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- 2021-11-12 发布
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{来源}2019年四川省南充市中考数学试卷
{适用范围:3. 九年级}
2019年四川省南充市初中学业水平考试
数学试题
考试时间:120分钟 满分:120分
{题型:1-选择题}一、选择题:本大题共 10小题,每小题3分,合计30分.
{题目}1. (2019年南充)如果,那么的值为( )
A.6 B. C.-6 D.
{答案} B
{解析}本题考查了倒数的定义,根据乘积为1的数互为倒数即可判断,,因此本题选B.
{分值}3
{章节:[1-1-4-2]有理数的除法}
{考点:倒数}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}2. (2019年南充)下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
{答案}D
{解析}本题考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算,A.x+x2,无法合并,故此选项错误;B.(x2)3=x6,故此选项错误;C.x6÷x2=x4,故此选项错误;D.x•x2=x3,故此选项正确.因此本题选D.
{分值}3
{章节:[1-14-1]整式的乘法}
{考点:整式加减}
{考点:同底数幂的乘法}
{考点:幂的乘方}
{考点:同底数幂的除法}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}3. (2019年南充)如图是一个几何体的表面展开图,这个几何体是( )
A. B. C. D.
{答案} C
{解析}本题考查了几何体的展开图,由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知,这个几何体是三棱柱,因此本题选C.
{分值}3
{章节:[1-4-4]课题学习 设计制作长方体形状的包装纸盒}
{考点:几何体的展开图}
{类别:发现探究}
{难度:2-简单}
{题目}4. (2019年南充)在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中,某校九年级(1)班
体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计,制作出扇形统计图(如图),则该班选考乒
乓球人数比羽毛球人数多( )
A.5人 B.10人 C.15人 D.20人
{答案}B
{解析}本题考查了扇形统计图的应用,∵选考乒乓球人数为50×40%=20人,选考羽毛球人数为=10人,∴选考乒乓球人数比羽毛球人数多20﹣10=10人,,因此本题选B.
{分值}3
{章节:[1-10-1]统计调查}
{考点:扇形统计图}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}5. (2019年南充)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=
6,AC=5,则△ACE的周长为( )
A.8 B.11 C.16 D.17
{答案}B
{解析}本题考查了线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等,由DE垂直平分线AB,可得AE=BE,所以△ACE的周长=AC+EC+AE=AC+EC+BE=AC+BC=11,因此本题选B.
{分值}3
{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}
{考点:垂直平分线的性质}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}6. (2019年南充)关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1,则a+m的值为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
{答案}C
{解析}本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程解的定义,所以a﹣2=1,2+m=4,所以a=3,m=2,所以a+m=3+2=5,因此本题选C.
{分值}3
{章节:[1-3-1-1]一元一次方程}
{考点:一元一次方程的定义}
{考点:方程的解}
{类别:易错题}
{难度:2-简单}
{题目}7. (2019年南充)如图,在半径为6的⊙O中,点A,B,C都在⊙O上,四边形OABC是平行四边形,则图中阴影部分的面积为( )
A.6π B.π C.π D.2π
{答案}A
{解析}本题考查了平行四边形的性质、扇形面积的计算,连接OB,根据平行四边形的性质得到AB=OC,推出△AOB是等边三角形,得到∠AOB=60°,所以S△AOB=S△ABC,再根据扇形的面积公式即可求解,S阴影=S扇形OAB==6π,因此本题选A.
{分值}3
{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}
{考点:平行四边形边的性质}
{考点:平行四边形角的性质}
{考点:扇形的面积}
{考点:等边三角形的判定与性质}
{类别:思想方法}
{难度:3-中等难度}
{题目}8. (2019年南充)关于x的不等式2x+a≤1只有2个正整数解,则a的取值范围为( )
A.﹣5<a<﹣3 B.﹣5≤a<﹣3 C.﹣5<a≤﹣3 D.﹣5≤a≤﹣3
{答案}C
{解析}本题考查了一元一次不等式(组)及应用,首先解不等式不等式可得 ,再根据不等式有两个正整数解,一定是1和2,所以,解得:﹣5<a≤﹣3.因此本题选C.
{分值}3
{章节:[1-9-2]一元一次不等式}
{考点:解一元一次不等式}
{考点:一元一次不等式的整数解}
{类别:易错题}
{难度:3-中等难度}
{题目}9. (2019年南充)如图,正方形MNCB在宽为2的矩形纸片一端,对折正方形MNCB得到折痕AE,再翻折纸片,使AB与AD重合,以下结论错误的是( )
A.AB2=10+ B.
C.BC2=CD•EH D.sin∠AHD=
{答案}A
{解析}本题考查了矩形、正方形、菱形的性质与判定.首先证明四边形ABHD是菱形,利用勾股定理求出AB,AD,CD,EH,AH,即可判断.
解:在Rt△AEB中, AB===,
∵AB∥DH,BH∥AD,
∴四边形ABHD是平行四边形,
∵AB=AD,
∴四边形ABHD是菱形,
∴AD=AB=,
∴CD=AD=AD=﹣1,
∴,故选项B正确,
∵BC2=4,CD•EH=(﹣1)(+1)=4,
∴BC2=CD•EH,故选项C正确,
∵四边形ABHD是菱形,
∴∠AHD=∠AHB,
∴sin∠AHD=sin∠AHB===,因此本题选A.
{分值}3
{章节:[1-18-2-2]菱形}
{考点:矩形的性质}
{考点:菱形的性质}
{考点:菱形的判定}
{考点:正方形的性质}
{考点:几何选择压轴}
{考点:折叠问题}
{类别:发现探究}
{难度:4-较高难度}
{题目}10.(2019年南充)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数),a>0,顶点坐标为(,m),
给出下列结论:①若点(n,y1)与在该抛物线上,当n<时,则y1<y2;②关于x
的一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0无实数解,那么( )
A.①正确,②正确 B.①正确,②错误
C.①错误,②正确 D.①错误,②错误
{答案}A
{解析}本题考查了二次函数图象及其性质,①根据二次函数的增减性进行判断便可;②先把顶点坐标代入抛物线的解析式,求得m,再把m代入一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0的根的判别式中计算,判断其正负即可判断正误.
解:①∵顶点坐标为(,m),n<,
∴点(n,y1)关于抛物线的对称轴x=12的对称点为(1﹣n,y1),
∴点(1﹣n,y1)与(,y2)在该抛物线上,
∵(1﹣n)﹣()=n﹣<0,
∴1﹣n<,
∵a>0,
∴当x>时,y随x的增大而增大,
∴y1<y2,故①正确;
②把(,m)代入y=ax2+bx+c中,得m=,
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0中,△=b2﹣4ac+4am﹣4a=b2﹣4ac+4a()﹣4a
=(a+b)2﹣4a<0,
∴一元二次方程ax2﹣bx+c﹣m+1=0无实数解,故②正确;
因此本题选A.
{分值}3
{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}
{考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质}
{考点:抛物线与一元二次方程的关系}
{类别:易错题}
{难度:4-较高难度}
{题型:2-填空题}二、填空题:本大题共6个小题,每小题3分,合计18分.
{题目}11.(2019年南充)原价为a元的书包,现按8折出售,则售价为 元.
{答案}0.8a
{解析}本题考查了整式的基本概念,能根据题意列出代数式是解题的关键,因此本题答案为0.8a.
{分值}3
{章节:[1-2-1]整式}
{考点:列代数式}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}12.(2019年南充)如图,以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH,连接DH,则∠ADH= °
{答案}15
{解析}本题考查了正方形和等腰三角形的性质,根据正方形的性质得到AB=AD,∠BAD=90°,在正六边形ABEFGH中,求得AB=AH,∠BAH=120°,于是得到AH=AD,∠HAD=360°﹣90°﹣120°=150°,根据等腰三角形的性质即可得到结论,因此本题答案为15.
{分值}3
{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}
{考点:正方形的性质}
{考点:等腰直角三角形}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}13.(2019年南充)计算: .
{答案} x+1
{解析}本题考查了分式的加减运算,先化为同分母分式,利用同分母分式的减法法则:同分母分式相加减,分母不变,分子相加减,计算即可得到结果,因此本题答案为x+1.
{分值}3
{章节:[1-15-2-2]分式的加减}
{考点:两个分式的加减}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}14.(2019年南充)下表是某养殖户的500只鸡出售时质量的统计数据.
质量/kg
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
频数/只
56
162
112
120
40
10
则500只鸡质量的中位数为 .
{答案}1.4kg
{解析}本题考查了中位数的基本概念:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.因此本题答案为1.4kg.
{分值}3
{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}
{考点:中位数}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}15.(2019年南充)在平面直角坐标系xOy中,点在直线上,点在双曲线上,则k的取值范围为 .
{答案}且
{解析}本题考查了一次函数与反比例函数图象及其应用,根据一次函数图象上点的特征求得,即可得到B(m,),根据反比例函数图象上点的特征得到k关于m的函数,k=m•=,根据二次函数的性质即可求得k的取值范围,注意.因此本题答案为且.
{分值}3
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
{考点:反比例函数与一次函数的综合}
{考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质}
{类别:易错题}
{难度:4-较高难度}
{题目}16.(2019年南充)如图,矩形硬纸片ABCD的顶点A在轴的正半轴及原点上滑动,顶点B在轴的正半轴及原点上滑动,点E为AB的中点,AB=24,BC=5.给出下列结论:①点A从点O出发,到点B运动至点O为止,点E经过的路径长为12π;②△OAB的面积的最大值为144;③当OD最大时,点D的坐标为.其中正确的结论是 (填写序号).
{答案}②③
{解析}本题考查了直角三角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,①由条件可知AB=24,则AB的中点E的运动轨迹是圆弧,最后根据弧长公式即可计算出点E所经过的路径长;②当△OAB的面积最大时,因为AB=24,所以△OAB为等腰直角三角形,即OA=OB,可求出最大面积为144;③当O、E、D三点共线时,OD最大,过点D作DF⊥y轴于点F,可求出OD=25,证明△DFA∽△AOB和△DFO∽△BOA,可求出DF长,则D点坐标可求出.因此本题答案为②③.
解:∵点E为AB的中点,AB=24,
∴OE=AB=12,
∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心,12为半径的一段圆弧,
∵∠AOB=90°,
∴点E经过的路径长为=,故①错误;
当△OAB的面积最大时,因为AB=24,所以△OAB为等腰直角三角形,即OA=OB,
∵E为AB的中点,
∴OE⊥AB, OE=AB=12,
∴S△AOB==144,故②正确;
如图,当O、E、D三点共线时,OD最大,过点D作DF⊥y轴于点F,
∵AD=BC=5,AE=AB=12,
∴DE= = =13,
∴OD=DE+OE=13+12=25,
设DF=x,
∴OF= =,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∴∠DFA=∠AOB,
∴∠DAF=∠ABO,
∴△DFA∽△AOB
∴,
∴,
∴,
∵E为AB的中点,∠AOB=90°,
∴AE=OE,
∴∠AOE=∠OAE,
∴△DFO∽△BOA,
∴,
∴,
解得x=,x=﹣舍去,
∴OF=,
∴D(,)故③正确.
故答案为:②③.
{分值}3
{章节:[1-18-2-1]矩形}
{考点:三角形综合题}
{考点:相似三角形的判定(两角相等)}
{考点:相似三角形的性质}
{难度:5-高难度}
{题型:4-解答题}三、解答题:本大题共9个小题,合计72分.
{题目}17.(2019年南充)计算:
{解析}本题考查了实数的混合计算,关键在于计算要准确,不能漏掉符号.
{答案}解:原式= 4分
= 5分
= 6分
{分值}6
{章节:[1-6-3]实数}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{考点:负指数参与的运算}
{考点:算术平方根}
{考点:绝对值的性质}
{考点:零次幂}
{题目}18.(2019年南充)如图,点O是线段AB的中点,OD∥BC且OD=BC.
(1)求证:△AOD≌△OBC;
(2)若∠ADO=35°,求∠DOC的度数.
{解析}本题考查了全等三角形的判定和性质,平行线的性质,(1)根据线段中点的定义得到AO=BO,根据平行线的性质得到∠AOD=∠OBC,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;(2)根据全等三角形的性质和平行线的性质即可得到结论.
{答案}解: (1)证明:∵点O线段AB的中点,∴AO=BO. 1分
∵OD∥BC,∴∠AOD=∠OBC. 2分
在△AOD和△OBC中,,
∴△AOD≌△OBC(SAS) 4分
(2)解:∵△AOD≌△OBC,∴∠ADO=∠OCB=35°. 5分
∵OD∥BC,∴∠DOC=∠OCB=35°. 6分
{分值}6
{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}
{难度:2-简单}
{类别:常考题}
{考点:全等三角形的性质}
{考点:全等三角形的判定SAS}
{考点:平行线的性质与判定}
{题目}19.(2019年南充)现有四张完全相同的不透明卡片,其正面分别写有数字-2,-1,0,2,把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.(1)随机抽取一张卡片,求抽取的卡片上的数字为负数的概率;(2)先随机抽取卡片,其上的数字作为点A的横坐标;然后放回并洗匀,再随机抽取一张卡片,其上的数字作为点A的纵坐标,试用画树状图或列表的方法求出点A在直线y=2x上的概率.
{解析}本题考查了树状图法或列表法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征,(1
)由概率公式即可得出结果;(2)直接利用树状图法列举出所有可能进而得出答案.
{答案}解:
(1)∵抽取的负数可能为-2,-1,∴抽取出数字为负数的概率为P= 2分
(2)列表如下
﹣2
﹣1
0
2
﹣2
(﹣2,﹣2)
(﹣2,﹣1)
(﹣2,0)
(﹣2,2)
﹣1
(﹣1,﹣2)
(﹣1,﹣1)
(﹣1,0)
(﹣1,2)
0
(0,﹣2)
(0,﹣1)
(0,0)
(0,2)
2
(2,﹣2)
(2,﹣1)
(2,0)
(2,2)
或者画树状图如下
4分
∵共有16种等可能结果,其中点A在直线y=2x上的结果有2种 5分
∴点A在直线y=2x上的概率为 6分
{分值}6
{章节:[1-25-2]用列举法求概率}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{考点:一次函数的图象}
{考点:两步事件放回}
{题目}20.(2019年南充)已知关于的一元二次方程有实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)当m=2时,方程的根为,求代数式的值.
{解析}本题考查了一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系:两根之和等于,两根之积等于”.(1)根据△≥0,解不等式即可;(2)将m=2代入原方程可得:x2+3x+1=0,计算两根和与两根积,化简所求式子,可得结论.
{答案}解: (1)△=(2m﹣1)2﹣4(m2﹣3)=﹣4m+13, 2分
由题意知原方程有实根,∴△=﹣4m+13≥0, 3分
∴m≤. 4分
(2)当m=2时,方程为x2+3x+1=0, 5分
∴x1+x2=﹣3,x1x2=1, 6分
∵方程的根为x1,x2,
∴x12+3x1+1=0,x22+3x2+1=0,
∴(x12+2x1)(x22+4x2+2)
=(x12+2x1+x1﹣x1)(x22+3x2+x2+2)
=(﹣1﹣x1)(﹣1+x2+2)
=(﹣1﹣x1)(x2+1)
=﹣x2﹣x1x2﹣1﹣x1
=﹣x2﹣x1﹣2
=3﹣2
=1. 8分
{分值}8
{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{考点:根的判别式}
{考点:根与系数关系}
{题目}21.(2019年南充)双曲线(k为常数,且)与直线交于,两点.(1)求k与b的值;(2)如图,直线AB交x轴于点C,交y轴于点D,若点E为CD的中点,求△BOE的面积.
{解析}本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的图象与性质.(1)将A、B两点的坐标代入一次函数解析式可得b和n的值,则求出点B(1,﹣2),代入反比例函数解析式可求出k的值.(2)先求出点C、D两点的坐标,再求出E点坐标,则S△BOE=S△ODE+S△ODB=,可求出△BOE的面积.
{答案}解:(1)∵点在直线上,
∴,∴b=﹣2 2分
∴,∵点B(1,n)在直线上,∴ 3分
∴B(1,-4),∵B(1,-4)在双曲线上,∴ 4分
(2)直线交x轴于C(-1,0),交y轴于D(0,-2) 5分
∴S△COD=
∵点E为CD的中点,∴S△COE=S△COD= 6分
∵S△COB= 7分
∴S△BOE=S△COB-S△COE=2-. 8分
{分值}8
{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{考点:反比例函数与一次函数的综合}
{题目}22.(2019年南充)如图,在△ABC中,以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD,∠BCD=∠A.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BC=5,BD=3,求点O到CD的距离.
{解析}本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、垂径定理、三角形的中位线的性质.(1)根据圆周角定理得到∠ADC=90°,得到∠A+∠ACD=90°,求得∠ACB=90°,于是得到结论;
(2)过O作OH⊥CD于H,根据相似三角形的性质得到AB=,根据垂径定理得到CH=DH,根据三角形的中位线的性质即可得到结论.
{答案}解:(1)证明:∵AC是⊙O的直径,∴∠ADC=90°. 1分
∴∠A+∠ACD=90°,∵∠BCD=∠A,∴∠BCD+∠ACD=90° 2分
∴OC⊥BC,∵OC是⊙O的半径,∴BC是⊙O的切线. 3分
(2)解:过点O作OE⊥CD于点E,如图所示 4分
在Rt△BCD中,∵BC=5,BD=3,∴CD=4 5分
∵∠ADC=∠CDB=90°,∠BCD=∠A.
∴Rt△BDC∽Rt△CDA.∴,∴ 6分
∵OE⊥CD,∴E为CD的中点 7分
又∵点O是AC的中点,∴OE= 8分
{分值}8
{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}
{难度:4-较高难度}
{类别:常考题}
{考点:切线的性质}
{考点:切线的判定}
{考点:三角形中位线}
{考点:直径所对的圆周角}
{考点:垂径定理}
{题目}23.(2019年南充)在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔,一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元,购买4支钢笔和5个笔记本共70元.(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元?(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加一支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等学生多少人时,购买奖品金额最少,最少为多少元?
{解析}本题考查了二次函数的应用,二元一次方程组的应用.(1)钢笔、笔记本的单价分别为x、y元,根据题意列方程组即可得到结论;
(2)设钢笔的单价为a元,购买数量为b元,支付钢笔和笔记本的总金额w元,①当30≤b≤50时,求得w=﹣0.1(b﹣35)2+722.5,于是得到700≤w≤722.5;②当50<b≤60时,求得w=8b+6(100﹣b)=2b+600,700<w≤720,于是得到当30≤b≤60时,w的最小值为700元,即可得到答案.
{答案}解:(1)设钢笔、笔记本的单价分别为、元.根据题意可得 2分
解得:. 4分
答:钢笔、笔记本的单价分别为10元,6元.
(2)设钢笔单价为元,购买数量为b支,支付钢笔和笔记本总金额为W元.
①当30≤b≤50时, 5分
7分
∵当时,W=720,当b=50时,W=700
∴当30≤b≤50时,700≤W≤722.5 8分
②当50<b≤60时,a=8, 9分
∴当30≤b≤60时,W的最小值为700元
∴当一等奖人数为50时花费最少,最少为700元. 10分
{分值}10
{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}
{难度:3-中等难度}
{类别:常考题}
{考点:商品利润问题}
{考点:简单的列二元一次方程组应用题}
{考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质}
{题目}24.(2019年南充)如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上的一点,以DE为边作正方形DEFG,DF与BC交于点M,延长EM交GF于点H,EF与GB交于点N,连接CG.(1)求证:CD⊥CG;(2)若tan∠MEN=,求的值;(3)已知正方形ABCD的边长为1,点E在运动过程中,EM的长能否为?请说明理由.
{解析}本题考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质.(1)由正方形的性质得出∠A=∠ADC=∠EDG=90°,AD=CD,DE=DG,即∠ADE=∠CDG,由SAS证明△ADE≌△CDG得出∠A=∠DCG=90°,即可得出结论;
(2)先证明△EDM≌△GDM得出∠DME=∠DMG,又∠DMG=∠NMF,得出∠DME=∠NMF,所以△DME∽△FMN,得出,由DE∥HF,得出,又ED=EF,所以,在Rt△EFH中,tan∠HEF=,即可得出结果;
(3)设AE=x,则BE=1-x,CG=x,设CM=y,在Rt△BEM中,,得出,,若,则,方程无解,即可得出结论.
{答案}解:(1)证明:在正方形ABCD,DEFG中,
DA=DC,DE=DG,∠ADC=∠EDG=∠A=90° 1分
∴∠ADC-∠EDC=∠EDG-∠EDC,即∠ADE=∠CDG,∴△ADE≌△CDG(SAS) 2分
∴∠DCG=∠A=90°,∴CD⊥CG 3分
(2)解:∵CD⊥CG,DC⊥BC,∴G、C、M三点共线.
∵四边形DEFG是正方形,∴DG=DE,∠EDM=∠GDM=45°,又∵DM=DM
∴△EDM≌△GDM,∴∠DME=∠DMG 4分
又∠DMG=∠NMF,∴∠DME=∠NMF,又∵∠EDM=∠NFM=45°
∴△DME∽△FMN,∴. 5分
又∵DE∥HF,∴,又∵ED=EF,∴. 6分
在Rt△EFH中,tan∠HEF=,∴. 7分
(3)设AE=x,则BE=1-x,CG=x,设CM=y,则BM=1-y,EM=GM=x+y 8分
在Rt△BEM中,,∴,
解得. 9分
∴,若,则,
化简得:,△=-7<0,∴方程无解,故EM长不可能为. 10分
{分值}10
{章节:[1-18-2-3] 正方形}
{难度:5-高难度}
{类别:发现探究}
{考点:全等三角形的性质}
{考点:全等三角形的判定SAS}
{考点:相似三角形的性质}
{考点:相似三角形的判定(两角相等)}
{考点:根的判别式}
{考点:几何综合}
{题目}25.(2019年南充)如图,抛物线与轴交于点A(-1,0),点B(-3,0),且OB=OC.(1)求抛物线的解析式;(2)点P在抛物线上,且∠POB=∠ACB,求点P的坐标;(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点,过点D作y轴的平行线交MN于点E.
①求DE的最大值.②点D关于点E的对称点为F.当m为何值时,四边形MDNF为矩形?
{解析}本题考查了待定系数法求二次函数解析式、求二次函数最大值,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,一元二次方程的解法,二元一次方程组的解法,矩形的性质.(1)已知抛物线与x轴两交点坐标,可设交点式y=a(x+1)(x+3);由OC=OB=3得C(0,﹣3),代入交点式即求得a=﹣1.
(2)由∠POB=∠ACB联想到构造相似三角形,因为求点P坐标一般会作x轴垂线PH得Rt△POH,故可过点A在BC边上作垂线AG,构造△ACG∽△POH.利用点A、B、C坐标求得AG、CG的长,由相似三角形对应边成比例推出.设点P横坐标为p,则OH与PH都能用p表示,但需按P横纵坐标的正负性进行分类讨论.得到用p表示OH与PH并代入OH=2PH计算即求得p的值,进而求点P坐标.
(3)①用m表示M、N横纵坐标,把m当常数求直线MN的解析式.设D横坐标为d,把x=d代入直线MN解析式得点E纵坐标,D与E纵坐标相减即得到用m、d表示的DE的长,把m当常数,对未知数d进行配方,即得到当d=m+2时,DE取得最大值.
②由矩形MDNF得MN=DF且MN与DF互相平分,所以E为MN中点,得到点D、E横坐标为m+2.由①得d=m+2时,DE=4,所以MN=8.用两点间距离公式用m表示MN的长,即列得方程求m的值.
{答案}解:(1)∵OB=OC,B(-3,0),∴C(0,-3) 1分
又题意可得: 2分
解得:.
∴. 3分
(2)过点A作AG⊥BC于点G,如图所示,BG=AG=AB·sin45°=. 4分
∵BC=,∴CG=BC-BG=,∴tan∠ACG=. 5分
设P(),过点P作PQ⊥x轴于Q,tan∠POQ=tan∠ACG=.
①当P在x轴上方时,
则PQ=,tan∠POQ=
解得,∴. 6分
②当点P在第三象限时,,
解得:
∴. 7分
③当点P在第四象限时,∠POB>90°,而∠ACB<90°,∴点P不在第四象限
故点P坐标为或或或
(3) ①由已知,
即,设直线MN为
得:解得:
故MN为. 8分
设,
∴DE=
=,
当时,DE最大值为4. 9分
②当DE最大时,点为MN的中点.
由已知,点E为DF的中点,∴当DE最大时,四边形MDNF为平行四边形.
如果□MDNF为矩形,则故,
化简得,,故.
当或时,四边形MDNF为矩形. 10分
{分值}10
{章节:[1-22-1-1]二次函数}
{难度:5-高难度}
{类别:高度原创}{类别:发现探究}
{考点:代数综合}
{考点:二次函数与平行四边形综合}
{考点:二次函数中讨论相似}
{考点:二次函数的三种形式}
{考点:矩形的性质}
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