2020九年级数学下册 第1章 二次函数 5页

‎1.2　二次函数的图象与性质 第5课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 知|识|目|标 ‎1．通过回顾利用配方法解一元二次方程，会用配方法将二次函数的一般形式转化为顶点式．‎ ‎2．回顾用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．‎ ‎3．通过观察二次函数图象，理解求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大(小)值的方法．‎ 目标一　会用配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为顶点式 例1 教材补充例题将二次函数y＝x2－4x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，下列结果正确的是(　　)‎ A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1‎ C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x－2)2＋1‎ ‎【归纳总结】将二次函数一般式化为顶点式的两种方法：‎ ‎(1)把二次函数的一般式化为顶点式有两种方法：‎ 一是配方法，二是公式法．‎ 理解两点：①把二次函数中的配方法与用配方法解一元二次方程联系起来学习，注意其中的联系与区别；②应用公式法求顶点式的关键是计算得出二次函数图象的顶点坐标，要熟记公式并把相关系数准确代入进行计算．‎ ‎(2)用配方法求顶点式的步骤：①提出二次项系数(包括前面的符号)；②加上并减去一次项系数的一半的平方；③整理为顶点式．‎ 目标二　理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 例2 教材“动脑筋”变式已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.‎ ‎(1)在图1－2－4中画出这个函数的图象．‎ ‎(2)根据图象，直接写出：‎ ‎①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；‎ ‎②当－2＜x＜2时，函数值y的取值范围．‎ 5‎ 图1－2－4‎ ‎【归纳总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质：‎ ‎(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与二次函数y＝ax2的图象的形状、开口方向完全相同，只有位置不同．‎ ‎(2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象的画法：‎ ‎①“化” ：化成顶点式；‎ ‎②“定”：确定开口方向、对称轴和顶点坐标；‎ ‎③“画”：列表、描点、连线．‎ ‎(3)确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标与对称轴可以通过配方法或公式法实现，顶点坐标为，对称轴为直线x＝－.‎ ‎(4)讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c的增减性时，必须先确定抛物线的对称轴，按照抛物线在对称轴左侧与右侧两部分进行分类讨论．‎ 目标三　会求二次函数的最值 例3 教材例6针对训练用配方法求二次函数y＝(k－1)x2－2(k－1)x－k的最值，其中k为常数且k≠1.‎ ‎【归纳总结】确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值的方法：‎ ‎(1)确定一个二次函数的最值，首先要看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出图象顶点和端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．‎ ‎(2)当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数y有最小值；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，函数y有最大值.‎ 知识点一　用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式 5‎ 用配方法把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式的步骤如下：‎ ‎(1)提取公因式a，得y＝a(x2＋x＋)；‎ ‎(2)配方，得y＝a[x2＋x＋()2－()2＋]；‎ ‎(3)将第(2)步的结果写成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，得y＝a＋.‎ 知识点二　画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 步骤：(1)将y＝ax2＋bx＋c配方成y＝a(x＋________)2＋________的形式；‎ ‎(2)确定顶点(________，)与对称轴直线x＝________；‎ ‎(3)取对称轴右边(x>－)的三个自变量x的值，算出对应的y值，利用点的坐标，画出抛物线y＝ax2＋bx＋c对称轴右边的图象；‎ ‎(4)利用对称性，根据对称轴右边的图象画出对称轴左边的图象．‎ 知识点三　二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质 二次函数 y＝ax2＋bx＋c a的取值 a>0‎ a<0‎ 图象的 开口方向 向上 向下 图象的 对称轴 直线x＝________‎ 图象的 顶点坐标 函数值的 变化情况 当x<－时，y随x的增大而减小；‎ 当x>－时，y随x的增大而增大 当x<－时，y随x的增大而增大；‎ 当x>－时，y随x的增大而减小 最值 y最小值＝ y最大值＝ ‎1．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是(　　)‎ A．m＝－1 B．m＝3‎ C．m≤－1 D．m≥－1‎ 答案：A 上述答案是否正确？若不正确，请说明理由，并给出正确答案．‎ 5‎ ‎2．若二次函数y＝mx2－2mx＋m2＋m＋2的最大值为4，求实数m的值．‎ 解：∵y＝mx2－2mx＋m2＋m＋2‎ ‎ ＝m(x2－2x＋1－1)＋m2＋m＋2‎ ‎＝ m(x－1)2＋m2＋2，‎ 二次函数y＝ mx2－2mx＋m2＋m＋2的最大值为4，‎ ‎∴m2＋2＝4，‎ 解得m＝±.‎ ‎∴当m＝±时，二次函数y＝ mx2－2mx＋m2＋m＋2的最大值为4.‎ 上述解答过程正确吗？若不正确，请说明理由．‎ 5‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1 [解析] C　y＝x2－4x＋3＝(x2－4x＋4)＋3－4＝(x－2)2－1，即y＝(x－2)2－1.‎ 例2　‎ 解：(1)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴函数图象的顶点坐标为(1，4)．函数的图象如图．‎ ‎(2)根据图象，可知：‎ ‎①函数值y为正数时，自变量x的取值范围为－1＜x＜3；‎ ‎②当－2＜x＜2时，函数值y的取值范围为－5＜y≤4.‎ 例3　解：∵y＝(k－1)x2－2(k－1)x－k＝(k－1)(x2－2x)－k＝(k－1)·(x2－2x＋1－1)－k＝(k－1)[(x－1)2－1]－k＝(k－1)(x－1)2－2k＋1，∴当k＞1时，函数有最小值－2k＋1，当k＜1时，函数有最大值－2k＋1.‎ ‎【总结反思】‎ ‎ [小结] 知识点二　(1)　 (2)－　－ 知识点三　－　‎ ‎[反思] 1.不正确．理由如下：‎ 抛物线的对称轴为直线x＝－.∵当x＞1时，y随x的增大而增大，∴－≤1，解得m≥－1，故选D.‎ 正确答案为D.‎ ‎2．不正确．理由：∵二次函数y＝ mx2－2mx＋m2＋m＋2有最大值，∴图象开口向下，即m＜0，∴m＝应该舍去，∴m的值为－.‎ 5‎