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- 2021-11-12 发布
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第2课时 垂径定理的逆定理
知识点一 垂径定理的逆定理1
平分弦(________)的直径________,并且平分________.
1.如图3-3-9,⊙O的直径CD过弦AB的中点E,且CE=2,DE=8,则AB的长为( )
图3-3-9
A.9 B.8 C.6 D.4
知识点二 垂径定理的逆定理2
平分弧的直径__________________.
2.如图3-3-10,AB是⊙O的直径,B是的中点,AB=10 cm,OE=3 cm,则CD的长为________cm.
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图3-3-10
类型一 运用垂径定理的逆定理解决圆中的边角问题
例1 [教材补充例题] 如图3-3-11,△ABC内接于⊙O,AH⊥BC,垂足为H,D是的中点,连结AD,OA.
求证:AD平分∠HAO.
图3-3-11
【归纳总结】借助垂径定理的逆定理添加辅助线的思路
(1)连结圆心与弦的中点;(2)连结圆心与弧的中点.
类型二 综合运用垂径定理及其逆定理解决问题
例2 [教材例3拓展] 有一座桥,桥拱是圆弧形(水面以上部分),测量时只测到桥下水面宽AB为16 m(如图3-3-12),桥拱最高处点C离水面4 m.
(1)求该桥拱的半径;
(2)若大雨过后,桥下水面宽度为12 m,则水面涨高了多少?
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图3-3-12
【归纳总结】垂径定理及其逆定理的相互关系
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在定理“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧”中,为什么强调弦不是直径?
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详解详析
【学知识】
知识点一 不是直径 垂直于弦 弦所对的弧
1.[解析] B ∵CE=2,DE=8,∴CD=10,
∴OB=OC=5,OE=5-2=3.
∵直径CD过弦AB的中点E,
∴CD⊥AB,∴AE=BE.
在Rt△OBE中,∵OE=3,OB=5,
∴BE==4,
∴AB=2BE=8.
知识点二 垂直平分弧所对的弦
2.[答案] 8
[解析] 连结OC,
∵AB是⊙O的直径,B是的中点,
∴直径AB⊥弦CD,
∴CE=DE.
在Rt△OEC中,OE=3,OC=5,
∴CE==4,
∴CD=2CE=8(cm).
【筑方法】
例1 证明:连结OD,交BC于点E.
∵D是的中点,∴OD⊥BC.
又∵AH⊥BC,∴OD∥AH,
∴∠ODA=∠DAH.
∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,
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∴∠OAD=∠DAH,
∴AD平分∠HAO.
例2 解:(1)如图,设点O为圆心,连结OA,OC,OC交AB于点D.
由题意,得AB=16 m,CD=4 m,=,
所以OC⊥AB,
所以AD=AB=×16=8(m).
设⊙O的半径为x m,则在Rt△AOD中,
OA2=AD2+OD2,即x2=82+(x-4)2,
解得x=10.
所以该桥拱的半径为10 m.
(2)设水面上涨到EF位置(如图).
此时EF=12 m,EF∥AB,有OC⊥EF(设垂足为M),
所以EM=EF=×12=6(m).
连结OE,则有OE=10 m,
所以OM===8(m).
又因为OD=OC-CD=10-4=6(m),
所以OM-OD=8-6=2(m),
即大雨过后,水面涨高了2 m.
【勤反思】
[小结] 垂直于弦 平分 垂直平分
[反思] 因为如果不强调弦不是直径,那么会出现两条相互平分的直径不垂直,并且也不能平分弦所对的弧的情况.如图,弦AB被CD平分,但AB与CD不垂直,且≠.
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