初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第四章 统计与概率 聚焦中考第四章第18讲概率的应用 36页

人教 数 学 第四章　统计与概率 第 18 讲　概率的应用 要点梳理 1 ． 概率表示事件发生的可能性的大小 ， 不能说明某种肯定的结果． 2 ． 概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基础之上的 ， 在大量重复进行同一试验时 ， 可以用某一事件发生的频率近似地作为该事件发生的概率． 要点梳理 3 ． 模拟试验：由于有时手边恰好没有相关的实物或者用实物进行试验的难度很大 ， 这时可用替代物进行模拟试验 ， 但必须保证试验在相同的条件下进行 ， 否则会影响其结果． 频率与概率 概率被我们用来表示一个事件发生的可能性的大小．如果一个事件是必然事件 ， 它发生的概率就是 1 ；如果一个事件是不可能事件 ， 它发生的概率就是 0 ；随机事件发生的概率通常大于 0 且小于 1. 对事件可能性大小的感觉通常来自观察这个事件发生的 频率 ， 即该事件实际发生的次数与试验总次数的比值 ， 由 于观察的时间有长短 ， 随机事件的发生与否也有随机性 ， 所以在不同的试验中 ， 同一个随机事件发生的频率可能彼 此不相等 ． 比如抛掷一枚普通硬币 ， 硬币落地后 “ 正面朝 上 ” 的概率是 1 2 . 当试验次数少的时候 ， “ 正面朝上 ” 的频 率有可能是 0 ， 有可能是 1 或者是 其他数 ． 但是 ， 经过大 量的重复试验 ， “ 正面朝上 ” 的频率会稳定在 1 2 处 ． 用频率估计概率 谁也无法预测随机事件在每次试验中是否会发生 ， 但是 ， 在相同条件下 ， 进行大量的试验后 ， 事件出现的频率会逐渐稳定 ， 稳定后的频率可以作为概率的估计值 ， 反之 ， 如果知道一个事件发生的概率 ， 就可以由此推断：大量试验后该事件发生的频率接近其概率． 需要注意的是：用试验的方法得出的频率只是概率估计值 ， 要想得到近似程度比较高的概率估计值 ， 通常需要大量的重复试验． 概率的预测 求一个事件的概率途径一般有三种： (1) 是主观经验估计 ( 又称主观概率 ) ； (2) 是实验估计 ( 又称实验概率 ) ； (3) 是根据树状图或列表法分析预测概率 ( 又称理论概率 ) ． 1 ． ( 2014 · 黔东南州 ) 掷一枚质地均匀的硬币 10 次， 下列说法正确的是 ( ) A ． 可能有 5 次正面朝上 B ． 必有 5 次正面朝上 C ． 掷 2 次必有 1 次正面朝上 D ． 不可能 10 次正面朝上 A 2 ． ( 2014 · 山西 ) 在大量重复试验中 ， 关于随机事件发生的频率与概率 ， 下列说法正确的是 ( ) A ． 频率就是概率 B ． 频率与试验次数无关 C ． 概率是随机的 ， 与频率无关 D ． 随着试验次数的增加 ， 频率一般会越来越接近概率 D 3 ． ( 2014 · 河北 ) 某小组做 “ 用频率估计概率 ” 的实验时 ， 统计了某一结果出现的频率 ， 绘制了如图的折线统计图 ， 则符合这一结果的实验最有可能的是 ( ) A ． 在 “ 石头、剪刀、布 ” 的游戏 中 ， 小明随机出的是 “ 剪刀 ” B ． 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后 ， 从中任抽一张牌的花色是红桃 C ． 暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球 ， 它们只有颜色上的区别 ， 从中任取一球是黄球 D ． 掷一个质地均匀的正六面体骰子 ， 向上的面点数是 4 D 4 ． ( 2014· 海南 ) 一个不透明的袋子中有 3 个分别标有 3 ， 1 ， － 2 的球 ， 这些球除了所标的数字不同外其他都相同 ， 若从袋子中随机摸出两个球 ， 则这两个球上的两个数字 之和为负数的概率是 ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D . 1 6 B 5 ． ( 2014 · 河南 ) 一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 2 个红球和 2 个白球 ， 两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回 ， 则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是 ____ ． 计算等可能事件的概率 【 例 1 】 ( 2014· 漳州 ) 如图 ， 有以下 3 个条件： ① AC ＝ AB ， ② AB ∥ CD ， ③∠ 1 ＝ ∠ 2 ， 从这 3 个条件中任选 2 个作为题设 ， 另 1 个作为结论 ， 则组成的命题是真命题 的概率是 ( ) A ． 0 B. 1 3 C. 2 3 D ． 1 D 【 点评 】 　本题可列举所有的情况 ， 求出结果． 1 ． (1) ( 2014 · 南通 ) 在如图所示 (A ， B ， C 三个区域 ) 的图形中随机地撒一把豆子 ， 豆子落在 区域的可能性最大 ( 填 A 或 B 或 C ) ． A (2) ( 2014 · 攀枝花 ) 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字－ 3 ， － 1 ， 0 ， 2 的四个小球 ， 除数字不同外 ， 小球没有任何区别 ， 每次试验先搅拌均匀． ① 从中任取一球 ， 求抽取的数字为正数的概率； ② 从中任取一球 ， 将球上的数字记为 a ， 求关于 x 的一元二次方程 ax 2 － 2ax ＋ a ＋ 3 ＝ 0 有实数根的概率； ③ 从中任取一球 ， 将球上的数字作为点的横坐标记为 x( 不放回 ) ；再任取一球 ， 将球上的数字作为点的纵坐标 ， 记为 y ， 试用画树状图 ( 或列表法 ) 表示出点 (x ， y) 所有可能出现的结果 ， 并求点 (x ， y) 落在第二象限内的概率． 解： ① 根据题意得：抽取的数字为正数的情况有 1 个 ， 则 P ＝ 1 4 ② 方程 ax 2 － 2ax ＋ a ＋ 3 ＝ 0 且 a ≠ 0 ， Δ ＝ 4a 2 － 4a ( a ＋ 3 ) ＝－ 12a ≥ 0 ， 又 a ≠ 0 ， 即 a ＜ 0 ， 则方程 ax 2 － 2ax ＋ a ＋ 3 ＝ 0 有实数根的概率为 1 2 ③ 列表如下： － 3 － 1 0 2 － 3 ┄┄ ( － 1 ， － 3 ) ( 0 ， － 3 ) ( 2 ， － 3 ) － 1 ( － 3 ， － 1 ) ┄┄ ( 0 ， － 1 ) ( 2 ， － 1 ) 0 ( － 3 ， 0 ) ( － 1 ， 0 ) ┄┄ ( 2 ， 0 ) 2 ( － 3 ， 2 ) ( － 1 ， 2 ) ( 0 ， 2 ) ┄┄ 所有等可能的情况有 12 种 ， 其中点 ( x ， y ) 落在第二象限内的情况有 2 种 ， 则 P ＝ 2 12 ＝ 1 6 用统计频率的方法估计概率 【 例 2】 　 ( 2013 · 青岛 ) 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的 5 个白球和若干个红球， 在不允许将球倒出来数的前提下 ， 小亮为了估计其中的红球数 ， 采用如下方法 ， 先将口袋中的球摇匀 ， 再从口袋里随机摸出一球 ， 记下颜色 ， 然后把它放回口袋中 ， 不断重复上述过程 ， 小亮共摸了 100 次 ， 其中有 10 次摸到白球 ， 因此小亮估计口袋中的红球大约有 ( ) 个 A ． 45 B ． 48 C ． 50 D ． 55 A 【 点评 】 　本题每摸一次就相当于做了一次试验 ， 因此大量重复的试验获取的频率可以估计概率． 2 ． (1) ( 2012 · 贵阳 ) 一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球 ， 其中有 6 个黄球 ， 每次摸球前先将盒子里的球摇匀 ， 任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子 ， 通过大量重复摸球实验后发现 ， 摸到黄球的频率稳定在 30% ， 那么可以推算出 n 大约是 ( ) A ． 6 B ． 10 C ． 18 D ． 20 D ( 2 ) ( 2013· 玉林 ) 某小区为了促进生活垃圾的分类处理 ， 将生活垃圾分为：可回收垃 圾、厨余垃圾、其他垃圾三类 ， 分别记为 A ， B ， C ， 并且设置了相应的垃圾箱 ， 依次记为 a ， b ， c . ① 若将三类垃圾随机投入三个垃圾箱 ， 请你用树状图的方法求垃圾投放正确的概 率； ② 为了调查小区垃圾分类投放情况 ， 现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总重 500 kg 生活垃圾 ， 数据如下 ( 单位： kg ) a b c A 40 15 10 B 60 250 40 C 15 15 55 试估计 “ 厨余垃圾 ” 投放正确 的概率 ． 解： ① 如图 ， 共有 9 种情 况 ， 其中投放正确的有 3 种情况 ， 故垃圾投放正确的概率： 3 9 ＝ 1 3 ② “ 厨余垃圾 ” 投放正确的概率为 250 60 ＋ 250 ＋ 40 ＝ 5 7 概率与统计综合题 【 例 3】 　 ( 2014 · 重庆 ) 为鼓励创业 ，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇 1 － 5 月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图： (1) 某镇今年 1 － 5 月新注册小型企业一共有 家．请将折线统计图补充完整； (2) 该镇今年 3 月新注册的小型企业中 ， 只有 2 家是餐饮企业 ， 现从 3 月新注册的小型企业中随机抽取 2 家企业了解其经营状况 ， 请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2 家企业恰好都是餐饮企业的概率． 16 【 点评 】 　本题考查了折线统计图、扇形统计图和列表法与树状图法 ， 解决本题的关键是从两种统计图中整理出解题的有关信息 ， 在扇形统计图中 ， 每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与 360° 的比．概率＝所求情况数与总情况数之比． 3 ． ( 2014 · 襄阳 ) “ 端午节 ” 吃粽子是我国流传了上千年的习俗．某班学生在 “ 端午节 ” 前组织了一次综合实践活动， 购买了一些材料制作爱心粽 ， 每人从自己制作的粽子中随机选取两个献给自己的父母 ， 其余的全部送给敬老院的老人们．统计全班学生制作粽子的个数 ， 将制作粽子数量相同的学生分为一组 ， 全班学生可分为 A ， B ， C ， D 四个组 ， 各组每人制作的粽子个数分别为 4 ， 5 ， 6 ， 7. 根据如图不完整的统计图解答下列问题： (1) 请补全下面两个统计图； ( 不写过程 ) (2) 该班学生制作粽子个数的平均数是 ； 根据题意得： ( 6 × 4 ＋ 4 × 5 ＋ 14 × 6 ＋ 16 × 7 ) ÷40 ＝ 6 ( 个 ) ， 则该班学生制作粽子个数的平均数是 6 个．故答案为： 6 个 6 (3) 若制作的粽子有红枣馅 ( 记为 M) 和蛋黄馅 ( 记为 N) 两种 ， 该班小明同学制作这两种粽子各两个混放在一起 ， 请用列表或画树状图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概率． 试题　如图 ， 电路图中有四个开关 A ， B ， C ， D 和一个小灯泡 ， 闭合开关 D 或同时闭合 A ， B ， C 都可使小灯泡发光． (1) 任意闭合一个开关 ， 则小灯泡发光的概率等于 ____ ； (2) 任意闭合其中两个开关 ， 请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率． 错解 ( 1 ) 1 2 ( 2 ) 1 4 剖析 本题是结合物理电路图的概率问题 ， 关键是理解 电路图 ， 理解概率的意义 ． 正解 (1) 1 4 (2) 1 2 正确画出树状图如下：