北师大九年级数学下册知识点总结 6页

‎ 九年级数学下册知识点归纳 第一章 直角三角形边的关系 一．锐角三角函数 ‎1.正切：‎ 定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，‎ 即;‎ ‎①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；‎ ‎②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；‎ ‎③tanA不表示“tan”乘以“A”；‎ ‎④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；‎ ‎⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。‎ ‎2.正弦：‎ 定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;‎ ‎3.余弦：‎ 定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;‎ 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。‎ 图2‎ h i=h:l l A B C 图1‎ 二．特殊角的三角函数值 ‎30 º ‎45 º ‎60 º sinα cosα tanα ‎1‎ 三．三角函数的计算 ‎1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角 ‎2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角 ‎3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。‎ ‎4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即 ‎5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。‎ ‎6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。‎ 图4‎ 图3‎ ‎7.同角的三角函数间的关系：‎ ‎①互余关系sinA=cos(90°－A)、cosA=sin(90°－A)‎ ‎②平方关系：③商数关系：‎ ‎8.解直角三角形：‎ 第6页 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。‎ ‎9.直角三角形变焦关系：‎ 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有 ‎(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；‎ ‎(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；‎ ‎(3)边与角之间的关系：‎ ‎(4)面积公式:(hc为C边上的高); ‎ ‎(5)直角三角形的内切圆半径 ‎ (6)直角三角形的外接圆半径 ‎10.三角函数的应用 ‎ ‎11.利用三角函数测高 ‎ 第二章 二次函数 第6页 ‎1.概念：一般地，若两个变量x，y之间对应关系可以表示成(、b、c是常数,≠0)的形式，则称y是x的二次函数。自变量x的取值范围是全体实数。在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。‎ ‎2. 图像性质：‎ ‎(1)二次函数y＝ax2的图象：是一条顶点在原点且关于y轴对称的抛物线。是二次函数的特例，此时常数b=c=0.‎ ‎（2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。‎ ‎①函数的取值范围是全体实数；‎ ‎②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。‎ ‎③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。‎ ‎④函数的增减性：‎ A、当a＞0时　　 ‎ B、当a＜0时 ‎⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。‎ ‎⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0。‎ ‎（3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。‎ ‎（4）二次函数的图象：是以直线为对称轴，顶点坐标为（，）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）‎ ‎|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；‎ ‎|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。‎ ‎（5）二次函数的图象与y＝ax2的图象的关系：‎ ‎ 的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：（利用顶点坐标） ‎ ‎（6）二次函数的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）‎ ‎（7）二次函数的性质：‎ 二次函数配方成则抛物线的 ①对称轴：x= ‎ ‎②顶点坐标：（，）‎ ‎③增减性：若a>0，当x<时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大而增大。‎ 第6页 若a<0，则当x<时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大而减小。‎ ‎④最值：若a>0，则当x=时，；若a<0，则当x=时，‎ ‎3.确定二次函数的表达式：（待定系数法）‎ ‎（1）一般式：‎ ‎（2）顶点式：‎ ‎（2）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)‎ ‎4.二次函数的应用： 几何方面 应用题 ‎5.二次函数与一元二次方程 ‎（1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一 二次方程的两个实数根 ‎（2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：‎ ‎ >0 <===> 抛物线与x轴有2个交点；‎ ‎ =0 <===> 抛物线与x轴有1个交点；‎ ‎ <0 <===> 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；‎ ‎（3）当>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：‎ 化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。‎ 第6页 第三章 圆 ‎1.圆的定义：‎ 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”‎ 集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。‎ 对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；‎ ‎ ②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。‎ ‎2.点与圆的位置关系及其数量特征：‎ 如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 ‎①点在圆上 <===> d=r;‎ ‎②点在圆内 <===> d d>r.‎ 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。‎ ‎3. 圆的对称性: ‎ ‎（1) 与圆相关的概念：‎ ‎①弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。‎ ‎②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)‎ ‎③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。‎ ‎④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。‎ ‎⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。‎ ‎⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。‎ ‎⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.‎ ‎⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.‎ ‎（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。圆是中心对称图形，对称中心为圆心。‎ 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。‎ 推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.‎ ‎4.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。‎ 推论：平分一般弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。‎ 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：‎ ① 圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。‎ ‎ 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。‎ ‎5.圆周角和圆心角的关系:‎ ‎（1）圆周角：:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.‎ ‎（2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.‎ 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。‎ 推论2:直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；‎ ‎（3）圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.‎ 圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补; ‎ ‎6 确定圆的条件:‎ ‎（1）理解确定一个圆必备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小. 经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.‎ ‎（2）经过三点作圆要分两种情况:‎ 第6页 经过同一直线上的三点不能作圆.‎ ‚经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆.‎ 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. （尺规作图）‎ ‎7.三角形的外接圆、三角形的外心。‎ ‎(1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.‎ ‎(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.‎ ‎(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.‎ ‎8.直线与圆的位置关系 ‎(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.‎ ‎(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.‎ ‎(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.‎ ‎(4)直线与圆的位置关系的数量特征:‎ ‎ 设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d 直线L和⊙O相交.‎ ‎ ②d=r <===> 直线L和⊙O相切.‎ ‎ ③d>r <===> 直线L和⊙O相离.‎ ‎(5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.‎ ‎ 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.‎ 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.‎ 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.‎ 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:‎ 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.‎ ‎①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.‎ ‎(6）三角形的内切圆、内心.‎ 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.‎ 三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等. (三角形的内切圆作法尺规作图)‎ ‎9切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.‎ ‎10.圆内接正多边形 ‎(1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.‎ ‎(2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离.‎ ‎11.弧长及扇形的面积 ‎(1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)‎ ‎(2)扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.‎ ‎(3) 扇形的面积公式:扇形的面积 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)‎ 扇形的面积S扇形=LR／2‎ ‎12.与圆有关的辅助线 ‎(1)如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.（圆心向弦作垂线）‎ ‎(2)如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.（直径添线成直角）‎ ‎(3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）‎ ‎ ‎ 第6页