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- 2021-11-12 发布
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相似
图3
1、(2008庆阳)如图3,身高为米的某学生想测量学校旗杆的高度,当他站在处时,他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合,并测得AC=2米,BC=8米,则旗杆的高度是( )
A.米
B.7米
C.8米
D.9米
答案:1、C;
2、(2008庆阳)两个相似三角形的面积比S1:S2与它们对应高之比h1:h2之间的关系为 .
图8
答案:2、;
3、(2008庆阳)如图8,D、E分别是的边AB、AC上的点,则使∽的条件是 .
答案:3、,或,或;
4、(2008杭州)在中,为直角,于点,,,写出其中的一对相似三角形是 和 ;并写出它的面积比 .
C
A
B
D
(第12题)
答案: ;9:16 或 ; 9:25 或 ; 16:25
(2008江西)7.下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是( )
(第7题)
A.
B.
C.
D.
答案:B
A
B
P
D
(第6题图)
C
C
(2008金华)6.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处
放一水平的平面镜, 光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到
古城墙CD的顶端C处,已知 AB⊥BD,CD⊥BD, 且测得
AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么该古城墙的高度是( )
A. 6米 B. 8米 C. 18米 D.24米
答案B
(第16题图)
O
A1
A2
A3
A4
A
B
B1
B2
B3
1
4
(2008温州)16.如图,点在射线上,点在射线上,且,.若,
的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和
为 .
答案10.5
(2008温州)24.如图,在中,,,,分别是边的中点,点从点出发沿方向运动,过点作于,过点作交于,当点与点重合时,点停止运动.设,.
(1)求点到的距离的长;
(2)求关于的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
(第24题图)
(3)是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由.
答案(1),,,.
点为中点,.
,.
,
,.
(2),.
,,
,,
即关于的函数关系式为:.
(3)存在,分三种情况:
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
M
2
1
①当时,过点作于,则.
,,
.
,,
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
,.
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
②当时,,
.
③当时,则为中垂线上的点,
于是点为的中点,
.
,
,.
综上所述,当为或6或时,为等腰三角形.
(2008 绍兴)将一矩形纸片放在平面直角坐标系中,,,.动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动,运动秒时,动点从点出发以相等的速度沿向终点运动.当其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设点的运动时间为(秒).
(1)用含的代数式表示;
(2)当时,如图1,将沿翻折,点恰好落在边上的点处,求点的坐标;
图1
O
P
A
x
B
D
C
Q
y
图2
O
P
A
x
B
C
Q
y
E
(3)连结,将沿翻折,得到,如图2.问:与能否平行?与能否垂直?若能,求出相应的值;若不能,说明理由.
解:(1),.
图1
O
P
A
x
B
D
C
Q
y
图2
O
P
A
x
B
C
Q
y
图3
O
F
A
x
B
C
y
E
Q
P
(2)当时,过点作,交于,如图1,
则,,
,.
(3)①能与平行.
若,如图2,则,
即,,而,
.
②不能与垂直.
若,延长交于,如图3,
则.
.
.
又,,
,
,而,
不存在.
2008年遵义市27.(14分)如图(1)所示,一张平行四边形纸片,,沿对角线把这张纸片剪成和两个三角形(如图(2)所示).将沿直线方向平移(点始终在上,与始终保持平行).当点与重合时停止平移.在平移过程中,与交于点,与交于点.
(1)当平移到图(3)的位置时,试判断四边形是什么四边形?并证明你的结论;
(2)设平移距离为,四边形的面积为,求与的函数关系式;并求四边形的面积的最大值;
D
(27题图)
A
C
B
A
A
C
F
E
C
图(1)
图(2)
图(3)
(3)连结(请在图(3)中画出),当平移距离的值是多少时,与相似?
解:(1) 四边形B2FD1E是矩形。
因为△AB1D1平移到图(3)的,所以四边形B2FD1E是一个平行四边形,又因为在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,BD=8,则有∠ADB是直角。所以四边形B2FD1E是矩形。
(2)因为三角形B1B2F与三角形AB1D1相似,则有B2F==0.6X,B1F==0.8x
所以sB2FD1E=B2F×D1F=0.6X × (8-0.8x)=4.8x-0.48x2
即y=4.8x-0.48x2=12-0.48(x-5)
当x=5时,y=12是最大的值。
(3)要使△ B1B2F与△ B1CF相似,则有 即
解之得:x=3.6
(2008太原市)1.下列四个数的绝对值比2大的是( )
A. B. C.1 D.2
答案:A
14.在市政府与国家开发银行山西省分行举行的“百校兴学”工程金融合作签约仪式上,首批项目申请银行贷款3.16亿元.用科学记数法表示3.16亿的结果是
答案:
22
1
3
32
1
5
3
23
3
5
33
7
11
9
24
7
9
34
25
29
27
43
20.已知,且均为正整数,
如果将进行如下方式的“分解”,那么下列三个叙述:
(1)在的“分解”中最大的数是11.
(2)在的“分解”中最小的数是13.
(3)若的“分解”中最小的数是23,则等于5.
其中正确的是 .
答案:(2)
F
E
D
C
B
A
24. 相似(比例线段,相似多边形,相似三角形)
(2008湖北武汉19).如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.
求证:△ABC∽△FDE.
证明: FD∥AB,FE∥AC
B=FDE, C=FED
△ABC∽△FDE
(2008浙江温州)16.如图,点A1,A2,A3,A4在射线OA上,点B1,B2,B3在射线OB上,且A1B1∥A2B2∥A3B3,A2B1∥A3B2∥A4B3.若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和为____________.
(第16题图)
O
A1
A2
A3
A4
A
B
B1
B2
B3
1
4
答案:10.5.
16.(2008·上海)如果两个相似三角形的相似比是,那么这两个三角形面积的比是 .
答案:
8、(2008·重庆)若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为2︰3,则S△ABC︰S△DEF为()
A、2∶3 B、4∶9 C、∶ D、3∶2
答案:B
17.(2008·上海)如图5,平行四边形中,是边上的点,交于点,如果,那么 .
答案:
25.(2008·上海)已知,,(如图13).是射线上的动点(点与点不重合),是线段的中点.
(1)设,的面积为,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,求线段的长;
(3)联结,交线段于点,如果以为顶点的三角形与相似,求线段的长.
B
A
D
M
E
C
图13
B
A
D
C
备用图
解:(1)取中点,联结,
为的中点,,. (1分)
又,. (1分)
,得; (2分)(1分)
(2)由已知得. (1分)
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,
,即. (2分)
解得,即线段的长为; (1分)
(3)由已知,以为顶点的三角形与相似,
又易证得. (1分)
由此可知,另一对对应角相等有两种情况:①;②.
①当时,,..
,易得.得; (2分)
②当时,,.
.又,.
,即,得.
解得,(舍去).即线段的长为2. (2分)
综上所述,所求线段的长为8或2.
(济宁市二○○八)26.(12分)
中,,,cm.长为1cm的线段在的边上沿方向以1cm/s的速度向点运动(运动前点与点重合).过分别作的垂线交直角边于两点,线段运动的时间为s.
(1)若的面积为,写出与的函数关系式(写出自变量的取值范围);
(2)线段运动过程中,四边形有可能成为矩形吗?若有可能,求出此时的值;若不可能,说明理由;
(3)为何值时,以为顶点的三角形与相似?
答案:解:(1)当点在上时,,.
. 2分
当点在上时,.
. 4分
(2),..
. 6分
由条件知,若四边形为矩形,需,即,
.
当s时,四边形为矩形. 8分
(3)由(2)知,当s时,四边形为矩形,此时,
. 9分
除此之外,当时,,此时.
,.. 10分
,.
又,. 11分
,.
当s或s时,以为顶点的三角形与相似. 12分
(2008福州市)
12.如图,在中,分别是的中点,若,则的长是 .
(第12题)
A
B
C
E
D
答案10
21.(本题满分13分)
如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?
(第21题)
解:(1)是等边三角形.
当时..
.
.
又,
是等边三角形.
(2)过作,垂足为.
由,得.
由,得.
.
(3),
.
又,
是等边三角形.
.
,
,
.
四边形是平行四边形.
.
又,
.
,
.
,即.
解得.
当时,。
(2008年贵阳市)6.如果两个相似三角形的相似比是,那么它们的面积比是(B )
A. B. C. D.
第二十五类:曲线运算,函数运算(综合题目)
(2008深圳)1、如图9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,
与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),
OB=OC ,tan∠ACO=.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度.
(4)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
答案:(1)方法一:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)
将A、B、C三点的坐标代入得
解得:
所以这个二次函数的表达式为:
方法二:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)
设该表达式为:
将C点的坐标代入得:
所以这个二次函数的表达式为:
(注:表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)
(2)方法一:存在,F点的坐标为(2,-3)
理由:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:
∴E点的坐标为(-3,0)
由A、C、E、F四点的坐标得:AE=CF=2,AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F,坐标为(2,-3)
方法二:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:
∴E点的坐标为(-3,0)
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为(2,-3)或(―2,―3)或(-4,3)
代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合
∴存在点F,坐标为(2,-3)
(3)如图,①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为R(R>0),则N(R+1,R),
代入抛物线的表达式,解得
②当直线MN在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0),
则N(r+1,-r),
代入抛物线的表达式,解得
圆的半径为或.
(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,
易得G(2,-3),直线AG为.
设P(x,),则Q(x,-x-1),PQ.
当时,△APG的面积最大
此时P点的坐标为,.
(2008广州)2、如图8,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点
(1)根据图象,分别写出A、B的坐标;
(2)求出两函数解析式;
(3)根据图象回答:当为何值时,
一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
图8
答案:(1)y=0.5x+1,y=
(2)-64
(2008广州)3、如图11,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底边QR=6cm,点B、C、Q、R在同一直线l上,且C、Q两点重合,如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动,t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米
(1)当t=4时,求S的值
(2)当,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值
图11
答案:(1)t=4时,Q与B重合,P与D重合,
重合部分是=
(2)当
QB=DP=t-4,CR=6-t,AP=6-t
由∽∽
得
,
S=
当t取5时,最大值为
当t取6时,有最大值
综上所述,最大值为
20.(08荆门)如图14,正方形ABCD和正方形OEFG中,点A和点F的坐标分别为(3,2),(-1,-1),则两个正方形的位似中心的坐标是______.(1,0)或(-5,-2)
图14
12.(08泰州)在平面上,四边形的对角线与相交于,且满足.有下列四个条件:(1);(2);(3);(4).若只增加其中的一个条件,就一定能使成立,这样的条件可以是( )D
A.(2)、(4) B.(2) C.(3)、(4) D.(4)
1、(5T)(2008湖北省黄冈市,3分)如图,和都是边长为2的等边三角形,点在同一条直线上,连接,则的长为 .
7.(08南京)小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影子长为0.85m,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为1.1m,那么小刚举起的手臂超出头顶( A )
A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m
(第14题图)
14.(08连云港)如图,一落地晾衣架两撑杆的公共点为,cm,cm.若撑杆下端点所在直线平行于上端点所在直线,且cm,则 60 cm.
O P
A
第16题图
[2008年福建省宁德市]16.如图,PA切半圆O于A点,如果∠P=35°,那么∠AOP=_____55°.
[2008年福建省宁德市]23.(本题满分10分)在边长为1的正方形网格中,有形如帆船的图案①和半径为2的⊙P.
⑴将图案①进行平移,使A点平移到点E,画出平移后的图案;
⑵以点M为位似中心,在网格中将图案①放大2倍,画出放大后的图案,并在放大后的图案中标出线段AB的对应线段CD;
⑶在⑵所画的图案中,线段CD被⊙P所截得的弦长为______.(结果保留根号)
M
A
E
B
P
①
23.解:⑴平移后的图案,如图所示;⑵放大后的图案,如图所示;
M
A
E
B
P
D
C
⑶线段CD被⊙P所截得的弦长为.
A
C
Q
D
P
B
(第26题)
(2008苏州)如图,在等腰梯形中,,,,.动点从点出发沿以每秒1个单位的速度向终点运动,动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动.两点同时出发,当点到达点时,点随之停止运动.
(1)梯形的面积等于 ;
(2)当时,点离开点的时间等于 秒;
(3)当三点构成直角三角形时,点离开点多少时间?
解:(1)36;(2)秒;
(3)当三点构成直角三角形时,有两种情况:
①当时,设点离开点秒,
A
C
Q
D
P
B
E
作于,.
,,.
当时,点离开点秒.
②当时,设点离开点秒,
A
C
D
P
B
Q
E
,.
.
...
当时,点离开点秒.
由①②知,当三点构成直角三角形时,点离开点秒或秒.
(2008年江苏省无锡市,20T,6分)如图,已知是矩形的边上一点,于,试说明:.
20.解法一:矩形中,,, (2分)
. (4分)
,,. (5分)
. (6分)
解法二:矩形中,. (2分)
,,. (4分)
(下同)
(2008年江苏省南通市,17T,4分)已知△ABC和△A′B′C′是位似图形. △A′B′C′的面积6cm2,周长是△ABC的一半.AB=8cm,则AB边上的高等于( )
A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm答案17.B
(2008年江苏省南通市,26T,12分)如图,四边形ABCD中,AD=CD,∠DAB=∠ACB=90°,过点D作DE⊥AC,垂足为F,DE与AB相交于点E.
(1)求证:AB·AF=CB·CD
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE上的动点.设DP=xcm(x>0),四边形BCDP的面积为ycm2.
①求y关于x的函数关系式;
②当x为何值时,△PBC的周长最小,并求出此时y的值.
26.(1)证明:∵AD=CD,DE⊥AC,∴DE垂直平分AC
∴AF=CF,∠DFA=DFC=90°,∠DAF=∠DCF.
∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°,∴∠DCF=∠DAF=∠B
在Rt△DCF和Rt△ABC中,∠DFC=∠ACB=90°,∠DCF=∠B
∴△DCF∽△ABC
∴,即.∴AB·AF=CB·CD
(2)解:①∵AB=15,BC=9,∠ACB=90°,
∴AC===12,∴CF=AF=6
∴×6=3x+27(x>0)
②∵BC=9(定值),∴△PBC的周长最小,就是PB+PC最小.由(1)可知,点C关于直线DE的对称点是点A,∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小.
显然当P、A、B三点共线时PB+PA最小.此时DP=DE,PB+PA=AB.
由(1),∠ADF=∠FAE,∠DFA=∠ACB=90°,地△DAF∽△ABC.
EF∥BC,得AE=BE=AB=,EF=.
∴AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15.∴AD=10.
Rt△ADF中,AD=10,AF=6,∴DF=8.
∴DE=DF+FE=8+=.
∴当x=时,△PBC的周长最小,此时y=
24. 相似(比例线段,相似多边形,相似三角形)
(2008青海)C
A
BA
DA
OA
EA
FA
第18题图
18.如图,是由经过位似变换得到的,点是位似中心,分别是的中点,则与的面积比是( )
A. B. C. D.
答案:C
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