初中数学中考复习课件章节考点专题突破：聚焦中考专题7 运动型问题 32页

专题七　运动型问题 要点梳理 所谓 “ 运动型问题 ” 是探究几何图形 ( 点、直线、三角形、四边形 ) 在运动变化过程中与图形相关的某些量 ( 如角度、线段、周长、面积及相关的关系 ) 的变化或其中存在的函数关系的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静 ， 灵活运用有关数学知识解决问题． 要点梳理 运动型问题 ” 题型繁多、题意创新 ， 考查学生分析问题、解决问题的能力 ， 内容包括空间观念、应用意识、推理能力等 ， 是近几年中考题的热点和难点． 要点梳理 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图象等图形 ， 通过 “ 对称、动点的运动 ” 等研究手段和方法 ， 来探索与发现图形性质及图形变化 ， 在解题过程中渗透空间观念和合情推理．在运动过程中观察图形的变化情况 ， 理解图形在不同位置的情况 ， 做好计算推理的过程．在变化中找到不变的性质是解决数学 “ 运动型 ” 探究题的基本思路 ， 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质． 解题方法 对于图形运动型试题 ， 要注意用运动与变化的眼光去观察和研究图形 ， 把握图形运动与变化的全过程 ， 抓住其中的等量关系和变量关系 ， 并特别关注一些不变的量 ， 不变的关系或特殊关系 ， 善于化动为静 ， 由特殊情形 ( 特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等 ) 逐步过渡到一般情形 ， 综合运用各种相关知识及数形结合、分类讨论、转化等数学思想加以解决．当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系时 ， 通常建立函数模型或不等式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者一些特殊的值时 ， 通常建立方程模型去求解． 1 ． ( 2014 · 龙东 ) 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 边长为 1 的正方形 ABCD 中 ， AD 边的中点处有一动点 P ， 动点 P 沿 P→D→C→B→A→P 运动一周 ， 则 P 点的纵坐标 y 与点 P 走过的路程 s 之间的函数关系用图象表示大致是 ( ) D 2 ． ( 2014 · 赤峰 ) 如图 ， 一根长 5 米的竹杆 AB 斜立于墙 AC 的右侧 ， 底端 B 与墙角 C 的距离为 3 米 ， 当竹杆顶端 A 下滑 x 米时 ， 底端 B 便随着向右滑行 y 米 ， 反映 y 与 x 变化关系的大致图象是 ( ) A 3 ． ( 2014 · 兰州 ) 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 四边形 OBCD 是边长为 4 的正方形 ， 平行于对角线 BD 的直线 l 从 O 出发 ， 沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动 ， 运动到直线 l 与正方形没有交点为止．设直线 l 扫过正方形 OBCD 的面积为 S ， 直线 l 运动的时间为 t( 秒 ) ， 下列能反映 S 与 t 之间函数关系的图象是 ( ) D 4 ． ( 2013 · 牡丹江 ) 如图所示：边长分别为 1 和 2 的两个正方形 ， 其中一边在同一水平线上 ， 小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形 ， 设穿过的时间为 t ， 大正方形内去掉小正方形后的面积为 S( 阴影部分 ) ， 那么 S 与 t 的大致图象应为 ( ) A 点动问题 【 例 1 】 ( 2013· 菏泽 ) 如图 ， 三角形 ABC 是以 BC 为底边的等 腰三角形 ， 点 A ， C 分别是一次函数 y ＝－ 3 4 x ＋ 3 的图象与 y 轴、 x 轴的交点 ， 点 B 在二次函数 y ＝ 1 8 x 2 ＋ bx ＋ c 的图象上 ， 且该二 次函数图象上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形． (1) 试求 b ， c 的值 ， 并写出该二次函数表达式； (2) 动点 P 从 A 到 D ， 同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动 ， 问： ① 当 P 运动到何处时 ， 有 PQ ⊥ AC? ② 当 P 运动到何处时 ， 四边形 PDCQ 的面积最小？此时四边形 PDCQ 的面积是多少？ 【 点评 】 本题考查了二次函数的综合 ， 涉及了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质 ， 解答本题的关键是找到 P 运动后的相似三角形 ， 利用对应边成比例的知识得出有关线段的长度或表达式． 1 ． ( 2014 · 西宁 ) 如图， 矩形 ABCD 中 ， AB ＝ 3 ， BC ＝ 5 ， 点 P 是 BC 边上的一个动点 ( 点 P 不与点 B ， C 重合 ) ， 现将 △ PCD 沿直线 PD 折叠 ， 使点 C 落在点 C 1 处；作 ∠ BPC 1 的平分线交 AB 于点 E. 设 BP ＝ x ， BE ＝ y ， 那么 y 关于 x 的函数图象大致应为 ( ) C 线动问题 【 例 2 】 ( 2014· 衡阳 ) 如图 ， 已知直线 AB 分别交 x 轴、 y 轴 于点 A ( － 4 ， 0 ) ， B ( 0 ， 3 ) ， 点 P 从点 A 出发 ， 以每秒 1 个单 位的速度沿直线 AB 向点 B 移动 ， 同时 ， 将直线 y ＝ 3 4 x 以每 秒 0.6 个单位的速度向上平移 ， 分别交 AO ， BO 于点 C ， D ， 设运动时间为 t 秒 ( 0 ＜ t ＜ 5 ) ． (1) 证明：在运动过程中 ， 四边形 ACDP 总是平行四边形； (2) 当 t 取何值时 ， 四边形 ACDP 为菱形？且指出此时以点 D 为圆心 ， 以 DO 长为半径的圆与直线 AB 的位置关系 ， 并说明理由． 【 点评 】 本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、平行四边形的判定及性质的运用、菱形的性质的运用 ， 解答时灵活运用平行四边形的性质是关键． 2 ． ( 2013 · 永州 ) 如图所示 ， 在矩形 ABCD 中 ， 垂直于对角线 BD 的直线 l ， 从点 B 开始沿着线段 BD 匀速平移到 D. 设直线 l 被矩形所截线段 EF 的长度为 y ， 运动时间为 t ， 则 y 关于 t 的函数的大致图象是 ( ) A 形动问题 【 例 3 】 　 ( 2014 · 山西 ) 综合与探究：如图 ， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 四边形 OABC 是平行四边形 ， A ， C 两点的坐标分别为 (4 ， 0) ， ( － 2 ， 3) ， 抛物线 W 经过 O ， A ， C 三点 ， D 是抛物线 W 的顶点． (1) 求抛物线 W 的解析式及顶点 D 的坐标； (2) 将抛物线 W 和 ▱ OABC 一起先向右平移 4 个单位后 ， 再向下平移 m(0 ＜ m ＜ 3) 个单位 ， 得到抛物线 W′ 和 ▱ O′A′B′C′ ， 在向下平移的过程中 ， 设 ▱ O′A′B′C′ 与 ▱ OABC 的重叠部分的面积为 S ， 试探究：当 m 为何值时 S 有最大值 ， 并求出 S 的最大值． ( 2 ) 由 △ OABC 得 ， CB ∥ OA ， CB ＝ OA ＝ 4. 又 ∵ C 点坐标为 ( － 2 ， 3 ) ， ∴ B 点的坐标为 ( 2 ， 3 ) ． 过点 B 作 BE ⊥ x 轴于点 E ， 由平移可知 ， 点 C? 在 BE 上 ， 且 BC? ＝ m. ∴ BE ＝ 3 ， OE ＝ 2 ， ∴ EA ＝ OA － OE ＝ 2. ∵ C?B? ∥ x 轴 ， ∴ △ BC ′ G ∽△ BEA ， ∴ BC ′ BE ＝ C ′ G EA ， 即 m 3 ＝ C ′ G 2 ， ∴ C ′ G ＝ 2 3 m. 由平移知 ， △ O ′ A ′ B ′ C ′ 与 △ OABC 的重叠部分四边形 C?HAG 是平行四边形 ． ∴ S ＝ C ′ G·C ′ E ＝ 2 3 m ( 3 － m ) ＝－ 2 3 ( x － 3 2 ) 2 ＋ 3 2 ， ∴ 当 m ＝ 3 2 时 ， S 有最大值为 3 2 【 点评 】 本题是二次函数的探究题．第 (1) 问考查了待定系数法及二次函数的性质；第 (2) 问考查了平移变换、平行四边形、相似三角形、二次函数最值等知识点 ， 解题关键是确定重叠部分是一个平行四边形． 3 ． ( 2013 · 衡阳 ) 如图所示 ， 半径为 1 的圆和边长为 3 的正方形在同一水平线上 ， 圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形 ， 设穿过时间为 t ， 正方形除去圆部分的面积为 S( 阴影部分 ) ， 则 S 与 t 的大致图象为 ( ) A 试题　关于 x 的二次函数 y ＝－ x 2 ＋ ( k 2 － 4) x ＋ 2 k － 2 以 y 轴为对称轴 ， 且与 y 轴的交点在 x 轴上方． (1) 求此抛物线的解析式 ， 并在平面直角坐标系中画出该函数的草图； (2) 设 A 是 y 轴右侧抛物线上一个动点 ， 过点 A 作 AB 垂直于 x 轴于点 B ， 再过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点 D ， 过点 D 再作 DC 垂直 x 轴于点 C ， 得到矩形 ABCD ， 设矩形 ABCD 的周长为 l ， 点 A 的横坐标为 x ， 试求 l 与 x 的函数关系式； (3) 当点 A 在 y 轴右侧的抛物线上运动时 ， 矩形 ABCD 能否成为正方形．若能 ， 求出此时正方形的周长；若不能 ， 请说明理由． 错解 (1) 由题意得 ， 抛物线的对称轴－ k 2 － 4 2 × （－ 1 ） ＝ 0 ， ∴ k 2 － 4 ＝ 0 ， k ＝ ±2. 又 ∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方 ， ∴ 2 k － 2 ＞ 0 ， 即 k ＞ 1 ， ∴ k ＝ 2 ， ∴ y ＝－ x 2 ＋ 2 ， 图象如图所示： (2) 由 (1) 得 ， A ( x ， － x 2 ＋ 2) ， 根据矩形 ABCD 的对称性 ， 得 D ( － x ， － x 2 ＋ 2) ， ∴ 矩形 ABCD 的周长 l ＝ 2( AD ＋ AB ) ＝ 2[2 x ＋ ( － x 2 ＋ 2)] ＝－ 2 x 2 ＋ 4 x ＋ 4. (3) 若矩形 ABCD 为正方形 ， 则 AB ＝ AD ， 即 2 x ＝－ x 2 ＋ 2 ， 解得 x ＝－ 1 ＋ 3 或 x ＝－ 1 － 3 ( 不合题意 ， 舍去 ) ， ∴ 正方形 ABCD 的周长 l ＝ 4 AD ＝ 8 x ＝ 8 3 － 8. 剖析　 第 (1) 问比较容易 ， 解答过程是正确的；在第 (2) 问中 ， 求矩形 ABCD 周长 l 关于 x 的函数关系式 ， 点 A 是抛物线 y 轴右侧上一动点 ， 即 A 点可能在第一象限 ， 也可能在第四象限 ， 而上述解法中仅考虑点 A 在第一象限的情形 ， 没有分两种情况讨论；同样 ， 第 (3) 问中也应分 A 点在第一象限和第四象限两种情况研究． 正解 (1) y ＝－ x 2 ＋ 2.( 过程同错解 ) (2) 令－ x 2 ＋ 2 ＝ 0 ， 得 x ＝ ± 2 . 当 0 ＜ x ＜ 2 时 ， 点 A 在第一象限 ， 如图 ， A 1 D 1 ＝ 2 x ， A 1 B 1 ＝－ x 2 ＋ 2 ， ∴ l ＝ 2 ( A 1 B 1 ＋ A 1 D 1 ) ＝－ 2 x 2 ＋ 4 x ＋ 4 ；当 x ＞ 2 时 ， A 点在 第四象限 ， 如图 ， A 2 D 2 ＝ 2 x ， A 2 B 2 ＝ x 2 － 2 ， ∴ l ＝ 2 ( A 2 D 2 ＋ A 2 B 2 ) ＝ 2 x 2 ＋ 4 x － 4. 综上 ， l 关于 x 的函数关 系式是 î í ì l ＝－ 2 x 2 ＋ 4 x ＋ 4 （ 0 ＜ x ＜ 2 ） ， l ＝ 2 x 2 ＋ 4 x － 4 （ x ＞ 2 ） . (3) 当 0 ＜ x ＜ 2 时 ， 令 A 1 D 1 ＝ A 1 B 1 ， 得 2 x ＝－ x 2 ＋ 2 ， 解得 x ＝－ 1 ＋ 3 或 x ＝－ 1 － 3 ( 不合题意 ， 舍去 ) ， 把 x ＝－ 1 ＋ 3 代 入 l ＝－ 2 x 2 ＋ 4 x ＋ 4 ， 得 l ＝ 8 3 － 8 ；当 x ＞ 2 时 ， 令 A 2 B 2 ＝ A 2 D 2 ， 得 2 x ＝ x 2 － 2 ， 解得 x ＝ 1 ＋ 3 或 x ＝ 1 － 3 ( 不合题意 ， 舍去 ) ， 把 x ＝ 1 ＋ 3 代入 l ＝ 2 x 2 ＋ 4 x － 4 ， 得 l ＝ 8 3 ＋ 8. 综上 ， 矩形 ABCD 能成为正方形 ， 即当 x ＝ 3 － 1 时 ， 正方形的周长为 8 3 － 8 ； 当 x ＝ 3 ＋ 1 时 ， 正方形的周长为 8 3 ＋ 8.