辽宁省铁岭、葫芦岛市2020年中考数学试题 解析版 33页

‎2020年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）﹣的绝对值是（　　）‎ A． B．﹣ C．3 D．﹣3‎ ‎2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a3＝a6 B．a8÷a4＝a2 ‎ C．5a﹣3a＝2a D．（﹣ab2）2＝﹣a2b4‎ ‎4．（3分）一组数据1，4，3，1，7，5的众数是（　　）‎ A．1 B．2 C．2.5 D．3.5‎ ‎5．（3分）一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）不等式组的整数解的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎7．（3分）我市在落实国家“精准扶贫”‎ 政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎8．（3分）一个零件的形状如图所示，AB∥DE，AD∥BC，∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，则∠A的度数是（　　）‎ A．70° B．80° C．90° D．100°‎ ‎9．（3分）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．4‎ ‎10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000，将数据450000000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎12．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝　 　．‎ ‎13．（3分）甲、乙两人参加“环保知识”竞赛，经过6轮比赛，他们的平均成绩都是97分．如果甲、乙两人比赛成绩的方差分别为s甲2＝6.67，s乙2＝2.50，则这6次比赛成绩比较稳定的是　 　．（填“甲”或“乙”）‎ ‎14．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．‎ ‎15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为　 　．‎ ‎16．（3分）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是　 　．‎ ‎17．（3分）一张菱形纸片ABCD的边长为6cm，高AE等于边长的一半，将菱形纸片沿直线MN折叠，使点A与点B重合，直线MN交直线CD于点F，则DF的长为　 　cm．‎ ‎18．（3分）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则Sn等于　 　．（用含有正整数n的式子表示）‎ 三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）‎ ‎19．（10分）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝3．‎ ‎20．（12分）某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．‎ 根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）本次被调查的学生有　 　人；‎ ‎（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；‎ ‎（3）通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．‎ 四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）‎ ‎21．（12分）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．‎ ‎（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？‎ ‎（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？‎ ‎22．（12分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）‎ ‎（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）‎ ‎（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）‎ ‎（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）‎ 五、解答题（满分12分）‎ ‎23．（12分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：‎ 销售单价x（元）‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎16‎ 每周的销售量y（本）‎ ‎500‎ ‎400‎ ‎300‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？‎ 六、解答题（满分12分）‎ ‎24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．‎ ‎（1）求证：直线DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．‎ 七、解答题（满分12分）‎ ‎25．（12分）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD，将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO．‎ ‎（1）如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量关系；‎ ‎（2）如图2，当点B旋转到AC 边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若BC＝4，CD＝2，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，请直接写出线段OD的长．‎ 八、解答题（满分14分）‎ ‎26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．‎ ‎2020年辽宁省铁岭市、葫芦岛市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）﹣的绝对值是（　　）‎ A． B．﹣ C．3 D．﹣3‎ ‎【分析】依据绝对值的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：|﹣|＝．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从上面看，底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形．‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a3＝a6 B．a8÷a4＝a2 ‎ C．5a﹣3a＝2a D．（﹣ab2）2＝﹣a2b4‎ ‎【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（A）原式＝a5，故A错误．‎ ‎（B）原式＝a4，故B错误．‎ ‎（D）原式＝a4b2，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）一组数据1，4，3，1，7，5的众数是（　　）‎ A．1 B．2 C．2.5 D．3.5‎ ‎【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数据；据此即可求得正确答案．‎ ‎【解答】解：本题中数据1出现了2次，出现的次数最多，所以本组数据的众数是1．‎ 故选：A．‎ ‎5．（3分）一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：根据题意可得：袋中有4个红球、2个白球，共6个，‎ 从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是＝．‎ 故选：D．‎ ‎6．（3分）不等式组的整数解的个数是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：解不等式3+x＞1，得：x＞﹣2，‎ 解不等式2x﹣3≤1，得：x≤2，‎ 则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，‎ 所以不等式组的整数解有﹣1、0、1、2这4个，‎ 故选：C．‎ ‎7．（3分）我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米．根据题意，所列方程组正确的是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【分析】根据甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程和甲工程队每天比乙工程队多施工2米，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ ‎，‎ 故选：D．‎ ‎8．（3分）一个零件的形状如图所示，AB∥DE，AD∥BC，∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，则∠A的度数是（　　）‎ A．70° B．80° C．90° D．100°‎ ‎【分析】根据平行线的性质，可以得到∠ADB＝60°和∠ABD的度数，再根据三角形内角和，即可得到∠A的度数．‎ ‎【解答】解：∵AB∥DE，AD∥BC，‎ ‎∴∠ABD＝∠BDE，∠ADB＝∠CBD，‎ ‎∵∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，‎ ‎∴∠ADB＝60°，∠ABD＝40°，‎ ‎∴∠A＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝80°，‎ 故选：B．‎ ‎9．（3分）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点E ‎（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，连接DF，DF∥x轴，则k的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．4‎ ‎【分析】过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，得矩形OFDH，根据点E（1，0）和点F（0，1）在AB边上，AE＝EF，可以求出EG和DH的长，进而可得OH的长，所以得点D的坐标，即可得k的值．‎ ‎【解答】解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，设AD交x轴于点G，‎ ‎∵DF∥x轴，‎ ‎∴得矩形OFDH，‎ ‎∴DF＝OH，DH＝OF，‎ ‎∵E（1，0）和点F（0，1），‎ ‎∴OE＝OF＝1，∠OEF＝45，‎ ‎∴AE＝EF＝，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A＝90°，‎ ‎∵∠AEG＝∠OEF＝45°，‎ ‎∴AG＝AE＝，‎ ‎∴EG＝2，‎ ‎∵DH＝OF＝1，‎ ‎∠DHG＝90°，∠DGH＝∠AGE＝45°，‎ ‎∴GH＝DH＝1，‎ ‎∴DF＝OH＝OE+EG+GH＝1+2+1＝4，‎ ‎∴D（4，1），‎ ‎∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，‎ ‎∵k＝4．‎ 则k的值为4．‎ 故选：C．‎ ‎10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】①根据抛物线开口向下可得a＜0，对称轴在y轴右侧，得b＞0，抛物线与y轴正半轴相交，得c＞0，进而即可判断；‎ ‎②根据抛物线对称轴是直线x＝1，即﹣＝1，可得b＝﹣2a，进而可以判断；‎ ‎③根据抛物线与x轴有2个交点，可得△＞0，即b2﹣4ac＞0，进而可以判断；‎ ‎④当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，根据b＝﹣2a，可得3a+c＜0，即可判断．‎ ‎【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：‎ a＜0，‎ 因为对称轴在y轴右侧，‎ 所以b＞0，‎ 因为抛物线与y轴正半轴相交，‎ 所以c＞0，‎ 所以abc＜0，‎ 所以①错误；‎ ‎②因为抛物线对称轴是直线x＝1，‎ 即﹣＝1，‎ 所以b＝﹣2a，‎ 所以b+2a＝0，‎ 所以②正确；‎ ‎③因为抛物线与x轴有2个交点，‎ 所以△＞0，‎ 即b2﹣4ac＞0，‎ 所以b2﹣4ac+4a＞4a，‎ 所以4a+b2＞4ac+4a，‎ 所以③错误；‎ ‎④当x＝﹣1时，y＜0，‎ 即a﹣b+c＜0，‎ 因为b＝﹣2a，‎ 所以3a+c＜0，‎ 所以④正确．‎ 所以正确的个数是②④2个．‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000，将数据450000000用科学记数法表示为　4.5×108　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将数据450000000用科学记数法表示为4.5×108．‎ 故答案为：4.5×108．‎ ‎12．（3分）分解因式：ab2﹣9a＝　a（b+3）（b﹣3）　．‎ ‎【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：原式＝a（b2﹣9）‎ ‎＝a（b+3）（b﹣3），‎ 故答案为：a（b+3）（b﹣3）．‎ ‎13．（3分）甲、乙两人参加“环保知识”竞赛，经过6轮比赛，他们的平均成绩都是97分．如果甲、乙两人比赛成绩的方差分别为s甲2＝6.67，s乙2＝2.50，则这6次比赛成绩比较稳定的是　乙　．（填“甲”或“乙”）‎ ‎【分析】根据方差的意义求解可得．‎ ‎【解答】解：∵s甲2＝6.67，s乙2＝2.50，‎ ‎∴s甲2＝＞s乙2，‎ ‎∴这6次比赛成绩比较稳定的是乙，‎ 故答案为：乙．‎ ‎14．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞﹣1　．‎ ‎【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2+4k＞0，然后解不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△＝（﹣2）2+4k＞0，‎ 解得k＞﹣1．‎ 故答案为：k＞﹣1．‎ ‎15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为　12　．‎ ‎【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD＝DF，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵AB＝5，AC＝8，AF＝AB，‎ ‎∴FC＝AC﹣AF＝8﹣5＝3，‎ 由作图方法可得：AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD，‎ 在△ABD和△AFD中 ‎，‎ ‎∴△ABD≌△AFD（SAS），‎ ‎∴BD＝DF，‎ ‎∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+3＝12．‎ 故答案为：12．‎ ‎16．（3分）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是　66°　．‎ ‎【分析】根据正五边形和电视背景下的性质得到∠EAF＝108°﹣60°＝48°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵正五边形ABCDE，‎ ‎∴∠EAB＝＝108°，‎ ‎∵△ABF是等边三角形，‎ ‎∴∠FAB＝60°，‎ ‎∴∠EAF＝108°﹣60°＝48°，‎ ‎∵AE＝AF，‎ ‎∴∠AE＝∠AFE＝（180°﹣48°）＝66°，‎ 故答案为：66°．‎ ‎17．（3分）一张菱形纸片ABCD的边长为6cm，高AE等于边长的一半，将菱形纸片沿直线MN折叠，使点A与点B重合，直线MN交直线CD于点F，则DF的长为　（3+3）或（3﹣3）　cm．‎ ‎【分析】根据题意分两种情况：①如图1：根据菱形纸片ABCD的边长为6cm，高AE等于边长的一半，可得菱形的一个内角为30°，根据折叠可得BH＝AH＝3，再根据特殊角三角函数即可求出CF的长，进而可得DF的长；如图2，将如图1中的点A和点B交换一下位置，同理即可求出DF的长就是如图1中的CF的长．‎ ‎【解答】解：①根据题意画出如图1：‎ ‎∵菱形纸片ABCD的边长为6cm，‎ ‎∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，‎ ‎∵高AE等于边长的一半，‎ ‎∴AE＝3，‎ ‎∵sin∠B＝＝，‎ ‎∴∠B＝30°，‎ 将菱形纸片沿直线MN折叠，使点A与点B重合，‎ ‎∴BH＝AH＝3，‎ ‎∴BG＝＝2，‎ ‎∴CG＝BC﹣BG＝6﹣2，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠GCF＝∠B＝30°，‎ ‎∴CF＝CG•cos30°＝（6﹣2）×＝3﹣3，‎ ‎∴DF＝DC+CF＝6+3﹣3＝（3+3）cm；‎ ‎②如图2，BE＝AE＝3，‎ 同理可得DF＝3﹣3．‎ 综上所述：则DF的长为（3+3）或（3﹣3）cm．‎ 故答案为：（3+3）或（3﹣3）．‎ ‎18．（3分）如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…，的顶点A，A1，A2，A3，…，在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…，在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD与△B1DE的面积之和为S1，△A1C1D1与△B2D1E1的面积之和为S2，△A2C2D2与△B3D2E2的面积之和为S3，…，若AB＝2，则Sn等于　×4n﹣1　．（用含有正整数n的式子表示）‎ ‎【分析】设△ADC的面积为S，利用相似三角形的性质求出S1，S2，…Sn与S的关系即可解决问题．‎ ‎【解答】解：设△ADC的面积为S，‎ 由题意，AC∥B1B2，AC＝AB＝2，B1B2＝4，‎ ‎∴△ACD∽△B2B1D，‎ ‎∴＝（）2＝，‎ ‎∴＝4S，‎ ‎∵＝＝，CB1＝2，‎ ‎∴DB1＝，‎ 同法D1B2＝，‎ ‎∵DB1∥D1B2，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴S1＝S+＝，‎ ‎∵△A1C1D1∽△ACD，‎ ‎∴＝（）2＝，‎ ‎∴＝4S，‎ 同法可得，＝，‎ ‎∴S2＝4S+＝＝×4，‎ ‎…‎ Sn＝×4n﹣1，‎ ‎∵S＝×2×＝，‎ ‎∴Sn＝×4n﹣1．‎ 故答案为：．‎ 三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）‎ ‎19．（10分）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝3．‎ ‎【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．‎ ‎【解答】解：（x﹣1﹣）÷‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ 当x＝3时，原式＝．‎ ‎20．（12分）某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．‎ 根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）本次被调查的学生有　60　人；‎ ‎（2）请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；‎ ‎（3）通过了解，喜爱“航模”‎ 的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率．‎ ‎【分析】（1）根据摄影的人数和所占的百分比求出抽取的总人数；‎ ‎（2）用总人数减去其他兴趣小组的人数求出航模的人数，从而补全统计图；用360°乘以“航模”所占的百分比即可得出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；‎ ‎（3）根据题意画出图表得出所有等可能的情况数和所选的2人恰好是1名男生和1名女生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）本次被调查的学生有：9÷15%＝60（人）；‎ 故答案为：60；‎ ‎（2）航模的人数有：60﹣9﹣15﹣12＝24（人），‎ 补全条形统计图如图：‎ ‎“航模”所对应的圆心角的度数是：360°×＝144°；‎ ‎（3）设两名男生分别为男1，男2，两名女生分别为女1，女2，列表如下：‎ 男1‎ 男2‎ 女1‎ 女2‎ 男1‎ ‎（男2，男1）‎ ‎（女1，男1）‎ ‎（女2，男1）‎ 男2‎ ‎（男1，男2）‎ ‎（女1，男2）‎ ‎（女2，男2）‎ 女1‎ ‎（男1，女1）‎ ‎（男2，女1）‎ ‎（女2，女1）‎ 女2‎ ‎（男1，女2）‎ ‎（男2，女2）‎ ‎（女1，女2）‎ 由表格可以看出，所有可能出现的结果有12种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好是1名男生和1名女生的情况有8种．‎ 则所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率是＝．‎ 四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）‎ ‎21．（12分）某中学为了创设“书香校园”，准备购买A，B两种书架，用于放置图书．在购买时发现，A种书架的单价比B种书架的单价多20元，用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同．‎ ‎（1）求A，B两种书架的单价各是多少元？‎ ‎（2）学校准备购买A，B两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个A种书架？‎ ‎【分析】（1）设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用600元购买A种书架的个数与用480元购买B种书架的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；‎ ‎（2）设准备购买m个A种书架，则购买B种书架（15﹣m）个，根据题意列出不等式并解答．‎ ‎【解答】解：（1）设B种书架的单价为x元，根据题意，得．‎ 解得x＝80．‎ 经检验：x＝80是原分式方程的解．‎ ‎∴x+20＝100．‎ 答：购买A种书架需要100元，B种书架需要80元．‎ ‎（2）设准备购买m个A种书架，根据题意，得100m+80（15﹣m）≤1400．‎ 解得m≤10．‎ 答：最多可购买10个A种书架．‎ ‎22．（12分）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且AB垂直于桥面．（点A，B，C，M在同一平面内）‎ ‎（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）‎ ‎（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）‎ ‎（参考数据sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）‎ ‎【分析】（1）根据正切的定义求出AM；‎ ‎（2）根据正切的定义求出BM，结合图形计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB垂直于桥面，‎ ‎∴∠AMC＝∠BMC＝90°，‎ 在Rt△AMC中，CM＝60，∠ACM＝30°，‎ tan∠ACM＝，‎ ‎∴AM＝CM•tan∠ACM＝60×＝20（米），‎ 答：大桥主架在桥面以上的高度AM为20米；‎ ‎（2）在Rt△BMC中，CM＝60，∠BCM＝14°，‎ tan∠BCM＝，‎ ‎∴MB＝CM•tan∠BCM≈60×0.25＝15，‎ ‎∴AB＝AM+MB＝15+20≈50（米）‎ 答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米．‎ 五、解答题（满分12分）‎ ‎23．（12分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：‎ 销售单价x（元）‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎16‎ 每周的销售量y（本）‎ ‎500‎ ‎400‎ ‎300‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x 为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？‎ ‎【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答本题．‎ ‎【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），‎ ‎，得，‎ 即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；‎ ‎（2）由题意可得，‎ w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，‎ ‎∵a＝﹣50＜0‎ ‎∴w有最大值 ‎∴当x＜16时，w随x的增大而增大，‎ ‎∵12≤x≤15，x为整数，‎ ‎∴当x＝15时，w有最大值，‎ ‎∴w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，‎ 答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．‎ 六、解答题（满分12分）‎ ‎24．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，AB＝BC，连接BD，过点D的直线与CA的延长线相交于点E，且∠EDA＝∠ACD．‎ ‎（1）求证：直线DE是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AD＝6，CD＝8，求BD的长．‎ ‎【分析】（1）连接OD．想办法证明OD⊥DE即可．‎ ‎（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，想办法求出BF，DF即可．‎ 解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．证明△BDH是等腰直角三角形，求出DH即可．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，‎ ‎∵OC＝OD，‎ ‎∴∠OCD＝∠ODC，‎ ‎∵AC是直径，‎ ‎∴∠ADC＝90°，‎ ‎∵∠EDA＝∠ACD，‎ ‎∴∠ADO+∠ODC＝∠EDA+∠ADO，‎ ‎∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，‎ ‎∴OD⊥DE，‎ ‎∵OD是半径，‎ ‎∴直线DE是⊙O的切线．‎ ‎（2）解法一：过点A作AF⊥BD于点F，则∠AFB＝∠AFD＝90°，‎ ‎∵AC是直径，‎ ‎∴∠ABC＝∠ADC＝90°，‎ ‎∵在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，‎ ‎∴AC2＝AD2+CD2＝62+82＝100，‎ ‎∴AC＝10，‎ ‎∵在Rt△ABC中，AB＝BC，‎ ‎∴∠BAC＝∠ACB＝45°，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠ADB＝∠ACB＝45°，‎ ‎∵在Rt△ADF中，AD＝6，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵在Rt△ABF中，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 解法二：过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H．‎ ‎∴∠DBH＝90°，‎ ‎∵AC是直径，‎ ‎∴∠ABC＝90°，‎ ‎∵∠ABD＝90°﹣∠DBC∠CBH＝90°﹣∠DBC，‎ ‎∴∠ABD＝∠CBH，‎ ‎∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠BAD+∠BCD＝180°，‎ ‎∵∠BCD+∠BCH＝180°，‎ ‎∴∠BAD＝∠BCH，‎ ‎∵AB＝CB，‎ ‎∴△ABD≌△CBH（ASA），‎ ‎∴AD＝CH，BD＝BH，‎ ‎∵AD＝6，CD＝8，‎ ‎∴DH＝CD+CH＝14，‎ 在Rt△BDH中，∵BD2＝DH2﹣BH2＝98，‎ ‎∴．‎ 七、解答题（满分12分）‎ ‎25．（12分）在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD，将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO．‎ ‎（1）如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量关系；‎ ‎（2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若BC＝4，CD＝2，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，请直接写出线段OD的长．‎ ‎【分析】（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出OE＝OA＝AB，进而得出∠BOE＝2∠BAE，同理得出OD＝OA＝AB，∠DOE＝2∠BAD，即可得出结论；‎ ‎（2）先判断出△AOM≌△BOE（SAS），得出∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，再判断出∠MAD＝∠DCE，进而判断出△MAD≌△ECD，即可得出结论；‎ ‎（3）分点B在AC左侧和右侧两种情况，类似（2）的方法判断出OD＝OE，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）DO⊥EO，DO＝EO；‎ 理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上，‎ ‎∴∠AEB＝∠CEB＝90°，‎ 在Rt△ABE中，点O是AB的中点，‎ ‎∴OE＝OA＝AB，‎ ‎∴∠BOE＝2∠BAE，‎ 在Rt△ABD中，点O是AB的中点，‎ ‎∴OD＝OA＝AB，‎ ‎∴∠DOE＝2∠BAD，‎ ‎∴OD＝OE，‎ ‎∵等腰△ADC，且∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠DAC＝45°，‎ ‎∴∠DOE＝∠BOE+DOE＝2∠BAE+2∠BAD＝2（∠BAE+∠DAE）＝2∠DAC＝90°，‎ ‎∴OD⊥OE；‎ ‎（2）仍然成立，‎ 理由：如图1，延长ED到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，‎ ‎∵O是AB的中点，‎ ‎∴OA＝OB，‎ ‎∵∠AOM＝∠BOE，‎ ‎∴△AOM≌△BOE（SAS），‎ ‎∴∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，‎ ‎∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC＝∠CEB＝90°，‎ ‎∴∠CAD＝∠ACD＝∠EBC＝∠BCE＝45°，‎ ‎∵∠OBE＝180°﹣∠EBC＝135°，‎ ‎∴∠MAO＝135°，‎ ‎∴∠MAD＝∠MAO﹣∠DAC＝90°，‎ ‎∵∠DCE＝∠DCA+∠BCE＝90°，‎ ‎∴∠MAD＝∠DCE，‎ ‎∵MA＝EB，EB＝EC，‎ ‎∴MA＝EC，‎ ‎∵AD＝DC，‎ ‎∴△MAD≌△ECD，‎ ‎∴MD＝ED，∠ADM＝∠CDE，‎ ‎∵∠CDE+∠ADE＝90°，‎ ‎∴∠ADM+∠ADE＝90°，‎ ‎∴∠MDE＝90°，‎ ‎∵MO＝EO，MD＝DE，‎ ‎∴，OD⊥ME，‎ ‎∵，‎ ‎∴OD＝OE，OD⊥OE；‎ ‎（3）①当点B在AC左侧时，如图3，‎ 延长ED到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，‎ 同（2）的方法得，△OBE≌△OAM（SAS），‎ ‎∴∠OBE＝∠OAM，OM＝OE，BE＝AM，‎ ‎∵BE＝CE，‎ ‎∴AM＝CE，‎ 在四边形ABECD中，∠ADC+∠DCE+∠BEC+∠OBE+∠BAD＝540°，‎ ‎∵∠ADC＝∠BEC＝90°，‎ ‎∴∠DCE＝540°﹣90°﹣90°﹣∠OBE﹣∠BAD＝360°﹣∠OBE＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，‎ ‎∵∠DAM+∠OAM+∠BAD＝360°，‎ ‎∴∠DAM＝360°﹣∠OAM﹣∠BAD，‎ ‎∴∠DAM＝∠DCE，‎ ‎∵AD＝CD，‎ ‎∴△DAM≌△DCE（SAS），‎ ‎∴DM＝DE，∠ADM＝∠CDE，‎ ‎∴∠EDM＝∠ADM+∠ADE＝∠CDE+∠ADE＝∠ADC＝90°，‎ ‎∵OM＝OE，‎ ‎∴OD＝OE＝ME，∠DOE＝90°，‎ 在Rt△BCE中，CE＝BC＝2，‎ 过点E作EH⊥DC交DC的延长线于H，‎ 在Rt△CHE中，∠ECH＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣45°﹣60°﹣45°＝30°，‎ ‎∴EH＝CE＝，‎ 根据勾股定理得，CH＝EH＝，‎ ‎∴DH＝CD+CH＝3，‎ 在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE＝＝2，‎ ‎∴OD＝DE＝2，‎ ‎②当点B在AC右侧时，如图4，‎ 同①的方法得，OD＝OE，∠DOE＝90°，‎ 连接DE，过点E作EH⊥CD于H，‎ 在Rt△EHC中，∠ECH＝30°，‎ ‎∴EH＝CE＝，‎ 根据勾股定理得，CH＝，‎ ‎∴DH＝CD﹣CH＝，‎ 在Rt△DHE中，根据勾股定理得，DE＝2，‎ ‎∴OD＝DE＝2，‎ 即：线段OD的长为2或．‎ 八、解答题（满分14分）‎ ‎26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．‎ ‎【分析】（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入抛物线的解析式中，列方程组解出即可；‎ ‎（2）如图1，作辅助线，构建相似三角形，证明△DCH∽△CBO，则，设点D 的横坐标为t，则，列关于t的方程解出可得结论；‎ ‎（3）利用待定系数法求直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，设N（m，﹣m+3），当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，存在两种情况：如图2和图3，分别画图，根据平移的性质可表示M的坐标，代入抛物线的解析式列方程可解答．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3），‎ ‎∴，解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为：；‎ ‎（2）如图1，过点C作CE∥x轴交抛物线于点E，则∠ECB＝∠ABC，‎ 过点D作DH⊥CE于点H，则∠DHC＝90°，‎ ‎∵∠DCB＝∠DCH+∠ECB＝2∠ABC，‎ ‎∴∠DCH＝∠ABC，‎ ‎∵∠DHC＝∠COB＝90°，‎ ‎∴△DCH∽△CBO，‎ ‎∴，‎ 设点D的横坐标为t，则，‎ ‎∵C（0，3），‎ ‎∴，‎ ‎∵点B是与x轴的交点，‎ ‎∴，‎ 解得x1＝4，x2＝﹣1，‎ ‎∴B的坐标为（4，0），‎ ‎∴OB＝4，‎ ‎∴，‎ 解得t1＝0（舍去），t2＝2，‎ ‎∴点D的纵坐标为：，‎ 则点D坐标为；‎ ‎（3）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，‎ 则，解得：，‎ ‎∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，‎ 设N（m，﹣m+3），‎ 分两种情况：‎ ‎①如图2，以DF为边，N在x轴的上方时，四边形DFNM是平行四边形，‎ ‎∵D（2，），F（0，），‎ ‎∴M（m+2，﹣m+4），‎ 代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+4，‎ 解得：m＝，‎ ‎∴N（，3﹣）或（﹣，3+）；‎ ‎②如图3，以DF为边，N在x轴的下方时，四边形DFMN是平行四边形，‎ 同理得：M（m﹣2，﹣m+2），‎ 代入抛物线的解析式得：﹣＝﹣m+2，‎ 解得：m＝4，‎ ‎∴N（4+，﹣）或（4﹣，）；‎ 综上，点N的坐标分别为：（，3﹣）或（﹣，3+）或（4+，﹣）或（4﹣，）．‎