2020年浙江省绍兴市中考数学试卷【题干后附答案、详细解释；可编辑】适合讲解用 10页

‎2020年浙江省绍兴市中考数学试卷 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）‎ ‎ ‎ ‎1. 实数‎2‎，‎0‎，‎-2‎，‎2‎中，为负数的是（ ） ‎ A.‎2‎ B.‎0‎ C.‎-2‎ D.‎‎2‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ 实数‎2‎，‎0‎，‎-2‎，‎2‎中，为负数的是‎-2‎，‎ ‎ ‎ ‎2. 某自动控制器的芯片，可植入‎2020000000‎粒晶体管，这个数字‎2020000000‎用科学记数法可表示为（ ） ‎ A.‎0.202×‎‎10‎‎10‎ B.‎2.02×‎‎10‎‎9‎ C.‎20.2×‎‎10‎‎8‎ D.‎‎2.02×‎‎10‎‎8‎ ‎【答案】‎ B ‎【解答】‎ ‎2020000000‎‎＝‎2.02×‎‎10‎‎9‎，‎ ‎ ‎ ‎3. 将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ A‎、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意．‎ ‎ ‎ ‎4. 如图，点A，B，C，D，E均在‎⊙O上，‎∠BAC＝‎15‎‎∘‎，‎∠CED＝‎30‎‎∘‎，则‎∠BOD的度数为（ ） ‎ A.‎45‎‎∘‎ B.‎60‎‎∘‎ C.‎75‎‎∘‎ D.‎‎90‎‎∘‎ ‎【答案】‎ D ‎【解答】‎ 连接BE， ∵ ‎∠BEC＝‎∠BAC＝‎15‎‎∘‎，‎∠CED＝‎30‎‎∘‎， ∴ ‎∠BED＝‎∠BEC+∠CED＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠BOD＝‎2∠BED＝‎90‎‎∘‎．‎ ‎ ‎ ‎5. 如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为‎2:5‎，且三角板的一边长为‎8cm．则投影三角板的对应边长为（ ） ‎ A.‎20cm B.‎10cm C.‎8cm D.‎‎3.2cm ‎【答案】‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 A ‎【解答】‎ 设投影三角尺的对应边长为xcm， ∵ 三角尺与投影三角尺相似， ∴ ‎8:x＝‎2:5‎， 解得x＝‎20‎．‎ ‎ ‎ ‎6. 如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（ ） ‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎6‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ 由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等， 小球最终落出的点共有E、F、G、H四个， 所以小球从E出口落出的概率是：‎1‎‎4‎；‎ ‎ ‎ ‎7. 长度分别为‎2‎，‎3‎，‎3‎，‎4‎的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ） ‎ A.‎4‎ B.‎5‎ C.‎6‎ D.‎‎7‎ ‎【答案】‎ B ‎【解答】‎ ‎①长度分别为‎5‎、‎3‎、‎4‎，能构成三角形，且最长边为‎5‎； ②长度分别为‎2‎、‎6‎、‎4‎，不能构成三角形； ③长度分别为‎2‎、‎7‎、‎3‎，不能构成三角形； 综上所述，得到三角形的最长边长为‎5‎．‎ ‎ ‎ ‎8. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ） ‎ A.平行四边形‎→‎正方形‎→‎平行四边形‎→‎矩形 B.平行四边形‎→‎菱形‎→‎平行四边形‎→‎矩形 C.平行四边形‎→‎正方形‎→‎菱形‎→‎矩形 D.平行四边形‎→‎菱形‎→‎正方形‎→‎矩形 ‎【答案】‎ B ‎【解答】‎ 观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形‎→‎菱形‎→‎平行四边形‎→‎矩形．‎ ‎ ‎ ‎9. 如图，等腰直角三角形ABC中，‎∠ABC＝‎90‎‎∘‎，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ(‎0‎‎∘‎<θ<‎90‎‎∘‎)‎，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则‎∠PAH的度数（ ） ‎ A.随着θ的增大而增大 B.随着θ的增大而减小 C.不变 D.随着θ的增大，先增大后减小 ‎ ‎【答案】‎ C ‎【解答】‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎∵ 将BC绕点B顺时针旋转θ(‎0‎‎∘‎<θ<‎90‎‎∘‎)‎，得到BP， ∴ BC＝BP＝BA， ∴ ‎∠BCP＝‎∠BPC，‎∠BPA＝‎∠BAP， ∵ ‎∠CBP+∠BCP+∠BPC＝‎180‎‎∘‎，‎∠ABP+∠BAP+∠BPA＝‎180‎‎∘‎，‎∠ABP+∠CBP＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠BPC+∠BPA＝‎135‎‎∘‎＝‎∠CPA， ∵ ‎∠CPA＝‎∠AHC+∠PAH＝‎135‎‎∘‎， ∴ ‎∠PAH＝‎135‎‎∘‎‎-‎‎90‎‎∘‎＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎∠PAH的度数是定值，‎ ‎ ‎ ‎10. 同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶‎210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是‎105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（ ） ‎ A.‎120km B.‎140km C.‎160km D.‎‎180km ‎【答案】‎ B ‎【解答】‎ 设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图： 设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得： ‎2x+2y=210×2‎x-y+x=210‎‎ ‎， 解得：x=140‎y=70‎‎ ‎． ∴ 乙在C地时加注行驶‎70km的燃料，则AB的最大长度是‎140km．‎ 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎ ‎ ‎11. 分解因式：‎1-‎x‎2‎＝________． ‎ ‎【答案】‎ ‎(1+x)(1-x)‎ ‎【解答】‎ ‎1-‎x‎2‎‎＝‎(1+x)(1-x)‎．‎ ‎ ‎ ‎12. 若关于x，y的二元一次方程组x+y=2,‎A=0‎‎ ‎的解为x=1,‎y=1,‎‎ ‎则多项式A可以是________． ‎ ‎【答案】‎ 答案不唯一，如x-y ‎【解答】‎ ‎∵ 关于x，y的二元一次方程组x+y=2‎A=0‎‎ ‎的解为x=1‎y=1‎‎ ‎， 而‎1-1‎＝‎0‎， ∴ 多项式A可以是答案不唯一，如x-y．‎ ‎ ‎ ‎13. 如图‎1‎，直角三角形纸片的一条直角边长为‎2‎，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图‎2‎放入一个边长为‎3‎的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图‎2‎中阴影部分面积为________． ‎ ‎【答案】‎ ‎4‎‎5‎ ‎【解答】‎ 由题意可得， 直角三角形的斜边长为‎3‎，一条直角边长为‎2‎， 故直角三角形的另一条直角边长为：‎3‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎‎=‎‎5‎， 故阴影部分的面积是：‎2×‎‎5‎‎2‎‎×4=4‎‎5‎，‎ ‎ ‎ ‎14. 如图，已知边长为‎2‎的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为‎2‎‎3‎，则m的值为________． ‎ ‎【答案】‎ ‎2‎或‎2‎‎7‎ ‎【解答】‎ 由作图知，点D在AC的垂直平分线上， ∵ ‎△ABC是等边三角形， ∴ 点B在AC的垂直平分线上， ∴ BD垂直平分AC， 设垂足为E， ∵ AC＝AB＝‎2‎， ∴ BE=‎‎3‎， 当点D 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎、B在AC的两侧时，如图， ∵ BD＝‎2‎‎3‎， ∴ BE＝DE， ∴ AD＝AB＝‎2‎， ∴ m＝‎2‎； 当点D、B在AC的同侧时，如图， ∵ BD'‎＝‎2‎‎3‎， ∴ D'E＝‎3‎‎3‎， ∴ AD'=‎(3‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎=2‎‎7‎， ∴ m＝‎2‎‎7‎， 综上所述，m的值为‎2‎或‎2‎‎7‎，‎ ‎ ‎ ‎15. 有两种消费券：A券，满‎60‎元减‎20‎元，B券，满‎90‎元减‎30‎元，即一次购物大于等于‎60‎元、‎90‎元，付款时分别减‎20‎元、‎30‎元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款‎150‎元，则所购商品的标价是________元． ‎ ‎【答案】‎ ‎100‎或‎85‎ ‎【解答】‎ 设所购商品的标价是x元，则 ①所购商品的标价小于‎90‎元， x-20+x＝‎150‎， 解得x＝‎85‎； ②所购商品的标价大于‎90‎元， x-20+x-30‎＝‎150‎， 解得x＝‎100‎． 故所购商品的标价是‎100‎或‎85‎元．‎ ‎ ‎ ‎16. 将两条邻边长分别为‎2‎，‎1‎的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的________（填序号）． ①‎2‎，②‎1‎，③‎2‎‎-1‎，④‎3‎‎2‎，⑤‎3‎． ‎ ‎【答案】‎ ‎①②③④‎ ‎【解答】‎ 如图所示： 则其中一个等腰三角形的腰长可以是①‎2‎，②‎1‎，③‎2‎‎-1‎，④‎3‎‎2‎，不可以是‎3‎． 故答案为：①②③④．‎ 三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎ 17. （1）计算：‎8‎‎-4cos‎45‎‎∘‎+(-1‎‎)‎‎2020‎． 17. ‎ ‎（2）化简：‎(x+y‎)‎‎2‎-x(x+2y)‎．‎ ‎【答案】‎ 原式＝‎2‎2‎-4×‎2‎‎2‎+1‎ ＝‎2‎2‎-2‎2‎+1‎ ＝‎1‎；‎ ‎(x+y‎)‎‎2‎-x(x+2y) ‎‎＝x‎2‎‎+2xy+y‎2‎-x‎2‎-2xy ＝y‎2‎．‎ ‎18. 如图，点E是‎▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F． ‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎ ‎ ‎（1）若AD的长为‎2‎，求CF的长．‎ ‎（2）若‎∠BAF＝‎90‎‎∘‎，试添加一个条件，并写出‎∠F的度数．‎ ‎【答案】‎ ‎∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD // CF， ∴ ‎∠DAE＝‎∠CFE，‎∠ADE＝‎∠FCE， ∵ 点E是CD的中点， ∴ DE＝CE， 在‎△ADE和‎△FCE中，‎∠DAE=∠CFE‎∠ADE=∠FCEDE=CE‎ ‎， ∴ ‎△ADE≅△FCE(AAS)‎， ∴ CF＝AD＝‎2‎；‎ ‎∵ ‎∠BAF＝‎90‎‎∘‎， 添加一个条件：当‎∠B＝‎60‎‎∘‎时，‎∠F＝‎90‎‎∘‎‎-‎‎60‎‎∘‎＝‎30‎‎∘‎（答案不唯一）．‎ ‎19. 一只羽毛球的重量合格标准是‎5.0‎克‎∼5.2‎克（含‎5.0‎克，不含‎5.2‎克），某厂对‎4‎月份生产的羽毛球重量进行抽样检验，并将所得数据绘制成如图统计图表． ‎4‎月份生产的羽毛球重量统计表 ‎ 组别 重量x（克）‎ 数量（只）‎ A x<5.0‎ m B ‎5.0≤x<5.1‎ ‎400‎ C ‎5.1≤x<5.2‎ ‎550‎ D x≥5.2‎ ‎30‎ ‎ ‎ ‎（1）求表中m的值及图中B组扇形的圆心角的度数．‎ ‎（2）问这些抽样检验的羽毛球中，合格率是多少？如果购得‎4‎月份生产的羽毛球‎10‎筒（每筒‎12‎只），估计所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有多少只？‎ ‎【答案】‎ 表中m的值为‎20‎，图中B组扇形的圆心角的度数为‎144‎‎∘‎；‎ 这次抽样检验的合格率是‎95%‎，所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有‎6‎只 ‎【解答】‎ ‎550÷55%‎‎＝‎1000‎（只），‎1000-400-550-30‎＝‎20‎（只） 即：m＝‎20‎， ‎360‎‎∘‎‎×‎400‎‎1000‎=‎‎144‎‎∘‎， 答：表中m的值为‎20‎，图中B组扇形的圆心角的度数为‎144‎‎∘‎；‎ ‎400‎‎1000‎‎+‎550‎‎1000‎=‎950‎‎1000‎=95%‎‎， ‎12×10×(1-95%)‎＝‎120×5%‎＝‎6‎（只）， 答：这次抽样检验的合格率是‎95%‎，所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有‎6‎只．‎ ‎ ‎ ‎20. 我国传统的计重工具--秤的应用，方便了人们的生活．如图‎1‎，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． ‎ x‎（厘米）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎11‎ ‎12‎ y‎（斤）‎ ‎0.75‎ ‎1.00‎ ‎1.50‎ ‎2.75‎ ‎3.25‎ ‎3.50‎ ‎ ‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎ ‎ ‎（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图‎2‎中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？‎ ‎ ‎ ‎（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为‎16‎厘米时，秤钩所挂物重是多少？‎ ‎【答案】‎ 观察图象可知：x＝‎7‎，y＝‎2.75‎这组数据错误． ‎ 设y＝kx+b，把x＝‎1‎，y＝‎0.75‎，x＝‎2‎，y＝‎1‎代入可得k+b=0.75‎‎2k+b=1‎‎ ‎， 解得k=‎‎1‎‎4‎b=‎‎1‎‎2‎‎ ‎， ∴ y=‎1‎‎4‎x+‎‎1‎‎2‎， 当x＝‎16‎时，y＝‎4.5‎， 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为‎16‎厘米时，秤钩所挂物重是‎4.5‎斤．‎ ‎【解答】‎ 观察图象可知：x＝‎7‎，y＝‎2.75‎这组数据错误． ‎ 设y＝kx+b，把x＝‎1‎，y＝‎0.75‎，x＝‎2‎，y＝‎1‎代入可得k+b=0.75‎‎2k+b=1‎‎ ‎， 解得k=‎‎1‎‎4‎b=‎‎1‎‎2‎‎ ‎， ∴ y=‎1‎‎4‎x+‎‎1‎‎2‎， 当x＝‎16‎时，y＝‎4.5‎， 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为‎16‎厘米时，秤钩所挂物重是‎4.5‎斤．‎ ‎ ‎ ‎21. 如图‎1‎为搭建在地面上的遮阳棚，图‎2‎、图‎3‎是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝‎1m． （1）若移动滑块使AE＝EF，求‎∠AFE的度数和棚宽BC的长．‎ ‎ （2）当‎∠AFE由‎60‎‎∘‎变为‎74‎‎∘‎时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？ （结果精确到‎0.1m，参考数据：‎3‎‎≈1.73‎，sin‎37‎‎∘‎≈0.60‎，cos‎37‎‎∘‎≈0.80‎，tan‎37‎‎∘‎≈0.75‎）‎ ‎【答案】‎ ‎∵ AE＝EF＝AF＝‎1‎， ∴ ‎△AEF是等边三角形， ∴ ‎∠AFE＝‎60‎‎∘‎， 连接 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 MF并延长交AE于K，则FM＝‎2FK， ∵ ‎△AEF是等边三角形， ∴ AK=‎‎1‎‎2‎， ∴ FK=AF‎2‎-AK‎2‎=‎‎3‎‎2‎， ∴ FM＝‎2FK=‎‎3‎， ∴ BC＝‎4FM＝‎4‎3‎≈6.92≈6.9(m)‎；‎ ‎∵ ‎∠AFE＝‎74‎‎∘‎， ∴ ‎∠AFK＝‎37‎‎∘‎， ∴ KF＝AF⋅cos‎37‎‎∘‎≈0.80‎， ∴ FM＝‎2FK＝‎1.60‎， ∴ BC＝‎4FM＝‎6.40<6.92‎， ‎6.92-6.40‎＝‎0.5‎， 答：当‎∠AFE由‎60‎‎∘‎变为‎74‎‎∘‎时，棚宽BC是减少了，减少了‎0.5m． ‎ ‎ ‎ ‎22. 问题：如图，在‎△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作‎△AEC，使EA＝EC．若‎∠BAE＝‎90‎‎∘‎，‎∠B＝‎45‎‎∘‎，求‎∠DAC的度数． 答案：‎∠DAC＝‎45‎‎∘‎． 思考：（ ‎ ‎（1））如果把以上“问题”中的条件“‎∠B＝‎45‎‎∘‎”去掉，其余条件不变，那么‎∠DAC的度数会改变吗？说明理由．‎ ‎ ‎ ‎（2）如果把以上“问题”中的条件“‎∠B＝‎45‎‎∘‎”去掉，再将“‎∠BAE＝‎90‎‎∘‎”改为“‎∠BAE＝n‎∘‎”，其余条件不变，求‎∠DAC的度数．‎ ‎【答案】‎ ‎∠DAC的度数不会改变； ∵ EA＝EC， ∴ ‎∠AED＝‎2∠C，① ∵ ‎∠BAE＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠BAD=‎1‎‎2‎[‎180‎‎∘‎-(‎90‎‎∘‎-2∠C)]‎＝‎45‎‎∘‎‎+∠C， ∴ ‎∠DAE＝‎90‎‎∘‎‎-∠BAD＝‎90‎‎∘‎‎-(‎45‎‎∘‎+∠C)‎＝‎45‎‎∘‎‎-∠C，② 由①，②得，‎∠DAC＝‎∠DAE+∠CAE＝‎45‎‎∘‎；‎ 设‎∠ABC＝m‎∘‎， 则‎∠BAD=‎1‎‎2‎(‎180‎‎∘‎-m‎∘‎)‎＝‎90‎‎∘‎‎-‎‎1‎‎2‎m‎∘‎，‎∠AEB＝‎180‎‎∘‎‎-n‎∘‎-‎m‎∘‎， ∴ ‎∠DAE＝n‎∘‎‎-∠BAD＝n‎∘‎‎-‎90‎‎∘‎+‎‎1‎‎2‎m‎∘‎， ∵ EA＝EC， ∴ ‎∠CAE=‎1‎‎2‎∠AEB＝‎90‎‎∘‎‎-‎1‎‎2‎n‎∘‎-‎‎1‎‎2‎m‎∘‎， ∴ ‎∠DAC＝‎∠DAE+∠CAE＝n‎∘‎‎-‎90‎‎∘‎+‎1‎‎2‎m‎∘‎+‎90‎‎∘‎-‎1‎‎2‎n‎∘‎-‎1‎‎2‎m‎∘‎=‎‎1‎‎2‎n‎∘‎．‎ ‎23. 如图‎1‎，排球场长为‎18m，宽为‎9m，网高为‎2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方‎1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为‎2.88m，即BA＝‎2.88m，这时水平距离OB＝‎7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图‎2‎． ‎ ‎（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y(m)‎与水平距离x(m)‎之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．‎ ‎ （2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图‎1‎，点P距底线‎1m，边线‎0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：‎2‎取‎1.4‎）‎ ‎【答案】‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 设抛物线的表达式为：y＝a(x-7‎)‎‎2‎+2.88‎， 将x＝‎0‎，y＝‎1.9‎代入上式并解得：a=-‎‎1‎‎50‎， 故抛物线的表达式为：y=-‎1‎‎50‎(x-7‎)‎‎2‎+2.88‎； 当x＝‎9‎时，y=-‎1‎‎50‎(x-7‎)‎‎2‎+2.88‎＝‎2.8>2.24‎， 当x＝‎18‎时，y=-‎1‎‎50‎(x-7‎)‎‎2‎+2.88‎＝‎0.64>0‎， 故这次发球过网，但是出界了；‎ 如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q， 在Rt△OPQ中，OQ＝‎18-1‎＝‎17‎， 当y＝‎0‎时，y=-‎1‎‎50‎(x-7‎)‎‎2‎+2.88‎＝‎0‎，解得：x＝‎19‎或‎-5‎（舍去‎-5‎）， ∴ OP＝‎19‎，而OQ＝‎17‎， 故PQ＝‎6‎2‎=8.4‎， ∵ ‎9-8.4-0.5‎＝‎0.1‎， ∴ 发球点O在底线上且距右边线‎0.1‎米处．‎ ‎ ‎ ‎24. 如图‎1‎，矩形DEFG中，DG＝‎2‎，DE＝‎3‎，Rt△ABC中，‎∠ACB＝‎90‎‎∘‎，CA＝CB＝‎2‎，FG，BC的延长线相交于点O，且FG⊥BC，OG＝‎2‎，OC＝‎4‎．将‎△ABC绕点O逆时针旋转α(‎0‎‎∘‎≤α<‎180‎‎∘‎)‎得到‎△A'B'C'‎． ‎ ‎（1）当α＝‎30‎‎∘‎时，求点C'‎到直线OF的距离．‎ ‎ （2）在图‎1‎中，取A'B'‎的中点P，连结C'P，如图‎2‎． ①当C'P与矩形DEFG的一条边平行时，求点C'‎到直线DE的距离． ②当线段A'P与矩形DEFG的边有且只有一个交点时，求该交点到直线DG的距离的取值范围．‎ ‎【答案】‎ 如图‎1‎中， 过点C'‎作C'H⊥OF于H． ∵ ‎∠HC'O＝α＝‎30‎‎∘‎， ∴ C'H＝C'O⋅cos‎30‎‎∘‎＝‎2‎‎3‎， ∴ 点C'‎到直线OF的距离为‎2‎‎3‎．‎ ‎①如图‎2‎中，当C'P // OF时，过点C'‎作C'M⊥OF于M． ∵ C'P // OF， ∴ ‎∠O＝‎180‎‎∘‎‎-∠OC'P＝‎45‎‎∘‎， ∴ ‎△OC'M是等腰直角三角形， ∵ OC'‎＝‎4‎， ∴ C'M＝‎2‎‎2‎， ∴ 点C'‎到直线DE的距离为‎2‎2‎-2‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎． 如图‎3‎中，当C'P // DG时，过点C'‎作C'N⊥FG于N． 同法可证‎△OC'N是等腰直角三角形， ∴ C'N＝‎2‎‎2‎， ∴ 点C'‎到直线DE的距离为‎2‎2‎+2‎． ②设d为所求的距离． 第一种情形：如图‎4‎中，当点A'‎落在DE上时，连接OA'‎，延长ED交OC于M． ∵ OA'‎＝‎2‎‎5‎，OM＝‎2‎，‎∠OMA'‎＝‎90‎‎∘‎， ∴ A'M=A‎'‎O‎2‎‎-OM‎2‎=‎(2‎5‎‎)‎‎2‎-‎‎2‎‎2‎=4‎， ∴ A'D＝‎2‎，即d＝‎2‎， 如图‎5‎中，当点P落在DE上时，连接OP，过点P作PQ⊥C'B'‎于Q． ∵ PQ＝‎1‎，OQ＝‎5‎， ∴ OP=‎5‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎26‎， ∴ PM=‎26-4‎=‎‎22‎， ∴ PD=‎22‎-2‎， ∴ d=‎22‎-2‎， ∴ ‎2≤d≤‎22‎-2‎． 第二种情形：当A'P与FG相交，不与EF相交时，当点A'‎在FG上时，A'G＝‎2‎5‎-2‎，即d＝‎2‎5‎-2‎， 如图‎6‎中，当点P落在EF上时，设OF交A'B'‎于Q，过点P作PT⊥B'C'‎于T，过点P作PR // OQ交OB'‎于R，连接OP． ∵ OP=‎‎26‎，OF＝‎5‎， ∴ FP=OP‎2‎-OF‎2‎=‎26-25‎=1‎， ∵ OF＝OT，PF＝PT，‎∠F＝‎∠PTO＝‎90‎‎∘‎， ∴ Rt△OPF≅Rt△OPT(HL)‎， ∴ ‎∠FOP＝‎∠TOP， ∵ PQ // OQ， ∴ ‎∠OPR＝‎∠POF， ∴ ‎∠OPR＝‎∠POR， ∴ OR＝PR， ∵ PT‎2‎+TR‎2‎＝PR‎2‎， ∴ ‎1‎‎2‎‎+(5-PR‎)‎‎2‎＝PR‎2‎， ∴ PR＝‎2.6‎，RT＝‎2.4‎， ∵ ‎△B'PR∽△B'QO， ∴ B‎'‎RB‎'‎O‎=‎PRQO， ∴ ‎3.4‎‎6‎‎=‎‎2.6‎OQ， ∴ OQ=‎‎78‎‎17‎， ∴ QG＝OQ-OG=‎‎44‎‎17‎，即d=‎‎44‎‎17‎ ∴ ‎2‎5‎-2≤d<‎‎44‎‎17‎， 第三种情形：当A'P经过点F 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 时，如图‎7‎中，显然d＝‎3‎． 综上所述，‎2≤d≤‎22‎-2‎或d＝‎3‎．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页