九年级上册青岛版数学课件4-7一元二次方程的应用（2） 25页

4.7一元二次方程的应用（2） 学习目标 1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题.(重点） 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模 型.（难点） 导入新课 问题引入 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次 月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三 次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？ 填空：假设某种糖的成本为每斤2元，售价为3元时， 可卖100斤. (1)此时的利润w=_____; (2)若售价涨了1元，每斤利润为_____元，同时少买 了10斤，销售量为_____斤，利润w=____ (3)若售价涨了2元，每斤利润为_____元，同时少买 了20斤，销售量为____斤，利润w=_____ 100元 2 90 180元 3 80 240元 讲授新课 合作探究 平均变化率问题与一元二次方程 (4)若售价涨了3元，每斤利润为____元， 同时少买了30斤，销售量为____斤， 利润w=______ (5)若售价涨了4元，每斤利润为____元， 同时少买了40斤，销售量为____斤， 利润w=_______ (6)若售价涨了x元，每斤利润为____元， 同时少买了____斤，销售量为_______ 斤， 利润w=__________________ 4 5 1+x 70 60 100-10x10x 280元 300元 (1+x)×(100-10x)元 涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润 3+x 3-2+x 10x 100-10x w=(3-2+x)× (100-10x) 试一试：假设某种糖的成本每斤为2元，售价为3元时，可卖100斤.每涨 1元，少卖10斤.设利润为x元，则总利润w为多少元（用含有x的式子表 示出来）？ 0 1 2 3 4 x 2 2 2 2 2 2 3 3+1 3+2 3+3 3+4 03-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 10×4 10×3 10×2 10×1 100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4 w=(3-2) ×100 w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4) w=(3-2+2)× (100-10×2） 每 涨 一 元 少 卖 十 斤 涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润 3+x 3-2+x 10x 100-10x w=(3-2+x)× (100-10x) 0 1 2 3 4 x 2 2 2 2 2 2 3 3+1 3+2 3+3 3+4 03-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 10×4 10×3 10×2 10×1 100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4 w=(3-2) ×100 w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4) w=(3-2+2)× (100-10×2） 每 涨 一 元 少 卖 十 斤 总利润 （售价-进价） × 销售量 = 总利润 单件利润 × 销售量 = 填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元， 则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生 产1吨甲种药品的成本是 元. 探究归纳 7% 4324.5 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产 技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的 成本是 元，如果保持这个下降率，则现在 生产1吨甲种药品的成本是 元. 下降率x第一次降 低前的量 5000(1-x) 第一次降低后的量 5000 下降率x 第二次降 低后的量 第二次降 低前的量 5000(1-x)(1-x)5 0(1-x)2 5000(1-x) 5000(1-x)2 例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生 产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000 元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意， 列方程，得 5 000 ( 1－x )2 = 3000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下 降率约为22.5％. 下降率不可为负，且不大于1.注意 练一练：前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着 生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意， 列方程，得 6 000 ( 1－y )2 = 3 600. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的 年平均下降率约为22.5％. 解后反思 答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降 额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的 年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然， 乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率 （百分数）就大呢？ 答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的 年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很 多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等． 问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的 大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率 大呢? 问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有 关数量关系吗？ 类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍 存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率 为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的 量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其 中增长取“+”,降低取“－”). 变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半. 已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率. （精确到0.1%） 解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为29.3%. 2 1(1 ) = 2 x 1 2 2 2=1+ , =1 2 2 x x  2 2=1+ 1( ), =1 29.3%. 2 2 x x   ＞ 舍去 变式2:某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍， 已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率 （精确到0.1%） 解:设原价为a元，每次升价的百分率为x ， 根据题意，得 解这个方程，得 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 (不合题意，舍去) 答：每次升价的百分率为9.5%. 2(1 ) =1.2a x a 30= 1 5 x   30= 1 5 x   30= 1 9.5%. 5 x    例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如 果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得 答：这个增长率为50%. 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 增长率不可为负，但可以超过1.注意 例3：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售 时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就 要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少， 这时应进货为多少个？ 分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润 [(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10， 则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为 (500－10x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则 (500－10x)· [(50+x)－40]=8000. 解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销 售量为(500－10x)个，则 (500－10x)· [(50+x)－40]=8000， 整理得 x2－40x+300=0， 解得x1=10，x2=30都符合题意. 当x=10时,50+x =60，500－10 x=400； 当x=30时，50+x =80， 500－10 x=200. 答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为 60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量 应为200个. 当堂练习 1.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为 720吨,平均每月增长率是x,列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的 投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资 上的平均增长率是x,则可列方程 为 . B 2（1+x)+2(1+x)2=8 3.青山村种的水稻去年平均每公顷产7200千克， 今年平均每公顷产8712千克，求水稻每公顷产量 的年平均增长率. 解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x, 根据题意，得 系数化为1得， 直接开平方得， 则 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%. 7200（1+x)2=8712 （1+x)2=1.21 1+x=1.1, 1+x=-1.1 x1=0.1, x2=-1.1, 解：设每件衬衫降价x元，根据题意得： （40-x)(20+2x)=1200 整理得，x2-30x+200=0 解方程得，x1=10,x2=20 因为要尽快减少库存，所以x=10舍去. 答：每件衬衫应降价20元. 4.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件， 每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少 库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现， 如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件， 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少 元？ 能力提升:菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5 元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植， 造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失， 对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外 批发销售. (1)求平均每次下调的百分率； 解：设平均每次下调的百分率为x， 由题意，得 5(1－x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为20%; (2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李 伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九 折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问 小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 解：小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)； 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元)， ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠. 课堂小结 平 均 变 化 率 问 题 增长率问题 a(1+x)2=b,其中a为增长 前的量，x为增长率，2 为增长次数，b为增长 后的量. 降低率问题 a(1-x)2=b,其中a为降低 前的量，x为降低率，2 为降低次数，b为降低 后的量.注意1与x位置 不可调换.