九年级上数学（华师大版）导学案－24 3页

‎25.2　锐角三角函数 第1课时　锐角三角函数 学前温故 如图，B‎1C1∥BC，∠ABC=90°，则Rt△ABC________Rt△AB‎1C1，，.‎ 新课早知 ‎1．锐角三角函数：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长分别为a，b，c.‎ ‎(1)∠A的正弦sin A＝____；‎ ‎(2)∠A的余弦cos A＝____________；‎ ‎(3)∠A的正切tan A＝______________；‎ ‎(4)∠A的余切cot A＝______________；‎ ‎(5)____＜sin A＜____，0＜cos A＜1.‎ ‎2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是(　　)．‎ A．sin A＝ B．tan A＝[来源:学科网][来源:Z_xx_k.Com]‎ C．cos B＝ D．tan B＝ ‎3．(1)同角三角函数的关系：①sin‎2A＋cos‎2A＝______，②______＝，③tan A·cot A＝____.‎ ‎(2)互余角间的三角函数关系，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＋∠B＝90°，∠B＝90°－∠A，则有：sin (90°－A)＝____，cos (90°－A)＝______，tan (90°－A)＝______，cot (90°－A)＝______.‎ ‎4．已知sin α＝(∠α为锐角)，则cos (90°－α)＝__________.‎ ‎5．已知α为锐角，sin α＝，则cos α＝__________.‎ 答案：学前温故 ‎∽‎ 新课早知 ‎1．(1)＝ ‎(2)＝ ‎(3)＝ ‎(4)＝　(5)0　1‎ ‎2．D ‎3．(1)①1　②tan A　③1　(2)cos A　sin A　cot A　tan A ‎4.　5. 锐角三角函数[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【例题】(1)如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.‎ ‎①求∠A、∠B的四个三角函数值；‎ ‎②比较所求结果，你发现了什么？‎ ‎(2)已知α为锐角，sin α＝，求α的其他三角函数值．‎ 分析：(1)题先由勾股定理求出AB的长，再根据锐角三角函数的定义求；(2)题先将锐角α放在某一个三角形中，再利用三角函数的定义求，或利用同角三角函数关系式求．‎ 解：(1)①因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝5.所以sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝，cot A＝＝；sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝，cot B＝＝.‎ ‎②可以发现：sin A＝cos B，cos A＝sin B，tan A＝cot B，cot A＝tan B．‎ ‎(2)如图，在Rt△ACB中，设∠A=α，则sin α=sin A=.因为sin A=，设BC=k，AB=3k，(k＞0)，所以AC=.‎ 因此cos α=cos A=，tan α=tan A=，cot α=cot A=.‎ 点拨：(1)由(1)①②可得，如果两个锐角互余，有sin (90°－A)＝cos A，cos (90°－A)＝sin A，tan (90°－A)＝cot A，cot (90°－A)＝tan A．‎ ‎(2)已知一个锐角的一个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值的一般方法是：先将所给的锐角看成是某个直角三角形的一个锐角，利用设边的方法，求出三角形的各边，再根据三角函数的定义求解．‎ ‎1．(2010浙江温州中考)如图，已知一商场自动扶梯的长l为‎10米，该自动扶梯达到的高度h为‎6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ的值等于(　　)．‎ A． B． C． D． ‎2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，则AC的长是(　　)．‎ A． B．‎3 ‎ C． D． ‎3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则cos A＝______.‎ ‎4．已知α为锐角，若cos α＝，则sin α＝________；若tan α＝，则cot α＝________.‎ ‎5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝15.求△ABC的周长和tan A的值．‎ ‎[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]‎ 答案：1．A　根据勾股定理求得角θ的邻边为＝＝8，再由正切函数的定义知tan θ＝＝，故选A.‎ ‎2．A　由sin A＝，得AB＝＝2÷＝3，‎ 所以AC＝＝＝.‎ ‎3.　由tan A＝＝，‎ 设BC＝‎5a，AC＝‎12a(a＞0)，‎ 根据勾股定理，得AB＝‎13a，‎ 所以cos A＝＝.‎ ‎4.　　sin α＝＝，cot＝＝＝.‎ ‎5．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin A＝＝，‎ 所以BC＝12，AC＝＝9.‎ 所以△ABC的周长为36，‎ tan A＝＝.‎