2021年中考数学专题复习 专题50 中考数学新定义型试题解法（教师版含解析） 39页

专题 50 中考数学新定义型试题解法 1.新定义问题 所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，“给什么，用什么”是应用新“定义” 解题的基本思路．这类试题的特点：源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息,它可以是新的概念、 新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等等. 在解决它们过程中又可产生了许 多新方法、新观念，增强了学生创新意识． 2.新定义问题类型 主要包括以下几种类型： (1)概念的“新定义”； (2)运算的“新定义”； (3)规则的“新定义”； (4)实验操作的“新定义”； (5)几何图形的新定义． 3.新定义问题解题策略 “新定义型专题”关键要把握两点： 一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移。 【例题 1】(2020•河南)定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程 1☆x＝0 的根的情况为( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案． 【解析】由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0， ∴△＝1﹣4×1×(﹣1)＝5＞0， 【对点练习】定义：对于实数 a，符号[a]表示不大于 a 的最大整数．例如：[5.7]=5，[5]=5，[-π]=-4． (1)如果[a]=-2，那么 a 的取值范围是 ． (2)如果[ 1 2 x  ]=3，求满足条件的所有正整数 x． 【答案】(1)-2≤a＜-1(2)5，6． 【解析】运算新定义问题。 (1)∵[a]=-2， ∴a 的取值范围是-2≤a＜-1； 故答案为：-2≤a＜-1． (2)根据题意得： 3≤ ＜4， 解得：5≤x＜7， 则满足条件的所有正整数为 5，6． 【例题 2】(2021 广东深圳模拟)定义新运算：a※b= 1( ) ( 0) a a b a a b bb     且 ，则函数 y=3※x 的图象大致是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得 y＝3※x＝ 2(x 3) 3 (x 3 x 0)x   ＜ 且 当 x≥3 时，y＝2； 当 x＜3 且 x≠0 时，y＝− 3 x , 图象如图： 【对点练习】(2020 甘肃兰州模拟)通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条 边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边 角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①在△ABC 中，AB=AC， 顶角 A 的正对记作 sadA，这时 sadA BC AB  底边 腰 .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确 定的.根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°= . (2)对于 0°0)，若点 P′在射线 OP 上，满足 OP′•OP=r2，则称点 P′是点 P 关于⊙O 的 “反演点”，如图 2，⊙O 的半径为 4，点 B 在⊙O 上，∠BOA=60°，OA=8，若点 A′、B′分别是点 A，B 关 于⊙O 的反演点，求 A′B′的长. 【答案】见解析。 【解析】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理. ∵⊙O 的半径为 4，点 A′、B′分别是点 A，B 关于⊙O 的反演点，点 B 在⊙O 上， OA=8， ∴ 2 24 , 4OA OA OB OB    ，即 2 28 4 , 4 4OA OB    . ∴ 2, 4OA OB    .∴点 B 的反演点 B′与点 B 重合. 如答图，设 OA 交⊙O 于点 M，连接 B′M， ∵OM=OB′，∠BOA=60°，∴△OB′M 是等边三角形. ∵ 2OA A M    ，∴B′M⊥OM. ∴在 ' Rt OB M 中，由勾股定理得 2 2 2 24 2 2 3A B OB OA        . 19．(2019 江苏常熟)已知平面图形 S，点 P、Q 是 S 上任意两点，我们把线段 PQ 的长度的最大值称为平面 图形 S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． (1)写出下列图形的宽距： ①半径为 1 的圆： ； ②如图 1，上方是半径为 1 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ； (2)如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 A(﹣1，0)、B(1，0)，C 是坐标平面内的点，连接 AB、BC、CA 所 形成的图形为 S，记 S 的宽距为 d． ①若 d＝2，用直尺和圆规画出点 C 所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示)； ②若点 C 在⊙M 上运动，⊙M 的半径为 1，圆心 M 在过点(0，2)且与 y 轴垂直的直线上．对于⊙M 上任意点 C， 都有 5≤d≤8，直接写出圆心 M 的横坐标 x 的取值范围． 【答案】见解析。 【解析】(1)①半径为 1 的圆的宽距离为 1， 故答案为 1． ②如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，设半圆的圆心为 O，点 P 是⊙O 上一点，连接 OP，PC，OC． 在 Rt△ODC 中，OC＝ ＝ ＝ ∴OP+OC≥PC， ∴PC≤1+ ， ∴这个“窗户形“的宽距为 1+ ． 故答案为 1+ ． (2)①如图 2﹣1 中，点 C 所在的区域是图中正方形 AEBF，面积为 2． ②如图 2﹣2 中，当点 M 在 y 轴的右侧时，连接 AM，作 MT⊥x 轴于 T． ∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8， ∴当 d＝5 时．AM＝4， ∴AT＝ ＝2 ，此时 M(2 ﹣1，2)， 当 d＝8 时．AM＝7， ∴AT＝ ＝2 ，此时 M(2 ﹣1，2)， ∴满足条件的点 M 的横坐标的范围为 2 ﹣1≤x≤2 ﹣1． 当点 M 在 y 轴的左侧时，满足条件的点 M 的横坐标的范围为﹣2 +1≤x﹣2 +1． 20．(2020 湖北随州模拟) 在平面直角坐标系中，我们定义直线 y＝ax－a 为抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 为常数，a≠0)的“梦想直 线”；有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在 y 轴上的三角形为其“梦想三角形”． 已知抛物线 22 3 4 3 2 33 3y x x= - - + 与其“梦想直线”交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 x 轴负半轴 交于点 C． (1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ； (2)如图，点 M 为线段 CB 上一动点，将△ACM 以 AM 所在直线为对称轴翻折，点 C 的对称点为 N，若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点 N 的坐标； (3)当点 E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点 F，使得以点 A、C、E、 F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 E、F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析。 【解析】(1) 2 3 2 3+3 3y x= - ，(－2，2 3)，(1，0)． (2)∵抛物线与 x 轴负半轴交于点 C，∴C(－3，0)．过点 A 作 AG⊥y 轴，垂足为点 G． 当点 N 在 y 轴上时，△AMN 为梦想三角形． 设 N(0，n)，∵A(－2，2 3),C(－3,0)，∴AC＝ 13，∴AN＝AC＝ 13， 在 Rt△AGN 中，AG2＋GN2＝AN2，又 AG＝2，GN＝|n－2 3|， ∴4＋(n－2 3)2＝13，解得 n＝2 3－3 或 n＝2 3＋3， 设 M(m，0), 当 n＝2 3－3 时，在 Rt△MNO 中，(2 3－3)2＋m2＝(m＋3)2，解得：m＝2－2 3； 当 n＝2 3＋3 时，在 Rt△MNO 中，(2 3＋3)2＋m2＝(m＋3)2，解得：m＝2＋2 3； 又－3＜m≤1，∴m＝2＋2 3不合题意，舍去．∴m＝2－2 3，此时 n＝2 3－3， ∴N(0，2 3－3)． 当点 M 在 y 轴上时，△AMN 为梦想三角形， 此时 M 与 O 重合，在 Rt△AGM 中，AG＝2，GM＝2 3， ∴tan∠AMG＝AG GM ＝ 3 3 ，∴∠AMG＝30°， ∴∠AMC＝∠AMN＝∠NMB＝60°， 过点 N 作 NP⊥x 轴于 P，在 Rt△NMP 中，MN＝CM＝3， ∴NP＝3 3 2 ，OP＝3 2 ，∴N(3 2 ，3 3 2 )． 综上所述，点 N 的坐标为(0，2 3－3)或(3 2 ，3 3 2 )． (3)E1(－1，－4 3 3 )，F1(0，2 3 3 )；E2(－1，－4 3 3 )，F2(－4，10 3 3 )． 【点拨】(1)∵a＝ 2 3 3 - ，∴“梦想直线”的解析式为 2 3 2 3+3 3y x= - ；由 22 3 4 3 2 33 3y x x= - - + ，2 3 2 3+3 3y x x= - ， 解得 x＝－2， y＝2 3， x＝1， y＝0，从而得到 A(－2，2 3)，B(1，0)；(2)∵△AMN 为梦想三角形，而点 A(－2，2 3)， 分两种情况：①点 M 在 y 轴上，②点 N 在 y 轴上；(3)分两种情况：①AC 为边，②AC 为对角线． 21．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为(x1，y1)，点 Q 的坐标为(x2，y2)，且 x1≠x2，y1≠y2，若 P，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 P，Q 的“相关矩形”，如图 为点 P，Q 的“相关矩形”示意图． (1)已知点 A 的坐标为(1，0)， ①若点 B 的坐标为(3，1)，求点 A，B 的“相关矩形”的面积； ②点 C 在直线 x=3 上，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，求直线 AC 的表达式； (2)⊙O 的半径为 ，点 M 的坐标为(m，3)，若在⊙O 上存在一点 N，使得点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 求 m 的取值范围． 【答案】见解析。 【解析】(1)①∵A(1，0)，B(3，1) 由定义可知：点 A，B 的“相关矩形”的底与高分别为 2 和 1， ∴点 A，B 的“相关矩形”的面积为 2×1=2； ②由定义可知：AC 是点 A，C 的“相关矩形”的对角线， 又∵点 A，C 的“相关矩形”为正方形 ∴直线 AC 与 x 轴的夹角为 45°， 设直线 AC 的解析为：y=x+m 或 y=﹣x+n 把(1，0)分别 y=x+m， ∴m=﹣1， ∴直线 AC 的解析为：y=x﹣1， 把(1，0)代入 y=﹣x+n， ∴n=1， ∴y=﹣x+1， 综上所述，若点 A，C 的“相关矩形”为正方形，直线 AC 的表达式为 y=x﹣1 或 y=﹣x+1； (2)设直线 MN 的解析式为 y=kx+b， ∵点 M，N 的“相关矩形”为正方形， ∴由定义可知：直线 MN 与 x 轴的夹角为 45°， ∴k=±1， ∵点 N 在⊙O 上， ∴当直线 MN 与⊙O 有交点时，点 M，N 的“相关矩形”为正方形， 当 k=1 时， 作⊙O 的切线 AD 和 BC，且与直线 MN 平行， 其中 A、C 为⊙O 的切点，直线 AD 与 y 轴交于点 D，直线 BC 与 y 轴交于点 B， 连接 OA，OC， 把 M(m，3)代入 y=x+b，∴b=3﹣m， ∴直线 MN 的解析式为：y=x+3﹣m ∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，∴OD= OA=2，∴D(0，2) 同理可得：B(0，﹣2)， ∴令 x=0 代入 y=x+3﹣m，∴y=3﹣m，∴﹣2≤3﹣m≤2，∴1≤m≤5， 当 k=﹣1 时，把 M(m，3)代入 y=﹣x+b，∴b=3+m， ∴直线 MN 的解析式为：y=﹣x+3+m， 同理可得：﹣2≤3+m≤2， ∴﹣5≤m≤﹣1； 综上所述，当点 M，N 的“相关矩形”为正方形时，m 的取值范围是：1≤m≤5 或﹣5≤m≤﹣1 【点评】本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解 相关矩形的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来．