组数据2,x,4,3,3的平均数是3,则这组数据的中位数和众数分别是(  )‎ A.3,3 B.2,3 C.3,4 D.3,2‎ ‎7.(3分)对角线互相平分且垂直的四边形是(  )‎ A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 ‎8.(3分)若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(  )‎ A.k>1 B.k<1 C.k>1且k≠0 D.k<1且k≠0‎ ‎9.(3分)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则BE的长为(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎10.(3分)如图,P为∠AOB内一定点,M、N分别是射线OA、OB上一点,当△PMN周长最小时,∠OPM=40°,则∠AOB=(  )‎ A.40° B.45° C.50° D.55°‎ 二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)请把正确答案填写在题后的横线上.‎ ‎11.(4分)使有意义的x的取值范围是   .‎ ‎12.(4分)因式分解:m2﹣4n2=   .‎ ‎13.(4分)若正多边形的一个内角等于150°,则这个正多边形的边数是   .‎ ‎14.(4分)有A,B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2.B布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字﹣1,﹣2和﹣3.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y),点Q落在直线y=x﹣3上的概率为   .‎ ‎15.(4分)计算:=   .‎ ‎16.(4分)如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60米,那么该建筑物的高度BC约为   米.‎ ‎17.(4分)观察下列一组图形:‎ 它们是按一定规律排列的,依照此规律,第n个图形中共有   个★.‎ 三、解答题(本大题3小题,每小题6分,共18分)‎ ‎18.(6分)计算:﹣4×|﹣|﹣(π﹣1)0+2﹣1.‎ ‎19.(6分)解方程组:.‎ ‎20.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.‎ ‎(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹)‎ ‎(2)连接AP,当∠B为   度时,AP平分∠CAB.‎ 四、解答题(本大题3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎21.(8分)某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑,现在教师用电脑被某种电脑病毒感染,且该电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有16台电脑被感染.‎ ‎(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?‎ ‎(2)若病毒得不到有效控制,多少轮感染后机房内所有电脑都被感染?‎ ‎22.(8分)如图,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,折痕为EF.求证:‎ ‎(1)∠ECB=∠FCG;‎ ‎(2)△EBC≌△FGC.‎ ‎23.(8分)如图,平行于y轴的直尺(一部分)与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A,C,与x轴交于点B,D,连接AC.点A,B的刻度分别为5,2,直尺的宽度BD为2,OB=2,设直线AC的解析式为y=kx+b.‎ ‎(1)请结合图象直接写出不等式kx+b>的解集;‎ ‎(2)求直线AC的解析式;‎ ‎(3)平行于y轴的直线x=n(2<n<4)与AC交于点E,与反比例函数图象交于点F,当这条直线左右平移时,线段EF的长为,求n的值.‎ 五、解答题(本大题2小题,每小题10分,共20分)‎ ‎24.(10分)如图,已知CE是圆O的直径,点B在圆O上由点E顺时针向点C运动(点B不与点E、C重合),弦BD交CE于点F,且BD=BC,过点B作弦CD的平行线与CE的延长线交于点A.‎ ‎(1)若圆O的半径为2,且点D为弧EC的中点时,求圆心O到弦CD的距离;‎ ‎(2)在(1)的条件下,当DF•DB=CD2时,求∠CBD的大小;‎ ‎(3)若AB=2AE,且CD=12,求△BCD的面积.‎ ‎25.(10分)如图,已知,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,过点A的直线y=kx+k与该抛物线交于点C,点P是该抛物线上不与A,B重合的动点,过点P作PD⊥x轴于D,交直线AC于点E.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若k=﹣1,当PE=2DE时,求点P坐标;‎ ‎(3)当(2)中直线PD为x=1时,是否存在实数k,使△ADE与△PCE相似?若存在请求出k的值;若不存在,请说明你的理由.‎ ‎2020年广东省珠海市斗门区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请将所选选项在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.‎ ‎1.(3分)2020的相反数是(  )‎ A.2020 B. C.﹣2020 D.﹣‎ ‎【分析】直接利用相反数的定义得出答案.‎ ‎【解答】解:2020的相反数是:﹣2020.‎ 故选:C.‎ ‎2.(3分)在下列交通标志中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形;‎ B、不是轴对称图形,也不是中心对称图形;‎ C、是轴对称图形,也是中心对称图形;‎ D、是轴对称图形,不是中心对称图形.‎ 故选:C.‎ ‎3.(3分)新冠病毒(COVID﹣19)肆虐全球,截止至4月17日,全球约有2180000人感染新冠病毒,将2180000用科学记数法可表示为(  )‎ A.218×104 B.21.8×105 C.2.18×106 D.0.218×106‎ ‎【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,10的指数n比原来的整数位数少1.‎ ‎【解答】解:2180000=2.18×106,‎ 故选:C.‎ ‎4.(3分)已知直线y=x+b经过第一、三、四象限,则b的值可能是(  )‎ A.﹣1 B.0 C. D.3‎ ‎【分析】根据一次函数的性质得出b<0,再得出选项即可.‎ ‎【解答】解:∵直线y=x+b经过第一、三、四象限,‎ ‎∴b<0,‎ ‎∴符合的只有选项A,选项B、C、D都不符合,‎ 故选:A.‎ ‎5.(3分)下列计算正确的是(  )‎ A.a2+a2=a4 B.a6÷a2=a4 ‎ C.(a2)3=a5 D.(a﹣b)2=a2﹣b2‎ ‎【分析】直接利用合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方以及完全平方公式的知识求解即可求得答案.‎ ‎【解答】解:A、a2+a2=2a2,故本选项错误;‎ B、a6÷a2=a4,故本选项正确;‎ C、(a2)3=a6,故本选项错误;‎ D、(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2,故本选项错误.‎ 故选:B.‎ ‎6.(3分)一组数据2,x,4,3,3的平均数是3,则这组数据的中位数和众数分别是(  )‎ A.3,3 B.2,3 C.3,4 D.3,2‎ ‎【分析】根据一组数据2,x,4,3,3的平均数是3,可以求得x的值,从而可以求得这组数据的中位数和众数.‎ ‎【解答】解:∵一组数据2,x,4,3,3的平均数是3,‎ ‎∴2+x+4+3+3=3×5,‎ 解得,x=3,‎ ‎∴这组数据是2,3,4,3,3,‎ 按照从小大排列是:2,3,3,3,4,‎ ‎∴这组数据的中位数和众数分别是:3,3,‎ 故选:A.‎ ‎7.(3分)对角线互相平分且垂直的四边形是(  )‎ A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 ‎【分析】根据菱形的判定方法判断即可.‎ ‎【解答】解:对角线互相平分且垂直的四边形是菱形,‎ 故选:C.‎ ‎8.(3分)若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(  )‎ A.k>1 B.k<1 C.k>1且k≠0 D.k<1且k≠0‎ ‎【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△>0,即(﹣2)2﹣4×k×1>0,然后解不等式即可得到k的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,‎ ‎∴k≠0且△>0,即(﹣2)2﹣4×k×1>0,‎ 解得k<1且k≠0.‎ ‎∴k的取值范围为k<1且k≠0.‎ 故选:D.‎ ‎9.(3分)如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,则BE的长为(  )‎ A.2 B.4 C.6 D.8‎ ‎【分析】根据CE=2,DE=8,得出半径为5,在直角三角形OBE中,由勾股定理得BE.‎ ‎【解答】解:∵CE=2,DE=8,‎ ‎∴OB=5,‎ ‎∴OE=3,‎ ‎∵AB⊥CD,‎ ‎∴在△OBE中,BE===4,‎ 故选:B.‎ ‎10.(3分)如图,P为∠AOB内一定点,M、N分别是射线OA、OB上一点,当△PMN 周长最小时,∠OPM=40°,则∠AOB=(  )‎ A.40° B.45° C.50° D.55°‎ ‎【分析】作P关于OA,OB的对称点P1,P2.连接OP1,OP2.则当M,N是P1P2与OA,OB的交点时,△PMN的周长最短,根据对称的性质可以证得:∠OP1M=∠OPM=40°,OP1=OP2=OP,根据等腰三角形的性质即可求解.‎ ‎【解答】解:作P关于OA,OB的对称点P1,P2.连接OP1,OP2.则当M,N是P1P2与OA,OB的交点时,△PMN的周长最短,连接P1O、P2O,‎ ‎∵PP1关于OA对称,‎ ‎∴∠P1OP=2∠MOP,OP1=OP,P1M=PM,∠OP1M=∠OPM=40°‎ 同理,∠P2OP=2∠NOP,OP=OP2,‎ ‎∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2(∠MOP+∠NOP)=2∠AOB,OP1=OP2=OP,‎ ‎∴△P1OP2是等腰三角形.‎ ‎∴∠OP2N=∠OP1M=40°,‎ ‎∴∠P1OP2=180°﹣2×40°=100°,‎ ‎∴∠AOB=50°,‎ 故选:C.‎ 二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)请把正确答案填写在题后的横线上.‎ ‎11.(4分)使有意义的x的取值范围是 x≥2 .‎ ‎【分析】当被开方数x﹣2为非负数时,二次根式才有意义,列不等式求解.‎ ‎【解答】解:根据二次根式的意义,得 x﹣2≥0,解得x≥2.‎ ‎12.(4分)因式分解:m2﹣4n2= (m+2n)(m﹣2n) .‎ ‎【分析】先将所给多项式变形为m2﹣(2n)2,然后套用公式a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),再进一步分解因式.‎ ‎【解答】解:m2﹣4n2,‎ ‎=m2﹣(2n)2,‎ ‎=(m+2n)(m﹣2n).‎ ‎13.(4分)若正多边形的一个内角等于150°,则这个正多边形的边数是 12 .‎ ‎【分析】首先根据求出外角度数,再利用外角和定理求出边数.‎ ‎【解答】解:∵正多边形的一个内角等于150°,‎ ‎∴它的外角是:180°﹣150°=30°,‎ ‎∴它的边数是:360°÷30°=12.‎ 故答案为:12.‎ ‎14.(4分)有A,B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2.B布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字﹣1,﹣2和﹣3.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y),点Q落在直线y=x﹣3上的概率为  .‎ ‎【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数,再根据一次函数图象上点的坐标特征,找出点(1,﹣2),(2,﹣1)在直线y=x﹣3上,然后根据概率公式求解.‎ ‎【解答】解:画树状图为:‎ 共有6种等可能的结果数,其中有(1,﹣2),(2,﹣1)落在直线y=x﹣3上,‎ 所以点Q落在直线y=x﹣3上的概率==.‎ 故答案为.‎ ‎15.(4分)计算:= 1 .‎ ‎【分析】根据同分母分式的加减法法则计算即可.同分母分式相加减,分母不变,分子相加减.‎ ‎【解答】解:‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎16.(4分)如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为60米,那么该建筑物的高度BC约为 80 米.‎ ‎【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD,DC的长,进而求出该建筑物的高度.‎ ‎【解答】解:由题意可得:tan30°===,‎ 解得:BD=20(米),‎ tan60°===,‎ 解得:DC=60(米),‎ 故该建筑物的高度为:BC=BD+DC=80(米)‎ 故答案为80.‎ ‎17.(4分)观察下列一组图形:‎ 它们是按一定规律排列的,依照此规律,第n个图形中共有 3n+1 个★.‎ ‎【分析】把五角星分成两部分,顶点处的一个不变,其它的分三条线,每一条线上后一个图形比前一个图形多一个,根据此规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式.‎ ‎【解答】解:观察发现,第1个图形五角星的个数是:1+3=4,‎ 第2个图形五角星的个数是:1+3×2=7,‎ 第3个图形五角星的个数是:1+3×3=10,‎ 第4个图形五角星的个数是:1+3×4=13,‎ ‎…‎ 依此类推,第n个图形五角星的个数是:1+3×n=3n+1.‎ 故答案为:3n+1.‎ 三、解答题(本大题3小题,每小题6分,共18分)‎ ‎18.(6分)计算:﹣4×|﹣|﹣(π﹣1)0+2﹣1.‎ ‎【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案.‎ ‎【解答】解:原式=2﹣2﹣1+‎ ‎=﹣.‎ ‎19.(6分)解方程组:.‎ ‎【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.‎ ‎【解答】解:,‎ ‎①+②得:3x=6,‎ 解得:x=2,‎ 把x=2代入①得:y=﹣1,‎ 则方程组的解为.‎ ‎20.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.‎ ‎(1)用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB(不写作法,保留作图痕迹)‎ ‎(2)连接AP,当∠B为 30 度时,AP平分∠CAB.‎ ‎【分析】(1)运用基本作图方法,中垂线的作法作图,‎ ‎(2)求出∠PAB=∠PAC=∠B,运用直角三角形解出∠B.‎ ‎【解答】解:(1)如图,‎ ‎(2)如图,‎ ‎∵PA=PB,‎ ‎∴∠PAB=∠B,‎ 如果AP是角平分线,则∠PAB=∠PAC,‎ ‎∴∠PAB=∠PAC=∠B,‎ ‎∵∠ACB=90°,‎ ‎∴∠PAB=∠PAC=∠B=30°,‎ ‎∴∠B=30°时,AP平分∠CAB.‎ 故答案为:30.‎ 四、解答题(本大题3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎21.(8分)某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑,现在教师用电脑被某种电脑病毒感染,且该电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有16台电脑被感染.‎ ‎(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?‎ ‎(2)若病毒得不到有效控制,多少轮感染后机房内所有电脑都被感染?‎ ‎【分析】(1)设每轮感染中平均一台会感染x台电脑,则第一轮后共有(1+x ‎)台被感染,第二轮后共有(1+x)+x(1+x)即(1+x)2台被感染,利用方程即可求出x的值即可;‎ ‎(2)结合(1)得出n轮后共有(1+x)n台被感染,进而求出即可.‎ ‎【解答】解:(1)设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意得:‎ ‎1+x+(1+x)x=16,‎ 整理得(1+x)2=16,‎ 则x+1=4或x+1=﹣4,‎ 解得x1=3,x2=﹣5(舍去).‎ 答:每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑;‎ ‎(2)∵n轮后,有(1+x)n台电脑被感染,‎ 故(1+3)n=4n,‎ ‎∵n=3时,43=64,‎ n=4时,44=256.‎ 答:4轮感染后机房内所有电脑都被感染.‎ ‎22.(8分)如图,将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,折痕为EF.求证:‎ ‎(1)∠ECB=∠FCG;‎ ‎(2)△EBC≌△FGC.‎ ‎【分析】(1)依据平行四边形的性质,即可得到∠A=∠BCD,由折叠可得,∠A=∠ECG,即可得到∠ECB=∠FCG;‎ ‎(2)依据平行四边形的性质,即可得出∠D=∠B,AD=BC,由折叠可得,∠D=∠G,AD=CG,即可得到∠B=∠G,BC=CG,进而得出△EBC≌△FGC.‎ ‎【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴∠A=∠BCD,‎ 由折叠可得,∠A=∠ECG,‎ ‎∴∠BCD=∠ECG,‎ ‎∴∠BCD﹣∠ECF=∠ECG﹣∠ECF,‎ ‎∴∠ECB=∠FCG;‎ ‎(2)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴∠D=∠B,AD=BC,‎ 由折叠可得,∠D=∠G,AD=CG,‎ ‎∴∠B=∠G,BC=CG,‎ 又∵∠ECB=∠FCG,‎ ‎∴△EBC≌△FGC(ASA).‎ ‎23.(8分)如图,平行于y轴的直尺(一部分)与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A,C,与x轴交于点B,D,连接AC.点A,B的刻度分别为5,2,直尺的宽度BD为2,OB=2,设直线AC的解析式为y=kx+b.‎ ‎(1)请结合图象直接写出不等式kx+b>的解集;‎ ‎(2)求直线AC的解析式;‎ ‎(3)平行于y轴的直线x=n(2<n<4)与AC交于点E,与反比例函数图象交于点F,当这条直线左右平移时,线段EF的长为,求n的值.‎ ‎【分析】(1)结合图象即可写出不等式kx+b>的解集;‎ ‎(2)由OB与AB的长,及A位于第一象限,确定出A的坐标,将A坐标代入反比例解析式中求出k的值,确定出反比例解析式,由OB+BD求出OD的长,即为C的横坐标,代入反比例解析式中求出CD的长,确定出C坐标,设直线AC解析式为y=kx+b,将A与C坐标代入求出k与b的值,即可确定出直线AC的解析式;‎ ‎(3)根据题意画出线段EF,根据线段EF的长为,即可求n的值.‎ ‎【解答】解:(1)根据图象可知:‎ 不等式kx+b>的解集为:2<x<4;‎ ‎(2)将A点坐标(2,3)代入y=,‎ 得:m=xy=2×3=6,‎ ‎∴y=;‎ 又OD=4,‎ ‎∴C(4,1.5),‎ 将A(2,3)和C(4,1.5)分别代入y=kx+b,‎ 得,‎ 解得,‎ ‎∴直线AC的解析式为y=﹣x+;‎ ‎(3)当x=n时,点E的纵坐标为﹣n+,‎ 点F的坐标为,依题意,‎ 得:﹣n+﹣=,‎ 解得n=或n=3.‎ 五、解答题(本大题2小题,每小题10分,共20分)‎ ‎24.(10分)如图,已知CE是圆O的直径,点B在圆O上由点E顺时针向点C运动(点B不与点E、C重合),弦BD交CE于点F,且BD=BC,过点B作弦CD的平行线与CE 的延长线交于点A.‎ ‎(1)若圆O的半径为2,且点D为弧EC的中点时,求圆心O到弦CD的距离;‎ ‎(2)在(1)的条件下,当DF•DB=CD2时,求∠CBD的大小;‎ ‎(3)若AB=2AE,且CD=12,求△BCD的面积.‎ ‎【分析】(1)过O作OH⊥CD于H,根据点D为弧EC的中点,可得∠OCH=45°,进而得出OH=CH,再根据圆O的半径为2,即可得到OH=;‎ ‎(2)先判定△CDF∽△BDC,可得∠DCF=∠DBC,再根据∠DCF=45°,即可得出∠DBC=45°;‎ ‎(3)连接BE,BO,DO,并延长BO至H点,依据∠ABE=∠OBC=∠OCB,∠A=∠A,判定△ABE∽△ACB,即可得到AC=,设AE=x,再根据△AOB∽△COH,可得,即,解得x=5,OH=4.5,OB=7.5,即可得到△BCD的面积=×12×12=72.‎ ‎【解答】解:(1)如图,过O作OH⊥CD于H,‎ ‎∵点D为弧EC的中点,‎ ‎∴弧ED=弧CD,‎ ‎∴∠OCH=45°,‎ ‎∴OH=CH,‎ ‎∵圆O的半径为2,即OC=2,‎ ‎∴OH=;‎ ‎(2)∵当DF•DB=CD2时,,‎ 又∵∠CDF=∠BDC,‎ ‎∴△CDF∽△BDC,‎ ‎∴∠DCF=∠DBC,‎ 由(1)可得∠DCF=45°,‎ ‎∴∠DBC=45°;‎ 注:也可以由点D为弧EC的中点,可得弧ED=弧CD,即可得出∠DCF=∠DBC=45°;‎ ‎(3)如图,连接BE,BO,DO,并延长BO至H点,‎ ‎∵BD=BC,OD=OC,‎ ‎∴BH垂直平分CD,‎ 又∵AB∥CD,‎ ‎∴∠ABO=90°=∠EBC,‎ ‎∴∠ABE=∠OBC=∠OCB,‎ 又∵∠A=∠A,‎ ‎∴△ABE∽△ACB,‎ ‎∴,即AB2=AE×AC,‎ ‎∴AC=,‎ 设AE=x,则AB=2x,‎ ‎∴AC=4x,EC=3x,‎ ‎∴OE=OB=OC=,‎ ‎∵CD=12,‎ ‎∴CH=6,‎ ‎∵AB∥CH,‎ ‎∴△AOB∽△COH,‎ ‎∴,即,‎ 解得x=5,OH=4.5,OB=7.5,‎ ‎∴BH=BO+OH=12,‎ ‎∴△BCD的面积=×12×12=72.‎ ‎25.(10分)如图,已知,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0)两点,过点A的直线y=kx+k与该抛物线交于点C,点P是该抛物线上不与A,B重合的动点,过点P作PD⊥x轴于D,交直线AC于点E.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若k=﹣1,当PE=2DE时,求点P坐标;‎ ‎(3)当(2)中直线PD为x=1时,是否存在实数k,使△ADE与△PCE相似?若存在请求出k的值;若不存在,请说明你的理由.‎ ‎【分析】(1)将点A,B的坐标代入y=x2+bx+c即可;‎ ‎(2)写出直线AC的解析式,设P(x,x2﹣3x﹣4),则E(x,﹣x﹣1),D(x,0),写出PE,DE的长度,利用PE=2ED这一等量关系列出方程即可;‎ ‎(3)存在,因为∠AED=∠PEC,所以要使△ADE与△PCE相似,必有∠EPC=∠ADE=90°或∠ECP=∠ADE=90°,分两种情况进行讨论,由相似三角形的性质可分别求出k的值.‎ ‎【解答】解:(1)将点A(﹣1,0),B(4,0)代入y=x2+bx+c,‎ 得,,‎ 解得,,‎ ‎∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4;‎ ‎(2)当k=﹣1时,直线AC的解析式为y=﹣x﹣1,‎ 设P(x,x2﹣3x﹣4),则E(x,﹣x﹣1),D(x,0),‎ 则PE=|x2﹣3x﹣4﹣(﹣x﹣1)|=|x2﹣2x﹣3|,DE=|x+1|,‎ ‎∵PE=2ED,‎ ‎∴|x2﹣2x﹣3|=2|x+1|,‎ 当x2﹣2x﹣3=2(x+1)时,‎ 解得,x1=﹣1(舍去),x2=5,‎ ‎∴P(5,6);‎ 当x2﹣2x﹣3=﹣2(x+1)时,‎ 解得,x1=﹣1(舍去),x2=1,‎ ‎∴P(1,﹣6);‎ 综上所述,点P的坐标为(5,6)或(1,﹣6);‎ ‎(3)存在,理由如下;‎ ‎∵∠AED=∠PEC,‎ ‎∴要使△ADE与△PCE相似,‎ 必有∠EPC=∠ADE=90°或∠ECP=∠ADE=90°,‎ ‎①当∠EPC=∠ADE=90°时,‎ 如图1,CP∥x轴,‎ ‎∵P(1,﹣6),根据对称性可得C(2,﹣6),‎ 将C(2,﹣6),代入直线AC解析式中,‎ 得2k+k=﹣6,‎ 解得,k=﹣2;‎ ‎②当∠ECP=∠ADE=90°时,‎ 如图2,过C点作CF⊥PD于点F,‎ 则有∠FCP=∠PEC=∠AED,‎ 则△PCF∽△AED,‎ ‎∴=,‎ 在直线y=kx+k上,当x=1时,y=2k,‎ ‎∴E(1,2k),‎ ‎∴DE=﹣2k,‎ 由,‎ 得或,‎ ‎∴C(k+4,k2+5k),‎ ‎∴F(1,k2+5k),‎ ‎∴CF=k+3,FP=k2+5k+6,‎ ‎∴=,‎ 解得,k1=k2=﹣1,k3=﹣3(此时C与P重合,舍去),‎ 综上,当k=﹣2或﹣1时,△ADE与△PCE相似.‎