九年级上数学（华师大版）导学案－24 3页

‎25.3　解直角三角形 第1课时　解直角三角形 学前温故 sin 45°＝______，sin 30°＝______，sin 60°＝；‎ cos 45°＝，cos 30°＝，cos 60°＝；‎ tan 45°＝1，tan 30°＝，tan 60°＝；‎ cot 45°＝1，cot 30°＝，cot 60°＝.‎ 新课早知 ‎1．在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫____________．在解直角三角形的条件中，至少有______是已知的．‎ ‎2．在下列给出的直角三角形条件中，不能解直角三角形的是(　　)．‎ A．已知一直角边和所对锐角[来源:Z&xx&k.Com]‎ B．已知两直角边 C．已知两锐角 D．已知斜边和一锐角 ‎3．一架‎5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为40°，则梯子底端到墙角的距离为(　　)．[来源:学,科,网]‎ A．5sin 40° B．5cos 40°‎ C． D． ‎4．在△ABC中，∠C＝90°.‎ ‎(1)已知∠A＝30°，BC＝‎8 cm，求AB与AC的长；‎ ‎(2)已知∠A＝60°，AC＝ cm，求AB与BC的长．‎ 答案：学前温故 　　‎ 新课早知 ‎1．解直角三角形　一条边 ‎2．C　3.B ‎4．解：(1)由sin A＝，‎ 则AB＝＝＝16.‎ 由cot A＝，‎ 则AC＝BC·cot A＝8×cot 30°＝8.‎ ‎(2)由cos A＝，‎ 则AB＝＝＝2，‎ 由tan A＝，则BC＝AC·tan 60°＝3.‎ 解斜三角形 ‎【例题】 已知△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝15°，BC＝2，求AB及AC的长．‎ 分析：过C点作CD⊥AB，交AB延长线于D点，这样就可形成含45°角的直角三角形，同时又形成含30°角的直角三角形，这时所要求的AC、AB都在直角三角形中，可以利用三角函数进行求解．‎ 解：过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于D点．‎ ‎∵∠A＝30°，∠ACB＝15°，‎ ‎∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝45°.∴∠DCB＝90°－45°＝45°.∴CD＝BD．‎ 由勾股定理，有CB2＝CD2＋BD2.‎ ‎∵CB＝2，∴BD＝CD＝2.‎ 在Rt△ADC中，∵∠A＝30°，∴AC＝2CD＝4.[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 在Rt△ADC中，tan A＝，即AD＝2.‎ ‎∵AB＝AD－BD，∴AB＝2－2.‎ ‎∴AB＝2－2，AC＝4.‎ 点拨：解斜三角形时，一般通过作高转化为两个直角三角形来解．作高时，不能盲目作，要根据题设条件，除了要注意特殊角外，还要使构造出来的直角三角形有利于问题的转化．‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ ‎1．(2010黑龙江哈尔滨中考)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为(　　)．‎ A．7sin 35° B． C．7cos 35° D．7tan 35°‎ ‎2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2，BC＝，则tan 等于(　　)．‎ A． B． C． D．2－ ‎3．Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＝4，sin A＝，则c＝__________.‎ ‎4．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝4，那么AD＝______.‎ ‎5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形．‎ ‎(1)∠B＝60°，a＝4；‎ ‎(2)a＝－1，b＝3－；‎ ‎(3)∠A＝60°，c＝2＋.‎ 答案：1．C ‎2．B　sin A＝＝，所以∠A＝60°，tan ＝tan 30°＝.‎ ‎3．12‎ ‎4．4　在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝AB·cos B＝4×cos 30°＝6，在Rt△ACD中，CD＝AC·tan∠CAD＝2×tan 30°＝2，‎ ‎∴AD＝DB＝BC－CD＝4.‎ ‎5．解：(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°；[来源:学|科|网]‎ 由tan B＝，得b＝atan B＝4tan 60°＝4；‎ 由cos B＝，得c＝＝＝8.‎ ‎(2)由tan B＝，得tan B＝＝，‎ 所以∠B＝60°，∠A＝30°.‎ 由sin A＝，‎ 得c＝＝＝2－2.‎ ‎(3)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.‎ b＝c·sin B＝(2＋)×＝1＋，‎ a＝c·sin A＝(2＋)×＝＋.‎