人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-截长补短 38页

‎2.截长补短 ‎1.已知，，，分别是及延长线上的一点，且，连接交底于，求证．‎ 答案：见解析 解析：‎ 解法1：‎ 过作，交的延长线于，则 ‎∵，， ‎ ‎∴，∴，‎ 在与中，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解法2：‎ 过点作交于，‎ 过点作交于，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴是中点，又∵，‎ ‎∴是中点，∴‎ ‎2.如图所示，在中，，，是的平分线，延长至，使．求证：‎ 答案：见解析 解析：‎ 在上取一点，使得，连接，‎ ‎∵是的平分线，∴，‎ 在与中，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∵是的平分线，‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 在与中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎3.如图，在中，，的平分线交与．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 在上取一点，使得 连结．‎ 平分，∴，‎ 在和中 ‎，‎ ‎,‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵‎ ‎，，‎ ‎， ‎ ‎∴．‎ 方法二：在的延长线上取一点 使得，连结．‎ 在和中，‎ ‎，，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵‎ ‎∴∴，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎4.如图所示，在中，于点，．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图，在上截取，连接．‎ ‎∵，，‎ ‎∴，于是，‎ 又∵，，‎ ‎∴，‎ 于是，‎ 故．‎ ‎5.如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 证明：如图，延长至点，使得，连结．‎ ‎∵是正方形，‎ ‎∴在和中，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎∴，‎ ‎∴，．‎ 又∵是的平分线．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 即．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴．‎ 即．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎6.如图，在正方形中，是的中点，是边上的一点，且平分，求证：‎ 答案：见解析 解析：‎ 解一：作 ‎∵平分，，，‎ ‎∴，，‎ 在与中，‎ ‎∵为公共边，‎ ‎∴．‎ ‎∴，．‎ ‎∵，为公共边，，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴．‎ 解二：延长交于点 ‎∵是的中点，∴，‎ ‎∵在正方形中，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎7.如图所示．已知正方形中，为的中点，为上一点，‎ 且．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 证明：‎ 如图，延长到，使，连接与相交于点，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 又∵是的中点，∴，‎ 在正方形中，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴既是的角平分线也是中线，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎8.在中，平分，．求的值．‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图，在上截取，连接．‎ ‎∵平分，‎ ‎∴，‎ 在与中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 而，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 而，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎9.如图，中，，于，且，则的大小是_____________.‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图，在上取，连接，‎ ‎∵，∴,‎ 在与中，‎ ‎．‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 又，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 得．‎ ‎10.如图，平分，，且，求证：.‎ 答案：见解析 解析：‎ 解法一 过作的垂线交延长线于，‎ ‎，，‎ 又平分，，‎ 在与中，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 在与中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎11.正方形中，为上的一点，为上的一点，，求的度数.‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长 使得 ，连接 ，‎ 在 和 中，‎ 由，‎ 可得，‎ ‎ ， ，‎ 又 ， ，‎ 在 和 中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ．‎ ‎12.如图，在中，，分别是、的平分线，相交于点，请你判断并写出与之间的数量关系；请说明理由．‎ 答案：见解析 解析：‎ ‎．‎ 理由如下：如图1，在上截取，连接，‎ ‎∵是的平分线，‎ ‎∴，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵、分别是、的平分线，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵是的平分线，‎ ‎∴，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎13.如图，在四边形中，平分，若，．‎ 求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 证明：如图，在上截取，连接．‎ ‎∵平分，‎ ‎∴，‎ 在与中，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，．‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即．‎ ‎14.已知：如图1，在边长为的正方形中，点分别是边上的点，且，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）延长交正方形外角平分线于点（图2），试判断与的大小关系，并说明理由．‎ 答案：见解析 解析：‎ ‎（1）‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵四边形为正方形，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）在上取一点，使，连接．‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵是外角平分线，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎15.如图，已知正方形中，分别是、上的点，且平分．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 证明：延长到，使，连接（如图）‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎16.如图正方形中，点、分别在、上，且．‎ 求证：；‎ 答案：见解析 解析：‎ ‎（1）证明：延长至，使，连接，‎ ‎∵在正方形中，‎ ‎∴，，‎ 在和中，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 在和中，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎17.如图，在四边形中，，，、分别是边，上的点，且，求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 证明：将顺时针旋转得到，使得与重合，‎ 则，‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎18.如图，在四边形中，平分，过作于，并且，求的度数．‎ 答案：见解析 解析：‎ 过作垂直于，‎ ‎∵平分，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎19.已知凸四边形中，，平分，过作的垂线交于，求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 证明：过作于，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 平分，，，‎ ‎，，‎ 在和中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在和中 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎　‎ ‎20.已知如图，在四边形中，平分，于，且，求证：与互补．‎ 答案：见解析 解析：‎ 证明：在上截取，连接，‎ 平分，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即与互补．‎ ‎　‎ ‎21.如图，已知四边形中，平分，于点，且．如果，则等于　　．‎ 答案：‎ 解析：‎ 解：如图，在上截取，连接，‎ 平分，为公共边，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎22.如图，四边形中，平分，于，．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 证明：过作垂直于，‎ 平分，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 又，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎23.如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图所示，延长到使．‎ 在与中，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ 故．‎ ‎∵，，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ 在与中，‎ ‎，，，‎ ‎∵，‎ 则，‎ 的周长 ‎．‎ ‎24.如图，在中，，的平分线交与．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 在上取一点，使得，连结．‎ 在和中，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎∴，‎ ‎∴， ‎ 又∵，‎ ‎∴ ‎ ‎．‎ ‎25.如图，中，，，平分交于点．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 在上截取点使，连结．‎ ‎∵平分，∴．‎ 在与中 ‎∵，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴,‎ ‎∴．‎ ‎∵，且，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎26.如图，中，的平分线交于，，，那么的大小是__________．‎ 答案：‎ 解析：‎ 在上取点，使得，连接．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴,‎ ‎∴，,‎ ‎∵，，‎ ‎∴,‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎26.如图，在中，，，点在上，平分，若，则的长为____________．‎ 答案：见解析 解析：‎ 在上截取，连接，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴ ‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎27.已知：在中，，，求证：．‎ 答案：见解析 解析：延长到点，使，如图2，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 在和中，‎ ‎，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎28.已知等腰，，的平分线交于，则．‎ 答案：见解析 解析：如图，延长到，使，在上截取．‎ ‎∵，为公共边，‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，故，．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴，‎ 故．‎ ‎∴，故．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎