人教版九年级数学上册教案：24_4 弧长和扇形的面积 6页

1 3.7 弧长及扇形的面积 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程； 2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题． (二)能力训练要求 1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力． 2．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力． (三)情感与价值观要求 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受 数学的严谨性以及数学结论的确定性． 2．通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系， 激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力． 教学重点 1．经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程． 2．了解弧长及扇形面积计算公式． 3．会用公式解决问题． 教学难点 1．探索弧长及扇形面积计算公式． 2．用公式解决实际问题． 教学方法 学生互相交流探索法 教具准备 2．投影片四张 第一张：(记作§3．7A) 第二张：(记作§3．7B) 第三张：(记作§3．7C) 第四张：(记作§3．7D) 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 2 [师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆 的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系 呢？本节课我们将进行探索． Ⅱ．新课讲解 一、复习 1．圆的周长如何计算？ 2．圆的面积如何计算？ 3．圆的圆心角是多少度？ [生]若圆的半径为 r，则周长 l＝2π r，面积 S＝π r2，圆的圆心角是 360°． 二、探索弧长的计算公式 投影片(§3．7A) 如图，某传送带的一个转动轮的半径为 10cm． (1)转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？ (2)转动轮转 1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？ (3)转动轮转 n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？ [师]分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对 应 360°的圆心角，所以转动轮转 1°，传送带上的物品 A 被传送圆周长的 1 360 ；转动轮转 n°，传送带上的物品 A 被传送转 1°时传送距离的 n 倍． [生]解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送 2π ×10＝20π cm； (2)转动轮转 1°，传送带上的物品 A 被传送 20 360 18  cm； (3)转动轮转 n°，传送带上的物品 A 被传送 n× 20 n 360 180  ＝cm． [师]根据上面的计算，你能猜想出在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算 公式吗？请大家互相交流． 3 [生]根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长 2π R，那么 1°的圆心角对应的 弧长为 2 360 180 RR ，n°的圆心角对应的弧长应为 1°的圆心角对应的弧长的 n 倍，即 n× 180 180 R n R ． [师]表述得非常棒． 在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为： l＝ 180 nR ． 下面我们看弧长公式的运用． 三、例题讲解 投影片(§3．7B) 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展 直长度，即 AB 的长(结果精确到 0.1mm)． 分析：要求管道的展直长度，即求 的长，根根弧长公式 l＝ 180 nR 可求得 的长， 其中 n 为圆心角，R 为半径． 解：R＝40mm，n＝110． ∴ 的长＝ 180 n π R＝110 180 ×40π ≈76.8mm． 因此，管道的展直长度约为 76.8mm． 四、想一想 投影片(§3．7C) 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长 3m 的绳子，绳子的另一端拴着一 只狗． (1)这只狗的最大活动区域有多大？ (2)如果这只狗只能绕柱子转过 n°角，那么它的最大活动区域有多大？ [师]请大家互相交流． 4 [生](1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即 9π ； (2)如图(2)，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积， 1°的圆心角对应圆面积的 1 360 ，即 ×9π ＝ 40  ，n°的圆心角对应的圆面积为 n× ＝ 40 n ． [师]请大家根据刚才的例题归纳总结扇形的面积公式． [生]如果圆的半径为 R，则圆的面积为π R2，1°的圆心角对应的扇形面积为 2 360 R ，n° 的圆心角对应的扇形面积为 n· 22 360 360 R n R ．因此扇形面积的计算公式为 S 扇形＝ 360 n π R2，其中 R 为扇形的半径，n 为圆心角． 五、弧长与扇形面积的关系 [师]我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 的计算公式为 l＝ 180 n π R，n°的圆心角的扇形面积公式为 S 扇形＝ π R2，在这两个公式 中，弧长和扇形面积都和圆心角 n．半径 R 有关系，因此 l 和 S 之间也有一定的关系，你能 猜得出吗？请大家互相交流． [生]∵l＝ π R，S 扇形＝ π R2， ∴ π R2＝ 1 2 R· π R．∴S 扇形＝ lR． 六、扇形面积的应用 投影片(§3．7D) 扇形 AOB 的半径为 12cm，∠AOB＝120°，求 AB 的长(结果精确到 0.1cm)和扇形 AOB 的面积(结果精确到 0.1cm2) 分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径 R 和圆心角 n 即可，本题中这些 条件已经告诉了，因此这个问题就解决了． 5 解： AB 的长＝120 180 π ×12≈25.1cm． S 扇形＝ 120 360 π ×122≈150.7cm2． 因此， 的长约为 25.1cm，扇形 AOB 的面积约为 150.7cm2． Ⅲ．课堂练习 随堂练习 Ⅳ．课时小结 本节课学习了如下内容： 1．探索弧长的计算公式 l＝ 180 n π R，并运用公式进行计算； 2．探索扇形的面积公式 S＝ 360 n π R2，并运用公式进行计算； 3．探索弧长 l 及扇形的面积 S 之间的关系，并能已知一方求另一方． Ⅴ．课后作业 习题 3．10 Ⅵ．活动与探究 如图，两个同心圆被两条半径截得的 的长为 6π cm，CD 的长为 10π cm，又 AC ＝12cm，求阴影部分 ABDC 的面积． 分析：要求阴影部分的面积，需求扇形 COD 的面积与扇形 AOB 的面积之差．根据扇形 面积 S＝ 1 2 lR，l 已知，则需要求两个半径 OC 与 OA，因为 OC＝OA＋AC，AC 已知，所以只要 能求出 OA 即可． 解：设 OA＝R，OC＝R＋12，∠O＝n°，根据已知条件有： 6 180 10 ( 12)180 n R n R          ① ② ① ② 得 3 5 12 R R  ． 6 ∴3(R＋12)＝5R，∴R＝18． ∴OC＝18＋12＝30． ∴S＝S 扇形 COD－S 扇形 AOB＝ 1 2 ×10π ×30－ ×6π ×18＝96π cm2． 所以阴影部分的面积为 96π cm2． 板书设计 §3．7 弧长及扇形的面积 一、1．复习圆的周长和面积计算公式； 2．探索弧长的计算公式； 3．例题讲解； 4．想一想； 5．弧长及扇形面积的关系； 6．扇形面积的应用． 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业