2012年白云区初中毕业班综合测试（一）数学试题 12页

‎ 2012年白云区初中毕业班综合测试（一）数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间为120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必在答题卡第1页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号、准考证号，再用2B铅笔把准考证号对应的号码标号涂黑．‎ ‎2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．‎ ‎3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需要改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分 选择题（共30分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎１．数据３，１，５，２，７，２的极差是（＊）‎ ‎（Ａ）２　　　（Ｂ）７　　　（Ｃ）６　　　（Ｄ）５‎ ‎２．单项式－的系数为（＊）‎ ‎（Ａ）２　　　（Ｂ）－２　　　（Ｃ）３　　　（Ｄ）－３‎ ‎３．不等式组的解集是（＊）‎ ‎（Ａ）３　　（Ｂ）－２≤＜３　　（Ｃ）≥－２　　（Ｄ）－２＜≤３‎ ‎４．一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形的边数为（＊）‎ ‎（Ａ）４　　　（Ｂ）５　　　（Ｃ）６　　　（Ｄ）７‎ ‎５．如图１，△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，∠Ａ的正切是（＊）‎ ‎（Ａ）　　（Ｂ）　　（Ｃ）　　　（Ｄ）‎ ‎６．已知两条线段的长度分别为‎２cm、‎８cm，下列能与它们构成三角形的线段长度为（＊）‎ ‎（Ａ）‎４cm　　　（Ｂ）‎６cm　　　（Ｃ）‎８cm　　　（Ｄ）‎‎１０cm ‎７．６４的算术平方根与６４的立方根的差是（＊）‎ ‎（Ａ）－１２　（Ｂ）±８　（Ｃ）±４　（Ｄ）４‎ ‎８．如图２，⊙Ｏ是△ＡＢＣ的外接圆，∠Ａ＝５０°，则∠ＯＢＣ的度数等于（＊）‎ ‎（Ａ）５０°　　　（Ｂ）４０°　　　（Ｃ）４５°　　　（Ｄ）１００°‎ ‎９．如图３，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＣ、ＢＤ交于点Ｏ，ＡＤ＝１，ＢＣ＝３，‎ 则Ｓ△ＡＯＤ︰Ｓ△ＢＯＣ等于（＊）‎ ‎（Ａ）１︰２　　　（Ｂ）１︰３　　　（Ｃ）４︰９　　　（Ｄ）１︰９‎ ‎１０．若一次函数＝＋，当的值增大１时，值减小３，则当的值减小３时，值（＊）‎ ‎（Ａ）增大３　　（Ｂ）减小３　　（Ｃ）增大９　（　Ｄ）减小９‎ 图3‎ 图1‎ C B A 图2‎ 第二部分 非选择题（共120分）‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎１１．已知∠α＝５０°，则∠α的余角的度数为　　　＊　　　°．‎ ‎１２．不等式－的解集为　　　＊　　　．‎ ‎１３．点（－２，１）关于原点对称的点的坐标为　　　＊　　　．‎ ‎１４．在一次数学测验中，某学习小组的六位同学的分数分别是５４，８５，９２，７３，６１，８５．这组数据的平均数是　　＊　　，众数是　　＊　　，中位数是　　＊　　．‎ 图4‎ B C P D A ‎·‎ ‎１５．计算并化简式子的结果为　　　＊　　　．‎ ‎１６．如图４，是以边长为６的等边△ＡＢＣ一边ＡＢ为半径的四分之一圆周，Ｐ为上一动点．当ＢＰ经过弦ＡＤ的中点Ｅ时，四边形ＡＣＢＥ的周长为　　＊　　（结果用根号表示）．‎ 三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎１７．（本小题满分９分）‎ A B C D E F 图5‎ 解方程组：．‎ ‎１８．（本小题满分９分）‎ 已知，如图５，Ｅ、Ｆ分别为矩形ＡＢＣＤ的边ＡＤ和ＢＣ上的点，ＡＥ＝ＣＦ．‎ 求证：ＢＥ＝ＤＦ．‎ ‎１９．（本小题满分１０分）‎ 先化简，再求值：，其中＝－．‎ y ‎1‎ x ‎1‎ O 图6‎ B A ‎２０．（本小题满分１０分）‎ 如图６，等腰△ＯＡＢ的顶角∠ＡＯＢ＝３０°，点Ｂ在轴上，腰ＯＡ＝４．‎ ‎（１）Ｂ点的坐标为：　　　　　　；‎ ‎（２）画出△ＯＡＢ关于轴对称的图形△ＯＡ１Ｂ１（不写画法，保留画图痕迹），求出Ａ１与Ｂ１的坐标；‎ ‎（３）求出经过Ａ１点的反比例函数解析式．‎ ‎（注：若涉及无理数，请用根号表示）‎ ‎２１．（本小题满分１２分）‎ 在－２，－３，４这三个数中任选２个数分别作为点Ｐ的横坐标和纵坐标．‎ ‎（１）可得到的点的个数为　　　　　；‎ ‎（２）求过Ｐ点的正比例函数图象经过第二、四象限的概率（用树形图或列表法求解）；‎ ‎（３）过点Ｐ的正比例函数中，函数随自变量的增大而增大的概率为　　　　　．‎ ‎２２．（本小题满分１１分）‎ 图7‎ 在同一间中学就读的李浩与王真是两邻居，平时他们一起骑自行车上学．清明节后的一天，李浩因有事，比王真迟了１０分钟出发，为了能赶上王真，李浩用了王真速度的１.２倍骑车追赶，结果他们在学校大门处相遇．已知他们家离学校大门处的骑车距离为１‎５千米．求王真的速度．‎ ‎２３．（本小题满分１３分）‎ 如图７，已知⊙Ｏ的弦ＡＢ等于半径，连结ＯＢ并延长使ＢＣ＝ＯＢ．‎ ‎（１）∠ＡＢＣ＝　　　　　°；‎ ‎（２）ＡＣ与⊙Ｏ有什么关系？请证明你的结论；‎ ‎（３）在⊙Ｏ上，是否存在点Ｄ，使得ＡＤ＝ＡＣ？若存在，请画出图形，并给出证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎２４A B C D E 图8‎ ．（本小题满分１４分）‎ 如图８，正方形ＡＢＣＤ的边长是４，∠ＤＡＣ的平分线交ＤＣ于点Ｅ，点Ｐ、Ｑ分别是边ＡＤ和ＡＥ上的动点（两动点都不与端点重合）．‎ ‎（１）ＰＱ＋ＤＱ的最小值是　　　　　　　；‎ ‎（２）说出ＰＱ＋ＤＱ取得最小值时，点Ｐ、点Ｑ的位置，并在图８中画出；‎ ‎（３）请对（２）中你所给的结论进行证明．‎ ‎２５．（本小题满分１４分）‎ 已知抛物线＝＋＋－4．‎ ‎（１）当＝２时，求出此抛物线的顶点坐标；‎ ‎（２）求证：无论为什么实数，抛物线都与轴有交点，且经过轴上的一定点；‎ ‎（３）已知抛物线与轴交于Ａ（1，0）、Ｂ（2，0）两点（Ａ在Ｂ的左边），|1|＜|2|，与轴交于C点，且Ｓ△ABC＝１５．问：过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由．如果有，求出其坐标．‎ O y x ‎1‎ 备用图 参考答案及评分建议（2012一模）‎ 一、选择题 题 号 ‎１‎ ‎２‎ ‎３‎ ‎４‎ ‎５‎ ‎６‎ ‎７‎ ‎８‎ ‎９‎ ‎１０‎ 答 案 Ｃ Ｂ Ｂ Ａ[来源:学科网]‎ Ｂ Ｃ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ 二、填空题 题 号 ‎１１‎ ‎１２‎ ‎１３‎ ‎１４‎ ‎１５‎ ‎１６‎ 答 案 ‎４０‎ ‎＜－３‎ ‎（２，－１）‎ ‎７５，８５，７９‎ ‎－‎ ‎１２＋６‎ 三、解答题 ‎１７．（本小题满分９分）‎ 解：‎ 解法一（加减法）：①－②×３，………………………………………………３分 得 ‎………………………………………………………５分 ‎…………………………………………………………………………６分 ‎＝－１，…………………………………………………………………………７分 代入②式，得＝２，……………………………………………………………８分 ‎∴原方程组的解为：．…………………………………………………９分 解法二（代入法）：‎ 由②得：，……………………………………………………３分 把③代入①式，……………………………………………………………………５分 得3（）+＝４，………………………………………………………６分 解得＝－１，……………………………………………………………………７分 代入③式，得＝２，……………………………………………………………８分 ‎∴原方程组的解为：．…………………………………………………９分 ‎１８．（本小题满分９分）‎ 证法一：∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，‎ ‎∴ＡＢ＝ＣＤ，∠Ａ＝∠Ｃ＝９０°．…………………………………………４分 在△ＡＢＥ和△ＣＤＦ中，……………………………………………………５分 ‎∵，　∴△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＳＡＳ），……………………８分 ‎∴ＢＥ＝ＤＦ（全等三角形对应边相等）．…………………………………９分 证法二：∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，‎ ‎∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，…………………………………………………３分 又∵ＡＥ＝ＣＦ，∴ＡＤ－ＡＥ＝ＢＣ－ＣＦ，……………………………５分 即ＥＤ＝ＢＦ，…………………………………………………………………６分 而ＥＤ∥ＢＦ， ‎ ‎∴四边形ＢＦＤＥ为平行四边形………………………………………………８分 ‎∴ＢＥ＝ＤＦ（平行四边形对边相等）．……………………………………９分 ‎１９．（本小题满分１０分）‎ 解：‎ ‎＝………………………………………………………５分 ‎＝…………………………………………………………６分 ‎＝………………………………………………………………………７分 当＝－时，………………………………………………………………８分 原式＝４×（－）＋１３‎ ‎＝－６＋１３……………………………………………………………９分 ‎＝７………………………………………………………………………１０分 ‎２０．（本小题满分１０分）‎ 解：（１）（４，０）；…………………………………………………………１分 ‎（２）如图１，过点Ａ作ＡＣ⊥轴于Ｃ点．………………………………２分 在Ｒt△ＯＡＣ中，∵斜边ＯＡ＝４，∠ＡＯＢ＝３０°，‎ ‎∴ＡＣ＝２，ＯＣ＝ＯＡ·cos３０°＝２，……………………………４分 ‎∴点Ａ的坐标为（２，２）．………………………………………………５分 由轴对称性，得Ａ点关于轴的对称点 Ａ１的坐标为（－２，２），………………………………………………６分 Ｂ点关于轴的对称点Ｂ１的坐标为（－４，０）；…………………………７分 ‎（３）设过Ａ１点的反比例函数解析式＝，……………………………８分 把点Ａ１的坐标（－２，２）代入解析式， ‎ 得２＝，∴＝－４，………………………………………………９分 y ‎1‎ x ‎1‎ O 图1‎ B A A1‎ B1‎ C 从而该反比例函数的解析式为＝－．…………………………………１０分 ‎２１．（本小题满分１２分）‎ 解：（１）　６　；……………………………………………………………………３分 ‎（２）树形图如下：‎ 点P的横坐标 点P的纵坐标 ‎－2‎ ‎－3‎ ‎4‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎4‎ ‎－2‎ ‎4‎ ‎－3‎ ‎……………６分 所经过的６个点分别为 Ｐ１（－２，－３）、Ｐ２（－２，４）、Ｐ３（－３，－２）、‎ Ｐ４（－３，４）、Ｐ５（４，－２）、Ｐ６（４，－３），……………………………８分 其中经过第二、四象限的共有４个点，………………………………………………９分 ‎∴Ｐ（经过第二、四象限）＝＝；……………………………………………１０分 列表法：‎ ‎（－２，－３）‎ ‎（－２，４）‎ ‎（－３，－２）‎ ‎（－３，４）‎ ‎（４，－２）‎ ‎（４，－３）‎ ‎……………………………………………………………………………………………６分 所经过的６个点分别为 Ｐ１（－２，－３）、Ｐ２（－２，４）、Ｐ３（－３，－２）、‎ Ｐ４（－３，４）、Ｐ５（４，－２）、Ｐ６（４，－３），……………………………８分 其中经过第二、四象限的共有４个点，………………………………………………９分 ‎∴Ｐ（经过第二、四象限）＝＝；……………………………………………１０分 ‎（３）．……………………………………………………………………………１２分 ‎２２．（本小题满分１１分）‎ 解：设王真骑自行车的速度为千米／时，……………………………………１分 则李浩的速度为１.２千米／时．‎ 根据题意，得．…………………………………………………６分 即，两边同乘以去分母，‎ 得７５＋＝９０，………………………………………………………………８分 解得＝１５．……………………………………………………………………９分 经检验，＝１５是该分式方程的根．………………………………………１０分[来源:Zxxk.Com]‎ 答：王真的速度为‎１５km／时．………………………………………………１１分 ‎２３．（本小题满分１３分）‎ 解：（１）１２０°；……………………………………………………………１分 ‎（２）ＡＣ是⊙Ｏ的切线．……………………………………………………３分 证法一 ‎∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＯＡ，∴△ＯＡＢ为等边三角形，…………………………４分 ‎∴∠ＯＢＡ＝∠ＡＯＢ＝６０°．……………………………………………５分 ‎∵ＢＣ＝ＢＯ，∴ＢＣ＝ＢＡ，‎ ‎∴∠Ｃ＝∠ＣＡＢ，……………………………………………………………６分 又∵∠ＯＢＡ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＢ＝２∠Ｃ，‎ 即２∠Ｃ＝６０°，∴∠Ｃ＝３０°，………………………………………７分 在△ＯＡＣ中，∵∠Ｏ＋∠Ｃ＝６０°＋３０°＝９０°，‎ ‎∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分 ‎∴ＡＣ是⊙Ｏ的切线；‎ 证法二：‎ ‎∵ＢＣ＝ＯＢ，∴点Ｂ为边ＯＣ的中点，……………………………………４分 即ＡＢ为△ＯＡＣ的中位线，…………………………………………………５分 ‎∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ，即ＡＢ是边ＯＣ的一半，……………………………６分 ‎∴△ＯＡＣ是以ＯＣ为斜边的直角三角形，…………………………………７分 ‎∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分 ‎∴ＡＣ是⊙Ｏ的切线；‎ ‎（３）存在．……………………………………………………………………９分 方法一：‎ 如图２，延长ＢＯ交⊙Ｏ于点Ｄ，即为所求的点．…………………………１０分 证明如下：‎ 连结ＡＤ，∵ＢＤ为直径，∴∠ＤＡＢ＝９０°．…………………………１１分 在△ＣＡＯ和△ＤＡＢ中，‎ ‎∵，∴△ＣＡＯ≌△ＤＡＢ（ＡＳＡ），………………１２分 ‎∴ＡＣ＝ＡＤ．…………………………………………………………………１３分 ‎（也可由ＯＣ＝ＢＤ，根据ＡＡＳ证明；或ＨＬ证得，或证△ＡＢＣ≌△ＡＯＤ）‎ 方法二：‎ 如图３，画∠ＡＯＤ＝１２０°，……………………………………………１０分 ＯＤ交⊙Ｏ于点Ｄ，即为所求的点．…………………………………………１１分 ‎∵∠ＯＢＡ＝６０°，‎ ‎∴∠ＡＢＣ＝１８０°－６０°＝１２０°．‎ 在△ＡＯＤ和△ＡＢＣ中，‎ ‎∵，∴△ＡＯＤ≌△ＡＢＣ（ＳＡＳ），………………１２分 图2‎ 图3‎ ‎∴ＡＤ＝ＡＣ．…………………………………………………………………１３分 ‎２４．（本小题满分１４分）‎ 解：（１）　；…………………………………………………………２分 ‎（２）如图４，过点Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ，垂足为Ｆ，………………………３分 ＤＦ与ＡＥ的交点即为点Ｑ；………………………………………………４分 过点Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即为点Ｐ；……………………………………５分 ‎（３）由（２）知，ＤＦ为等腰Ｒt△ＡＤＣ底边上的高，‎ ‎∴ＤＦ＝ＡＤ·sin４５°＝４×＝．…………………………６分 ‎∵ＡＥ平分∠ＤＡＣ，Ｑ为ＡＥ上的点，‎ 且ＱＦ⊥ＡＣ于点Ｆ，ＱＰ⊥ＡＤ于点Ｐ，‎ ‎∴ＱＰ＝ＱＦ（角平分线性质定理），……………………………………７分 ‎∴ＰＱ＋ＤＱ＝ＦＱ＋ＤＱ＝ＤＦ＝．‎ 下面证明此时的ＰＱ＋ＤＱ为最小值：‎ 在ＡＥ上取异于Ｑ的另一点Ｑ１（图5）．…………………………………９分 ‎①过Ｑ１点作Ｑ１Ｆ１⊥ＡＣ于点Ｆ１，………………………………………１０分 过Ｑ１点作Ｑ１Ｐ１⊥ＡＤ于点Ｐ１，…………………………………………１１分 则Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＝Ｆ１Ｑ１＋ＤＱ１， ‎ 由“一点到一条直线的距离”，可知，垂线段最短，‎ ‎∴得Ｆ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＦＱ＋ＤＱ，‎ 即Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＰＱ＋ＤＱ．…………………………………………１２分 ‎②若Ｐ２是ＡＤ上异于Ｐ１的任一点，………………………………………１３分 可知斜线段Ｐ２Ｑ１＞垂线段Ｐ１Ｑ１，………………………………………１４分 ‎∴Ｐ２Ｑ１＋ＤＱ１＞Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＰＱ＋ＤＱ．‎ 从而可得此处ＰＱ＋ＤＱ的值最小．‎ P Q A B C D E 图5‎ F P2‎ Ｑ1‎ F1‎ P1‎ P Q A B C D E 图4‎ F ‎２５．（本小题满分１４分）‎ 解：（１）当＝２时，抛物线为＝＋，…………………………１分 配方：＝＋＝＋＋１－１‎ 得＝－１，‎ ‎∴顶点坐标为（－１，－１）；………………………………………………３分 ‎（也可由顶点公式求得）‎ ‎（２）令＝０，有＋＋－4＝０，………………………………４分 此一元二次方程根的判别式 ‎⊿＝－４·（－４）＝－＋１６＝，…………………５分 ‎∵无论为什么实数，≥０，‎ 方程＋＋－4＝０都有解，…………………………………………６分 即抛物线总与轴有交点．‎ 由求根公式得＝，………………………………………………７分 当≥４时，＝，‎ ‎1＝＝－２，2＝＝－＋２； ‎ 当＜４时，＝， ‎ ‎1＝＝－＋２，2＝＝－２．‎ 即抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０），‎ 而点（－２，０）是轴上的定点；…………………………………………８分 ‎（３）过Ａ，Ｂ，Ｃ三点的圆与该抛物线有第四个交点．…………………９分 设此点为Ｄ．∵|1|＜|2|，C点在y轴上，‎ 由抛物线的对称，可知点Ｃ不是抛物线的顶点．……………………………１０分 由于圆和抛物线都是轴对称图形，‎ 过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线组成一个轴对称图形．……………………１１分 ‎∵轴上的两点Ａ、Ｂ关于抛物线对称轴对称，‎ ‎∴过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的圆与抛物线的第四个 交点Ｄ应与C点关于抛物线对称轴对称．……………………………………１２分 由抛物线与轴的交点分别为（－２，０）和（－＋２，０）：‎ 当－２＜－＋２，即＜４时，……………………………………………１３分 Ａ点坐标为（－２，０），Ｂ为（－＋２，０）．‎ 即1＝－２，2＝－＋２．‎ 由|1|＜|2|得－＋２＞２，解得＜０．‎ 根据Ｓ△ABC＝１５，得ＡＢ·ＯＣ＝１５．‎ ＡＢ＝－＋２－（－２）＝４－，‎ ＯＣ＝|２－４|＝４－２，‎ ‎∴（４－）（４－２）＝１５，‎ 化简整理得＝０，‎ 解得＝７（舍去）或＝－１．‎ 此时抛物线解析式为＝，‎ 其对称轴为＝，Ｃ点坐标为（０，－６），‎ 它关于＝的对称点Ｄ坐标为（１，－６）；………………………………１４分[来源:学科网]‎ 当－２＞－＋２，由Ａ点在Ｂ点左边，‎ 知Ａ点坐标为（－＋２，０），Ｂ为（－２，０）．‎ O y x C ‎1‎ D B A 图6‎ 即1＝－＋２，2＝－２．‎ 但此时|1|＞|2|，这与已知条件|1|＜|2|不相符，‎ ‎∴不存在此种情况．‎ 故第四个交点的坐标为（１，－６）．‎ ‎（如图６）‎ ‎[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎