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  • 2021-11-12 发布

人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-截长补短

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‎2.截长补短 ‎1.已知,,,分别是及延长线上的一点,且,连接交底于,求证.‎ 答案:见解析 解析:‎ 解法1:‎ 过作,交的延长线于,则 ‎∵,, ‎ ‎∴,∴,‎ 在与中,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 解法2:‎ 过点作交于,‎ 过点作交于,‎ ‎∴四边形是平行四边形,‎ ‎∴,,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴是中点,又∵,‎ ‎∴是中点,∴‎ ‎2.如图所示,在中,,,是的平分线,延长至,使.求证:‎ 答案:见解析 解析:‎ 在上取一点,使得,连接,‎ ‎∵是的平分线,∴,‎ 在与中,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又∵,‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎∵是的平分线,‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 在与中,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎3.如图,在中,,的平分线交与.求证:.‎ 答案:见解析 解析:‎ 在上取一点,使得 连结.‎ 平分,∴,‎ 在和中 ‎,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 又∵‎ ‎,,‎ ‎, ‎ ‎∴.‎ 方法二:在的延长线上取一点 使得,连结.‎ 在和中,‎ ‎,,‎ ‎∴,∴,‎ 又∵‎ ‎∴∴,‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎4.如图所示,在中,于点,.求证:.‎ 答案:见解析 解析:‎ 如图,在上截取,连接.‎ ‎∵,,‎ ‎∴,于是,‎ 又∵,,‎ ‎∴,‎ 于是,‎ 故.‎ ‎5.如图,正方形的边长为,点在线段上运动,平分交边于点.求证:.‎ 答案:见解析 解析:‎ 证明:如图,延长至点,使得,连结.‎ ‎∵是正方形,‎ ‎∴在和中,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎∴,‎ ‎∴,.‎ 又∵是的平分线.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 即.‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,∴.‎ 即.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎6.如图,在正方形中,是的中点,是边上的一点,且平分,求证:‎ 答案:见解析 解析:‎ 解一:作 ‎∵平分,,,‎ ‎∴,,‎ 在与中,‎ ‎∵为公共边,‎ ‎∴.‎ ‎∴,.‎ ‎∵,为公共边,,‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∵,,,‎ ‎∴.‎ 解二:延长交于点 ‎∵是的中点,∴,‎ ‎∵在正方形中,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎7.如图所示.已知正方形中,为的中点,为上一点,‎ 且.求证:.‎ 答案:见解析 解析:‎ 证明:‎ 如图,延长到,使,连接与相交于点,‎ 在和中,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ 又∵是的中点,∴,‎ 在正方形中,,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴既是的角平分线也是中线,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎8.在中,平分,.求的值.‎ 答案:见解析 解析:‎ 如图,在上截取,连接.‎ ‎∵平分,‎ ‎∴,‎ 在与中,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ 而,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 而,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎9.如图,中,,于,且,则的大小是_____________.‎ 答案:见解析 解析:‎ 如图,在上取,连接,‎ ‎∵,∴,‎ 在与中,‎ ‎.‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 又,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 得.‎ ‎10.如图,平分,,且,求证:.‎ 答案:见解析 解析:‎ 解法一 过作的垂线交延长线于,‎ ‎,,‎ 又平分,,‎ 在与中,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ 在与中,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎11.正方形中,为上的一点,为上的一点,,求的度数.‎ 答案:见解析 解析:‎ 延长 使得 ,连接 ,‎ 在 和 中,‎ 由,‎ 可得,‎ ‎ , ,‎ 又 , ,‎ 在 和 中,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ .‎ ‎12.如图,在中,,分别是、的平分线,相交于点,请你判断并写出与之间的数量关系;请说明理由.‎ 答案:见解析 解析:‎ ‎.‎ 理由如下:如图1,在上截取,连接,‎ ‎∵是的平分线,‎ ‎∴,‎ 在和中,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∵、分别是、的平分线,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵是的平分线,‎ ‎∴,‎ 在和中,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴;‎ ‎13.如图,在四边形中,平分,若,.‎ 求证:.‎ 答案:见解析 解析:‎ 证明:如图,在上截取,连接.‎ ‎∵平分,‎ ‎∴,‎ 在与中,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴,.‎ 又∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即.‎ ‎14.已知:如图1,在边长为的正方形中,点分别是边上的点,且,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)延长交正方形外角平分线于点(图2),试判断与的大小关系,并说明理由.‎ 答案:见解析 解析:‎ ‎(1)‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∵四边形为正方形,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴;‎ ‎(2)在上取一点,使,连接.‎ ‎∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵是外角平分线,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎15.如图,已知正方形中,分别是、上的点,且平分.求证:.‎ 答案:见解析 解析:‎ 证明:延长到,使,连接(如图)‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 即,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎16.如图正方形中,点、分别在、上,且.‎ 求证:;‎ 答案:见解析 解析:‎ ‎(1)证明:延长至,使,连接,‎ ‎∵在正方形中,‎ ‎∴,,‎ 在和中,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 在和中,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎17.如图,在四边形中,,,、分别是边,上的点,且,求证:.‎ 答案:见解析 解析:‎ 证明:将顺时针旋转得到,使得与重合,‎ 则,‎ ‎∴,,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 在和中,‎ ‎,‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎18.如图,在四边形中,平分,过作于,并且,求的度数.‎ 答案:见解析 解析:‎ 过作垂直于,‎ ‎∵平分,‎ ‎∴,‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 又∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎19.已知凸四边形中,,平分,过作的垂线交于,求证:.‎ 答案:见解析 解析:‎ 证明:过作于,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 平分,,,‎ ‎,,‎ 在和中,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 在和中 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ 即.‎ ‎ ‎ ‎20.已知如图,在四边形中,平分,于,且,求证:与互补.‎ 答案:见解析 解析:‎ 证明:在上截取,连接,‎ 平分,‎ ‎,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即与互补.‎ ‎ ‎ ‎21.如图,已知四边形中,平分,于点,且.如果,则等于  .‎ 答案:‎ 解析:‎ 解:如图,在上截取,连接,‎ 平分,为公共边,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,四边形中,平分,于,.求证:.‎ 答案:见解析 解析:‎ 证明:过作垂直于,‎ 平分,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 又,,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎23.如图所示,是边长为的正三角形,是顶角为的等腰三角形,以为顶点作一个的,点、分别在、上,求的周长.‎ 答案:见解析 解析:‎ 如图所示,延长到使.‎ 在与中,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,‎ 故.‎ ‎∵,,‎ ‎∴.‎ 又∵,‎ ‎∴.‎ 在与中,‎ ‎,,,‎ ‎∵,‎ 则,‎ 的周长 ‎.‎ ‎24.如图,在中,,的平分线交与.求证:.‎ 答案:见解析 解析:‎ 在上取一点,使得,连结.‎ 在和中,‎ ‎,,‎ ‎.‎ ‎∴,‎ ‎∴, ‎ 又∵,‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ ‎25.如图,中,,,平分交于点.求证:.‎ 答案:见解析 解析:‎ 在上截取点使,连结.‎ ‎∵平分,∴.‎ 在与中 ‎∵,,,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴.‎ ‎∵,且,‎ ‎∴.‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎26.如图,中,的平分线交于,,,那么的大小是__________.‎ 答案:‎ 解析:‎ 在上取点,使得,连接.‎ ‎∵,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎26.如图,在中,,,点在上,平分,若,则的长为____________.‎ 答案:见解析 解析:‎ 在上截取,连接,‎ ‎∵,,,‎ ‎∴ ‎ ‎∴,,,‎ ‎∵,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎27.已知:在中,,,求证:.‎ 答案:见解析 解析:延长到点,使,如图2,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 在和中,‎ ‎,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎28.已知等腰,,的平分线交于,则.‎ 答案:见解析 解析:如图,延长到,使,在上截取.‎ ‎∵,为公共边,‎ ‎∴,,,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴,故,.‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴,.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵,∴,‎ 故.‎ ‎∴,故.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎