三年级奥数答案(1) 264页

三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 1 - 第 1 讲 寻找规律 一、知识要点 按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，……双数列：2， 4，6，8，……我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填 写空缺的数。 按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余 所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。 善于发现数列的规律是填数的关键。 二、精讲精练 【例题 1】在括号内填上合适的数。 （1）3，6，9，12，（ 15 ），（ 18 ） （2）1，2，4，7，11，（ 16），（ 22） （3）2，6，18，54，（ 162 ），（ 486 ） 练习 1：在括号内填上合适的数。 （1）2，4，6，8，10，（ ），（ ） （2）1，2，5，10，17，（ ），（ ） （3）2，8，32，128，（ ），（ ） （4）1，5，25，125，（ ），（ ） （5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ） 【答案】（1）12,14（2）26,37（3）512,2048（4）625,3125（5）6,1 【例题 2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1）15，2，12，2，9，2，（ 6 ），（ 2 ） （2）21，4，18，5，15，6，（ 12 ），（ 7 ） （3）3,4,7,3,4,10,3,4,13，（ 3 ），（ 4 ），（ 16 ） 练习 2：按规律填数。 （1）2，1，4，1，6，1，（ 8 ），（ 1 ） （2）3，2，9，2，27，2，（ 81 ），（ 2 ） （3）18，3，15，4，12，5，（ 9 ），（ 6 ） （4）1，15，3，13，5，11，（ 7 ），（ 9 ） （5）1，2，5，14，（ 41 ），（ 122 ） 【答案】（1）8,1（2）81,2（3）9,6（4）7,9（5）41,122 3.找规律填数。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 2 - （1）4，7，8，4，6,13,4,5,18，（ 4 ），（ 4 ），（ 23 ） （2）1,2,3,2,4,6,3,8,9，（ 4 ），（ 16 ），（ 12 ） 【例题 3】先找出规律，再在括号里填上合适的数。 （1）2，5，14，41，（ 128） 41+3×3×3×3 （2）252，124，60，28，（ 6 ） 减 4 除 2 （3）1，2，5，13，34，（89） 34×3-13 （4）1，4，9，16，25，36，（49） 7×7 练习 3：按规律填数。 （1）2，3，5，9，17，（ ），（ ） （2）2，4，10，28，82，（ ），（ ） （3）94，46，22，10，（ ），（ ） （4）2，3，7，18，47，（ ），（ ） 【答案】（1）33,65（2）244,730（3）6,3（4）123,322 2.按规律填数。 （1）5，9，6，10，7，（ 11 ），（ 8 ） （2）2，3，6，18，（ 108 ） 3.按规律填数。 6，12,20,30,42，（ 56 ） 【例题 4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。 （1） （3） （1）13+14-9=18 （2）4×9÷3=12 （3）4x=12×36 x=108 练习 4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。 （1） 5 10 9 14 7 12 11 16 9 14 13 (2) 9 4 3 7 14 8 4 2 8 16 4 9 3 27 12 4 36 36 12 3 7 5 9 8 12 10 14 12 16 14 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 3 - （3） 【答案】（1）18（2）16（3）24 【例题 5】按规律填数。 （1）187，286，385，（ ），（ ） 答案：484 583 （2） 答案：3594（5=3+2,9=5+4） 练习 5：根据规律，在空格内填数。 （1）198，297，396，（ ），（ ） （2） （3） 【答案】（1）495,594（2）3897（2）3865 三、课后作业 1、仔细观察找出规律，再填数。 （1）12,1,10,1,8,1，（ 6 ）,（ 1 ），（ 4 ） （2）3,5,10,12,17，（ 19 ）,（ 24 ），（ 26 ） （3）3,2,9,2,27,2，（ 81 ）,（ 2 ），（ 243 ） 8 4 16 16 8 32 32 16 64 5 15 12 7 21 18 9 27 (2) 4 8 9 27 6 8 28 7 23 31 2541 41 23 4643 35 24 3594 32 54 3864 21 45 2665 32 57 37 25 3895 23 45 2775 34 25 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 4 - （4）1,2,2,4,3,8,4,16,5，（ 32 ）,（ 6 ），（ 64 ） （5）4,24,6,36,8,54，（ 10 ）,（ 60 ），（ 12 ） 2、观察下面各数列的规律，然后在括号里填上适当的数。 （1）1,0,2,5,3,10,4,15，（ 5 ）,（ 20 ），（ 6 ） （2）1,6,5,10,9,14,13，（ 18 ）,（ 17 ），（ 22 ） （3）1,2,2,6,3，18,4,54，（ 5 ）,（ 162 ） （4）7,14,10,12,14,9,19,5，（ 25 ）,（ 0 ） （5）3,1,6,2,12,3,24,4，（ 48 ）,（ 5 ），（ 96 ） （6）2,3,4,5,8,7,16,9，（ 32 ）,（ 11 ） 3、先找出规律，在括号内填上适当的数。 （1）5,9,17,33,65，（ 129 ）,（ 257 ），（ 512 ） （2）1，1,2,3,5,8,13,21，（ 34 ）,（ 55 ），89 （3）2,3,5,9，（ 17 ），33,65. （4）1,3,7,15，（ 31 ），63,127 （5）1,4,9,16,25，（ 36 ）,（ 49 ），64,81 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 5 - 第 2 讲 有余除法 一、知识要点 把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出 现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数 少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别 要注意的。 解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数 与除数、商和余数的关系求出被除数。 在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。 二、精讲精练 【例题 1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？ 【 思 路 导 航 】 除 数 是 _6 ， 根 据 _ 余 数 小 于 除 数 _ ， 余 数 可 填 _1,2,3,4,5. 根 据 __________________，又已知商、除数、余数，可求出最大的被除数为 6×8＋5＝53，最小 的被除数为______________。列式如下：________________________________________ 答：被除数最大是 53，最小是 49,6×8+1=49。 练习 1： (1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷8＝3……[ ] (2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。[ ]÷4＝7……[ ] (3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ ]÷[ ]＝12……4 【答案】（1）31,25（2）31,29（3）64 【例题 2】算式[ ]÷[ ]＝8……［ ］中，被除数最小是几？ 【思路导航】题中只告诉我们商是 8，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。余 数最小为______，那么除数则为______。 根据这些，我们就可求出被除数最小为：8×______＋______＝_______。 练习 2： (1)下面算式中，被除数最小是几？ ①[ ]÷[ ]＝4……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝7……［ ］ ③[ ]÷[ ]＝9……［ ］ (2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？ ①[ ]÷[ ]＝3……［ ］ ②[ ]÷[ ]＝6……［ ］ (3)算式[ ]÷8＝[ ]……［ ］中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？ 【答案】（1）①9 ②15 ③19（2）①15 ②48 （3）63 【例题 3】算式 28÷[ ]＝[ ]……4 中，除数和商分别是______和______。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 6 - 【思路导航】根据“被除数＝商×除数＋余数”，可以得知“商×除数＝被除数－余数”， 所以本题中商×除数＝28－4＝24。这两个数可能是 1 和 24，____和____，____和____，____ 和____，又因为余数为 4，因此除数可以是 24,12,8,6,商分别为____，____，____，____。 答：除数和商分别是 24，1；12，2；8，3；6，4。 练习 3： (1)下面算式中，除数和商各是几？ ①22÷[ ]＝[ ]……4 ②65÷[ ]＝[ ]……2 ③37÷[ ]＝[ ]……7 ④48÷[ ]＝[ ]……6 (2)149 除以一个两位数，余数是 5,请写出所有这样的两位数。 __________________________________________________________________________ (3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ __________________________________________________________________________ 【答案】（1）①18,1；9,2；6,3②63,1；21,3；9,7；7,9；3,21 ③30,1；15,2；10,3④42,1；21,2；14,3；7,6 （2）72；48；36；24；18；16；12 （3）5、10、15 【例题 4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ 【思路导航】题目中告诉我们除数是 7，商和余数相等，因为余数必须比除数小，所以 余数和商可为 1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来了。 7×1＋1＝8 7×2＋2＝16 7×3＋3＝24 7×4＋4＝32 7×5＋5＝40 7×6＋6＝48 答：被除数可以是 8,16,24,32,40,48。 练习 4： (1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ ①[ ]÷6＝[ ]……[ ] ②[ ]÷5＝[ ]……[ ] ③[ ]÷4＝[ ]……[ ] ④[ ]÷3＝[ ]……[ ] (2)一个三位数除以 15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。 (3) 算式[ ]÷9＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数最大是____。 【答案】（1）①35,28,21,14,7②24,18,12,6③15,10,5④8,4 （2）112÷15=7……7 160÷15=10……10 128÷15=8……8 176÷15=11……11 144÷15=9……9 （3）8×9+8=80 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 7 - 【例题 5】算式[ ]÷[ ]＝[ ]……4 中，除数和商相等，被除数最小是几？ 【思路导航】题目中告诉我们余数是 4,除数和商相等，因为余数必须比除数小，所以除 数必须比 4 大，但其中要求最小的被除数，因而除数应填_______，商也是______。由算式 ____________________，所以被除数最小是__________。 答：5,5,5×5+4=29,29 练习 5：下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？ (1)[ ]÷[ ]＝[ ]……6 (2)[ ]÷[ ]＝[ ]……8 (3)[ ]÷[ ]＝[ ]……3 (4)[ ]÷[ ]＝[ ]……9 (5)[ ]÷[ ]＝[ ]……7 (6)[ ]÷[ ]＝[ ]……2 【答案】（1）55 （2）89 （3）19 （4）109 （5）71 （6）11 三、课后作业 1、①下面题中被除数最大可填___44___，最小可填____37__。 [ ]÷9＝4……[ ] ②下面题中被除数最大可填___34_____，最小可填___29____。 [ ]÷7＝4……[ ] ③下题中要使除数最小，被除数应为__53______。 [ 53 ]÷[ 6 ]＝8……5 2、下面算式中，除数和商各是几？ ①26÷[ 3 ]＝[ 8 ]……2 ②66÷[ 7 ]＝[ 9 ]……3 ③46÷[ 5 ]＝[ 9 ]……1 ④67÷[ 7 ]＝[ 9 ]……4 3、下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？ ①[ 9 ]÷[ 2 ]＝4……［ 1 ］ ②[ 11 ]÷[ 2 ]＝5……［ 1 ］ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 8 - 4、算式[ ]÷7＝[ 6 ]……［ 6 ］中，商和余数都相等，那么被除数最大 是___48_____。 5、下面算式中，被除数最小是几？ ①[ 13 ]÷[ 2 ]＝6……［ 1 ］ ②[ 17 ]÷[ 2 ]＝8……［ 1 ］ ③[ 11 ]÷[ 2 ]＝5……［ 1 ］ 6、 算式[ ]÷9＝[ 8 ]……[ 8 ]中，商和余数相等，被除数最大是 _____80___。 7、 在算式[ 41 ]÷[ 6 ]＝[ 6 ]……5 中，除数和商相等，被除数最小是 ________。 8、123 除以一个两位数，余数是 3,请写出所有这样的两位数。120=30*40=15*80 =20*60=10*12=5*24 9、算式[ ]÷9＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ 10 20 30 40 50 60 70 80 10、一个三位数除以 15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。 112 128 144 160 176 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 9 - 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 10 - 第 3 讲 配对求和 一、知识要点 被人称为“数学王子”的高斯在年仅 8 岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出 了 1+2+3+4+……+99+100 的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简 便的方法：先配对再求和。 数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从 第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数 则称为这个数列的公差。 计算等差数列的和，可以用以下关系式： 等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2 末项＝首项＋公差×（项数－1） 项数＝（末项－首项）÷公差＋1 二、精讲精练 【例题 1】你有好办法算一算吗？ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（ ） （1+10）×10÷2=55 练习 1：速算。 (1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100 1+2+3+4+5+.20 =(1+20)+(2+19)+...(10+11) 5050 据式发现规律共有 10 个 21 相加,即 20/2*21=210 (3) 21+22+23+24+……+100 =(21+100)+(22+99)+……+(60+61) =121+121+……+121 =121×40 =4840 【例题 2】计算。 (1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324 =（21+31）×6÷2=156 1590 练习 2：计算。 (1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 11 - 440 740 【例题 3】有一堆木材叠堆在一起，一共是 10 层，第 1 层有 16 根，第 2 层有 17 根，…… 下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？ 【思路导航】第 10 层有 16+9=25 根，共（16+25）×10÷2 练习 3： (1)体育馆的东区共有 30 排座位，呈梯形，第 1 排有 10 个座位，第 2 排有 11 个座位，…… 这个体育馆东区共有多少个座位？ 10+11+12+…………+39 =（10+39）×30÷2 =735 (2)有一串数，第 1 个数是 10，以后每个数比前一个数大 4,最后一个数是 90，这串数连 加的和是多少？ 10+14+18+。。。。+90=1050 (3)有一个钟，一点钟敲 1 下，两点钟敲 2 下，……十二点钟敲 12 下，分钟指向 6 敲 1 下，这个钟一昼夜敲多少下？ 180 【例题 4】计算 992+993+994+995+996+997+998+999。 【思路导航】（992+999）×8÷2 练习 4：计算。 (1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009 485 8030 (3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19 29994 0 【例题 5】计算 1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81 【思路导航】1000-（11+12+13+14+15+16+17+18+19）-（81+82+83+84+85+86+87+89） =100 练习 5：计算。 (1) 1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 12 - =910 (2) 1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19 =100 (3) 2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16 =2009 三、课后作业 1、1+2+3+4+…+99+100+99+98+…+3+2+1 =10000 2、100+95+90+…+15+10+5 =1050 3、4+7+10+13+…+298+301+298+…+13+10+7+4 =14949 4、（1+3+5+…+79）-（2+4+6+…+78） =40 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 13 - 5、 2013-2012+2011-2010+…+3-2+1 =1007 6、影剧院有座位若干排，第一排有 25 个座位，以后每一排比前一排多 3 个座 位，最后一排有 94 个座位。问：这个影剧院共有多少个座位？ 答 25,25+3,25+3+3……94 25+3*(n-1)=94 n=24，有 24 个数 和 =(25+94)*24/2 =1428 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 14 - 第 4 讲 加减巧算 一、知识要点 在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧 算的方法。加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所 接近的数进行简算。 进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要根据“多 加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加法 交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。 二、精讲精练 【例题 1】你有好办法迅速算出结果吗？ (1) 502+799-298-98 (2) 9999+999+99+9 【思路导航】=500+800-300-100+2-1+2+2 =11106 练习 1：计算。 (1) 308+203-399-97 (2) 99999+9999+999+99+9 =15 =111105 (3) 1999+199+19 (4) 375+483+525+617 =2217 =2000 【例题 2】计算。 (1) 487+321+113+279 (2) 736-567+264 =1200 =433 (3) 877+345-677 (4) 528-248-152 =545 =128 练习 2：计算。 (1) 321+127+73+279 (2) 235-125+365 =800 =475 (3) 987-733-167 (4) 487+(413-89) =87 =811 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 15 - 【例题 3】计算下面各题。 (1) 962-(284+262) (2) 432-(154-168) =416 =446 练习 3：计算。 (1) 421+(279-125) (2) 812+(168-112) =575 =868 (3) 823-(175+323) (4) 538-(283-162) =325 =417 【例题 4】2000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84 =800 练习 4：计算。 (1) 800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2) 1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90 =300 =550 【例题 5】计算: 98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87……-4-3+2+1 =98+97-96-95+94+93-92-91+90+89…-4-3+2+1 =98+（97-96）-（95-94）+（93-92）-（91-90）+（89-88）…+（5-4）-（3-2）+1 =98+1-1+1-1+1-1…+1-1+1 =98+1 =99 练习 5：计算。 (1) 2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14……+2006 =2009+(1+2-3-4)+(5+6-7-8).+(2001+2002-2003-2004)+2005+2006 =2009+(-4)x501+2005+2006 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 16 - =4016 (2) 1+2-3+4+5-6+7+8-9……+97+98-99 原式=（1+2-3）+（4+5-6）+（7+8-9）+…+（97+98-99） =0+3+6+9+…+96 =3×（1+2+3+4+…+31+32） =1584． 三、课后作业 1、计算下列各题。 （1）256+503+44 （2）953—267—133 =803 =553 （3）465—198+335 （4）362—202+238 =602 =398 2、用简便方法计算下列各题。 （1）43+40+39+41+37+42 (2)503+301-298-91+52 =242 =467 （3）199999+19999+1999+199+19 （4）83+81+78+80+84+78+79+77+84 =222215 =724 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 17 - 3、巧算 1000-99-98-97-96-95-5-4-3-2-1 =500 4、29999+2999+299+29 =33326 5、（1）2356-（356+187） （2）5723-（723-189） =1813 =5189 6、（534+786+896）+（104+214+466） =3000 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 18 - 第 5 讲 图形个数 一、知识要点 同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长 方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。 要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形 是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。 二、精讲精练 【例题 1】数出下图中有多少条线段？ 【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以 A 点为左端点的线 段有：AB、AC、AD 3 条；以 B 点为左端点的线段有：BC、BD 2 条；以 C 点为左端点的线段有： CD 1 条。所以，图中共有线段 3+2+1=6（条）。 方法二：把图中线段 AB、BC、CD 看做基本线段来数，那么，由 1 条基本线段构成的线段 有：AB、BC、CD 3 条；由 2 条基本线段构成的线段有:AC、BD 2 条；由 3 条基本线段构成的 线段有：AD 1 条。所以，图中一共有 3+2+1=6（条）线段。 练习 1： （1）数出下图中有多少条线段？ （2）数出下图中有几个长方形？ 【答案】（1）10 条（2）15 个 【例题 2】数出图中有几个角？ 【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。 方法一：以 OA 为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD 3 个；以 OB 为一边的角还有： ∠BOC、∠BOD 2 个；以 OC 为一边的角还有：∠COD 1 个。所以，图中共有角 3+2+1=6（个）。 方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD 看做基本角来数，那么，由 1 个基本角构成的角有： ∠AOB、∠BOC、∠COD 3 个；由 2 个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2 个；由 3 个基本角 构成的角有：∠AOD 1 个。所以，图中一共有 3+2+1=6（个）角。 练习 2：数出图中有几个角？ （1） （2） 【答案】（1）3 个（2）10 个 E A B C D D A B C O D C B A O C B A E D O C B A P D C B A 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 19 - 【例题 3】数出右图中共有多少个三角形？ 【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以 PA 为边的三角形有：△PAB、 △PAC、△PAD、3 个；以 PB 为边的三角形还有：△PBC、△PBD 2 个；以 PC 为边的三角形还 有：△PCD 1 个。所以，图中共有三角形 3+2+1=6（个）。方法二：把图中三角形 △PAB、△ PBC、△PCD 看做基本三角形来数，那么，由 1 个基本三角形构成的三角形有：△PAB、△PBC、 △PCD 3 个；由 2 个基本三角形构成的三角形有: △PAC、△PBD 2 个；由 3 个基本三角形构 成的三角形有：△PAD 1 个。所以，图中一共有 3+2+1=6（个）三角形。方法三：我们发现， 要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD 中包含几条线段就可以了，即 3+2+1=6（个）。 所以图中共有 6 个三角形。 练习 3：数出图中共有多少个三角形？ （1） （2） 【答案】（1）10 个（2）20 个 【例题 4】数出下图中有多少个长方形？ 【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线 段围成，线段 CD 上有 3+2+1=6（条）线段，其中每一条与 AC 中一条线段对应，分别作为长 方形的长和宽，这里共有 6×1=6（个）长方形，而 AC 上共有 2+1=3（条）线段也就有 6×3=18 （个）长方形。它的计算公式为： 长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数 （3+2+1）×（2+1）=18（个） 答：图中共有 18 个长方形。 练习 4： （1）数出下图中有多少个长方形？ （2）数出下图中有多少个正方形？ 【答案】（1）60（2）36 【例题 5】有 5 个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？ 【思路导航】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点 代表一个同学。 从图上可以看出，第 1 个同学要与其余 4 个同学握手共握手 4 次；第 2 个同学还要与其 F E D C B A K G I H G F E D C B A D C B A D C B A 5 4 3 2 1 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 20 - 余 3 个同学握手共握手 3 次，第 3 个同学要与其余 2 个同学握手共握手 2 次；第 4 个同学还 要与最后 1 个同学握手共握手 1 次。所以，一共要握手 4+3+2+1=10（次） 练习 5： （1）银海学校三年级有 9 个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？ （2）有 1，2，3，4，5，6，7，8 等 8 个数字，能组成多少个不同的两位数？ 【答案】（1）8+7+6+5+4+3+2+1=36（次） （9-1）×9÷2=36（次） （2）8×7=56（个） 三、课后作业 1、数一数下图中各有多少条线段？ 4+3+2+ 1=10 10+6=16 （2） （3） 10 2、数一数下图中有多少个锐角。 10 3、下列各图中各有多少个锐角？ 6 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 21 - 15 28 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 22 - 4、数一数下面图中各有多少个三角形。 6 15 5 5、数一数下面各图中分别有多少个长方形。 3 10 21 6、数一数，下面各图中分别有几个长方形？ 7、数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是 1 的小 正方形） 5 26 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 23 - 第 6 讲 植树问题 一、知识要点 爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔 3 米植一棵， 已经植了 9 棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶一看，随口答题：“27 米。”同学们， 晶晶答对了吗？ 这一类应用题我们通常称为“植树问题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长 和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树， 棵数＝总距离÷间隔长＋1；在封闭的线路上植树，棵数＝总距离÷间隔长。 另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头、爬楼梯问题 等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵 数”对应起来。 二、精讲精练 【例题 1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔 3 米植一棵，已经植了 9 棵， 问第一棵和第九棵树相距多少米？ 【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图： 根据“已经植了 9 棵”，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是 9-1=8（个）， 每个间隔是 3 米，所以第一棵和第九棵相距 3×8=24（米），具体列式如下： 3×（9-1） =3×8=24（米） 答：第一棵和第九棵树相距 24 米。 练习 1： （1）在路的一侧插彩旗，每隔 5 米插一面，从起点到终点共插了 20 面，这条道路有多 长？【答案】5×9=45（米） （2）在学校的走廊两边，每隔 4 米放一盆菊花，从起点到终点一共放了 20 盆，这条走 廊长多少米？【答案】4×8=32（米） 【例题 2】在一条长 42 米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了 14 棵，已知相邻两棵 树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？ 【思路导航】根据“在路的两侧共栽了 14 棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽了 14÷2=7（棵）树，那么从第 1 棵树到第 7 棵树之间的间隔是 7-1=6（个）。42 米长的大路平 均分成 6 段，每段是 42÷6=7（米）。列式如下： 42÷（14÷2-1）=42÷（7-1）=42÷6 =7（米） 答：相邻两棵树之间的距离是 7 米。 练习 2：在公园一条长 30 米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了 12 把椅子，相邻两 把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？ 【答案】30÷5=6（米） 0 3米 6米 9米 12米 15米 18米 21米 24米 9棵 8棵 7棵 6棵 5棵 4棵 3棵 2棵 1棵 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 24 - 【例题 3】把一根钢管锯成小段，一共花了 28 分钟，已知每锯开一段需要 4 分钟，这根 钢管被锯成了多少段？ 【思路导航】我们先求出钢管被锯开了 28÷4=7（处），因而被锯开的段数有 7+1=8（段）。 列式如下： 28÷4+1 =7+1 =8（段） 答：这根钢管被锯成了 8 段。 练习 3： 一根圆木锯成 2 米长的小段，一共花了 12 分钟。已知每锯下一段要 3 分钟，这 根圆木长多少米？ 【答案】12÷3+1=5（段）5×2=10（米） 【例题 4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到 4 楼时，乙恰好跑到 3 楼，照这样计算，甲 跑到 16 楼时，乙跑到了多少楼？ 【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算，因 为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑到 4 楼时， 乙恰好跑到 3 楼”，实际上是说“甲跑 3 段楼梯与乙跑 2 段楼梯所用的时间相同。”照这样计 算，甲跑到 16 楼，也就是跑了 15 段楼梯，应是甲跑 3 段楼梯所用的时间的 5 倍，在同一时 间里，乙跑的楼梯段数也是他跑 2 段楼梯的 5 倍，也就是这时乙跑了 10 段楼梯，即他跑到了 第 10+1=11（楼）。列式如下： （3-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =2×5+1 =11（楼） 答：甲跑到 16 楼时，乙跑到了 11 楼。 练习 4：小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第 4 层时，小红跑到第 5 层，照这样计算， 当小明跑到第 16 层时，小红跑到了第几层？ 【答案】（5-1）×[（16-1）÷（4-1）]+1 =21（层） 【例题 5】一个圆形跑道长 300 米，沿跑道周围每隔 6 米插一面红旗，每两面红旗中间插 一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？ 【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了红旗 300÷6=50 （面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是 50 面。 300÷6=50（面） 答：跑道周围插了 50 面红旗和 50 面黄旗。 练习 5： （1）有一个正方形水池，周长是 200 米。如果沿着水池周围每隔 10 米装一盏红灯，再 在相邻的两盏红灯中间等距离地装 4 盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？ 【答案】红灯：200÷10=20（盏）黄灯：20×4=80（盏） （2）一条公路长 480 米，在两旁植树，两端都植。每隔 12 米植一棵樟树，两棵樟树中 间又等距离地栽了 3 棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？ 【答案】一端 480÷12+1=41（棵）41×2=82（棵） 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 25 - 三、课后作业 1、光明小学在一条大路边共植树 21 棵，每隔 6 米栽一棵，则这条路长多少米？ （21-1）×6=120 2、 在一个边长时 30 米的正方形池塘四周栽树，四个角都要栽，如果每隔 5 米 栽一棵，一共要栽多少棵？ 24 棵 3、 在一座长 400 米的大桥两边悬挂彩灯，每两盏灯相隔 4 米，连两头在内要 装多少盏灯？ 202 4、 排大型团体操共有 640 人，每 4 人为一派排，两排中间隔 1 米，问首尾两 排相隔多少米？ 159 5、 有一栋 12 层的大楼，由于停电电梯停开。某人从一层走到三层需要 32 秒， 以同样的速度，从三层走到 12 层，需要多少秒？ 144 6、 两棵松树相距 60 米，在中间又等距离栽了白玉兰树 14 棵。问第一棵树和 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 26 - 第十棵树之间相距多少米？ 36 米 7、 有一个圆形花坛，绕着它走一圈时 120 米。如果沿着这一圈每隔 6 米栽一 株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离的栽 1 株月季花，共可栽丁香 花和月季花多少株？两株相邻的丁香花之间的月季花相距多少米？ 各 20 6 米 第 7 讲 简单推理 一、知识要点 数学课上，老师布置了一道题： □＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ） 要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵 活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。 解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找 解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。 二、精讲精练 【例题 1】下式中，□和△各代表几？ □＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ） 【思路导航】根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得到 28=△＋ △＋△＋△，4 个△等于 28，一个△等于 28÷4=7；由□=△＋△＋△可求出□=7＋7＋7=21。 练习 1： 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 27 - 1．☆＋○=18 ☆=○＋○ ☆=（ ） ○=（ ） 2．△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ ） ○=（ ） 3．○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ） 【答案】1.12、6 2.20、5 3.30、6 【例题 2】下式中，□和△各代表几？ □×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ） 【思路导航】根据□÷△=4 可知△为一份，□是这样的 4 份，即□=4△；又根据□×△ =36，可以得到 4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4△=4×3=12。 练习 2： 1．○和□各表示几？ ○×□=16 □÷○=4 ○=（ ） □=（ ） 2．想想，填填。 ○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（ ） △=（ ） 3．□和○各代表几？ □=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ） 【答案】1.2、8 2.10、2 3.8、2 【例题 3】下式中，□和△各代表几？ □＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（ ） 【思路导航】16 里面有 2 个□，1 个△；14 里面有 1 个□，2 个△，16 减去 14 等于 2， 即□－△=2，那么如果把△换成了□，则 16 需要加上 2，即□＋□＋□=16＋2，那么□=（16 ＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。 练习 3： 1．□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ ） ○=（ ） 2．□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48 □=（ ） △=（ ） 3．○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12 ○=（ ） □=（ ） △=（ ） 【答案】1.3、16 2.12、8 3.3、1、5 【例题 4】下式中，□和○各代表几？ □＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48 □=（ ） ○=（ ） 【思路导航】34 里面有 2 个□、3 个○，48 里面有 3 个□、4 个○，用 48 减去 34 得到 □＋○=14，34 中有 2 个（□＋○）及 1 个○。所以，○=34－14×2=6，□=（34－6×3）÷ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 28 - 2=8。 练习 4： 1．☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36 ☆=（ ） △=（ ） 2．○＋○＋○＋△＋△=54 △＋△＋△＋○＋○＋○＋○=76 ○=（ ） △=（ ） 3．□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123 □=（ ） △=（ ） 【答案】1.12、0 2.10、12 3.12、15 【例题 5】下式中，□、☆和△各代表几？ ☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80 ☆=（ ） □=（ ） △=（ ） 【思路导航】因为 2 个☆等于 3 个□，3 个□又等于 4 个△，所以 2 个☆等于 4 个△，那 么 1 个☆等于 2 个△。在☆＋□＋△＋△=80 中，2 个△可以用 1 个☆替代，就变为☆＋□＋ ☆=80，而 2 个☆又可以用 3 个□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所以□=20，☆=20×3 ÷2=30，△=20×3÷4=15。 练习 5： 1．△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100 ○=（ ） □=（ ） △=（ ） 2．○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40 △=（ ） □=（ ） ○=（ ） 3．□＋□=○＋○＋○ ○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆ □＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320 ○=（ ） □=（ ） ☆=（ ） 【答案】1.20、20、30 2.15、10、15 3.80、120、30 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 29 - 第 7 讲 方阵问题 一、【知识要点】 1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出 的计算问题就叫做方阵问题 2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差 2，相邻两层的实物数量相差 8 3、方阵问题的解题思路是： （1）实心方阵：每边数×每边数＝总数 （每边数－1）×4＝每层数 每层数÷4＋1＝每边数 （2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数 （每边数－层数）×层数×4＝总数 二、【典型题解】 例 1：四年级同学举行广播操比赛，排成了 8 行 8 列。如果去掉一行一列，要去 掉几人？还剩多少人？ 8×8－7×7=15 针对练习 1 1、同学们排队，要排成每行 10 人，共 10 行的方阵，共需要多少人？ 10×10=100 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 30 - 2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？ 10×10-9×9=19 3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上 15 个棋子，使横竖各增加一 排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？ 7 颗 例 2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆 5 盆菊花， 且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？ 5×5-3×3=16 针对练习 2 1、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了 9 棵，并且四个角上都有一棵， 这个池塘四周一共栽了多少棵树？ 9×9—7×7=32 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 31 - 2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了 40 盆花，每个角放一盆，每边放花多 少盆？ 11 盆花 3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽 1 棵，共载树 152 棵。问每 边栽多少棵树？ 152＋4=156 156÷4=39 例 3：某校 180 名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学 生？ 180＋36=216 216÷12=18 针对练习 3 1、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了 10 盆，一共用花多少盆？ 10×10—6×6=64 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 32 - 2、由 24 人组成两层中空方阵，现在外面增加 2 层，要增加多少人？ 56 人 3、一个三层的中空方阵，最内层共有 80 人，这个方阵共有多少人？ 80＋88＋96=264 例 4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多 7 人，如果每行每列增加 1 人，就少 4 人，共抽出学生多少人？ 32 人 三、能力训练题： 1、同学们站队，一共站了 15 行 15 列，如果要去掉 2 行 2 列，一共要去掉多少 人？ 15×15-13×13=56 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 33 - 2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加 11 人。增加后共有战 士多少人？ 6 人 3、由 252 名学生组成一个三层的中空方阵，求最外层共有多少名学生？ 最外层每层 24 名学生 共 92 人 4、有 72 人排成一个三层的空心方阵，求最外层每边有多少人？ 72＋36=108 108÷12=9 5、用 32 棵围棋子在棋盘上组成一个两层中空方阵，如果在方阵外再围 3 层， 还需要多少颗围棋子？ 28＋36＋44=108 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 34 - 6、小明用棋子摆成一个实心方阵，小刚用 13 颗棋子使这个方阵增加一行一列， 求小明摆的实心方阵共用多少颗棋子？ 13＋1=14 14÷2=7 7×7=49 7、苗圃正中是块石头，外边的树苗形成一个由 520 棵树苗组成的 10 层方阵， 若移开石头种树苗，这个苗圃一共有多少棵树苗？ 最内层每边 n 棵树苗 4[(n-1)+(n+1)+...+(n+17)]=520 10n+80=130 n=5 移开石头种树苗,里面还能种: 4*3+1=13 这个苗圃共有 520+13=535 棵树苗 8、设计一个团体操表演队形，想排成一个中空方阵，最内层要 24 人，最外层 要 48 人，这个表演队形一共需要多少人？ 因为每层的公差是 8，层数：（48-24）÷8＋1 =4（层），人数：（48+24）×4÷2 =240（人） 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 35 - 9、某班抽出一些学生参加团体操表演，如果排成一个正方形实心方阵就差 7 人， 如果每行每列减少 1 人，就多 4 人，这个班共抽出多少人？ 设原来每行排 X 人 (X-1)^2+4=X^2-7 解得 X=6 所以人数=6*6-7=29 答 共抽出 29 人 10、聪聪用棋子摆空心方阵，最外面一层每边摆 20 个，共摆了三层，一共用了 多少个棋子？ 19＋17＋15=51 51×4=204 11、一个围棋爱好者，用围棋子组成一个正方形实心阵，最外层用白子，共 92 颗，里面全部用黑子，共多少颗？ 答案 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 36 - 最外层 92 颗,则一边为 颗 则内层为 的正方 则黑子 颗 12、一个游行方阵，外层每边 30 人，共 10 层。中间 5 层留给 20 人抬标语，这 个方阵共有多少人？ 13、团体操表演时，同学们先排成每边 16 人的实心方阵队形，后来又变成一个 四层空心方阵，求这个空心方阵最外层共有多少人？ 先排成每边 16 人的实心方阵,说明总人数为 然后又变成一个 4 层的空心方阵, 设最外层每边人数为 a,最内层每边人数为 b,层数为 n 根据空心方阵总人数 代入 14、一队战士排成三层空心方阵多出 16 人，如果在空心部分再增加一层又差 28 人。这队战士共有多少人？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 37 - 解:设此层每边为 A 人，由题意可得: ， ， ， 则最外层每边人数为 人， 总人数: 人) 答:这队战士共有 216 人. 15、某小学四年级的同学排成一个四层空心方阵还多 15 人，如果在方阵的空心 部分再增加一层又少 21 人。这个小学四年级的学生一共有多少人？ 解:根据题意,可得 增加的这层的人数为: (人), 所以四年级的学生共有: (人) 答:四年级的学生共有 239 人. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 38 - 16、一个方阵花坛，共 20 层，最内层有 20 株花草，这个方阵花坛一共有多少 株花草？ 答案 最内层每边花草数 十字形 花草总数 一个小的方阵花草数 四个小方阵花草数 总 一共有 1924 株花草 17、红红用棋子摆空心方阵，最外层每边摆 20 颗棋子，一共摆了 5 层，一共用 了多少颗棋子？ 答案 个 个 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 39 - 个 18、某班同学在军训队列表演中恰站成一个双层空心方阵，外层每边站了 9 个 同学。若让这个班同学在一条 250 米长的笔直马路上站岗，从一端开始每隔 5 米站一人，则站满之后还剩下几人？ 答案 解:方阵的内层每边站 人, (人), (个), (人), 剩下: (人); 答:满后还剩下 5 人. 解析 双层空心方阵的内层每边应站 人,故该班共有 人,由于两端都站, 所以 250 米长的马路包括 个 5 米长的段(间隔数),所以站岗需要 人,站满后还剩下 人. 本题考查了方阵问题与植树问题的综合应用,关键是求出总人数,注意两端都植树的问题:棵数=间隔数 . 19、正方形广场的边界上共插有 48 面黄旗和红旗。每条边上的棋子数目相同， 且每两面红旗间的黄旗数目也相同。如果四个角上都插有红旗，每条边上的红 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 40 - 旗比黄旗少 5 面，那么每 2 面红旗间有多少面黄旗？ 20、一个六边形广场的边界上插有 336 面红旗和黄旗。六边形的每个顶点处都 插有红旗，每条边上的红旗数目一样多，并且每两面红旗间插有相同数目的 黄旗。已知每条边上黄旗的数目比红旗的 2 倍还多 12 面，那么每两面红旗 间插有几面黄旗？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 41 - 21、一个方阵花坛，共 5 层，最内层有 20 株花草，这个花坛共有多少株花草？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 42 - 第 8 讲 算式谜 一、知识要点 一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。 解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。 解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数先 填上；不能确定的，要分几种情况，逐一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关 系，抓准解题的突破口。 二、精讲精练 【例题 1】在下面算式的□内，填上适当的数字，使算式成立。 答案： 【思路导航】已知被乘数个位是 8，积的个位是 2，可推出乘数可能是 4 或 9，但积的百 位上是 7，因而乘数只能是 4，被乘数百位是 1，那么十位上只能是 9。（算式见右上） 练习 1：在□里填上适当的数，使算式成立。 【答案】（1）127×7（2）229×8（3）134×4 【例题 2】□里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？ 【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数 相乘的积想起，5 6 30  ，可知被除数个位为 0，再想商十位上的数与 6 的乘积为一位数，这 个数只能是 1，这样确定商的十位为 1，最后被除数十位上的数为3 6 9  。 练习 2：在□里填上适当的数，使算式成立。 【答案】（1）72÷4（2）85÷5 【例题 3】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。 答案： 2 9 7 8 4 9 1 8 7 9 2 1 (3) (2) (1) 9 8 3 2 4 5 3 6 9 8 8 7 0 6 5 7 5 0 （2） （1） 0 4 8 7 1 7 0 0 7 1 7 4 9 8 2 8 8 2 0 7 1 7 3 9 1 2 1 1 2 1 4 4 1 4 8 2 7 1 7 0 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 43 - 【思路导航】要求□里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多少。容易知道， 被除数的十位数字比 7 大，只可能是 8 或 9。如果十位数字是 8，那么商的个位只能是 2；如 果十位数字是 9，那么商的个位是 3 或 4。所以，这道题有三种填法（见上页）。 练习 3： □里可以填哪些数字？ 【答案】（1）96÷8（2）84÷4、88÷4、92÷4、96÷4 【例题 4】在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。 答案： 【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是 7，则除数必须比 7 大，且被除数个位 上应填 7；由于商是 4 时是除尽的，所以被除数十位上应为 2，同时3 4 12,8 4=32   ，因而除 数可能是 3 或 8，可是除数必须比 7 大，因而除数只能是 8，因而被除数百位上是 3，而商的 百位上为 0，商的千位是 8 或 3，所以一共有两种填法（见上）。 练习 4：在下面竖式的□里，各填入一个合适的数字，使算式成立。 【答案】（1）15104÷5、25104÷5、35104÷5、45104÷5（2）49425÷7 【例题 5】在下面□中填入适当的数，使算式成立。 答案： 【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位 8 与除数的乘积是 48，由此可求出除数为 6。再根据商的千位与 6 的乘积是二十几，于是可求出商的千位是 4，因而被除数的万位是 2， 千位是 4，然后可求出商的百位是 0，十位是 2，被除数的百位是 1，十位是 6，个位是 8。（填 法见上） （2） 0 4 2 8 1 8 0 （1） 4 4 2 7 7 4 4 3 0 0 6 8 6 4 2 7 8 2 3 2 3 3 2 3 2 3 7 2 4 2 8 2 0 0 3 4 4 7 （2） 5 2 9 6 2 5 0 4 （1） 4 8 8 0 2 2 1 2 0 4 4 8 1 6 4 6 8 6 1 4 2 4 8 8 0 2 2 1 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 44 - 练习 5：在下面□中填入适当的数，使算式成立。 【答案】（1）14273÷7（2）15289÷5 5 3 5 4 1 5 2 （2） （1） 2 1 1 0 9 3 6 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 45 - 第 9 讲 乘法速算 一、知识要点 我们已经学会了整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算起来比 较麻烦。其实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算。 计算乘法时，如果一个因数是 25，另一个因数考虑可拆成 4×几，这样可“先拆数再扩 整”。两位数、三位数及更高位数乘以 11，可采用“两头一拉，中间相加”的办法，但要注 意相邻两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。比如两位数乘以 11，我们 有“两位数与 11 相乘，首尾不变中间变，左右相加放中间，满十进一头就变。” 二、精讲精练 【例题 1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？ （1）26×11 （2）57×11 （3）253×11 （4）467×11 【思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与 11 相乘，所得的结果就是将这个数的 首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写 在十位、百位……，哪一位上满十就向前一位进一。 （1）26×11=286 （2）57×11=627 （3）253×11=2783 （4）247×11=2717 练习 1：很快算出下面各题的结果。 （1）12×11 （2）34×11 （3）25×11 （4）11×44 （5）48×11 （6）65×11 （7）11×75 （8）87×11 （9）124×11 （10）305×11 （11）439×11 （12）872×11 【答案】(1)132(2)374(3)275(4)484(5)528(6)715 (7)825(8)957(9)1364(10)3355(11)4829(12)9592 【例题 2】下面的乘法计算有规律吗？ （1）25×24 （2）21×25 （3）25×427 （4）1998×25 【思路导航】因为 25×4=100，因此，一个数与 25 相乘，我们就看这个数里有几个 4， 有几个 4 就有几个 100，余 1 就加 25，余 2 就加 50，余 3 就加 75。 （1）25×24=100×6=600 （2）21×25=100×5+25=525 （3）25×427=100×106+75=10600+75=10675 （4）1998×25=100×499+50=49900+50=49950 练习 2：速算。 （1）12×25 （2）34×25 （3）25×121 （4）25×46 （5）148×25 （6）643×25 （7）25×7252 （8）5678×25 【答案】(1)300(2)850(3)3025(4)1150(5)3700(6)16075(7)181300(8)141950 【例题 3】很快算出下面各题的结果。 （1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15 【思路导航】因为 15=10+5，那么 24×15 就可以写成 24×（10+5），也就是用 24 加上它 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 46 - 的一半再乘以 10，24+12=36，再用 36×10=360。 一个因数乘以 15，也就是用这个数加上它的一半再乘以 10。具体过程如下： （1）24×15 （2）248×15 （3）5678×15 =（24+12）×10 =（248+124）×10 =（5678+2839）×10 =36×10 =360 =372×10 =3720 =8517×10 =85170 练习 3：很快算出下面各题的结果。 （1）34×15 （2）436×15 （3）8472×15 【答案】(1)510(2)6540(3)127080 【例题 4】很快算出下面各题的结果。 （1）45×9 （2）32×99 （3）78×999 【思路导航】（1）我们可以先用 45×10=450，这样就多加了一个 45，因此我们还要从 450 中减去 1 个 45，即 450-45=405。 （2）我们可以先用 32×100=3200，这样就多加了一个 32，因此我们还要从 3200 中减去 1 个 32，即 3200-32=3168。 （3）我们可以先用 78×1000=78000，这样就多加了一个 78，因此我们还要从 78000 中 减去 1 个 78，即 78000-78=77922。 从上面几题可以看出，一个数与 9 相乘，就用这个数乘以 10，再减去这个数；一个数与 99 相乘，就用这个数乘以 100，再减去这个数；一个数与 999 相乘，就用这个数乘以 1000， 再减去这个数。 （1）45×9 （2）32×99 （3）78×999 =45×10-45 =32×100-32 =78×1000-78 =450-45 =405 =3200-32 =3168 =78000-78 =77922 练习 4：计算。 （1）32×9 （2）461×9 （3）1234×9 （4）45×99 （5）85×99 （6）728×99 （7）24×999 （8）3×999 （9）56×999 【答案】(1)288(2)4149(3)11106(4)4455(5)8415(6)72072(7)23976(8)2997(9)55944 【例题 5】下面的乘法计算有规律吗？ （1）15×15 （2）25×25 （3）35×35 （4）45×45 （5）65×65 （6）95×95 【思路导航】通过计算我们发现，个位是 5 的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位都 是 25，25 前面的数是这个两位数首位数与首位数加 1 的积，例如： 1×(1+1) (1) 1 5× 1 5= 2 25 2×(2+1) (2) 2 5× 2 5= 6 25 (3) 3 5× 3 5= 12 25 3×(3+1) 4×(4+1) (4) 4 5× 4 5= 20 25 6×(6+1) (5) 6 5× 6 5= 42 25 (6) 9 5× 9 5= 90 25 9×(9+1) 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 47 - 我们还可以发现，这种方法还适用于个位是 5 的两个相同的多位数相乘的计算。 练习 5：速算。 （1）55×55 （2）75×75 （3）85×85 （4）105×105 （5）125×125 （6）995×995 【答案】(1)3025(2)5625(3)7225(4)11025(5)15625(6)990025 三、课后作业 很快算出下面各题的结果。 （1）105×105 （2）125×125 （3）995×995 =11025 =15625 =990025 （4）124×11 （5）305×11 （6）439×11 =1364 =3355 =4829 （7）872×11 （8）148×25 （9）643×25 =9592 =3700 =16075 （10）25×7252 （11）5678×25 （12）24×999 =181300 =141950 =23976 （13）3×999 （14）56×999 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 48 - =2997 =55944 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 49 - 第 10 讲 添运算符号 一、知识要点 根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。 这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。 添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1．如果题目中的数字比 较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；2．如 果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然 后再进行调整，使等式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种 方法组合起来使用，更有助于问题的解决。 二、精讲精练 【例题 1】在下面各题中添上＋、－、×、÷、（ ），使等式成立。 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 1 2 3 4 5 = 10 【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果 10 想起，最后一个数 是 5，可以从下面几种情况中想：□＋5=10，□－5=10，□×5=10，□÷5=10。 （1）从□＋5=10 考虑，□=5，前 4 个数必须组成得数是 5 的算式有： （1＋2）÷3＋4＋5=10 （1＋2）×3－4＋5=10 （2）从□－5=10 考虑，□=15，前 4 个数必须组成得数是 15 的算式有： 1＋2＋3×4－5=10 （3）从□×5=10 考虑，□=2，前 4 个数必须组成得数是 2 的算式有： （1×2×3－4）×5=10 （1＋2＋3－4）×5=10 （4）从□÷5=10 考虑，□=50，前面 4 个数必须组成得数是 50 的算式，而前面 4 个数无 法组成得数是 50 的算式。 练习 1： 1．你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？ （1）4 1 2 5 = 10 （2）4 1 2 5 = 10 2．在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。 （1）3 4 5 6 8 = 8 （2）3 4 5 6 8 = 8 3．巧添运算符号，使等式成立。 （1）3 3 3 3 =1 （2）3 3 3 3 =2 （3）3 3 3 3 =3 【答案】1.(1) 4-1+2+5=10(2) 4×1÷2×5=10 2.（1）（3×4-5-6）×8=8（2）3÷（4+5-6）×8=8 3.（1）（3+3-3）÷3 =1（2）3÷3+3÷3 =2（3）3×3-3-3 =3 【例题 2】拿出都是 8 的四张牌，添上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。你能试一试 吗？ 8 8 8 8 = 0 8 8 8 8 = 1 8 8 8 8 = 2 8 8 8 8 = 3 【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想： （1）等于 0 的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这两 组的和、差、积、商应该相等，有： 8＋8－（8＋8）=0 8×8－8×8=0 8－8－（8－8）=0 8÷8－8÷8=0 （2）等于 1 的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分成两组，这两组的和、积、 商分别相等，相同的数相除也可得到 1，有： （8＋8）÷（8＋8）=1 8×8÷（8×8）=1 8÷8÷（8÷8）=1 8×8÷8÷8=1 8÷8×8÷8=1 8÷（8×8÷8）=1 （3）等于 2 的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为 1，有： 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 50 - 8÷8＋8÷8=2 （4）等于 3 的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为 3 个 8，有： （8＋8＋8）÷8=3 练习 2： 1.在各数中添上＋、－、×、÷或（ ），使算式相等。 4 4 4 4 = 0 4 4 4 4 = 1 4 4 4 4 = 2 4 4 4 4 = 3 4 4 4 4 = 4 4 4 4 4 = 5 2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。 5 5 5 5 5 = 0 5 5 5 5 5 = 1 5 5 5 5 5 = 2 5 5 5 5 5 = 3 3.用 8 个 8 组成 5 个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是 1000。 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000 【答案】1.4+4-4-4=0 （4+4-4）÷4=1 4÷4+4÷4=2 （4+4+4）÷4=3 （4-4）×4+4=4 (4×4+4)÷4=5 2.（5+5-5-5）×5=0 [(5-5)×5+5]÷5=1 （5+5+5-5）÷5=2 （5+5）÷5+5÷5=3 3.888+88+8+8+8=1000 【例题 3】在 4 个 4 之间添上＋、－、×、÷或括号，使组成的得数是 8。4 4 4 4 = 8 【思路导航】这类问题，我们可以用倒推方法来分析。这道题最后得数是 8，而最后一个数 是 4，我们可以想□＋4=8，□－4=8，□×4=8，□÷4=8，然后再进行解答。 （1）从□＋4=8 考虑，□=4，前面 3 个 4 必须组成得数是 4 的算式有： 4＋4－4＋4=8 4－4＋4＋4=8 4－（4－4）＋4=8 （2）从□－4=8 考虑，□=12，前 3 个 4 必须组成得数是 12 的算式有： 4＋4＋4－4=8 4×4－4－4=8 （3）从□×4=8 考虑，□=2，前面 3 个 4 必须组成得数是 2 的算式有：（4＋4）÷4×4=8 （4）从□÷4=8 考虑，□=32，前 3 个 4 必须组成得数是 32 的算式有： （4＋4）×4÷4=8 4×（4＋4）÷4=8 练习 3： 1．你能在下面数中填上＋、－、×、÷，使结果等于已知数吗？答 （1）9 9 9 9 = 18 （2）5 5 5 5 = 10 2．在下面数中填上＋、－、×、÷或（ ），使算式成立。答 （1）4 4 4 4 4 = 8 （2）3 3 3 3 3 = 9 3．在下面几个数中填上＋、－、×、÷或（ ），使等式成立。答 （1）2 3 5 6 = 6 （2）2 3 5 6 = 6 【答案】1.（1）9+9-9+9=18（2）5+5-5+5=10 2.（1）（4÷4+4÷4）×4=8（2）3÷3×（3+3+3）=9 3.（1）（2×3-5）×6=6 （2）（2+3）÷5×6=6 【例题 4】在下面 12 个 5 之间添上＋、－、×、÷，使算式成立。 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 = 1000 【思路导航】这道题的结果比较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与 1000 比 较接近，如：555＋555=1110 这个数比 1000 大了 110，然后我们在剩下的 6 个 5 中凑出 110 减掉就可以了。 555＋555－55－55＋5－5=1000 练习 4： 1.用 12 个 3 组成 8 个数，它们的结果等于 2000。 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 = 2000 2.在 9 个 2 之间添上运算符号，使结果等于 1000。2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 1000 3.用 7 个 6 组成 4 个数，使下面的算式成立。 6 6 6 6 6 6 6 = 600 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 51 - 【答案】1.333×3+333×3+3÷3+3÷3=2000 2.2222÷2-222÷2=1000 3.666×（6÷6）-66=600 【例题 5】在下面式子中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21 【思路导航】这题左边的数字比较多，等号右边的得数是 21，可以考虑在等号左边最后 两个数字 2、1 前添＋，这时我们必须使前面几个数字的结果为 0，然后再用倒推的方法可以 得出：9－8＋7－6＋5－4－3=0 9－8＋7－6＋5－4－3＋21=21 练习 5： 1．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 23 2．在下面式子的适当地方添上＋、－、×号，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 = 1 3．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 = 14 【答案】1.98-76+5-4+3-2-1=23 2.1+2×3-4+5-6+7-8=1 3.1+2+3-4+5+6-7+8=14 三、课后作业 1．巧添运算符号，使等式成立。 （1）3 － 3＋ 3÷ 3 =1 （2）3 ÷ 3 ＋ 3 ÷ 3 =2 （3）3 × 3 － 3 － 3 =3 2.用 8 个 8 组成 5 个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是 1000。 8 8 8 8 8 8 8 8 = 1000 888＋88＋8＋8＋8=1000 3.用 7 个 6 组成 4 个数，使下面的算式成立。 6 6 6 6 6 6 6 = 600 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 52 - 4．在下面算式中适当的地方添上＋、－号，使等式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 = 14 第 11 讲 文字算式谜 一、知识要点 一般说来，算式都是由一些数字和运算符号组成的，可有些算式却由汉字或英文字母组 成，我们称它为文字算式。 文字算式是一种数字谜，解答时要注意在同一道题中，相同的文字或英文字母应表示相 同的数字，不同的文字或英文字母应表示不同的数字。 通过本周的学习，我们可以发现解文字算式谜与添运算符号、填竖式的步骤与方法基本是一 样的，都要仔细观察算式的特征，认真分析，正确选择解题的突破口，最后通过尝试找寻正 确答案。 二、精讲精练 【例题 1】下式中，每个字各代表一个不同的数字，其中“心” 代 表 9，请问其他汉字分别代表哪个数字？ 【思路导航】乘数个位与被乘数个位相乘，“心”ד心”=9×9=81，所以“少”=1， 乘积就是 111111111。根据积，用乘数“心”去逐一乘被乘数，9ד中”的积个位数应该是 3，所以“中”=7，往前一位进 7；9ד乐”的积的个位数应是 4，“乐”=6，往前一位进 6； 9ד俱”的积个位数应是 5，“俱”=5，往前一位进 5；9ד球”积个位数字应是 6，“球” =4，往前一位进 4；9ד足”的积个位数是 7，所以“足”=3，往前一位进 3；9ד年”的 积的个位数是 8，“年”=2，往前一位进 2；9×1＋2=11，即： 12345679×9=111111111 练习 1： 1．下面（左下）每个字代表不同的数字，这些汉字分别代表几？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 53 - 2．如果 A、B 满足下面算式，它们各代表几？（上中） 3．上右图各个汉字分别代表几？ 【答案】1.儿=7 童=9 俱=3 乐=6 部=5 2.A=3 B=8 3.奥=1 林=4 匹=2 克=8 竞=5 赛=7 好=9 【例题 2】下面不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。它们各表示 几？ 【思路导航】由积的个位是 2，乘数是 3，可推出被乘数个位上“学”是 4，4×3=12， 在积的个位上写 2，向十位进 1；因为积的十位上“学”为 4，所以“数”×3 应为 3，推出 “数”为 1；因为“数”为 1，百位上“庚”×3 末位应为 1，因而“庚”为 7，千位上 5×3 ＋2=17，在千位上写 7，向万位进 1，因而“罗”为 5，万位上 8×3＋1=25，在千位上写 5， 向前一位进 2，因而“华”为 8。 练习 2： 下面各个竖式中的汉字分别代表几？ . 【答案】（1）小=1 数=6 报=7 学=1（2）奥=4 林=2 匹=8 克=5 赛=7 （3）努=3 力=7 再=0 好=1 【例题 3】在下面的竖式中，a、b、c、d 各代表什么数字? 【思路导航】仔细审题发现千位 a×9 的结果是一位数，于是就可以 确定 a 只能是 1。接着思考个位 d×9=1 是不可能的，所以应该是 d×9 等 于几十一，于是确定 d=9。或者想千位上 1×9=9，所以 d 一定是 9。最后 确定剩下的 c 为 8。只有 8×9=72，72＋8=80，积中才会有 0。 练习 3： 1．下面（左下）竖式中的字母各代表几？ 2．上面（右上）竖式中的字母各代表几？ A＋B＋C=（ ） 【答案】1.a=1 b=5 c=0 s=9 t=6 2.A+B+C=3+7+9=19 【例题 4】下面算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字。如 果以下 3 个等式成立： 小小×朋朋=友小小友 爱爱×科科=爱学学爱 朋朋×朋朋=小小学学 【思路导航】通过观察，我们发现第三个等式最特殊，它是相同的两位数相乘得到千位 和百位、十位和个位分别相同的积，逐步试验，11×11，22×22 得不到四位数，然后从 33 × 那么，小=（ ） 朋=（ ） 友=（ ） 爱=（ ） 科=（ ） 学=（ ） 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 54 - ×33 试，我们发现 88×88=7744，这样可以得出：朋=8，小=7，学=4。将朋=8、小=7 代入第 一个算式中得出 77×88=6776，确定友=6。这样，0——9 中，只剩下 9，5，3，2，1，0 这几 个数字，其中 0、1 不考虑，试后发现 55×99=5445，所以爱=5，科=9。 练习 4： 【答案】（1）庆=2 澳=1 门=9 回=7 归=8 欢=4 （2）不=5 懈=3 努=2 力=1 坚=9 持=0 我=4 们=7 天=8 （3）好=1 坚=3 持=7 再=0 【例题 5】下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗？ 【思路导航】从千位上看，千位上得数是 2，假设新=2，那么百位上，“新＋年”不可 能等于 0，因而“新”不可能是 2，只能是“新=1”。从百位上看，新＋年＋进来的数=10， 我们可判断“年”=7 或 8。而“新＋年=8”，即使个位进来 2，十位上也不可能向百位进 2， 因而“年”=8，十位上“新＋年”=1＋8=9，而个位上已向十位进了 1，因而“快”=0，最后 从“新＋年＋快＋乐”=11 中可推出“乐”=1。即： 新=（ 1 ） 年=（ 8 ） 快=（ 0 ） 乐=（ 1 ） 练习 5： 1．下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请 问这些汉字各代表几？ 2．上面（上中）各字母分别代表几？ 3．上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想下面的算式怎样写？ 【答案】1.我=1 们=8 爱=3 科=2 学=5 或我=1 们=6 爱=9 科=7 学=5 2.A=1 B=0 C=8 D=9 E=9 3.a=4 b=6 c=8 d=5 e=3 f=2 g=7 h=0 j=9 二、课后作业： 1.下面各题中○、☆各代表一个数，求出它们各代表什么数。 （1）☆+☆－8＝14 11 （2）18×○－16×○＝48 24 ×× 新=（ ） 年=（ ） 快=（ ） 乐=（ ） 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 55 - 2.在下面竖式的方框里填上合适的数字使竖式成立。 847×5=4235 3.求下列各题中△各代表什么数。 （1）△+△＝18－6 6 （2）2×△+4×△＝24×4 16 4.在□里填上合适的数，使竖式成立。 【解析】 根据积的个位数字是 5 可得，一位数因数是 5，又因为最高位是 2×5=10，而积的百位数字是 3，即第二次乘得的积进位 3，则根据 5 的乘法口诀可 得三位数因数的十位数字是 6 或 7，即可得：269×5=1345，符合题意；279×5=1395，也符合题意． 638×7=4466 2192×5=10960 5.在□里填上合适的数，使竖式成立。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 56 - 439＋59=498 588÷7=84 6.下面的算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那 么 A,B,C,D,E 各代表什么数字。 7 9 3 6 5 7.下面各题中的☆、△各代表什么数字？ （1）4+△×2＝18 7 （2）7×3+△÷2＝35 28 8.下面竖式中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么各 个字母代表什么数呢？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 57 - 9.下面题中不同的汉子代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，当每个汉 字代表什么数字时竖式成立？ 答案 12345679×9=111111111 争=(2) 当=(1) 小=(9) 雏=(7) 鹰=(8) 第 12 讲 填数游戏 一、知识要点 小朋友都喜爱做游戏。填数游戏不但非常有趣，而且能促使你积极地思考问题、分析问 题、发展能力。但有时也有一定的难度，不过，只要你掌握了填写方法，填起来就很轻松了。 填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间位 置。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提供数 字的和之差，从而确定关键位置应填几。关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解了。 二、精讲精练 【例题 1】 在下图中分别填入 1——9，使两条直线上五个数 的和相等，和是多少呢？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 58 - 【思路导航】我们可以这样想，把 1——9 中间的 5 填到中心的○内，剩下八个数，一 大一小，搭配成和都是 10 的四组，这样两条直线上五个数的和都是 5＋10×2=25。 如果把 1 填在中心的○内，这样剩下的八个数可以一大 一小搭配成和都是 11 的四组，这时两条直线上五个数的和是 1 ＋11×2=23。 想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？ 练习 1： 1.在下图（左下）中填入 2——10，使横行、竖行中的五个数的和相同。和是多少呢？ 29 47 38 56 中间 10 2.把 1、4、7、10、13、16、19 七个数填入图（中上图）中 7 朵花里，使每条直线上三 个数的和相等。 中间的一朵上填 10，然后在周围对边的两朵上成对的填（1，19），（4，16），（7，13），这样每三个数的和均是 33. 3.把 6、8、10、12、14、16、18 七个数填在右上图的○中，使每排三个数及外圆上三 个数的和都是 32。 14 12 6 8 18 6 10 16 6 【例题 2】 把数字 1——8 分别填入下图的小圆圈内，使每 个五边形上 5 个数的和都等于 20。 【思路导航】题目中所给 8 个数字的和是 1＋2＋3＋4＋5＋ 6＋7＋8=36，题中要使每个五边形上五个数的和等于 20，那么 两个五边形上数字的总和是 20×2=40。两个五边形上的数字总 和比 8 个数的和多 40－36=4，多 4 的原因是图中中间两个圆圈 的数字算了两次，多算了一次。1——8 中只有 1 和 3 的和为 4， 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 59 - 所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填 1.一个填 3。20－（1＋3）=16，16 可以分成 2 ＋6＋8 和 4＋5＋7，所以本题应该这样填： 练习 2： 1.将数字 1——6 填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上 4 个数的和都是 15。 4 1 7 8 2 5 2.把 5、6、7、8、9、10 这六个数填入右上图三角形三条边的○内，使得每条边上的三 个数的和是 21。 5 10 9 6 8 7 3.把 1——8 这八个数，分别填入下图的各个□内，使得每一横 行、每一竖行的三个数的和是 13。 【例题 3】 在图中填入 2——9，使每边 3 个数的和等于 15。 【思路导航】解这题的关键是填出图中的 4 个顶点，因为求和时这 4 个顶点各算了两次， 多算了一次，所以 4 边数的和是 15×4=60，所给的数的和是 2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=44， 所以 4 个顶点数的和是 60－44=16。我们可选出 3＋7＋4＋2=16 填入 4 个顶点。 想一想，有没有其他填法？ . 练习 3： 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 60 - 1.把 1——8 填入下图（下左）中，使每边 3 个数的和等于 13。 2.将 1——9 这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于 19，且有一个 顶点的数字为 1。 3.把 1——10 这十个数填入右上图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之和都相等，而 且最大。这个和是多少？ 【例题 4】 把 1——8 填入下图○内，使每边上三个数的和最大。求 最大的和是多少？ 【思路导航】要使每边上三个数之和最大，容易想到把 8、7、6、5 填在四角，因为四个角上的数在求和时各用了两次，其他数各用了一次。 由此我们可以列出求和的算式为： [（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4 和不是整数，说明四条边上的总和要减少 2 才行，这只要将填在角上的 5 换成 3 即可。 所以，最大的和为：（62－2）÷4=15 .练习 4： 1.把 3——10 填入下图（左下）○中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？ 1 5 6 7 2 3 4 8 2.把 1——8 填入中上图○中，使每边上三个数的和最小。最小的和是多少？ 1 5 6 8 4 3 7 2 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 61 - 3.将数字 1——8 填入右上图中，使横行□中的数之和等于竖行□中的数之和，这个和 可以是多少？ 2 3 4 5 6 1 7 8 【例题 5】 在下图（左下）各圆空余部分填上 3、5、7、8，使每个圆的 4 个数的和都 是 21。 【思路导航】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的 3 个数都是双数，恰好每 个圆内有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的 4 个数的和是 21.21 是单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而 3、5、7、8 中 3、5、7 都是单数，要 使和为单数，8 要填入中间部分，如右上图。 练习 5： 1.在图（左下图）中各圆的空余部分分别填上 1、2、4、6，使每个圆中 4 个数的和是 15。 中间是 1 上面是 6 左边是 4 右边是 2 2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上 4、5、7、9，使每个圆中 4 个数的和是 27。 中间是 4 左边是 7 右边是 5 上边是 9 3.在图（右上图）中各圆空余部分分别填上 6、8、10、11.使每个圆中 4 个数的和是 33。 中间 11 左边 8 右边 6 上边 10 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 62 - 第 13 讲 周期问题 一、知识要点 在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春 夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们 称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解答。 在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就 是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。 二、精讲精练 【例题 1】小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先 2 个红的、后 1 个白的、再 3 个黑的 的规律排列（如下图），请你算一算，第 32 个珠子是什么颜色？ 从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即 6 个珠子为一周期。 32÷6=5（组）……2（个），32 个珠子中含有 5 个周期多 2 个，所以第 32 个珠子就是重复 5 个周期后的第 2 个珠子，应为红色。 练习 1： 1.如图，算出第 20 个图形是什么？ ○△△□□□○△△□□□○△△…… 20÷6=3……2 第二十个图形是△ 2.“数学趣味题数学趣味题……”依次重复排列，第 2001 个字是什么？ 2001÷5=400……1 所以答案是“数” 3.把 38 面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 63 - 【例题 2】2001 年 10 月 1 日是星期一，问：10 月 25 日是星期几？ 【思路导航】我们知道，每星期有 7 天，也就是说以 7 天为一个周期不断地重复。从 10 月 1 日到 10 月 25 日经过 25－1=24 天，24÷7=3（星期）……3（天），说明 24 天中包括 3 个星期还多 3 天。所以从 10 月 1 日开始过 3 个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起 再过 3 天就应是星期四。 练习 2： 1.2001 年 5 月 3 日是星期四，5 月 20 日是星期几？ 【解答】 (20-3)÷7 =17÷7 =2（周）……3（天） 则 5 月 20 日是星期日。 答：5 月 20 日是星期日。 2.2001 年 8 月 1 日是星期三，8 月 28 日是星期几？ 【解答】 28－1＋1＝28(天) 28÷7＝4(个) 答：8 月 28 日是星期二. 故答案为： 星期二 3.2001 年 6 月 1 日是星期五，9 月 1 日是星期几？ 周六 【例题 3】100 个 3 相乘，积的个位数字是几？ 【思路导航】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1 个 3.积的个位是 3；2 个 3 相乘积的个位数字是 9；3 个 3 相乘积的个位数字是 7；4 个 3 相乘积的个位数字是 1；5 个 3 相乘积的个位数字是 3……可以发现，积的个位数字分别以 3、9、7、1 不断重复出现，即每 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 64 - 4 个 3 积的个位数字为一周期。100÷4=25（个），因此 100 个 3 相乘积的个位数字是第 25 个周期中的最后一个，即是 1。 练习 3： 1.23 个 3 相乘，积的个位数字是几？ 7 2.100 个 2 相乘，积的个位数字是几？ 6 3.50 个 7 相乘，积的个位数字是几？ 9 【例题 4】有一列数按“432791864327918643279186……”排列，那么前 54 个数字之和 是多少？ 【思路导航】上面一列数中，从第 1 个数字开始重复出现的部分是“43279186”，周期 数是 8。要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组“43279186”。 54÷8=6（组）……6（个） 因此，前 6 组数字和是（4＋3＋2＋7＋9＋1＋8＋6）×6=240，余下 6 个数字之和是 4 ＋3＋2＋7＋9＋1=26。所以，这列数中前 54 个数字之和是 240＋26=266。 练习 4： 1.一列数按“294736294736294……”排列，那么前 40 个数字之和是多少？ 208 2.有一列数按“9453672945367294……”排列，那么前 50 个数字之和是多少？ 261 3.有一列数“7231652316523165……”，请问从左起第 2 个数字到第 25 个数字之间（含 第 2 个与第 25 个数字）所有数字的和是多少？ 80 【例题 5】小红买了一本童话书，每两页文字之间有 3 页插图，也就是说 3 页插图前后 各有 1 页文字。如果这本书有 128 页，而第 1 页是文字，这本童话书共有插图多少页？ 【思路导航】已知这本童话书 3 页插图前后各有 1 页文字，也就是说这本书是按“1 页 文字 3 页插图“的规律重复排列的，把“1 页文字 3 页插图”看作一周期，128 页中含有 128 ÷（1＋3）=32 个周期，所以这本童话书共有插图 3×32=96 页。 练习 5： 1.校门口摆了一排花，每两盆菊花之间摆 3 盆月季，共摆了 112 盆花。如果第一盆花是 菊花，那么共摆了多少盆月季花？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 65 - 2.同学们做早操，36 个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生， 这列队伍中男生有多少人？ 3.一个圆形花辅周围长 30 米，沿周围每隔 3 米插一面红旗，每两面红旗中间插两面黄 旗。花辅周围共插了多少面黄旗？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 66 - 第 14 讲 数学趣题. 一、知识要点 在日常生活中，常有一些妙趣横生、带有智力测试性质的问题，如：3 个小朋友同时唱 一首歌要 3 分钟，100 个小朋友同时唱这首歌要几分钟？类似这样的问题一般不需要较复杂 的计算，也不能用常规方法来解决，而常常需要用小朋友的灵感、技巧和机智获得答案。 对于趣味问题，首先要读懂题意，然后要经过充分的分析和思考，运用基础知识以及自 己的聪明才智巧妙地解决。 二、精讲精练 【例题 1】如果每人步行的速度相同，2 个人一起从学校到儿童乐园要 3 小时，那么 6 个 人一起从学校到儿童乐园要多少小时？ 【思路导航】2 个人一起从学校到儿童乐园要 3 小时，也就是 1 个人从学校到儿童乐园 要 3 小时；6 个人一起从学校到儿童乐园所用的时间与一个人所用的时间相等，所以 6 个人 一起从学校到儿童乐园还是用 3 小时。 练习 1： 1.3 个人同时唱 3 首歌用 9 分钟，9 个人同时唱同样的 3 首歌用几分钟？ 2.5 只猫 5 天能捉 5 只老鼠，照这样计算，要在 100 天里捉 100 只老鼠要多少只猫？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 67 - 3.6 个人从甲地到乙地用 4 小时，如果每人的步行速度相同，那么 3 个人从甲地到乙地 要用几小时？ 答案 4 小时 【例题 2】一条毛毛早由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30 天能长到 20 厘米。问长到 5 厘米时要用多少天？ 【思路导航】毛毛虫每天长大一倍，说明第二天的身长是第一天身长的 2 倍。这条毛毛 虫在第 30 天时，身长为 20 厘米，那么在第 29 天时，这条毛毛虫的身长为 20÷2=10 厘米； 在第 28 天时，这条虫的身长为 10÷2=5 厘米。 练习 2： 1.有一个池塘中的睡莲，每天长大一倍，经过 10 天可以把整个池塘全部遮住。问睡莲 要遮住半个池塘需要多少天？ 2.一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20 天能长到 36 厘米。问长到 9 厘米时 要用几天？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 68 - 3.一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，15 天能长到 4 厘米。问要长到 32 厘米 共要多少天？ 【例题 3】小猫要把 15 条鱼分成数量不相等的 4 堆，问最多的一堆中最多可放几条鱼？ 【思路导航】小猫要把 15 条鱼分成数量各不相等的 4 堆，要让最多的一堆中小鱼条数 尽量多，那么其余三堆小鱼的条数就要尽量少。所以，小猫可以在第一堆中放 1 条，在第二 堆中放 2 条鱼，在第三堆中放 3 条鱼，这样第四堆就可放： 15－（1＋2＋3）=9（条）。 练习 3： 1.小明要把 20 颗珠子分成数量不等的 5 堆，问最多的一堆中最多可放几颗珠子？ 2.老师为共有 18 人的舞蹈队设计队形，要求分成人数不等的 5 队，问最多的一队最多 可排几人？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 69 - 3.兔妈妈拿来 1 盘萝卜共 25 个，分给 4 只小兔，要使每只小兔分得的个数都不同。问 分得最多的一只小兔至多分得几个？ 答案 要使其中一只分到最多，而且每只分到的数量不同 那么其中三只分到 1， 2， 3 个 那么第四只分到最多为 25－1－2－3＝19 所 以分的最多的一只兔子最多能分到 19 个. 【例题 4】把 100 只桃子分装在 7 个篮子里，要求每个篮子里装的桃子的只数都带有 6 字。想一想，该怎样分？ 【思路导航】因为 6×6=36 只，这样就可以在每个篮子里装 6 只桃，共装 6 个篮子，还 有一个篮子里装 100－36=64 只桃。64 这个数，正好也含有数字 6，符号题目要求。 练习 4： 1.把 100 个鸡蛋分装在 6 个盒里，要求每个盒里装的鸡蛋的数目都带有 6 字，想想看， 应该怎样分？ 2.有人认为 8 是个吉祥数字，他们得到的东西的数量都要含有数字 8。现在有 200 块糖 要分给一些人，请你帮助设计一个吉祥的分糖方案。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 70 - 3.7 只箱子分别放有 1 只、2 只、4 只、8 只、16 只、32 只、64 只苹果，现在要从这 7 只箱子里取出 87 只苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取。你看该怎么取？ 【例题 5】舒舒和思思到书店去买书，两人都想买《动脑筋》这本书，但钱都不够。舒 舒缺 2 元 8 角，思思缺 1 分钱，用两个人合起来的儿买一本，仍然不够。这本书多少钱？ 【思路导航】思思买这本书缺 1 分钱，两个人合起来的钱买一本书仍然不够，这说明舒 舒根本没有钱，所以这本书的价钱是 2 元 8 角。 练习 5： 1.小华和娟娟到商店买文具盒，两人看中同一个文具盒，但钱都不够。小华缺 9 元 4 角， 娟娟缺 1 分，两人合起来买一个仍然不够。这个文具盒多少钱？ 2.李华和张洁到商店买同一种练本，但发现钱都没带够，李华缺 6 角，张洁缺 2 分钱， 但两人合起来买一本仍不够。这种本子一本多少钱？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 71 - 3.王阿姨和李阿姨到商场买电视机，两人都看中同一种电视机，但王阿姨缺 600 元，李 阿姨缺 900 元，用两人带的钱合起来买这一台电视机正好。这台电视机多少钱？ 三、课后作业 1、5 个小朋友 5 天做了 5 个玩具，10 个小朋友 10 天可以做多少个玩具？ 2、有 20 名战士要到河的对岸去，河边只有一只小船，每次只能载上 5 个人， 至少要几次才能全部过河？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 72 - 3、商场开展促销活动，买 10 元送 1 元，妈妈带了 100 元最多可以买多少元的 商品？ 100÷10=10 100＋10=110 期望数学岛 4、一条小青虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，20 天能长到 36 厘米。问要长 到 9 厘米共要多少天？ 5、一只蛤蟆掉在了井里，井深 8 米。它白天向上爬 3 米，夜里往下滑 2 米，爬 到井口要用多少天? 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 73 - 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 74 - 第 15 讲 乘除巧算 一、知识要点 前面我们已给同学们介绍了加、减法中的巧算，大家学会了运用“凑整”的方法进行巧 算，实际上这种凑整的方法也同样可以运用在乘除计算中。为了更好地凑整，同学们要牢记 以下几个计算结果：2×5=10，4×25=100，8×125=1000。 提高计算能力，除了加、减、乘、除基本运算要熟练之外，还要掌握一定的运算技巧。 巧算中，经常要用到一些运算定律，例如乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律等等，善于 运用运算定律，是提高巧算能力的关键。 二、精讲精练 【例题 1】你有好办法算出下面各题的结果吗？ （1）25×17×4 （2）8×18×125 （3）8×25×4×125 （4）125×2×8×5 【思路导航】（1）我们知道 25×4=100，因而我们要尽量把 25 与 4 放在一块计算，这 样比较简便。所以我们先算 25×4=100，再与 17 相乘即 100×17=1700；（2）因为 8×125=1000， 因而我们先把 8 与 125 放在一块计算，8×125=1000，再乘 18：1000×18=18000；（3）已知 25×4=100、125×8=1000，因此这道题我们要通过移位的方法把 25 与 4 相乘，125 与 8 相乘， 然后再把 1000 与 100 相乘，1000×100=100000；（4）因为 125×8=1000，2×5=10，因而这 道题也要移一移，先计算 125×8=1000 和 2×5=10，再计算 1000×10=10000。 练习 1： 1.计算：（1）25×23×4 （2）125×27×8 =（25×4）×23 =（125×8） ×27 =2300 =27000 2.计算： （1）5×25×2×4 （2）125×4×8×25 （3）2×125×8×5 =（5×2）×（25×4） =（125×8）×（4×25） =（125×8）×（2×5） =1000 =100000 =10000 3.想一想，怎样算比较简便？ 125×16 125×8×2 【例题 2】你有好办法计算下面各题吗？ （1）25×8 （2）16×125 （3）16×25×25 （4）125×32×25 【思路导航】（1）已知 25×4=100，因为 8=2×4，所以我们可以把 25×8 转化为 25×4 ×2.然后先算 25×4=100，再算出 100×2=200。（2）125×8=1000，16=8×2.因而我们可以 把 16×125 转化为 2×（8×125），然后算出 8×125=1000，再乘 2 得到 2000；（3）因为 25 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 75 - ×4×100，16=4×4，这样可以将两个 4 分别与两个 25 相乘，所以原式就转化为（4×25）× （4×25），再分别计算，得到结果 100×100=10000；（4）因为 125×8=1000，25×4=100， 我们又发现 32=4×8，所以可将 4 和 8 分别与 25、125 相乘，得到（125×8）×（25×4）， 再分别算出结果为 1000×100=100000。 练习 2： 1.（1）25×12 =300 （2）125×32 =4000 （3）48×125=6000 2.（1）125×16×5=10000 （2）25×8×5=1000 3.（1）125×64×25 =200000 （2）32×25×25=20000 【例题 3】你能很快算出它们的结果吗？ （1）82×88 （2）51×59 【思路导航】通过观察，我们可以发现这两题都是两位数乘两位数，被乘数和乘数十位 上的数字相同，个位数字和是 10，像这样的题目，我们可以将首位数字加 1 再乘首位数字， 得数作为积的前两位数字；将两个末位数字相乘，得数作为积的末位两个数字，如果末位数 字相乘的积是一位数，要在前面被一个 0。（1）82×88 先用首位数字加 1 再乘首位数字，即 （8＋1）×8=72 作为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘 2×8=16 作为积的末位两个数 字，所以 82×88=7216；（2）51×59 先用首位数字加 1 乘首位数字，即（5＋1）×5=30 作 为积的前两位数字，再用两个末位数字相乘 1×9=9，它们的积是一位数，要前 9 前面被一个 0，作为积的末两个数字，所以，51×59=3009。 练习 3： 1.（1）72×78 =5616 （2）45×45=2025 2.（1）81×89=7209 （2）91×99=9009 3.（1）42×48= 2016 （2）61×69=4209 【例题 4】简便运算： （1）130÷5 （2）4200÷25 （3）34000÷125 【思路导航】这里可以运用商不变的性质，即被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数 （0 除外），商不变，因而：（1）130÷5 可将 130 和 5 同时乘 2.使除除变为 10，然后再用 260÷10=26；（2）4200÷25 可以将 4200 和 25 同时乘 4，使除数变为 100，然后再用 16800 ÷100=168；（3）34000÷125 可以将 34000 和 125 同时乘 8，使除数变为 1000，然后再用 272000 ÷1000=272。 练习 4： 1.你能迅速算出结果吗？（1）170÷5=34 （2）3270÷5=654 （3）2340÷5=468 2.计算：（1）7200÷25=288 （2）3600÷25=144 （3）5600÷25=224 3.你有好办法计算下面各题吗？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 76 - （1）32000÷125 =256 （2）78000÷125 =624 （3）43000÷125=344 【例题 5】计算：31×25 【思路导航】题中 31 不能被 4 整除，但 31 可拆成 4×7＋3.这样就得到（4×7＋3）× 25，或者把 25 看作 100÷4 也可求出得数。 （1）31×25 =（4×7＋3）×25 =（4×7＋3）×25 = 4×7×25＋3×25 = 775 （2）31×25 = 31×（100÷4）= 31×100÷4 = 775 练习 5： 计算：（1）29×25=725 （2）17×25=425 （3）221×25 =5525 （4）322×25=8050 （5）2561×25=64025 （6）3753×25=93825 三、课后作业 1、想一想，怎样算比较简便？ 125×16 25×32 =2000 =800 2、（1）125×64×25 （2）32×25×25 =200000 =20000 3、你能很快算出它们的结果吗？ （1）42×48 （2）61×69 =2016 =4209 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 77 - 4 、你有好办法计算下面各题吗？ （1）32000÷125 （2）78000÷125 （3）43000÷125 =256 =624 =344 （4）322×25 （5）2561×25 （6）3753×25 =8050 =64025 =93825 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 78 - 第 16 讲 应用题（一） 一、知识要点 应用题是小学数学中非常重要的一部分内容，它需要我们小朋友用学到的数学知识来解 决生产、生活中的一些实际问题。学好应用题的关键在于认真分析题意，掌握数量关系，找 到问题的突破口。 在分析应用题的数量关系时，我们可以从条件出发，逐步推出所求的问题；也可以从问 题出发，找到必须的两个条件。在实际解答时，我们可以根据题目中的数量关系，灵活运用 这两种方法。有时，借助线段图来分析应用题的数量关系，解答就更容易了。 二、精讲精练 【例题 1】学校里有排球 24 只，足球的只数比排球 的 2 倍少 5 只，学校有排球、足球共多少只？ 【思路导航】根据题意画出线段图 从上图可以看出，把 24 只排球看作 1 倍数，足球 的只数比这样的 2 倍还少 5 只，用 24×2－5=43（只）可 以求出足球的只数，再用 43＋24=67 只可以求出两种球的总只数。 练习 1：1.小红每分钟跳绳 25 下，小军每分钟跳的下数比小红的 3 倍少 16 下，小军每 分钟比小红多跳几下？ 2.王奶奶家养鸡 12 只，养鹅的只数比鸡的只数的 4 倍还多 7 只。王奶奶家共养鸡、鹅 多少只？ 3.少先队员种柳树 30 棵，种的杨树的棵数比柳树棵数的 3 倍多 14 棵。少先队员种的杨 树、柳树共多少棵？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 79 - 【例题 2】人民广场花圃中有 180 盆郁金香，比月季花盆数的 3 倍少 15 盆。月季花有多 少盆？ 【思路导航】从上图可以看出，把月季花的盆数看作 1 倍数，郁金香的盆数是这样的 3 倍少 15 盆。如果郁金香再增 加 15 盆，就正好是月季花盆数的 3 倍。因此用（180＋15） ÷3=65（盆）就可求出月季花的盆数。 练习 2：1.小明的父亲每月工资 1000 元，比小明母亲每月工资的 2 倍少 200 元。小明母 亲每月工资多少元？ 2.饲养场养母鸭 400 只，比公鸭只数的 7 倍还多 36 只。饲养场养公鸭多少只？ 3.水果店卖出 9 筐水果，平均每筐重 45 千克。卖出水果的千克数比剩下的 3 倍还多 27 千克，还剩多少千克水果？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 80 - 【例题 3】小林家养了一些鸡，黄鸡比黑鸡多 13 只，白鸡比黄鸡多 12 只，白鸡的只数 正好是黑鸡的 2 倍。白鸡、黄鸡、黑鸡各多少只？ 【思路导航】根据“黄鸡比黑鸡多 13 只，白鸡比 黄鸡多 12 只”，从线段图上我们可以看出白鸡比黑鸡多 13＋12=25 只，这相当于黑鸡的 2－1=1 倍，这样也就求 出黑鸡的只数为 25÷1=25 只，黄鸡的只数是 25＋13=38 只，白鸡的只数是 25×2=50 只。 练习 3：1.商店里有红、白、蓝三种围巾，其中红围巾比白围巾多 12 条，蓝围巾比红围 巾多 20 条，蓝围巾的条数正好是白围巾的 5 倍。红围巾、白围巾、蓝围巾各多少条？ 2.有甲、乙、丙三筐苹果，甲筐比乙筐多 12 只苹果，丙筐比甲筐多 15 只苹果，丙筐苹 果个数是乙筐的 4 倍。甲、乙、丙筐各有多少只苹果？ 3.男女学生参加小组交流会，如果少去 1 名女生，男女生人数相等；如果少去一名男生， 女生人数是男生的 2 倍。参加交流会的男女生各多少人？ 【例题 4】用一批纸装订同样大小的练习本，如果每本 16 页，可装订 400 本。如果每本 20 页，可以少装订多少本？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 81 - 【思路导航】根据“如果每本 16 页，可装订 400 本”，可得这批纸的总页数 16×400=6400 页；再用总页数 6400÷20=320 本求出如果每本 20 页可装订的本数，400－320=80 本则表示 少装订的本数。 练习 4：1.水果市场要将一些水果装箱，如果每箱 10 千克，可装 30 箱。如果每箱 15 千克，可少装多少箱？ 3.服装厂有一些布料加工窗帘，如果把窗帘做成 3 米长，可做 140 幅。如果每幅窗帘做 成 2 米长，则可多做多少幅？ 4.同一批纸装订同样大小的练习本，如果每本 16 页，可装订 400 本。如果每本多装订 9 页，则少装订多少本？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 82 - 【例题 5】李师傅原计划 6 小时加工零件 480 个，实际 2 小时加工 192 个。照这样的效 率，可以提前几小时完成？ 【思路导航】根据“实际 2 小时加工 192 个”，可以求出李师傅的实际工作效率为 192 ÷2=96（个/小时），再用要加工的零件总数除以实际工作效率，即 480÷96=5 小时，求出实 际完成的时间。6－5=1 小时，则表示提前完成的时间。 练习 5：1.王奶奶计划 10 小时做纸盒 400 个，实际 3 小时已加工 150 个。照这样的效率， 可以提前几小时完成？ 2 暑假中，小宁 30 天共要写大字 600 个，实际 12 天已写大字 360 个。照这样的速度， 小宁可以提前几天写完同样多的字？ 3.自行车制造厂四月份（30 天）共生产自行车 3600 辆，五月份改进技术后 9 天已生产 自行车 1350 辆。照这样的效率，可以提前几天完成四月份的任务？ 三、课后作业 1、少先队员种柳树 30 棵，种的杨树的棵数比柳树棵数的 3 倍多 14 棵。少先队 员种的杨树、柳树共多少棵？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 83 - 2、水果店卖出 9 筐水果，平均每筐重 45 千克。卖出水果的千克数比剩下的 3 倍还多 27 千克，还剩多少千克水果？ 3、男女学生参加小组交流会，如果少去 1 名女生，男女生人数相等；如果少去 一名男生，女生人数是男生的 2 倍。参加交流会的男女生各多少人？ 4、同一批纸装订同样大小的练习本，如果每本 16 页，可装订 400 本。如果每 本多装订 9 页，则少装订多少本？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 84 - 5、自行车制造厂四月份（30 天）共生产自行车 3600 辆，五月份改进技术后 9 天已生产自行车 1350 辆。照这样的效率，可以提前几天完成四月份的任务？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 85 - 第 17 讲 应用题（二）. 一、知识要点 一般应用题的条件和问题变换的形式多，数量关系也比较复杂，但只要善于分析，善于 思考，善于抓住关键，不管什么问题都能迎刃而解。 解答一般应用题的关键是要掌握数量关系，了解应用题中条件和条件、条件和问题之间 的联系，找出解题方法，灵活解题。 二、精讲精练 【例题 1】一列火车早上 5 时从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶 120 千米，下午 3 时到达乙地，但实际到达时间是下午 5 时整，晚点 2 小时。问火车实际每小时行驶多少千米？ 【思路导航】由“这列火车早上 5 时出发，计划下午 3 时到达”可知，这列火车原计划 行驶 12＋3－5=10 小时，用原计划每小时行驶 120 千米×计划行驶的 10 小时，便可得到甲地 到乙地的距离为 120×10=1200 千米；火车晚点 2 小时，说明火车实际行驶了 10＋2=12 小时， 用 1200÷12=100 千米就可得到火车实际每小时行的千米数。 练习 1：1.一辆汽车早上 8 点从甲地开往乙地，按原计划每小时行驶 60 千米，下午 4 时 到达乙地。但实际晚点 2 小时到达，这辆汽车实际每小时行驶多少千米？ 2.一列火车早上 6 时从甲城开往乙城，计划每小时行驶 100 千米，下午 6 时到达乙城。 但实际到达时间是下午 4 时，提前 2 小时。问火车实际每小时行驶多少千米？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 86 - 3.王叔叔驾驶一辆摩托车，上午 11 时从城东开到城西，计划每小时行驶 60 千米，下午 2 时到达城西，实际到达时间是下午 3 时，晚到 1 小时。问实际每小时比计划少行多少千米？ 【例题 2】小宁、小红、小佳去买铅笔，小宁买了 7 枝，小红买了 5 枝，小佳没有买。 回家后，三个人平均分铅笔，小佳拿出 8 角钱，小佳应给宁多少钱？给小红多少钱？ 【思路导航】小宁和小红一共买了 7＋5=12 枝铅笔，三个人平均分，每人应得 12÷3=4 枝，所以小佳拿出的 8 角钱就相当于 4 枝铅笔的价钱，那么每枝铅笔的价钱应是 8÷4=2 角。 小佳应给小宁 2×（7－4）=6 角钱，应给小红 2×（5－4）=2 角钱。 练习 2：1.三个好朋友去买饮料，小亮买了 5 瓶，小华买了 4 瓶，阳阳没有买。到家后， 三个人平均喝完饮料，阳阳拿出 6 元钱，他应给小亮多少钱？给小华多少钱？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 87 - 2.甲、乙、丙 3 人一起买了 6 个面包分着吃，甲、乙各拿出 3 个面包的钱，丙没有带钱。 那么吃完后，丙应拿出 4 元 8 角钱，他应分别给甲、乙多少钱？ 2.4 元 3.张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴同样多，张家出了 4 担柴，李家出了 5 担 柴，王家因无柴付 18 元。张、李家各得多少钱？ 【例题 3】用一个杯子向空瓶里倒牛奶，如果倒进去 2 杯牛奶，连瓶共重 450 克；如果 倒进去 5 杯牛奶，连瓶共重 750 克。一杯牛奶和一个空瓶各重多少克？ 【思路导航】根据题目的条件，我们可以写出两个关系式： 2 杯牛奶重量＋1 个空瓶重量=450 克（1） 5 杯牛奶重量＋1 个空瓶重量=750 克（2） 比较（1）、（2）两个式子，可发现用（2）－（1）可消去空瓶重量，并可得到 5－2=3 瓶牛奶重量是 750－450=300 克，那么 1 瓶牛奶重量是 300÷3=100 克，然后可求出空瓶重量 是 450－100×2=250 克。 练习 3：1.有 12 筐苹果，它们重量相等，我们把它们装入一个大箱子里，如果装进 2 筐苹果，连箱共重量 220 千克；如果装进 5 筐苹果，连箱共重 520 千克。1 筐苹果和大箱子 各重多少千克？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 88 - 2.有一个木桶向一个水缸中倒水，如果倒进 4 桶水，连缸共重 240 千克；如果倒进 7 桶 水，连缸共重 390 千克。一桶水和一个水缸各重多少千克？ 3.有一瓶水，向几个相同的杯子里注水，如果注满 3 杯水，连瓶重 550 克；如果注满 6 杯水，连瓶共重 250 克。一杯水多重？ 【例题 4】一共有红、黄、绿三种颜色的珠子 120 粒。如果把红色珠子分放在 9 个盒子 里，把黄色珠子分放在 6 个盒子里，把绿色珠子分放在 5 个盒子里，那么每个盒子里的珠子 粒数相等。三种颜色的珠子各多少粒？ 【思路导航】把 120 粒珠子分放到盒子里以后，每个盒子里的珠子粒数相等，那么就可 以 120÷（6＋9＋5）=6 粒，求出每个盒子里珠子的粒数，然后再求三种颜色的珠子各几粒。 红色珠子：6×9=54 粒；黄色珠子：6×6=36 粒；绿色珠子：6×5=30 粒。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 89 - 练习 4：1.一共有苹果、梨、橘子共 105 个，如果把苹果分放到 4 个盘中，把梨分放到 5 个盘中，把橘子分放到 6 个盘中，那么每个盘子的水果个数相等。三种水果各多少个？ 2.一共有白兔、灰兔、黑兔共 250 只，如果把白兔分放到 5 个笼中，把灰兔分放到 11 个笼中，把黑兔分放到 9 个笼中，这样每个笼中的兔子的只数相等。三种兔子各多少只？ 3.共有科技书、文艺书和故事书共 360 本，若把科技书分放到 2 个书架上，把文艺书分 放到 3 个书架上，把故事书分放到 4 个书架上，则每个书架上的本数相等。三种书各有多少 本？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 90 - 【例题 5】在 6 个筐里放着同样多的鸡蛋，如果从每个筐里拿出 50 个鸡蛋，则 6 个筐里 剩下的鸡蛋个数的总和等于原来两个筐里鸡蛋个数的总和。原来每个筐里有鸡蛋多少个？ 【思路导航】根据“6 个筐里剩下的鸡蛋个数的总和等于原来 5 个筐里鸡蛋个数的总和”， 说明 6 个筐里取出的鸡蛋个数的总和等于原来（6－2）=4 个筐里鸡蛋的总和，用取出的 50 ×6=300 个鸡蛋除以 4 就可求出原来每个筐里的鸡蛋个数：300÷4=75 个。 练习 5：1.在 6 个纸箱中放着同样多的苹果。如果从每个纸箱里拿出 50 个苹果，则 6 个箱里剩下的苹果个数的总和等于原来 2 个箱子的苹果个数的总和。原来每个箱里有多少个 苹果？ 2.某商店有 5 箱皮球，如果从每箱里取出 15 个，那么 5 个箱里剩下皮球的个数正好等 于原来 2 箱皮球的个数。原来每箱装了多少个皮球？ 3.有 3 个水桶，如果从每桶中倒出 4 千克水，那么 3 桶里剩下的水的重量正好等于原来 1 桶的重量。原来每桶装多少千克水？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 91 - 三、课后作业 1、王叔叔驾驶一辆摩托车，上午 11 时从城东开到城西，计划每小时行驶 60 千 米，下午 2 时到达城西，实际到达时间是下午 3 时，晚到 1 小时。问实际每小 时比计划少行多少千米？ 2、张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴同样多，张家出了 4 担柴，李家 出了 5 担柴，王家因无柴付 18 元。张、李家各得多少钱？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 92 - 3、有一瓶水，向几个相同的杯子里注水，如果注满 3 杯水，连瓶重 550 克；如 果注满 6 杯水，连瓶共重 250 克。一杯水多重？ 4、共有科技书、文艺书和故事书共 360 本，若把科技书分放到 2 个书架上，把 文艺书分放到 3 个书架上，把故事书分放到 4 个书架上，则每个书架上的本数 相等。三种书各有多少本？ 5、有 3 个水桶，如果从每桶中倒出 4 千克水，那么 3 桶里剩下的水的重量正好 等于原来 1 桶的重量。原来每桶装多少千克水？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 93 - 第 18 讲 数字趣谈 一、知识要点 在日常生活中，0、1、2、3、、4、5、6、7、8、9 是我们最常见、最熟悉的数，由这些 数字构成的自然数列中也有很多有趣的计数问题，动动脑筋，你就会找到答案。本周的习题， 大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的方法一般是采用尝试探索法和分类统计法，相 信你们能很好地掌握它。 二、精讲精练 【例题 1】在 10 和 40 之间有多少个数是 3 的倍数？ 【思路导航】由尝试法可求出答案： 3×4=123×5=153×6=183×7=213×8=24 3×9=273×10=303×11=333×12=363×13=39 练习 1： 1. 在 20 和 50 之间有多少个数是 6 的倍数？ 2. 在 15 和 70 之间有多少个数是 8 的倍数？ 3.两个整数之积为 144，差为 10，求这两个数。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 94 - 【例题 2】在 10 和 1000 之间有多少个数是 3 的倍数？ 【思路导航】求 10 和 1000 之间有多少个数是 3 的倍数，用一一列举的方法显得很麻烦。 可以这样思考： 10÷3=3……1 说明 10 以内有 3 个数是 3 的倍数； 1000÷3=333……1 说明 1000 以内有 333 个数是 3 的倍数。 333－3=330 说明 10——1000 之间有 330 个数是 3 的倍数。 练习 2： 1. 在 1 到 1000 之间有多少个数是 4 的倍数？ 2. 在 10 到 1000 之间有多少个数是 7 的倍数？ 3. 在 100 到 1000 之间有多少个数是 3 的倍数？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 95 - 【例题 3】从 1——9 九个数中选取，将 11 写成两个不同的自然数之和，有多少种不同 的写法？ 【思路导航】将 1——9 的九个自然数从小到大排成一列： 1.2.3.4，5，6，7，8，9 先看最小的 1 和最大的 9 相加之和为 10 不符合要求，但用第二小的 2 和最大的 9 相加， 和为 11 符合要求，得 11=2＋9。依次做下去，可得 11=3＋8，11=4＋7，11=5＋6。 共有 4 种不同的写法。 练习 3： 1.从 1——9 九个数中选取，将 13 写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？ 2.将 15 分拆成不大于 9 的两个整数之和，有多少种不同的分拆方法，请列出来。 3.将 12 分拆成 3 个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 96 - 【例题 4】2000 年 2 月的一天，有三批同学去植树，每批的人数不相等，没有一个人单 独去的，三批人数的乘积正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生各有几人？ 【思路导航】2000 年 2 月有 29 天，三批同学人数的乘积不能大于 29，我们可以先用最 小的几个数试乘（1 除外）：2×3×4=24，24＜29；2×3×5=30，30＞29，不合题意。所以， 这三批学生的人数是 2.3.4 人。 练习 4： 1.2001 年 5 月的一天，有三批学生去参加助残活动，每批人数不相等，三批人数的乘积 正好等于这一天的日期。想一想，这三批学生最多各有多少人？ 2.学校进行运动会比赛，三（2）班参加其中三项体育比赛的人数各不相同，而且这三 项参赛人数之积在 35 到 45 之间。那么三（2）班最少各有多少人参加这三项比赛？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 97 - 3.小明家有四种水果，每种水果的千克数不相等，这四种水果的千克数的乘积在 200 到 250 之间，那么这些水果最少共有多少千克？ 【例题 5】一本连环画共 100 页，排页码时一个铅字只能排一位数字。请你算一下，排 这本书的页码共要用多少个铅字？ 【思路导航】这道题可以分类计算： 从第 1 页到第 9 页，共 9 页，每页用 1 个铅字，共用 1×9=9 个； 从第 10 页到第 99 页，共 90 页，每页用 2 个铅字，共用 2×90=180 个； 第 100 页，只有 1 页共用 3 个铅字。 所以这本书的页码共用 9＋180＋3=192 个铅字。 练习 5： 1. 一本书共 200 页，排版时一个铅字只能排一位数字，那么排这本书的页码共用了多少 个铅字？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 98 - 2.《宇宙历险记》这本书共 214 页，编排这本书时共用多少个数码？ 3.编排《儿童漫画》的页码时共用了 51 个数码，这本书共多少页？ 三、课后作业 1、两个整数之积为 144，差为 10，求这两个数。 2、在 100 到 1000 之间有多少个数是 3 的倍数？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 99 - 3、将 12 分拆成 3 个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？ 4、编排《儿童漫画》的页码时共用了 51 个数码，这本书共多少页？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 100 - 第 19 讲 重叠问题 一、知识要点 三（1）班准备给参加班级绘画比赛的 16 位同学和参加朗读比赛的 12 位同学每人发一份 纪念品，当中队长玲玲将 28 份纪念品发下去时，却多出 5 份，这是怎么回事？对了，因为有 5 位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了 5 份。数学中，我们将 这样的问题称为重叠问题。 解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有 重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图 形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。 二、精讲精练 【例题 1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。小张从前数起，红旗是第 8 面；从后 数起，红旗是第 10 面。这行彩旗共多少面？ 【思路导航】根据题意，画出下图： 从图上可以看出，从前数起红旗是第 8 面，从后数起 是第 10 面，这样红旗就数了两次，重复了一次，所以这行 彩旗共有 8＋10－1=17 面。 练习 1： 1.小朋友排队做操，小明从前数起排在第 4 个，从后数起排在第 7 个。这队小朋友共有 多少人？答案 解：(4－1)+(7－1)+1 =3+6+1 =10(人) 答：这队小朋友共有 10 人. 故答案为： 10 人 解析 根据题干知道，小明从前数起排在第四，那么它的前面有 4－1=3(人)，从后数起在第七个，他的后面 有 7－1=6(人)，再加上小明本人，据此解答. 本题考查的是 1～10 各数的排列顺序，掌握 1～10 各数的排列顺序，能用、前面、后面和第几个等表 示数与数之间的顺序和位置是解题的关键. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 101 - 2.学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第 12 个，从右数起是第 21 个。这一行 座位有多少个？ 答案 解：12+21—1=32（个）故答案为：32 个 解析 把左边的 12 个座位加右边的 21 个座位，再减去 1，就是这一行座位的总个数，因为从左数起的第 12 个与从右数起的第 21 个是同一个. 解答此题时记得把和减去 1，因为有一个座位重复了. 3.同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第 8 个。这一排共有 多少个同学？ 答案 解： 把前后两次数起的数值相加，则李华被加了两次，所以所得之和需再减掉一次李华的位置，8＋8－1 ＝15 故答案为：b 解析 根据李华的位置，利用容斥原理推算这一排的同学人数. 【例题 2】同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位置从左数起是第 4 个，从右数 起是第 3 个，从前数起是第 5 个，从后数起是第 6 个。做操的同学共有多少个？ 【思路导航】根据题意，画出下图： 由图可看出：小明的位置从左数第 4 个，右数第 3 个，说明横行有 4＋3－1=6 个人；从 前数第 5 个，从后数第 6 个，说明竖行有 5＋6－1=10 人，所以做操的同学共有：6×10=60 人。 练习 2： 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 102 - 1.同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。小红的位置无论从前数从后数，从左数还 是从右数起都是第 4 个。跳舞的共有多少人？ 2.为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第 2 个，从 右数第 4 个；从前数第 3 个，从后数第 5 个。鲜花队共多少人？ 3.三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第 6 个， 从后数是第 5 个；从左数、从右数都是第 3 个。三（4）班共有学生多少人？ 【例题 3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起 的木板长 120 厘米，中间重叠部分是 16 厘米，这两块木板各长多少厘米？ 【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的 部分是 16 厘米，所以这两块木板的总长度是 120＋16=136 厘 米，每块木板的长度是 136÷2=68 厘米。 练习 3： 1. 把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长 30 厘米， 中间重叠部分是 6 厘米，原来两段纸条各长多少厘米？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 103 - 2.把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长 35 厘米的木板。中间重合部分长 11 厘 米，这两块木板各长多少厘米？ 3.两根木棍放在一起（如图），从头到尾共长 66 厘米，其中一根木棍长 48 厘米，中间 重叠部分长 12 厘米。另一根木棍长多少厘米？ 【例题 4】一次数学测试，全班 36 人中，做对第一道聪明题的有 21 人，做对第二道聪 明题的有 18 人，每人至少做对一道。问两道聪明题都做对的有几人？ 【思路导航】根据题意，画出下图： 图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第 二 道题的人数加起来得 21＋18=39 人，这 39 人比全班总人数 36 多出了 39 － 36=3 人，这多出的 3 人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道 题 的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 104 - 练习 4： 1.三（1）班有学生 55 人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有 36 人，参加跳绳的有 38 人。两项比赛都参加的有几人？ 2.两块木板各长 75 厘米，像下图这样钉成一块长 130 厘米的木板，中间重合部分是多少 厘米？ 3.三（5）班有 42 名同学，会下象棋的有 21 名同学，会下围棋的有 17 名，两种棋都不 会的有 10 名。两种棋都会下的有多少名？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 105 - 【例题 5】三（1）班订《数学报》的有 32 人，订《阅读报》的有 30 人，两份报纸都订 的有 10 人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班有学生多少人？ 【思路导航】根据题意，画出下图： 从上图可以看出，中间重叠部分表示两份 报纸都订的 10 人，这 10 人既被包括在订《数学报》的 32 人内，又被包括在订《阅读报》的 30 人内，重复算了一次， 所以要算出全班人数，必须从 32＋30=62 人中去掉被重复算过的 10 人。所以全班人数应是 62－10=52 人。 练习 5： 1.三（4）班做完语文作业的有 37 人，做完数学作业的有 42 人，两种作业都完成的有 31 人，每人至少完成一种作业。三（4）班共有学生多少人？ 2.两块木板各长 90 厘米，像下图这样钉成一块木板，中间重合部分是 15 厘米，这块钉在一 起的木板总长多少厘米？ 3.三年级有 107 个小朋友去春游，带矿泉水的有 78 人，带水果的有 77 人，每人至少带一种。 三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 106 - 三、课后作业 1、同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后起起，李华都排在第 8 个。这 一排共有多少个同学？ 2、三（5）班有 42 名同学，会下象棋的有 21 名同学，会下围棋的有 17 名，两 种棋都不会的有 10 名。两种棋都会下的有多少名？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 107 - 3、三年级有 107 个小朋友去春游，带矿泉水的有 78 人，带水果的有 77 人，每 人至少带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？ 4、三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数 是第 6 个，从后数是第 5 个；从左数、从右数都是第 3 个。三（4）班共有学生 多少人？ 5、两根木棍放在一起，从头到尾共长 66 厘米，其中一根木棍长 48 厘米，中间 重叠部分长 12 厘米。另一根木棍长多少厘米？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 108 - 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 109 - 第 20 讲 简单枚举. 一、知识要点 枚举是一种常见的分析问题、解决问题的方法。一般地，要根据问题要求，一一列举问 题解答。运用枚举法解应用题时，必须注意无重复、无遗漏，因此必须有次序、有规律地进 行枚举。 运用枚举法解题的关键是要正确分类，要注意以下两点：一是分类要全，不能造成遗漏； 二是枚举要清，要将每一个符合条件的对象都列举出来。 二、精讲精练 【例题 1】从小华家到学校有 3 条路可走，从学校到文峰公园有 4 条路可走。从小华家 到文峰公园，有几种不同的走法？ 【思路导航】为了帮助理解题意，我们可以画出 如上示意图。 我们把小华的不同走法一一列举如下： 根据列举可知，从小明家经学校到文峰公园， 走①路有 4 种不同走法，走②路有 4 种不同走法，走 ③路也有 4 种不同走法，共有 4×3=12 种不同走法。 练习 1： 1.从甲地到乙地，有 3 条公路直达，从乙地到丙地有 2 条铁路直达。从甲地到丙地有多 少种不同走法？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 110 - 2. 新华书店有 3 种不同的英语书，4 种不同的数学读物销售。小明想买一种英语书和一 种数学读物，共有多少种不同买法？ 3. 明明有 2 件不同的上衣，3 条不同的裤子，4 双不同的鞋子。最多可搭配成多少种不 同的装束？ 【例题 2】用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号，可以组成多少种不同的信号？ 【思路导航】要使信号不同，要求每一种信号颜色的顺序不同，我们可以把这些信号进 行列举。可以看出，红色信号灯排在第一个位置时，有 两种不同的信号，绿色信号灯排在第一个位置时，也有 两种不同的信号，黄色信号灯排在第一个位置时，也有 两种不同的信号，因而共有 3 个 2 种不同排列方法，即 2×3=6 种。 练习 2：1.用红、黄、蓝三种颜色涂圆圈，每个圆圈涂一种颜色，一共有多少种不同的 涂法？○○○ 2.用数字 1、2、3.可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 111 - 3.用 2、3、5、7 四个数字，可以组成多少个不同的四位数？ 4×3×2=24 【例题 3】一个长方形的周长是 22 米，如果它的长和宽 都是整米数，那么这个长方形的面积有多少种可能？ 【思路导航】由于长方形的周长是 22 米，可知它的长 与宽之和为 11 米。下面列举出符合这个条件的各种长方形： 练习 3： 1.一个长方形的周长是 30 厘米，如果它的长和宽都是整厘米数，那么这个长方形的面 积有多少种可能值？ 7 种可能 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 112 - 2.把 15 个玻璃球分成数量不同的 4 堆，共有多少种不同的分法？ 答案 解：根据题意可得： 15＝1＋2＋3＋9；15＝1＋2＋4＋8；15=1＋2＋5＋7；15=1＋3＋4＋7；15=1＋3＋5＋6；15=2＋3＋ 4＋6；一共有 6 种． 答：共有 6 种不同的分法． 故答案为：6．故答案为：6 种 解析 要把 15 个小球分成数量不同的 4 堆，把 15 拆成 4 个不同的数相加，然后一一列举出来，再进一步 解答即可. 本题重在理解分成 4 堆数量不同的分法，列举解答. 3.3 个自然数的乘积是 18，问由这样的 3 个数所组成的数组有多少个？如（1.2.9）就 是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1.2.9）和（2.9，1） 是同一数组。 答案 4 种 解析 因为：18＝1×2×3 1, 2, 3, 3 这四个数可以组成的数有：1. 2. 3. 6. 9. 18 按要求可以组成的数组有：(1 . 1 . 18).(1 .2 . 9).(1. 3. 6).(2. 3. 3) 【例题 4】有 4 位小朋友，寒假中互相通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 【思路导航】把 4 个小朋友分别编号：A、B、C、D，A 与其他小朋友打电话，应该打 3 次，同样 B 小朋友也应打 3 次电话，同样 C、D 应该各打 3 次电话。4 个小朋友，共打了 3× 4=12 次。但题目要求两个小朋友之间只要通一次电话，那么 A 打电话给 B 时，A、B 两人已经 通过话了，所以 B 没有必要再打电话给 A，照这样计算，12 次电话中，有一半是重复计算的， 所以实际打电话的次数是 3×4÷2=6 次。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 113 - 练习 4： 1.6 个小队进行排球比赛，每两队比赛一场，共要进行多少次比赛？ 2.有 8 位小朋友，要互通一次电话，他们一共打了多少次电话？ 3.小芳出席由 19 人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共握了多少 次手？ 【例题 5】一条铁路，共有 10 个车站，如果每个起点站到终点站只用一种车票（中间至 少相隔 5 个车站），那么这样的车票共有多少种？ 我们可以利用列举的方法： 如果起点站是 1.那么终点站只能是 7、8、9 或 10；如果起站站是 2.那么终点站只能是 8、9 或 10；如果起点站是 3.那么终点站只能是 9 或 10；如果起点站是 4，终点站只能是 10； 如果起点站是 5、6 时，就找不到与它至少相隔 5 站的终点站了；如果起点站是 7，终点站只 能是 1；如果起点站是 8，那么终点站是 2 或 1；如果起点站是 9，那么终点站是 3、2 或 1； 如果起点站是 10，那么终点站是 4、3、2 或 1。所以，起点到终点至少相隔 5 个车站的车票 有：4＋3＋2＋1＋0＋0＋1＋2＋3＋4=20 种。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 114 - 练习 5： 1.上海、北京、天津三个城市分别设有一个飞机场，它们之间通航一共需要多少种不同 的机票？ 2.一条公路上，共有 8 个站点。如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔 3 个 车站），那么共有多少种不同的车票？ 3.在长江的某一航线上共有 6 个码头，如果每个起点终点只许用一种船票（中间至少要相隔 2 个码头），那么这样的船票共有多少种？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 115 - 三、课后作业 1、明明有 2 件不同的上衣，3 条不同的裤子，4 双不同的鞋子。最多可搭配成 多少种不同的装束？ 2、用 2、3、5、7 四个数字，可以组成多少个不同的四位数？ 4×3×2=24 3、3 个自然数的乘积是 18，问由这样的 3 个数所组成的数组有多少个？如 （1.2.9）就是其中的一个，而且数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组， 如（1.2.9）和（2.9，1）是同一数组。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 116 - 4、小芳出席由 19 人参加的联欢会，散会后，每两人都要握一次手，他们一共 握了多少次手？ 5、在长江的某一航线上共有 6 个码头，如果每个起点终点只许用一种船票（中 间至少要相隔 2 个码头），那么这样的船票共有多少种？ 第二十一讲 错中求解 专题简析： 在进行加、减、乘、除运算时，要认真审题，不能抄错题目，不能漏掉数 字。计算时要仔细小心，不能丝毫马虎，否则就会造成错误。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 117 - 解答这类题，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因， 最后利用和差的变化求出加数或被减数、减数，利用积、商的变化求出因数或 被除数、除数。 例题 1 小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的 5 错看成 2，另一个 加数个位上的 4 错看成 1，结果计算的和为 241。正确的和是多少？ 思路导航：把一个加数十位上的 5 看成 2，少了 3 个 10，这样和就减少了 30；把另一个加数个位上的 4 看作 1，少了 3 个 1，这样和就少了 3。小马虎算 出的和比原来的和少了 30＋3=33，所以正确的和是 241＋33=274。 练 习 一 1，小明在做一道加法时，把一个加数个位上的 2 看作了 4，另一个加数个 位上的 7 看作 9，结果计算的和为 215。正确的和为多少？ 答案 解:;215-4＝211 答:这道题的正确的结果应该是 211. 解析 根据题意,个位上的 2 看作 4,多看了 2,另一个加数个位上的 7 看作 9,多看了 2,一共多看了 4,所以可用 215 减去多看的数 4 即可得到正确答案. 解答此题的关键是确定看错的数比原来的数多看或少看了多少,然后再用 215 的数再减去多看的数即 可. 2，小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的 3 看作了 5，十位上的 4 看作 7，得到结果为 376。正确的和是多少？答案 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 118 - 解:小马虎把一个加数看多了:,75-43＝32 另一个加数不变,和也多了 32, 所以正确的和应该是:;376-32＝344 答:正确的和是 344. 解析 “把一个加数个位上的 3 看作了 5,十位上的 4 看作了 7”,相当于把这个加数看多了,再根据另一个加 数不变,可知算得的和比正确的和也得多 32,据此用 376 减去 32 即为正确的和. 解决此题关键是理解小马虎把一个加数看多了 32,另一个加数不变,所以和就多了 32,进而用错的和减 去 32 得解. 3，小粗心在计算一道加法题时，把一个加数个位上的 7 看作 1，十位上的 3 看作 8，结果为 342。正确的和是多少？答案 342-81+37＝261+37＝298 ; 答:正确的和是 298. 解析 要求正确的和,就要知道两个正确的加数.看错的加数是 37,因此得到错误的和是 342.根据逆运算可得 到一个没看错的加数是,题中已知一个正确的加数是 261,所以正确的和是. 此题考查了逆推的方法,以及计算的能力. ; 例题 2 小马虎在做一道减法时，把减数十位上的 2 看作了 5，结果得到的 差是 342，正确的差是多少？ 思路导航：十位上的 2 表示 2 个十，十位上的 5 表示 5 个十，把十位上的 2 看作 5，就是把 20 看作 50，减数从 20 变为 50，增加了 30，所得的差减少了 30， 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 119 - 应在 342 中增加 30，才是正确的差。 340＋30=372 练 习 二 1，小马虎在做减法题时，把被减数十位上的 3 错写成 8，结果得到的差是 284。正确的差是多少？ 答案 解:,284- (8-3)×10 ,＝284 - 5×10 ,＝284 - 30 ,＝234 答:正确的差应该是 234. 解析 把被减数十位上的 3 看成了 8,也就是说被减数多了 50,即差多了 50,用所得的差减 50 即可解答. 明确被减数多了 50,即差多了 50,是解答本题的关键. 2，在减法算式中，错把减数个位上的 3 写成了 5，结果得到的差是 254。 正确的差是多少？ 答案 254+(5 - 3)×1 ＝254+2 ,＝256 , 答:正确的差应该是 256. 解析 把减数个位上的 3 看成了 5,也就是说减数多了 2,即差少了 2,用所得的差加 2 即可解答. 明确减数多了 2,即差少了 2,是解答本题的关键. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 120 - 3，小丽在做一道减法时，错把被减数十位上的 2 看作 7，减数个位上的 5 看作 8，结果得到的差是 592。正确的差是多少？ 答案 【解析】 根据题意，被减数十位上的 2 看作 7，结果差就多了 70-20=50；减数个位的 5 看作 8，结果差就减少 了 8-5=3；所以最后得到的差比正确的差多了 50-3=47，所以正确的差是 592 与 47 的差，据此计算即可． 【答案】 解： 70－20＝50 8－5＝3 50－3＝47 592－47＝545 答：正确的差是 545. 故答案为： 545 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 121 - 例题 3 小马虎在计算一道题目时，把某数乘 3 加 20，误看成某数除以 3 减 20，得数是 72。某数是多少？正确的得数是多少？ 思路导航：小马虎计算得到 72，是先除再减得到的，我们可以根据逆运算 的顺序把 72 先加后乘，求出某数为（72＋20）×3=276，然后再按题目要求， 按运算顺序求出正确的数 276×3＋20=848。 练 习 三 1，小丽在计算一道题时，把某数乘 4 加 20，误看成除以 4 减 20，得数为 35。某数是多少？正确的结果是多少？ 答案 解:某数是: ,(35+20)×4 ,＝55×4 ,＝220 正确的结果是: ,220×4+20 ,＝880+20 .＝900 答:某数是 220,正确的结果是 900. 解析 根据“某数除以 4 减 20,得数 35”,运用逆推方法求出某数,即,然后根据“某数乘 4 加 20”,计算正确 的结果. 此题在求某数时,运用了逆推的方法,“某数除以 4 减 20,得数 35”,就用 35 先加 20 再乘 4 即可. 2，小粗心在计算时，把一个数除以 2 减 4，误看成乘 2 加上 4，得数是 36。 正确结果是多少？答案 解：（36－4）÷2 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 122 - =32÷2 =16； 16÷2－4， =8－4， =4； 答：正确的结果是 4. 故答案为： 4 解析 由题意可以知道：用得数 36 减 4，再除以 2 就是原来的被除数，再用被除数除以 2 减 4 即可得到正 确的结果. 本题主要考查了学生对整数四则混合运算的掌握和运用 3，小华在计算一道题时，把一个数加上 4 乘 2 看作了乘 2 加上 4，得数为 40。正确的得数是多少？答案 解:某数是: ,(70 - 4)÷2 ,＝66÷2 ,＝33 正确的得数是: ,(33+4)×2 ,＝37×2 .＝74 答:正确的得数是 74. 解析 根据“某数乘 2 加上 4,得数为 40”,运用逆推方法求出某数,即,然后根据“某数加上 4 乘 2”,计算正 确的得数. 此题在求某数时,运用了逆推的方法,“某数乘 2 加上 4,得数为 40”,就用 40 先减 4 再除以 2 即可. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 123 - 例题 4 小马虎在做两位数乘两位数的题时，把乘数的个位上的 5 看作 2， 乘得的结果是 550，实际应为 625。这两个两位数各是多少？ 思路导航：我们可以用竖式来帮助分析： 乘数个位上的 5 看作 2，结果比原来少了 5－2=3 个被乘数，实际的结果与 错误的结果相差 625－550=75；75 正好是被乘数的 3 倍，被乘数是 75÷3=25， 乘数是 625÷25=25。 练 习 四 1，一位学生在做两位数乘法时，把乘数个位上的 8 错写成 4，乘得的结果 是 1080，实际应为 1260。这两个两位数分别为多少？ 答案 解:,1260 - 1080＝180 ;180÷(8 - 4)＝45 ;1260÷45＝28 答:这两个因数分别是 28 和 45. 解析 乘数个位上的 8 错写成 4,这个因数就减少了 4;而积增加了;根据差倍公式,用 180 除以 4 就得的不变的 一个因数,再用积除以这个因数就得出另一个因数. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 124 - 2，小华在做一道两位数乘法时，把乘数个位上的 3 错写成 5，乘得的结果 是 875，正确的结果是 805。这两个两位数分别是多少？答案 根据题意可知，乘数个位上的 3 错写成 5，这个因数就增加了 2；而积增加了 875-805=70；根据差倍 公式，用 70 除以 2 得到不变的一个因数，再用积除以这个因数就得出另一个因数. 答案 解： 875-805=70； 70÷(5-3)=35； 805÷35=23； 答：这两个因数分别是 23 和 35. 故答案为： 23；35. 3，小芳在计算一道题时，把 5×（△＋7）错写成 5×△＋7，她得到的结 果与正确答案相差多少？答案 解：5×7-7=35-7=28.故答案为：28. 解答本题关键是：运用乘法分配律把算式去掉括号. 解析 运用乘法分配律分解原式子即可解答. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 125 - 例题 5 小林在计算有余数除法时，把被除数 137 当作 173，结果商比正确 结果大了 4，但余数恰好相同。正确的除法算式应是什么？ 思路导航：把被除数 137 当作 173，被除数就多了 173－137=36，因此商比 正确结果大 4，但余数相同，说明除数的 4 倍就是 36。所以除数为 36÷4=9，正 确的除法算式为 137÷9=15……2。 练 习 五 1，小红在计算有余数除法时，把被除数 113 错写成 131，这样商比原来多 2，但余数恰好相同。正确的除数和余数是多少？答案 除数是：(131-113)÷2 = 9 余数是：113÷9 = 12……5 答：正确的除数是 9，余数是 5。 2，王刚在计算有余数除法时，把被除数 171 错写成 117，结果商比原来少 9，但余数恰好相同。正确的除法算式是怎样的？ 答案 解:,(171 - 117)÷9 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 126 - ,＝54÷9 =6; 正确的算式为:.171÷6＝28....3. 解析 因为商比原来少 9,但余数恰好相同,所以被减数减少的数即除数的 9 倍,即除数为:,然后根据“被除数 除数=商余数”进行解答即可. 解答此题应明确:商比原来少 9,但余数恰好相同,即错写的数比原来少的数正好是除数的 9 倍,是解答 此题的关键;用到的知识点:被除数、除数、商和余数四者之间的关系. 3，小明在计算除法时，把被除数末尾的 0 漏写而成 18，结果得到的商比正 确的商少 54。正确的除法算式是什么？ 答案 解:被除数被缩小了 10 倍, 商也缩小 10 倍, 又因结果得到的商比正确的商少 54, 则少了 9 倍, 所以,54÷9＝6 所以正确的商,6×10＝60 因此正确的除法算式是:.180÷3＝60 解析 把被除数末尾的‘0’漏写了,结果得到的商比正确的商少 54,根据除法的意义及商的变化规律可知,除数不 变,被除数缩小了 10 倍,则商也缩小了 10 倍,又因结果得到的商比正确的商少 54,则少了 9 倍,所以,所以正确 的商. 被除数不变,除数扩大(或缩小)几倍(0 除外),商反而缩小(或扩大)几倍.被除数扩大(或缩小)几倍(0 除外),除数 不变,商就扩大小(或缩小)几倍,商和被除数同时扩大或缩小相同的倍数(0 除外),商不变. 三、课后作业 1、明明在做减法题时，把被减数十位上的 6 错看成 9，结果得到的差是 132， 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 127 - 正确的差是多少？ 2、大刘在计算加法时，把一个加数十位上的 5 错写成 3，把另一个加数个位上 的 6 错写成 2，所得的和是 374，正确的和应该是多少？ 3、豆豆在计算加法时，把一个加数个位上的 6 错写成 9，把另一个加数百位上 的 8 错写成 3，所得的和是 637，正确的和应该是多少？ 4、 小斌做题时，把减数十位上的 9 错写成 6，把被减数百位上的 3 错写成 8， 这样算的差是 806，正确的差是多少？ 5、小原做数学题时，把被减数个位上的 3 错写成 5，把十位上的 1 错写成 7， 这样算的差是 201，正确的差是多少？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 128 - 6、 大华做题时，把被减数个位上的 8 错写成 0，把十位上的 6 错写成 2，这样 算的差是 513，正确的差是多少？ 第二十二周 用对应法解题 专题简析： 小朋友在解答应用题时，经常会碰到这样一类题，给定的数量和所对应的 数量关系是在变化的。为了使变化的数量看得更清楚，可以把已知条件按照它 们之间的对应关系排列出来，进行观察和分析，从而找到答案。这种解题的思 维方法叫对应法。 在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等 式按顺序编号，然后认真观察，比较对应关系的变化，以便寻找解题的突破口。 例题 1 奶奶去买水果，如果她买 4 千克梨和 5 千克荔枝，需花 58 元；如 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 129 - 果她买 6 千克梨和 5 千克荔枝，那么需花 62 元。问 1 千克梨和 1 千克荔枝各多 少元？ 思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较： 4 千克梨＋5 千克荔枝=58 元 （1） 6 千克梨＋5 千克荔枝=62 元 （2） 比较（1）和（2）式，发现两式中荔枝的千克数相等，（2）式比（1）式多 了 6－4=2 千克梨，也就是多了 62－58=4 元，说明 1 千克梨的价钱为 4÷2=2 元， 那么 1 千克荔枝的价钱就是（58－2×4）÷5=10 元。 练 习 一 1，3 筐苹果和 5 筐橘子共重 270 千克，3 筐苹果和 7 筐橘子共重 342 千克。 一筐苹果和一筐橘子各重多少千克？答案 解:(342 - 270)÷2 ＝72÷2 ＝36(千克), (270 - 36×5)÷3 ＝(270 - 180)÷3 ＝90÷3 ＝30(千克), 答:一筐苹果重 30 千克,一筐橘子重 36 千克. 解析 3 筐苹果和 7 筐橘子的重量减去 3 筐苹果和 5 筐橘子的重量,得到 2 筐橘子的重量,从而得到一筐橘子 的重量,再得到一筐苹果的重量即可. 本题考查了简单的等量代换问题,关键是得到 2 筐橘子的重量. 2，张老师为图书室买书，如果他买 6 本童话书和 7 本故事书需要 144 元； 如果买 9 本童话书和 7 本故事书，需要 174 元。现在张老师买 7 本童话书和 6 本故事书，共需多少元？ 答案 （174-144）÷（9-6）=10 元 （ 144-10×6）÷7=12 元 10×7+12×6=142 元 答：需要 142 元。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 130 - 解析 买 6 本童话书和 7 本童话书工 144 元，买 9 本童话书和 7 本故事书共 174 元 用 174 元减去 144 元就是三本童话书的价钱，从而求出一本童话书的价钱 求出童话书的价钱后也就求出了故事书价钱，知道了童话书和故事书的单价后再求 7 本童话书和 6 本故事书的价格 3，粮店运来一批粮食，4 袋大米和 5 袋面粉共重 600 千克，2 袋大米和 3 袋面粉共重 340 千克。一袋大米和一袋面粉各重多少千克？ 答案 解：1 袋面粉的质量：（340×2－600）÷（3×2－5）＝80÷1＝80（千克）；1 袋大米的质量：（600 －80×5）÷4＝200÷4＝50（千克）.故答案为：50 千克；80 千克 先把大米的袋数变成一样，然后总质量相减消掉大米剩下面粉，求出 1 袋面粉的质量，最后求出 1 袋大米的质量. 解析 把 2 袋大米和 3 袋面粉共重 340 千克变成 4 袋大米和 6 袋面粉共重 680 千克，680 减去 600 消掉大 米得出 1 袋面粉的价钱，再求出 1 袋大米的价钱. 例题 2 学校买足球和排球，买 3 个足球和 4 个排球共需要 190 元，如果买 6 个足球和 2 个排球需要 230 元。一个足球和一个排球各多少元？ 思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较： 3 个足球＋4 个排球=190 元 （1） 6 个足球＋2 个排球=230 元 （2） 我们把（1）、（2）两式进行比较，发现两组条件相加还是相减，都不可能 求出足球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。再观察我们可 以发现：如果把（1）式同时扩大 2 倍，得到 6 个足球和 8 个排球共 380 元，然 后再与（2）式进行比较，发现足球个数相同，而排球多了 6 个，也就多了 380 －230=150 元，也就是 6 个排球是 150 元，一个排球为 150÷6=25 元，那么一个 足球是（190－25×4）÷3=30 元 练 习 二 1，5 筐番茄和 2 筐黄瓜共重 330 千克，3 筐番茄和 4 筐黄瓜共重 310 千克。 一筐番茄和一筐黄瓜各重多少千克？答案 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 131 - 解：设一筐番茄 x 千克，一筐黄瓜 y 千克.根据题意可列出： 5x＋2y=330 ......① 3x＋4y=310 .......② 用①式乘以 2 减去②式可得：7x=350，x=50 把 x=50 代入②可得：4y=360，y=90 答：一筐番茄 50 千克，一筐黄瓜 90 千克. 故答案为： 50 千克；90 千克 此题主要考查学生们对“列方程解决求两个未知数的应用题”的掌握情况.解答此题的关键是：可设 一筐番茄 x 千克，一筐黄瓜 y 千克，根据题意，列出相关的等式，两个式子再进行比较，可化成一个未知 数，然后再进行计算. 解析 可设一筐番茄 x 千克，一筐黄瓜 y 千克，根据题意，列出相关的等式，两个式子再进行比较，可化 成一个未知数，然后再进行计算. 2，4 本练习本和 5 枝圆株笔共 14 元，2 本练习本和 4 枝圆珠笔共 10 元。 一本练习本和一枝圆珠笔各多少元？ 解： (13-11)÷(9-2) =2÷2 =1（元） (11-7×1)÷2 =4÷2 =2（元） 答：每本练习本 1 元，每支圆珠笔 2 元。 解析 【解题方法提示】 13-11 就表示从 9 本练习本和 2 支圆珠笔中拿走 7 本练习本和 2 支圆珠笔，那么就剩下 2 本练习本； 用 13-11 的差除以 2 就是 1 本练习本的价钱，然后再求出 7 本练习本的价钱； 再用 11 元减去 7 本练习本的价钱就是 2 支圆珠笔的价钱，再除以 2 就是一支圆珠笔的价钱 3，2 件上衣和 3 条裤子共 480 元，4 件上衣和 2 条裤子共 640 地。一件上 衣和一条裤子各多少元？答案 解： 4 件上衣 6 条裤子共：480×2=960(元) 4 件上衣 6 条裤子－4 件上衣 2 条裤子：960－640=320(元) 1 条裤子：320÷4=80(元) 1 件上衣：(480－80×3)÷2=120(元) 故答案为：1 条裤子：80 元；1 件上衣：120 元 解析 据题中给出的条件可知：2 件上衣和 3 条裤子共 480 元，那么 4 件上衣和 6 条裤子就是 480×2=960 元，用 4 件上衣 6 条裤子－4 件上衣 2 条裤子=4 条裤子，这样就可以求出 1 条裤子的价钱，再根据 1 条裤 子的价钱求出 1 件上衣的价钱. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 132 - 例题 3 商店里有一些气球，其中红气球和蓝气球共 21 只，蓝气球和黄气 球共 28 只，黄气球和红气球共 29 只。红气球、蓝气球和黄气球各有多少只？ 思路导航：根据题意，我们可以列出下列关系式： 红气球的个数＋蓝气球的个数=21 （1） 蓝气球的个数＋黄气球的个数=28 （2） 黄气球的个数＋红气球的个数=29 （3） 我们可将（1）＋（2）＋（3），即 21＋28＋29=78 只，这里包含有 2 倍红 气球的个数、2 倍蓝气球的个数和 2 倍黄气球的个数，由此，可得出三种气球的 总只数：78÷2=39 只。然后再根据红气球和蓝气球共 21 只，可求出黄气球的只 数：39－21=18 只；同理可求出红气球的个数是 39×28=11 只，蓝气球的个数是 39－29=19 只。 练 习 三 1，小明和小红共 12 岁，小红和小丽共 17 岁，小丽和小明共 13 岁。三人 各多少岁？答案 1)(12+17+13)÷2=21 小丽：21-12=9 小明：21-17=4 小红：21-13=8 2，新华书店有批书，故事书和连环画共 70 本，连环画和科技书共 82 本， 科技书和故事书共 76 本。三种书各多少本？2）(70+82+76)÷2=114 科技书：114-70=44 故事书：114-82=32 连环画：114-76=38 3)192÷6-15=32-15=17 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 133 - 3，公园开菊花展，白菊花和黄菊花共 152 盆，黄菊花和红菊花共 128 盆，红菊 花和白菊花共 168 盆。三种菊花各几盆？答案 （152+128+168）÷2=224（盆） 答：三中菊花共有 224 盆. 例题 4 三年级三个班种了一片小树林，其中 72 棵不是一班种的，75 棵不 是二班种的，73 棵不是三班种的。三个班各种了多少棵？ 思路导航：“72 棵不是一班种的”，说明二班和三班共种树 72 棵；“75 棵不 是二班种的”，说明一班和三班共种 75 棵，“73 棵不是三班种的”，说明一班和 二班共种 73 棵。这样，我们就可以求出三个班共种多少棵树：（72＋75＋73） ÷2=110 棵。用 110－72=38 棵就是一班种的棵数，110－75=35 棵就是二班种的 棵数，110－73=37 棵就是三班种的棵数。 练 习 四 1，百货商店运来三种鞋子，其中 37 双不是皮鞋，54 双不是运动鞋，51 双 不是布鞋。三种鞋各运来多少双？答案 朝晖商店运来三种鞋，其中 36 双不是凉鞋，运动鞋+皮鞋=36 54 双不是运动鞋，凉鞋+皮鞋=54 42 双不是皮鞋。凉鞋+运动鞋=42 三种鞋运来（36+54+42）÷2=132÷2=66 双 凉鞋=66-36=30 运动鞋=42-30=12 皮鞋=54-30=24 2，一个班同学在做作业，班主任问后得知：全班同学都只做完了语文、数 学英语作业其中的一种。有 23 人没有做完数学作业，有 19 人没有做完语文作 业，有 16 人没有做完英语作业。做完三种作业的各多少人？答案 解： (23＋19＋16)÷2 = 58÷2 =29(人) 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 134 - 做完 数学作业 的人数： 29－23=6( 人) 做完 语文作业的人数： 29－19=10(人) 做完 英语作业的人数： 29－16=13(人)， 答：做完数学作业的人数有 6 人，做完语文作业的人数有 10 人，做完英语作业的人数有 13 人. 故答案为： 数学作业：6 人；语文作业：10 人；英语作业：13 人. 解析 由题意可知，做语文作业和英语作业的有 23 人，做数学作业和英语作业的有 19 人，做语文作业和 数学作业的有 16 人，再把这三个数加起来除以 2 即可得出全班人数，然后分别减去 23 得出数学作业的人 数，减去 19 人，得出语文作业的，减去 16，可以得出英语作业的人数. 解答本题的关键是求出全班的人数. 3，学校买四种颜色的气球，其中有 93 个不是红气球，有 95 个不是黄气球， 有 98 个不是蓝气球，紫气球有 10 个。学校共买了多少个气球？答案 答案 解：设红气球为 x 个，黄气球为 y 个，蓝气球为 z 个. 可列式：y+z+10=93 x+z+10=95 x+y+10=98 解得：x=45，y=43，z=40 . 45+43+40+10=138（个） 答：学校共买了 138 个气球. 故答案为： 学校共买了 138 个气球. 在要求总数的题型中，我们要知道每种类型的个数，再利用加法，求出总数.因为每种类型的个数是 未知的，应该先把每种类型的个数求出，要抓住题干，根据题干列出等式，把每个问题细化. 解析 由题干中，93 个不是红气球，则黄、蓝、紫气球总共有 93 个，依此类推，可知红、蓝、紫气球总 共有 95 个，红、黄、紫气球总共有 98 个.不妨设红气球为 x 个，黄气球为 y 个，蓝气球为 z 个，可列等 式:y+z+10=93,x+z+10=95,x+y+10=98.解方程组得：x=45，y=43，z=40，所以学校买的气球总共有： 45+43+40+10=138（个） 例题 5 已知 13 个李子的重量等于 2 个苹果和 1 个桃子的重量，而 4 个李 子和 1 个苹果的重量等于 1 个桃子的重量。问多少个李子的重量等于 1 个桃子 的重量？ 思路导航：根据题意列出等式： 13 李=2 苹＋1 桃 （1） 4 李＋1 苹=1 桃 （2） 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 135 - 把（2）式代入（1）式得：13 李=2 苹＋4 李＋1 苹 即 9 李=3 苹，即 3 李=1 苹 （3） 把（3）式代入（2）式得：4 李＋3 李=1 桃 即：7 李=1 桃 练 习 五 1，3 个菠萝的重量等于 1 个梨和 1 个西瓜的重量，而 1 个菠萝和 3 个梨的 重量等于 1 个西瓜的重量。问多少个梨的重量等于 1 个西瓜的重量？答案 3 菠萝=1 梨+1 西瓜 1 菠萝+3 梨=1 西瓜 带入得 3 菠萝=1 梨+1 菠萝+3 梨 菠萝=4 梨 1 菠萝=2 梨 带入得 6 梨=1 梨+1 西瓜 西瓜=5 梨 2，2 个苹果的重量等于 3 个橘子和 3 个荔枝的重量，1 个苹果和 2 个荔枝 的重量等于 3 个橘子的重量。问 3 个橘子的重量等于多少个荔枝的重量？答案 1 个苹果的重量+2 个荔枝的重量=3 个橘子的重量， 又 2 个苹果的重量=3 个荔枝的重量+3 个橘子的重量， 则 2 个苹果的重量=3 个荔枝的重量+1 个苹果的重量+2 个荔枝的重量， 即 1 个苹果的重量=5 个荔枝的重量， 5 个荔枝的重量+2 个荔枝的重量=3 个橘子的重量， 故 3 个橘子的重量=7 个荔枝的重量， 答：3 个橘子的重量等于 7 个荔枝的重量。 3，三个好朋友去文具店买东西，一人买了 4 枝圆珠笔，一个买了 2 枝钢笔， 还有一个买了 1 枝钢笔 1 枝圆珠笔和 4 枝铅笔，三个人用掉的钱相等。那么 1 枝钢笔的价钱相当于几枝铅笔的价钱？答案 4 支圆珠笔价钱=2 支钢笔价钱=1 支钢笔价钱+1 支圆珠笔价钱+4 支铅笔价钱 圆珠笔单价：钢笔单价：铅笔单价=4:8:1 1 支钢笔 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 136 - 第二十三周 盈亏问题 专题简析： 把一定数量的物品，平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）； 每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量，求物品数量和人数的应 用题叫盈亏问题。 盈亏问题的基本解法是： 份数=（盈＋亏）÷两次分配数的差，物品数可由其中一种分法的份和盈亏 数求出。 解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本 公式求出分配者人数，进而求出物品的数量。 例题 1 小明的妈妈买回一篮梨，分给全家。如果每人分 5 个，就多出 10 个；如果每人分 6 个，就少 2 个。小明全家有多少人？这篮梨有多少个？ 思路导航：根据题目中的条件，我们可知： 第一种分法：每人分 5 个，多 10 个； 第二种分法：每人分 6 个，少 2 个。 这说明全家人数为：10＋2=12 人，也就是说： 不足的个数＋多余的个数=全家的人数 这篮梨的个数是：5×12＋10=70 个 练 习 一 1，幼儿园阿姨把一袋糖分给小朋友们，如果每人分 10 粒糖，则多了 8 粒 糖；如果每人分 11 粒糖，则少了 16 粒糖。一共有多少个小朋友？这袋糖有多 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 137 - 少答案 解:(8+16)÷(11 - 10) ＝24÷1 ＝24(人) 答:一共有 24 个小朋友. 解析 根据题意知,每人多分粒,则可把原来多出的 8 粒分完,还能分 16 粒,就是每人多分 1 粒,可多分粒,据此 可求出小朋友的人数.粒？ 2，有一根绳子绕树 4 圈，余 2 米；如果绕树 5 圈，则差 6 米。树周长是多 少米？绳子长多少米？答案 解： 树的周长:(2+6)÷(5－4)=8(米) 绳子的长度:8×4+2=34(米) 答:树周长是 8 米，绳子长 34 米. 故答案为： 8 米；34 米 解析 两次绕树的数量差为：2+6=8(米)，第二次比第一次多绕 5-4=1(圈)；所以可以求出一圈的长度(树的 周长)，列式为:8÷1=8(米)，那么绳子长为：8×4+2=34(米)；据此解答. 盈亏问题的解答思路是:通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额， 将这两个差相除，就可求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为:总差额÷每份的差额=总份数. 3，一些同学去划船，如果每条船坐 5 人，则多出 3 个位置；如果每条船坐 4 人，则有 3 个人没有位置。一共有多少条船？一共有多少个同学？答案 解：设一共有 x 条船 5x－3=4x+3 5x-4x=3+3 x=6 5×6－3=27(人) 答：一共有 6 条船，共有 27 个同学. 故答案为： 6 条；27 个. 解析 本题可列方程求解，设一共有 x 条船，因为学生人数不变，根椐每只船坐 5 人，则多出 3 个位置与 每只船坐 4 人，有 3 个人没有位置列出等式求解. 含有未知数的等式就叫做方程；解方程：求方程的解的过程；方程的解：求出的未知数的值，使得 方程中等号两边相等的未知数的值叫做方程的解. 例题 2 幼儿园买来一些玩具，如果每班分 8 个玩具，则多出 2 个玩具；如 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 138 - 果每班分 10 个玩具，则少 12 个玩具。幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？ 思路导航：根据题目中的条件，我们可知： 第一种分法：每班分 8 个，多 2 个； 第二种分法：每班分 10 个，少 12 个。 从上面的条件中，我们可看出：第二种分法比第一种分法每班多分 10－8=2 个，所以，所需的玩具总个数从多 2 个变成了少 12 个，也就是说在多 2 个的基 础上再加 12 个，才能保证每班分 10 个；第二种分法所需的玩具个数比第一种 多 12＋2=14 个，那是因为每班多分了 2 个。根据这一对应关系，即可求出班级 的个数为：14÷2=7 个，玩具的总个数为 8×7＋2=58 个。 练 习 二 1，小明带了一些钱去买苹果，如果买 3 千克，则多出 2 元；如果买 6 千克， 则少了 4 元。苹果每千克多少元？小明带了多少钱？答案 解：设苹果每千克 x 元，那么 3x+2=6x-4 3x=6 x=2 3x+2=8 答：苹果每千克 2 元，小玲带了 8 元钱. 故答案为： 2；8. 本题考查了列方程解决求两个未知数的应用问题，方程的意义和方程的解的意义，用方程表示数量 关系，列方程解决实际问题等知识点，是对方程的灵活运用，根据题意列出方程是解答此类题目的关键， 最后正确计算出结果就可以了. 解析 本题是一道应用题，根据题意可以发现题目中有两个未知数，并且存在一定的等式关系，经过思考 我们可以用方程来表示其中的等式关系进而求得题目的答案. 2，一个小组去山坡植树，如果每人栽 4 棵，还剩 12 棵；如果每人栽 8 棵， 则缺 4 棵。这个小组有几人？一共有多少棵树苗？答案 解： 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 139 - 这个小组的人数为： （12+4）÷（8-4）， =16÷4， =4（人）； 一共有树苗： 4×4+12， =16+12， =28（棵）； 答：这个小组有 4 人，一共有 28 棵树苗． 故答案为： 4 人；28 棵 解析 如果每人栽 4 棵，还剩下 12 棵树苗，如果每人栽 8 棵，就少了 4 棵树苗．前后树苗棵数差为 12+4=16 （棵），每人栽的棵数差为 8-4=4（棵），每人少栽 4 棵，就差 16 棵，所以人数为 16÷4=4（人）；求一共 有多少棵树苗，可以有两种方法． 3，一组学生去搬书，如果每人搬 2 本，还剩下 12 本；如果每人搬 3 本， 还剩下 6 本。这组学生有几人？这批书有几本？答案 学生有 6 人，书有 24 本 例题 3 老师买来一些练习本分给优秀少先队员，如果每人分 5 本，则多了 14 本；如果每人分 7 本，则多了 2 本。优秀少先队员有几人？买来多少本练习 本？ 思路导航：根据题目中的条件，我们可知： 第一种分法：每人 5 本，多了 14 本； 第二种分法：每人 7 本，多了 2 本。 从上面可知第二种分法比第一种分法每人多分了 7－5=2 本，这样就从原来 的多 14 本变为多 2 本，两种分配方法的结果相差了 14－2=12 本，每人多分了 2 本，多少人会多分了 12 本呢？根据这一对应关系，可求出优秀少先队员的人数 为 12÷2=6 人，练习本的本数为：5×6＋14=44 本。 练 习 三 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 140 - 1，把一袋糖分给小朋友们，如果每人分 4 粒，则多了 12 粒；如果每人分 6 粒，则多了 2 粒。有小朋友几人？有多少粒糖？答案 设有 x 个小朋友， 4x+12=6x+2 2x=10 x=5(列方程【解题方法-解题方法】) 4×5+12=32(粒) 答：有 5 个小朋友，32 粒糖. 解析 本题考查的是列方程解决实际问题的应用，解答本题的关键是理解无论怎样分，糖的数量和小朋友 的数量都是不变的，根据这一等量关系列方程即可，计算过程中注意等号要对齐. 1、本题是列方程解决实际问题的应用，解答本题的关键是找到等量关系； 2、设有 x 个小朋友，每人分 4 粒，则多了 12 粒，糖的数量列式为 4x+12；如果每人分 6 粒，则多 了 2 粒，糖的数量列式为 6x+2； 3、根据糖的总量不变列方程解答即可. 2，妈妈买来一些苹果分给全家人，如果每人分 6 个，则多了 12 个；如果 每人分 7 个，则多了 6 个。全家有几人？妈妈共买回多少个苹果？答案 解： （12－6）÷（7－6） ＝6÷1 ＝6（人） 7×6＋6 ＝42＋6 ＝48（个） 答：全家有 6 人，妈妈共买回 48 个苹果． 故答案为：6 人；48 个． 通过比较已知条件，找出两个相关的差数，一是总差额，二是每份的差额，将这两个差相除，就可 以求出总份数，然后再求物品数；基本关系式为：总差额÷每份的差额＝总份数． 解析 ＂如果每人分 6 个，则多 12 个；如果每人分 7 个，则多了 6 个”，每人多分了（7－6）＝1 个，则 相差（12－6）＝6 个，所以 6÷1＝6 个小朋友；然后再根据每人分 7 个，则多 6 个，来求出妈妈买回的苹 果个数． 3，某学校有一些学生住校，每间宿舍住 8 人，则空出床位 24 张；如果每 间宿舍住 10 人，则空出床位 2 张。学校共有几间宿舍？住宿学生有几人？答案 解：设学校共有 X 间宿舍. 8x＋24＝10x+2 2x=22 x=11 10×11+2=112(人) 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 141 - 答：学校共有 11 间宿舍，住宿学生有 112 人. 故答案为： 11；112. 解析 假设有 X 间宿舍，根据两种分配方式列出方程，然后根据求得的宿舍间数再求住宿学生人数. 根 据 题 意 设 出 未 知 数 ， 然 后 根 据 人 数 相 等 列 出 方 程 解 答. 例题 4 学校派一些学生去搬一批树苗，如果每人搬 6 棵，则差 4 棵；如果 每人搬 8 棵，则差 18 棵。学生有几人？这批树苗有多少棵？ 思路导航：根据题意，我们可知搬树苗的两种方案： 第一种方案：每人搬 6 棵，差 4 棵； 第二种方案：每人搬 8 棵，差 18 棵。 比较两种方案，每人多搬了 8－6=2 棵树苗，所需的树苗就从差 4 棵变为差 18 棵，结果相差了 18－4=14 棵，每人多搬了 2 棵，多少人会多搬了 14 棵呢？ 根据这一对应关系，可以求出学生人数为：14÷2=7 人，树苗的棵数为：6×7 －4=38 棵。 练 习 四 1，自然课上，老师发给学生一些树叶。如果每人分 5 片叶子，则差 3 片叶 子；如果每人分 7 片叶子，则差 25 片树叶。学生有几人？一共有树叶多少片？ 答案 解：（25-3） ÷ （7-5）=11（人） 11× 5-3=52（片） 答：学生有 11 人，一共有 52 片树叶.故答案为：11 人；52 片 解析 根据题意，找出盈亏关系后，可用盈亏关系式进行解答. 2，数学兴趣小组的同学做数学题，如果每人做 6 道，则少 4 道；如果每人 做 8 道，则少 16 道。有几个学生？多少道数学题？答案 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 142 - 解： 同学数：(16－4)÷(8－6)＝6(个)，题目数：6×6－4＝32(道)或 8×6－16＝32(道) 故答案为： 6 个 32 道 解析 比较两次做题中各个量之间的数量关系，利用解决盈亏问题的一般方法进行计算. 求出两次做的题目的差的总额和每个人做题的差是解决问题的关键. 3，学校排练节目，如果每行排 8 人，则有一行少 2 人；如果每行排 9 人， 则有一行少 7 人。一共要排几行？一共有多少人？答案 根据题意可列式子为： （7-2）（9-8）=5（行） 58-2=38（人） 答：一共要排 5 行，一共有 38 人. 例题 5 三（1）班学生去公园划船，如果每条船坐 4 人，则少一条船；如 果每条船坐 6 人，则多出 4 条船。公园里有多少条船？三（1）班有多少学生？ 为了帮助理解，我们可以将题目中的条件进行转化。 将条件“如果每条船坐 4 人，则少一条船”转化为：“如果每条船坐 4 人， 则多出 4 人”；再将条件“如果每条船坐 6 人，则多出 4 条船”转化为：“如果 每条船坐 6 人，则差 6×4=24 人”。 这样两种分配方法就相差了 24＋4=28 人，这是因为每条船多坐了 6－4=2 人。根据这一关系，可求出船的条数：28÷2=14 条，学生人数：4×（14＋1） =60 人。 练 习 五 1，学校给新生分配宿舍，如果每间住 8 人，则少 2 间房；如果每间住 10 人，则多出 2 间房。共有几间房？新生有多少人？答案 解：设一共有 x 间房分给新生. 6x＋6×2＝8(x－2) 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 143 - 6x＋12＝8x－16 2x＝28 x＝14 新生人数：6×14＋12＝96(人).故答案为：14 间；96 人 本题的关键是抓住新生人数一定，住 6 人间和住 8 人间的人数相等，建立方程. 解析 根据题意可设一共有 x 间房分给新生.根据新生人数一定，住 6 人间和住 8 人间的人数相等，建立方 程，先解出房间数，再求出新生人数. 2，同学们去划船，如果每条船坐 5 人，则少 2 条船；如果每船坐 7 人，则 多出 2 条船。共有几条船？有多少个同学？答案 解： 设租了 x 条船，根据题意得 5x+2×5=7x-2×7 5x+10=7x-14 5x+10-5x=7x-14-5x 10=2x-14 2x-14=10 2x-14+14=10+14 2x=24 2x÷2=24÷2 x=12（条） 12 ×5+2×5=60+10=70(人) 所以共有 12 条船．有 70 个同学. 故答案为： 12；70. 解析 因去的同学一定，根据题意知：船数×5+2×5=船数×7-2×7，据此等量关系可列方程解答. 本题的关键是根据人数一定先求船数，再求学生数． 3，小明从家到学校，如果每分钟走 40 米，则要迟到 2 分钟；如果每分钟 走 50 米，则早到 4 分钟。小明家到学校有多远？答案 解： 可假设小明走两次，时间相同，但速度不同，那么每分钟走 50 米就要比每分钟走 40 米多走了 50× 4+40×2=280 米。 相差的路程除以相差的速度就可以求出时间，再用时间乘速度可以求出路程。 故答案为： 40×2+50×4=280 米 280÷（50―40）=28 分 （28—4）×50=1200 米 答：小明家到学校有 1200 米。 行程问题的基本公式：路程=速度×时间。路程差=速度差×时间。运用好这些公式，在题中找到相 应的条件。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 144 - 题中要先求出路程差，而且这里是用加法，因为每分钟走 40 米要迟到 2 两分钟，每分钟走 50 早到 两分钟。 解析 这是行程问题，路程=速度×时间。 还有速度差的问题，路程差的问题。 而题目并没有告诉行程的时间，这里就可以假设小明从家到学校的时间一定。 第二十四周 简单推理（一） 专题简析： 数学课上，老师布置了一道题： □＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ） 要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪 明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。 解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间 的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。 例题 1 下图中，□和△各代表几？ □＋△=28 □=△＋△＋△ □=（ ） △=（ ） 思路导航：根据□＋△=28，我们可以得出□=28－△；由□=△＋△＋△得 到 28=△＋△＋△＋△，4 个△等于 28，一个△等于 28÷4=7；由□=△＋△＋ △可求出□=7＋7＋7=21。 练习一 1，☆＋○=18 ☆=○＋○ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 145 - ☆=（ 12 ） ○=（ 6 ） 2，△＋○=25 △=○＋○＋○＋○ △=（ 20 ） ○=（ 5 ） 3，○＋□=36 ○=□＋□＋□＋□＋□ ○=（ ） □=（ ） 例题 2 下图中□和△各代表几？ □×△=36 □÷△=4 □=（ ） △=（ ） 思路导航：根据□÷△=4 可知△为一份，□是这样的 4 份，即□=4△；又 根据□×△=36，可以得到 4△×△=36，即△×△=9，进一步得到△=3，□=4 △=4×3=12。 练 习 二 1，○和□各表示几？□×○＝36 □÷○=4 ○=（ 3 ） □=（ 12 ） 2，想想，填填。 ○×△=20 ○=△＋△＋△＋△＋△ ○=（ 10 ） △=（ 2 ） 3，□和○各代表几？ □=○＋○＋○＋○ ○×□=16 □=（ ） ○=（ ） 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 146 - 例题 3 下图中，□和△各代表几？ □＋□＋△=16 □＋△＋△=14 □=（ ） △=（ ） 思路导航：16 里面有 2 个□，1 个△；14 里面有 1 个□，2 个△，16 减去 14 等于 2，即□－△=2，那么如果把△换成了□，则 16 需要加上 2，即□＋□ ＋□=16＋2，那么□=（16＋2）÷3=6，△=16－6×2=4。 练 习 三 1，□＋□＋○＋○=38 □＋□＋○=22 □=（ 3 ） ○=（ 16 ） 2，□＋□＋□＋△＋△=52 □＋□＋△＋△＋△=48 □=（ 12 ） △=（ 8 ） 3，○＋△＋□＋□=10 △＋□＋△＋□=12 △＋○＋□＋○=12 ○=（ 3 ） □=（ 1 ） △=（ 5） 例题 4 下图中，□和○各代表几？ □＋□＋○＋○＋○=34 ○＋○＋○＋○＋□＋□＋□=48 □=（ ） ○=（ ） 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 147 - 思路导航：34 里面有 2 个□、3 个○，48 里面有 3 个□、4 个○，用 48 减 去 34 得到□＋○=14，34 中有 2 个（□＋○）及 1 个○。所以，○=34－14×2=6， □=（34－6×3）÷2=8。 练 习 四 1，☆＋☆＋△＋△＋△=24 △＋△＋△＋△＋☆＋☆＋☆=36 ☆=（ 12 ） △=（ 0 ） 2，○＋○＋○＋△＋△=5.4 △＋△＋△＋○＋○5.6 ○=（ 1 ） △=（ 1.2 ） 3，□＋□＋□＋△＋△＋△＋△=96 △＋△＋△＋△＋△＋□＋□＋□＋□=123 □=（ 3 ） △=（ 4 ） 例题 5 下图中□、☆和△各代表几？ ☆＋☆=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△＋△＋△ ☆＋□＋△＋△=80 ☆=（ ） □=（ ） △=（ ） 思路导航：因 为 2 个☆等于 3 个□，3 个□又等于 4 个△，所以 2 个☆等于 4 个△，那么 1 个 ☆等于 2 个△。在☆＋□＋△＋△=80 中，2 个△可以用 1 个☆替代，就变为☆ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 148 - ＋□＋☆=80，而 2 个☆又可以用 3 个□替代，也就是□＋□＋□＋□=80，所 以□=20，☆=20×3÷2=30，△=20×3÷4=15。 练 习 五 1，△＋△=○＋○＋○ ○＋○＋○=□＋□＋□ ○＋□＋△＋△=100 ○=（ 20 ） □=（ 20） △=（ 30） 2，○＋○=□＋□＋□ □＋□＋□=△＋△ △＋□＋○=40 △=（ 15 ） □=（ 10 ） ○=（ 15） 3，□＋□=○＋○＋○ ○＋○＋○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆＋☆ □＋○＋☆＋☆＋☆＋☆=320 ○=（ ） □=（ ） ☆=（ ） 第二十五周 和倍问题 专题简析： 已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样 的应用题，通常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 149 - 根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。 解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先 求出 1 倍数，再求出几倍数。数量关系可以这样表示： 两数和÷（倍数＋1）=小数（1 倍数） 小数×倍数=大数（几倍数） 两数和－小数=大数 例题 1 学校将 360 本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数 是二年级的 2 倍，问二、三两个年级各分得多少本图书？ 思路导航：将二年级所得图书的本数看作 1 倍数，则三年级所得本数是这 样的 2 倍。如图所示： 共360本 ？本 ？本 1倍数 三年级 二年级 由图可知，二、三年级所得图书本数的和 360 本相当于二年级的（1＋2） 倍，则二年级所得图书本数的 360÷（1＋2）=120 本，三年级为 120×2=240 本。 练 习 一 1，小红和小明共有压岁钱 800 元，小红的钱数是小明的 3 倍。小红和小明 各有压岁钱多少元？答案 解：小明：800÷（3+1）=200（元） 小红：800-200=600（元） 答：小红有压岁钱 600 元，小明有 200 元。 2，学校将 360 本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的 2 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 150 - 倍还多 60 本。二、三年级各得图书多少本？答案 解：已知三年级所分得的本数是二年级的 2 倍多 60 本，说明图书一共分成了 3 份还多 60 本： 每份是：(360－60)÷3=100(本) 三年级得 2 份还多 60 本，100×2+60=260(本) 二年级得 1 份，100×1=100(本) 答：二年级分得 100 本图书，三年级分得 260 本图书. 故答案为： 100 本；260 本 根据此题我们可以归纳总结：已知两个数的和与两个数之间的倍数，求这两个数是多少？这是和倍 问题，镯此类题的关键就是，找出两个数的和以及对应的份数和，先求出一份，在求出几份. 解析 根据题意可知，这道题需要弄清楚，三年级先多分出 60 本后，，二三年级又将 300 本图书一共分了 3 份，其中二年级分的一份，三年级分的 2 份. 3，甲桶有油 25 千克，乙桶有油 17 千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后， 甲桶油是乙桶的 5 倍？答案 根据题意可知，不管怎么甲乙两桶倒腾，两桶油的和是不变的，由甲桶有油 25 千克，乙桶有油 17 千克，可以求出两桶的总质量，即 25+17=42 千克，再根据和倍公式，可以求出乙桶油倒入甲桶后，乙桶 剩余的质量，用乙桶原来的减去剩余的就是倒给甲桶的质量． 答案 解： 根据题意可得： 25+17=42（千克）； 由和倍公式可得： 乙桶倒入甲桶后剩余的是：42÷（5+1）=7（千克）； 那么乙桶倒入给甲桶的是：17-7=10（千克）； 答：乙桶倒入 10 千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的 5 倍 故答案为： 10 千克 点评 根据题意，可以求出两桶油的和，又知道倒入后的倍数，由和倍公式，较小数=和÷（倍数+1），可 以求出倒入后，甲桶剩余的，就不难求出倒入的质量． 例题 2 小宁有圆珠笔芯 30 枝，小青有圆珠笔芯 15 枝，问小青给小宁多少 枝后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的 8 倍？ 思路导航：我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作 1 倍数，那么小宁与小 青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的 9 倍，所以变化后小青的枝数为 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 151 - （30＋15）÷（1＋8）=5 枝，再用 15－5=10 枝，则表示小青给小宁的枝数。 练 习 二 1，红红有邮票 80 张，佳佳有邮票 60 张，要使红红的邮票张数是佳佳的 4 倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？答案 解： 60－(80+60)÷5 =60－28 =32(张) 答：佳佳必须给红红 32 张邮票 故答案为： 32 张 要理解：要使红红的邮票张数是佳佳的 4 倍，那么最后红红邮票的张数占两个人总邮票数量的五分 之一；所以佳佳最后的邮票有 140÷5=28 张. 解析 红红和佳佳一共有 80+60=140 张，要使红红的邮票张数是佳佳的 4 倍，那么佳佳最后的邮票有 140 ÷5=28 张，所以佳佳必须给红红 60－28=32 张；以此解答即可. 2，甲水池有水 69 吨，乙水池有水 36 吨，如果甲水池中的水以每分钟 2 吨 的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的 2 倍？答案 解：根据题意设 x 分钟后乙水池的水是甲水池的 2 倍. （69－2x)×2=36+2x 138－4x=36+2x 6x=102 x=17(分钟） 答：17 分钟后乙水池的水是甲水池的 2 倍. 故答案为：17 此题关键是，先要找出 x 分钟内从甲水池流入乙水池水的量（2 吨／分钟×x 分钟，即 2x 吨）这个 量来， 然后仔细运算即可. 解析 根据已知条件，列出方程，然后解答. 3，甲书架有图书 18 本，乙书架有图书 8 本，班图书管理员又买来图书 16 本，怎样分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的 2 倍？答案 解： 18＋8＋16=42(本) 分配后乙书架图书本数：42÷3=14(本) 则应给乙书架 14－8=6(本) 给甲书架 16－6=10(本) 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 152 - 答：买来的图书分给甲书架 10 本，乙书架 6 本. 故答案为： 分给甲书架 10 本，乙书架 6 本 本题主要考查学生对倍数关系的应用.本题的答题关键是明确：分配后甲书架图书本数是乙书架图书 本数的 2 倍，则书的总量是分配后乙书架图书本数的 3 倍. 解析 根据题意，书的总量是 18＋8＋16=42(本)，因为要求分配后甲书架图书本数是乙书架图书本数的 2 倍，则书的总量是分配后乙书架图书本数的 3 倍.据此解答即可. 例题 3 被除数与除数的和为 320，商是 7，被除数和除数各是多少？ 思路导航：由商是 7 可知，被除数是除数的 7 倍，把除数看作 1 份数，被 除数就有这样的 7 份，一共 7＋1=8 份。 除数：320÷8=40 被除数：40×7=280 练 习 三 1，被除数和除数和为 120，商是 7，被除数和除数各是多少？答案 解： 除数：120÷(7＋1)＝15，被除数：15×7＝105.答：被除数是 105，除数是 15. 故答案为： 被除数是 105，除数是 15 解答这种类型的题目，关键之处就是要仔细审题，认真理解题干中的每一句话、每一个字的含义， 然后结合所学知识列式计算即可，据此解题. 2，被除数、除数、商的和为 79，商是 4，被除数、除数各是多少？答案 解： 79－4＝75，75÷(4＋1)＝15，15×4＝60. 答:被除数是 60，除数是 15. 故答案为：60；15 解析 先求出被除数与除数的和，用三个数的和减商，79－4＝75，商是 4，那么被除数是除数的 4 倍，可 以把被除数看做 4 份，除数看做 1 份 75÷(4＋1)＝15，除数就是 15，15×4＝60，被除数就是 60. 先求出被除数与除数的和是解题的关键，再根据商找到被除数与除数的关系，分别求出被除数与除 数. 3，两个整数相除商是 21，余数为 1，已知被除数、除数、商、余数的和一 共是 441。被除数、除数各是多少？答案 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 153 - 被除数、除数、商、余数的和是 451， 被除数=除数商+余数、 (除数商+余数)+除数+商+余数＝451 除数的 27 倍、+26+10×2＝451 除数的 27 倍、＝405 除数、＝15 被除数=除数×商+余数＝15×26+10＝400 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 154 - 例题 4 两数相除商为 17 余 6，被除数、除数、商和余数的和是 479。被除数和 除数分别为多少？ 思路导航：被除数、除数、商和余数的和是 479，减去商 17 和余数 6，得 到被除数与除数的和为 479－17－6=456；又因为被除数比除数的 17 倍多 6，所 以 456－6=450 就相当于除数的（17＋1）倍，因此除数为 450÷（17＋1）=25， 被除数为 25×17＋6=431。 练 习 四 1，两个整数相除商 14 余 2，被除数、除数、商和余数的和是 243，被除数 比除数大多少？答案 除数 （243-2-2-14）÷（1+14）=225÷15=15 被除数比除数大 15x(14-1)+2=195+2=197 答：被除数比除数大 197. 解析 根据题意，我们可以利用除法算式里被除数、除数、商、余数几者的关系来做题。告诉了商、余数、 和。而且知道被除数＋除数=和－商－余数。此时有两个未知数，根据被除数和除数的关系，根据已知条 件可知，被除数=除数×14＋2.，代入到刚才的关系式中，求出除数。 问题就容易解决了。 2，在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于 240，而减数是差的 5 倍。差是多少？答案 解：240÷2=120 120÷(5+1) =120÷6 =20 答：差是 20. 故答案为： 20 3，学校买来 83 本书，其中科技书是故事书的 2 倍，故事书比文艺书多 5 本，这三种书各多少本？答案 22 本故事书,44 本科技书,17 本文艺书 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 155 - 例题 5 两个数之和是 792，其中一个数的最后一位数数字是 0，如果把 0 去掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少？ 思路导航：把一个数的最后一位数字 0 去掉，就与另一个数相同，说明这 两个数中大数是小数的 10 倍。又已知两个数之和是 792，那我们就可以求出这 两个数分别是多少了。 小数：792÷（10＋1）=72 大数：72×10=720 练 习 五 1，两个数之和是 253，其中一个数的最后一位数字是 0，如果把 0 去掉， 就与另一个数相同。这两个数分别是多少？答案 45 450 解析 提示 1：根据“其中一个数个位上的数字是 0，如果把 0 去掉，就与另一个数相同”可知，一个数是 另一个数的 10 倍，由它们的和是 495，根据和倍公式进行解答即可． 提示 2：根据题意，找出这两个数的倍数关系，根据给出的和，由和倍公式进行解答即可．解：根 据题意可知，一个数是另一个数的 10 倍，由和倍公式可得： 较小数是：495÷（10+1）=45， 较大数是：45×10=450． 故答案为：45，450． 2，师徒两人加工一批零件共 693 个，师傅加工零件个数的末位数字是 0， 如果去掉这个 0，加工的个数就与徒弟一样多。师徒二人分别加工零件多少个？ 答案 解：设徒弟加工了 x 个零件，则师傅加工了 2x 个零件. 2x＋x＝1 350 3x＝1 350 x＝1 350÷3 x＝450 450×2＝900(个) 答：师傅加工了 900 个零件，徒弟加工了 450 个零件. 故答案为： 师傅：900 个；徒弟：450 个 解析 本题求师傅和徒弟各加工多少个零件，又知道师傅加工的零件数是徒弟的 2 倍，那么我们就假设其 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 156 - 中较小的一个量是 x，即徒弟加工的零件数是 x 个，另一个量用几 x 表示，即师傅加工的零件数是 2x 个， 进而列出方程进行解答. 解决列方程解应用题的关键是找准数量之间的相等关系，本题有两个要求的量，其中一个量是另一 个量的 2 倍，那么我们就假设其中较小的一个量是 x，另一个量用几 x 表示，进而列出方程进行解答. 3，甲、乙两数的和是 209，甲数缩小 10 倍就和乙数同样大，甲、乙两数分 别是多少？ 答案 解：设甲数为 x，那么乙数则为 10x， 由题意可知，x+10x=200.2， 解得，x=18.2 答：甲数为 18.2，乙数为 182.故答案为：甲数 18.2，乙数 182 解析 利用甲数小数点向右移动一位和乙数一样大，可知，甲数比乙数小 10 倍，故设甲数为 x，乙数为 10x， 利用求和即可求得甲、乙两数. 第二十六周 差倍问题（一） 专题简析： 前面我们已经初步掌握了“和倍问题”的特征和解题方法。如果知道了两 个数的差与两个数间的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我们则把 它称为“差倍问题”。小朋友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法解答 差倍问题呢？ 解答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数，先求 1 倍数，再求出几倍数。此外，还要充分利用线段图帮助分析数量关系。 用关系式可以这样表示： 两数差÷（倍数－1）=较小的数（1 倍数） 较小的数×倍数=较大的数（几倍数） 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 157 - 例题 1 小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的 3 倍，苹果比梨多 18 个。小明买苹果和梨各多少个？ 思路导航：将梨的个数看作 1 倍数，则苹果的个数是这样的 3 倍。如下图： 苹果 梨 ？个 多18个 ？个 1倍 从线段图上可以看出，苹果的个数比梨多了 3－1=2 倍，梨的 2 倍是 18 个， 所以梨有 18÷2=9 个，苹果有：9×3=27 个。 练 习 一 1，学校合唱组，女同学人数是男同学的 4 倍，女同学比男同学多 42 人。 合唱组有男、女同学各多少人？答案 解：42÷(4－1) ＝42÷3 ＝14(人) 14×4＝56(人) 答：合唱组有男同学有 14 人；女同学有 56 人. 故答案为： 男同学：14 人；女同学：56 人 解析 要求合唱组有男同学多少人，需要知道女同学比男同学多几倍，多是几倍是 42 人，求一倍量用除法 计算. 2，一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的 5 倍，又已知一件皮衣比一件羽绒服 贵 960 元。皮衣与羽绒服各多少元？答案 解：羽绒服的单价：960÷（5-1）， =960÷4， =240（元）， 皮衣的单价：240+960=1200（元）， 答：皮衣 1200 元，羽绒服各 1200 元． 解析 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 158 - 提示 1：根据题意知道一件皮衣价钱是一件羽绒服价钱的 5 倍，即一个数是另一个数的 5 倍，又已 知一件皮衣比一件羽绒服贵 960 元，即两个数相差 960，由此利用差倍公式解决问题． 提示 2：本题主要利用差倍问题{差÷（倍数-1）=小数，小数×倍数=大数，（或 小数+差=大数）} 解决问题．解：羽绒服的单价：960÷（5-1）， =960÷4， =240（元）， 皮衣的单价：240+960=1200（元）， 答：皮衣 1200 元，羽绒服各 1200 元． 3，甲筐苹果是乙筐苹果的 3 倍，如果从甲筐取出 60 千克放入乙筐，那么 两筐苹果重量就相等。两筐原来各有苹果多少千克？答案 解： (60×2)÷(3－1) ＝120÷2 ＝60(千克) 60×3＝180(千克) 答：甲筐原来有苹果 180 千克，乙筐原来有苹果 60 千克. 故答案为： 180 千克；60 千克 此题考查稍复杂应用题的解答方法.先算出甲筐苹果比乙筐多的倍数，然后用甲筐取出的苹果乘 2 算 出甲筐比乙筐多的千克数，最后除以甲筐比乙筐多的倍数算出乙筐苹果原来有多少千克，乘 3 算出甲筐原 来有苹果多少千克. 解析 依题意，把乙筐苹果千克数看作自己的 1 倍，用 3 减去 1 求出甲筐苹果比乙筐多的是乙筐的多少倍， 用甲筐取出苹果千克数 60 乘 2 求出甲筐比乙筐多的千克数，最后除以甲筐比乙筐多的倍数求出乙筐原来 有苹果多少千克，乘 3 求出甲筐苹果有多少千克. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 159 - 例题 2 被除数比除数大 252，商是 7，被除数、除数各是多少？ 思路导航：根据“商是 7”可知，被除数是除数的 7 倍，把除数看作 1 倍数， 被除数就是这样的 7 份，比除数多 6 份。 所以除数是：252÷（7－1）=42 被除数是：42＋252=294 练 习 二 1，被除数比除数大 168，商是 22，被除数、除数各是多少？答案 设除数是 x ，所以被除数是 x+168. 22x=x+168 22x−x=x+168−x 21x=168 21x÷21=168÷21 x=8 ； 8+168=176 ； 答：被除数是 176 、除数是 8. 解析 由题意，设除数是 x，所以被除数是 x+168，列方程进一步求出除数及被除数即可． 2，除数比被除数小 212，商是 5，被除数、除数各是多少？答案 解： 除数：212÷（5—1）=212÷4=53 被除数：53×5=265 故答案为： 被除数是 265，除数是 53. 解析 这题是考查学生对除法意义的认识，明确除法中被除数与除数的关系，被除数等于商乘除数。 被除数与除数的大小关系可以根据：被除数-除数=除数×（商-1）。 3，被除数比商大 144，除数是 7，被除数、商各是多少？答案 144÷(7 - 1)[＝24 商] 24×7＝168[被除数] 答：被除数是 168、商是 24 例题 3 水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的 5 倍，如果从第 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 160 - 一筐中取出 300 个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多 60 个。原来两筐 橘子各有多少个？ 思路导航：根据“如果从第一筐中取出 300 个放入第二筐，那么第一筐橘 子还比第二筐多 60 个”，说明原来第一筐比第二筐橘子多 300×2＋60=660 个。 把第二筐的橘子重量看作 1 倍数，第一筐橘子是这样的 5 倍，比第二筐多 4 倍， 第二筐橘子的 4 倍正好是 660 个，所以第二筐原有橘子：660÷4=165 个，第一 筐橘子原来有：165×5=825 个。 练 习 三 1，同学们捐助残，六年级捐款钱数是三年级的 3 倍。如果从六年级捐款钱 数中取出 160 元放入三年级，那么六年级捐款的钱数还比三年级多 40 元。两个 年级分别捐款多少元？答案 解： 依照题目要求解答即可. 故答案为： 160＋160＋40＝360(元) 三年级捐款数：360÷(3－1)＝180(元) 六年级捐款数：180×3＝540(元) 关键是理清两个年级的捐款关系，这样，再复杂的题目也变得容易了. 解析 运用四则运算求解三年级的捐款数，再求解六年级的捐款数. 2，人民公园的杜鹃花盆数是长春园的 4 倍，如果从人民公园搬出 188 盆杜 鹃花放入长春园，则人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少 25 盆。原来两个公 园各有杜鹃花多少盆？答案 人民公园比长春公园多出的花盆数是：188－25+188=351(盆) 长春公园原来的花盆数是：351÷(4－1)=117(盆) 人民公园原来的花盆数是：117×4=468(盆) 答：长春公园原来的花盆数是 117 盆，人民公园原来的花盆数是 468 盆. 故答案为： 468 盆；117 盆. 3，两堆煤重量相等，现从甲堆中运走 24 吨到乙堆，而乙堆煤中又运入 8 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 161 - 吨，这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的 3 倍。问两堆煤原来各有多少吨？答 案 解： (24＋8)÷(3－1) ＝32÷2 ＝16(吨) 16＋24＝40(吨) 16×3－(24＋8) ＝48－32 ＝16(吨) 答：甲原来的重量是 40 吨，乙原来的重量是 16 吨. 故答案为： 40 吨；16 吨 解析 由题意可知：现在乙的重量是甲重量的 3 倍，所以 24＋8＝32(吨)是现在甲重量的 2 倍，所以 32÷ 2=16(吨)是甲现在的重量，以此解答即可. 本题是个比较典型的差倍关系的复杂应用题，解答此题的关键是要理解和正确运用差倍问题的公 式 ：差÷(倍数－1)＝小数，由此列式解答即可. 例题 4 甲、乙两个数，如果甲数加上 280 就等于乙数，如果乙数加上 320 就等于甲数的 3 倍。两个数各是多少？ 思路导航：根据题意，画出线段图： ？ 320 280 ？ 乙 甲 “甲数加上 280 就等于乙数”，说明乙数比甲数大 280；如果乙数再加上 320， 甲、乙就相差 320+280=600，把甲数看作 1 倍数，从图上可以看出，600 就相当 于甲数的 3－1=2 倍。所以，甲数为 600÷2=300，乙数为 300＋280=580。 练 习 四 1，甲、乙两人的存款相等，甲取出 60 元，乙存入 20 元后，乙的存款是甲 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 162 - 的 3 倍。甲、乙两人原有存款各多少元？答案 解： 甲现在 (85＋15)÷(3－1)＝50(元) 原来 50＋85＝135(元) 故答案为： 135 元. 差倍问题即已知两数之差和两数之间的倍数关系，求出两数.差÷(倍数－1)＝小数；小数＋差或小数 ×倍数＝大数. 解析 根据甲取出 85 元，乙存入 15 元，可以用 85＋15 算出现在甲乙相差 100 元，根据现在乙的存款是甲 的 3 倍，把甲现在看成 1 份，乙现在看成 3 份，相差 2 份，根差倍问题的公式：差÷(倍数－1)＝小数，算 出甲现在的，再算出甲乙原来的. 2，小明和小华的连环画本数相等，若小明借给小华 6 本，小华的本数是小 明的 4 倍。原来两人各有连环画多少本？答案 30 3，两筐千克数相同的苹果，甲筐卖出 7 千克，乙筐卖出 19 千克后，甲筐 余下的苹果是乙筐的 3 倍。两筐苹果原来各有多少千克？答案 解:根据题干分析可得:,(21 - 5)÷(3 - 1) ,＝16÷3 ＝8(千克), 8×3+5＝29 (千克), 答:原来各有 29 千克. 解析 根据题意可知甲筐卖出比乙筐卖出的少千克,可知甲筐余下的比乙筐余下的多 16 千克,再从余下的甲 筐正好是乙筐的 3 倍,就把乙筐余下的看作整体“1”,就可求出余下的甲筐比余下的乙筐多倍,正好是甲筐余 下的比乙筐余下的多 16 千克,根据除法的意义即可求出乙筐余下的,再加上卖出的千克数即可求出来. 解此题关键是明白甲筐卖出比乙筐少卖 16 千克,就是甲筐余下的比乙筐余下的多 16 千克,只要求出甲 筐余下的比乙筐余下的多的倍数即可解决问题了. 例题 5 两个书架所存书的本数相等，如果从第一个书架里取出 200 本书， 而第二个书架再放入 40 本书，那么第二个书架的本数是第一个书架的 3 倍。问 两个书架原来各存书多少本？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 163 - 第二个书架 第一个书架 ？本 40本 ？本 取出200本 1倍数 从线段图上可以看出，第一个书架取出 200 本，第二个书架放进 40 本书后， 两个书架就相差 200+40=240 本，把变化后的第一个书架看作 1 倍数，两个书架 相差的 240 本就相当于变化后第一个书架的（3－1）倍。所以，变化后第一个 书架有书： （200＋40）÷（3－1）=120 本 两个书架原来各有：120＋200=320 本。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 164 - 练 习 五 1，两个仓库所存粮食重量相等，如果从第一个仓库里取出 2000 千克，而 第二个仓库再存入 400 千克，那么第二个仓库的粮食重量就是第一个仓库的 7 倍。两个仓库原来各存粮食多少千克？答案 (1800×3+180)÷(3 - 1) ＝(5400+1800)÷2 ＝7200÷2 ＝3600 答：两个仓库原来存粮都是千克。 2，小红和小明的铅笔枝数相等，如果奶奶再给小红 16 枝铅笔，给小明 2 枝铅笔，那么小红的铅笔枝数就是小明的 3 倍。原来小红和小明各有铅笔多少 枝？答案 解： 依题意，已知小红和小明的铅笔枝数相等，如果奶奶再给小红 16 枝给小明两枝，那么小红的铅笔枝 数是小明的 3 倍，那么小明现有铅笔(16－2)÷(3－1)＝14÷2＝7(枝)，那么小红、小明原来有铅笔 7－2＝ 5(枝). 故答案为： 原来小红和小明各有铅笔 5 枝 解析 依据倍数关系巧妙解题. 熟练掌握除法与加减法的混合运算的计算方法. 3，商店有数量相等的英语本和算术本，英语本卖出 160 本，算术本卖出 420 本后，余下的英语本数是算术本的 3 倍。两种本子原来各有多少本？答案 由于原来是相等的，所以 现在英语比算数多：420-160=260 本。 这个应该是两倍，所以 数学还剩：2602=130 本。 所以英语本： 130+420=550 本 答：两种本子原来各有 260 本，550 本 第二十七周 差倍问题（二） 专题简析： 有些差倍问题比较复杂，不能直接利用公式进行解答，这时需要我们小朋 友仔细审题，尤其注意一些隐含条件，同时借助线段图帮助理解题意，从而找 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 165 - 到解题方法。 较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。先依题意画出线段图，数量关 系就会比较清晰地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍 数，再利用公式进行解答。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 166 - 例题 1 有两袋玉米，大袋比小袋多 56 千克，如果将小袋的玉米吃掉 4 千 克，这时大袋的玉米重量是小袋的 4 倍。两袋玉米原来各重量多少千克？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 大袋玉米 小袋玉米 ？千克 56千克 ？千克 4千克 从图上可以看出，小袋玉为吃掉 4 千克后，大袋里的玉米就比小袋现有玉 米重 4+56=60 千克；又根据“这时大袋的玉米重量是小袋的 4 倍”，可知把小袋 现有的玉米重量看作 1 倍数，大袋比小袋多的 60 千克正好相当于现有小袋的 4 －1=3 倍，所以小袋现有玉米 60÷3=20 千克，原有重量 20+4=24 千克，大袋原 有 20×4=80 千克。 练 习 一 1，有两箱玩具，第一盒比第二盒多 60 只。如果从第二盒中取出 3 只，这 时第一盒的只数是第二盒的 8 倍。求两箱玩具原来各有多少只？答案 第一个盒子(60+3)÷(8 - 1)+3 ＝63÷7+3 ＝9+3 ＝12 第二个盒子 12+60＝72 2，一个书架上放着一些书，第二层比第一层多 12 本。如果从第一层中拿 走 6 本，这时第二层的本数是第一层的 4 倍。求第一、第二层原来各有多少本 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 167 - 书？答案 解：设第一层原来书本的数量为 x，则第二层原来书本的数量为(x+12)本，可得 (x-6)×4=x+12 4x－24=x+12 3x=12+24 x=36÷3 x=12 12+12=24(本) 答：第一层原来有 12 本书，第二层原来有 24 本书. 故答案为： 第一层原来有 12 本书；第二层原来有 24 本书. 本题考查方程的实际应用，关键是理解题意，先设第一层原来书本的数量为 x 本，再求出第二层原 来书本的数量，然后根据题意中第一、二层书本数量间的关系列出方程并求解. 解析 设书架第一层原来有 x 本书，则第二层原来有(x+12)本书；根据从第一层中拿走 6 本后第二层的本 数是第一层的 4 倍列出方程，解方程即可求得第一、二层原来各有书本的数量. 3，甲、乙两桶油各有油若干千克，甲桶的油比乙桶少 20 千克，如果从甲 桶倒出 5 千克放入 5 千克，这时乙桶内油的重量是甲桶的 4 倍。甲、乙两桶原 来各有油多少千克？答案 从甲桶倒出 5 千克放入乙桶后 甲桶的油比乙桶少 20+5×2＝30 千克 这时甲桶内油重 30÷(4 - 1)＝10 千克 原来甲桶内油重 10+5＝15 千克 原来乙桶内油重 15+20＝35 千克 答：原来甲桶内油重 15 千克,乙桶内油重 35 千克. 例题 2 有甲、乙两桶色拉油，如果向甲桶中倒入 8 千克，则两桶色拉油就 一样重；如果向乙桶中倒入 12 千克，乙桶的色拉油就是甲桶的 5 倍。甲、乙两 桶原来各有色拉油多少千克？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 168 - 从线段图上可以看出：如果向甲桶倒入 8 千克，两桶油重量相等，说明乙 桶油比甲桶油多 8 千克；如果向乙桶倒入 12 千克，乙桶油就比甲桶油多 8+12=20 千克，与 20 千克相对应的倍数差是 5－1=4 倍。所以，甲桶原有：（8+12）÷（5 －1）=5 千克，乙桶原有 5+8=13 千克。 练 习 二 1，有甲、乙两桶水，如果向甲桶中倒入 10 千克水，两桶水就一样多；如 果向乙桶中倒入 4 千克水，乙桶的水就是甲桶的 3 倍。原来甲、乙两桶各有多 少千克水？答案 解：设甲桶和乙桶各有水 X、Y 千克 由题可列如下方程组 （1）X+10=Y （2）Y+4=3X 解方程组得 X=7、Y=17 答：甲桶、乙桶各有水 7、17 千克. 故答案为：甲桶有 7 千克水,乙桶有 17 千克水 解析 根据列方程组可解此题 此题考查了同学如何运用简单的方程组解 实际问题 2，三（1）班同学参加英语比赛，如果男生少去 1 人，男、女参赛人数相 等；如果女生少去 1 人，男生参赛人数是女生的 2 倍。三（1）班参加英语比赛 的男、女生各几人？答案 男生比女生多了 1 个人,这是第一个条件 当女生少去一个人,就变成男生人数的一半 那么男生是(自身人数减去两个的)两倍. 括号表示一个整体,也就是说,男生人数是 2 人的两倍 即男生四个人,女生三个人 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 169 - 3，小敏和小文每人都有一些玻璃球，如果小敏给小文 3 粒，两人的玻璃球 数就一样多；如果小文给小敏 1 粒，小敏的玻璃球数就是小文的 5 倍。小敏、 小文原有玻璃球各几粒？答案 设小敏原有 x 颗玻璃珠,则小文有 x-3-3 颗玻璃珠 （x-3-3-1）*5=(x+1) 解得 x=9 小敏原有 9 颗玻璃珠,小文有 3 颗玻璃珠. 例题 3 甲的钱数是乙的 3 倍，甲买一套 180 元的《百科大全》，乙买一套 30 元的故事书后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 ？元 180元 30元 甲 乙 把乙原有的钱看作 1 份，甲原有的钱不是 3 份；甲买书用去 180 元，乙买 书用去 30 元，甲比乙多用去 180－30=150 元。从图上可以看出，这多出的 150 元正好相当于乙原有钱数的 3－1=2 倍，所以乙原有钱：150÷2=75 元，甲原有 钱 75×3=225 元。 练 习 三 1，甲的钱数是乙的 4 倍，甲买了一只 30 元的书包，乙买了一枝 6 元的钢 笔后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？答案 解：设乙的钱数是 x 元，则甲为 4x 元. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 170 - 4x-30=x-6 4x-x=30-6 3x=24 x=8 4x=32 答：甲原来有 32 块钱。 故答案为： 32 元 此题用方程解答较容易，关键是找出数量间的相等关系式，设一个未知数为 x，另一个未知数用含 x 的式子来表示，进而列出方程，再解方程即可． 解析 根据题意，可找出数量之间的相等关系式：乙的钱数－钢笔的钱数＝甲的钱数－书包的钱数，设乙 为 x 元，则甲为 4x 元，列方程并解方程即可。 2，丹丹的钱数是小敏的 5 倍，丹丹买了一套 115 元的衣服，小敏买了一双 15 元的鞋子后，两人余下的钱一样多。丹丹原来有多少钱？答案 解：根据题意列方程： 5x-115=x-15 5x-x=115-15 4x=100 x=25（元） 5x=125（元） 答：丹丹原来有 125 元钱. 故答案为：125. 解析 设小敏的钱 x，则丹丹的钱为 5x，根据相同量列出方程，解出答案即可. 这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为 x，另一个未知数用 含 x 的式子来表示，进而列并解方程解答，解方程时注意对齐等号． 3，云云的钱是小月的 4 倍，云云买了一套水彩笔用了 19 元钱，小月买了 一块 1 元钱的橡皮后，两人剩下的钱一样多。云云原来有多少钱？ 答案 解： 设小月原来有 X 元钱，则云云则原来有 4X 元，依据题意列方程： 4X-19=X-1 3X=18 X=6（元） 云云原来有的钱为 故答案为： 云云原来有 24 元钱. 解析 例题 4 学校里白粉笔的盒数是彩色粉笔的 4 倍，如果白粉笔和彩色粉笔各 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 171 - 购进 12 盒，那么白粉笔的盒数是彩色粉笔的 3 倍。原来白粉笔和彩色粉笔各有 多少盒？ 思路导航：根据题意，如果彩色粉笔购进 12 盒，而白粉笔购进 12×4=48 盒，那么现在白粉笔的盒数仍是彩色粉笔的 4 倍，可见 48－12=36 盒就是彩色 粉笔现有盒数的 4－3=1 倍，所以彩色粉笔现有 36÷1=36 盒，原来有 36－12=24 盒，白粉笔原有 24×4=96 盒。 练 习 四 1，有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的千克数是乙筐的 3 倍，如果两筐苹果各 增加 8 千克，那么甲筐苹果的千克数就是乙筐的 2 倍。甲、乙两筐原来各有多 少千克苹果？答案 设乙筐苹果重为 x 千克，则甲筐为 3x 千克 3x+8=2(x+8) x=8 3x8=24(千克) 答：乙筐原有 8 千克 ，甲筐原有 24 千克。(方程的解和解方程【式与方程-数与代数】) 解析 本题考查了差倍问题的知识，如果知道了两个数的差与两个数的倍数关系，要求各个数是多少，这 一类题，我们则把它称为“差倍问题”。解答差倍问题与解答和倍问题相类似，我们用方程寻找等量关系， 就很容易解决了。 1.认真审题，回忆有关和倍问题和差倍问题的知识。 2.和倍问题和差倍问题的特征和解题方法很相似，如果知道了两个数的差与两个数的倍数关系，要 求各个数是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问题”。解答差倍问题与解答和倍问题相类似，用方 程来解就简单了。 3.用方程解关键就是寻找等量关系，乙筐苹果重为 x 千克，则甲筐为 3x 千克，根据已知条件我们就 得出： 3x+8=2(x+8)，解这个方程就可以了。 2，小明和聪聪各有一些彩色笔，小明彩色笔的枝数是聪聪的 5 倍。如果每 人再买 4 枝彩色笔，那么小明的枝数就是聪聪的 4 倍。小明和聪聪原来各有彩 色笔多少枝？答案 【解析】 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 172 - 本题是考查复杂的应用题，根据条件分析本题是差倍问题，小明彩色笔的枝数与聪聪的彩色笔的枝 数由 5 倍变成了 4 倍，因为每一倍里多了 4 枝，将原来的(1 倍的量＋4 枝)平均分在了每一倍里就变成了 4 倍，又知道每一倍增加了 4 枝，可求出 4 倍里增加了 4×4 枝. 【答案】 解： 4×4－4＝12(枝) 12×5＝60(枝) 答：小明原来有 60 枝，聪聪原来有 12 枝. 故答案为： 60 枝；12 枝. 3，有甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的 5 倍。如果每桶分别倒入 8 千克的油，那么甲桶油的重量是乙桶油的 3 倍。甲、乙两桶原来各有多少千克 油？答案 解：设乙桶油原来有 x 千克，则甲桶油的重量是 5x，列方程为： (x+8)×3=5x+8 3x+24=5x+8 2x=16 x=8 则甲桶原来有油 5×8=40(千克) 答：甲、乙两桶原来各有 40、8 千克. 故答案为： 40；8 本题的关键是看清题意，找出题干中的已知条件和未知条件，假设未知数，根据题干中的关系列出 方程，解方程解答即可，这个知识点要求学生熟记，在以后遇到类似的题目时候能够顺利解答. 解析 假设乙桶油原来有 x 千克，根据甲桶油的重量是乙桶油的 5 倍，得甲桶油的重量是 5x，再根据题干 中的条件列方程为： (x+8)×3=5x+8，解方程即可. 例题 5 天天小学买来了一批篮球和足球，篮球的个数比足球的 4 倍多 5 个， 篮球比足球多 26 个。篮球和足球各多少个？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 173 - 篮球 足球 ?个 多5个 多26个 ?个 从图上可以看出，如果把足球的个数看作 1 倍数，那么篮球减少 5 个就是 足球个数的 4 倍，所以足球有（26－5）÷（4－1）=7 个，篮球有 7×4＋5=33 个。 练 习 五 1，商店里有一些红皮球和白皮球，红皮球的个数比白皮球的 3 倍多 2 个， 红皮球比白皮球多 24 个。红、白皮球各有多少个？答案 白的有 11 个，红的有 35 个 2，有两袋面粉，甲袋面粉比乙袋面粉的 5 倍多 12 千克，乙袋比甲袋少 132 千克。甲、乙两袋面粉各多少千克？答案 解答 甲袋面粉的重量比乙袋面粉的 5－1＝4 倍多 12 千克 乙袋有 （132－12）÷4＝30 千克 甲袋有 30×5＋12＝162 千克 3，图书室里有一些故事书和连环画，故事书的本数比连环画的 4 倍少 8 本， 故事书比连环画多 28 本。图书室里有故事书和连环画各多少本？答案 设连环画 x 本 x+28=4x-8 3x=36 x=12 x+28=40 故事书有 40 本,连环画有 12 本 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 174 - 第二十八周 和差问题 专题简析： 已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称 为和差问题。掌握了和差问题的特征和规律，我们解答起来就很方便了。 解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增 加到与大数同样多，先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样 多，先求小数，再求大数。 用数量关系表示： （和＋差）÷2=大数 （和－差）÷2=小数 例题 1 期中考试王平和李杨语文成绩的总和是 188 分，李杨比王平少 4 分。 两人各考了多少分？ 思路导航：根据题意画出线段图。 188分 ?分 ?分 李杨 王平 我们可以用假设法来分析。假设李杨的分数和王平一样多，则总分就增加 4 分，变为 188+4=192 分，这就表示王平的 2 倍，所以王平考了：192÷2=96 分， 李杨考了 96－4=92 分。 练 习 一 1，两筐水果共重 124 千克，第一筐比第二筐多 8 千克。两筐水果各重多少 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 175 - 千克？答案 解： 128÷2=64(千克) 4÷2=2(千克) 64－2=62(千克) 64+2=66(千克) 答：第一筐水果重 62 千克，第二筐水果重 66 千克. 故答案为： 62 千克；66 千克. 解析 根据题意可以先把 128 千克平均分成两筐，则每筐就有 64 千克，第一筐比 64 千克少 2 千克，第二 筐比 64 千克多 2 千克. 本题是一道稍复杂的应用题，根据题意可以先把 128 千克平均分成两筐，则每筐就有 64 千克，第一 筐比 64 千克少 2 千克，第二筐比 64 千克多 2 千克. 2，小宁与小慧的身高答案 解：设：小宁的身高为 x，小慧的身高为 y 列出方程为：x+y=264；y-x=8 解方程组得：x=128cm；y=136cm 故答案为：小宁 128cm 小慧 136cm 解析 根据题干信息，列出方程组总和是 264 厘米，又已知小宁比小慧矮 8 厘米。两人 分别高多少厘米？ 3，三（1）班和三（2）班共有学生 124 人，如果从三（2）班调 2 人到三 （1）班，两班学生同样多。三（1）班、三（2）班原来各有学生多少人？答案 解： 方法一：(1)四(1)班比四(2)班多多少人？2×2＝4(人) (2)如果四(1)班和四(2)班人数一样多，两个班共多少人？124－4＝120(人) (3)四(2)班有多少人？120÷2＝60(人) (4)四(1)班有多少人？60＋4＝64(人) 综合算式：四(2)班：(124－2×2)÷2 ＝(124－4)÷2 ＝120÷2 ＝60(人) 四(1)班：(124－2×2)÷2＋2×2 ＝(124－4)÷2＋4 ＝120÷2＋4 ＝60＋4 ＝64(人) 方法二：(1)四(1)班比四(2)班多多少人？2×2＝4(人) (2)如果四(2)班和四(1)班人数一样多，两个班共多少人？124＋4＝128(人) 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 176 - (3)四(1)班有多少人？128÷2＝64(人) (4)四(2)班有多少人？64－4＝60(人) 综合算式：四(1)班：(124＋2×2)÷2 ＝(124＋4)÷2 ＝128÷2 ＝64(人) 四(2)班：(124＋2×2)÷2－2×2 ＝(124＋4)÷2－4 ＝128÷2－4 ＝64－4 ＝60(人) 答：四(1)班原有 64 人，四(2)原有 60 人. 故答案为： 四(1)班：64 人； 四(2)：60 人 解析 假设两个班学生同样多，根据条件可求出两个班原来各有学生多少人. “如果从四(1)班调两人到四(2)班，两班学生一样多”，也就是说四(1)班比四(2)班多 4 人，四(2)班比 四(1)班少 4 人.如果四(1)班和四(2)班人数一样多，两班总人数就比 124 人少 4 人；如果四(2)班和四(1)班人 数一样多，两班总人数就比 124 人多 4 人. 例题 2 某机床厂第一、二两个车间共有车床 96 部，如果第一车间拨给第 二车间 8 部，那么两个车间车床数相等。两个车间各有车床多少部？ 思路导航：用线段图表示题意。 8部 8部 96部 ?部 ?部 第二车间 第一车间 已知第一、二两个车间共有车床 96 部，又根据“如果第一车间拨给第二车 间 8 部，两个车间车床数相等”，从线段图上我们可以看出第一车间原来比第二 车间多 8×2=16 部车床。所以，第一车间原有：（96+8×2）÷2=56 部，第二车 间原有 56－8×2=40 部。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 177 - 练 习 二 1，红星小学一年级新 108 人，分成甲、乙两个班。如果从甲班转 3 个学生 到乙班去，两班学生就一样多。甲、乙两班各有学生多少人？答案 甲班学生： 108÷2+3 ＝54+3 ＝57 乙班学生： 102÷2 - 3 ＝54- 3 ＝51 答：甲班有学生 57 人，乙班有学生 51 人. 2，甲、乙两筐共有水果 80 千克，若从甲箱取出 6 千克放到乙箱中，这时 两箱水果同样多。两箱原来各有水果多少千克？答案 甲筐 80÷2+6=46 乙筐 80÷2-6=34 3，有三只船共运木板 9800 块，第一只船比其余两船共运的少 1400 块，第 二只船比第三只船少运 200 块。三只船各运木板多少块？ 例题 3 哥弟俩共有邮票 70 张，如果哥哥给弟弟 4 张邮票，这时哥哥还比 弟弟多 2 张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？ 思路导航：我们可以这样想，哥弟俩共有邮票 70 张，根据“如果哥哥给弟 弟 4 张，还比弟弟多 2 张”，说明原来哥哥比弟弟多 4×2＋2=10 张邮票。所以， 弟弟有邮票：（70－10）÷2=30 张，哥哥有邮票 30+10=40 张。 练 习 三 1，一只两层书架共放书 72 本，若从上层中拿出 9 本给下层，上层比下层 多 4 本。上、下层各放书多少本？答案 设上层书架放书 x 本，那么下层放书 72-x 本，依据（上层书的本书-9）-（下层书的本书+9）=4，列 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 178 - 方程解答． 答案 解：设上层书架放书 x 本，那么下层放书 72-x 本， （x-9）-（72-x+9）=4， x-9+x-81=4， 2x-90+90=4+90， 2x÷2=94÷2， x=47； 72-47=25（本）； 答：上层放 47 本，下层放 25 本． 故答案为： 上层放 47 本，下层放 25 本 2，姐姐和妹妹共有糖果 39 块，如果姐姐给妹妹 7 块，就比妹妹少 3 块。 那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？答案 解： 姐姐原来比妹妹多:7×2 -3＝11(本); 姐姐原来有:(39+11)÷2＝25(本); 妹妹原来有:(39 -11)÷2＝14(本). 答:姐姐和妹妹原来各有书 25 本、14 本. 解析 根据题意,如果姐姐给妹妹 7 本后,姐姐应比妹妹少本,实际比妹妹少 3 本,可得,原来姐姐比妹妹多本, 再根据姐姐和妹妹共有书 39 本,由和差公式进一步解答. 根据题意,求出她们的本数差和和关系,由和差公式进一步解答. 3，两笼兔子共 16 只，若甲笼再放入 4 只，乙笼取出 2 只，这时两笼兔子 只数就同样多。甲、乙两笼原来各有兔子多少只？答案 解： 原来乙笼比甲笼多 4+2=6(只) 甲笼：(16-6)÷2=5(只) 乙笼：5+6=11(只) 答：甲乙两笼原来分别有 5 只，11 只. 故答案为： 甲乙两笼原来分别有 5 只，11 只. 此题属于比较简单的整数应用题，解决问题的关键是在解答时要认真分析，确定先求什么再求什么， 然后列式解答．注意事项是一定要认真分析题目. 解析 甲笼放入 4 只，乙笼取出 2 只，这时两笼兔子的只数相同，说明原来乙笼比甲笼多 4+2=6 只，据此 解答即可. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 179 - 例题 4 把一条 100 米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多 16 米， 第三段比第一段少 18 米。三段绳子各长多少米？ 思路导航：用线段图来表示题意。 第三段 第二段 第一段 ？米 ？米 100米 ？米 18米 16米 可以这样想：把第一段绳子的长度当作标准，假设第二、第三段绳子都和 第一段同样长，那么总长就变为 100－16＋18=102 米。 第一段绳子长：102÷3=34 米 第二段绳子长：34+16=50 米 第三段绳子长：34－18=16 米 练 习 四 1，某工厂第一、二、三车间共有工人 280 人，第一车间比第二车间多 10 人，第二车间比第三车间多 15 人。三个车间各有工人多少人？答案 （280－10－15－15）÷3 =240÷3 =80（人） 80＋15=95（人） 95＋10=105（人） 答：第三车间有 80 人，第二车间有 95 人，第一车间有 105 人。 2，某工厂将 857 元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名 多得 250 元，第二名比第三名多得 125 元。三名优秀工人各得多少元？答案 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 180 - 解： (875＋250＋250＋125)÷3＝500(元) 500－250=250(元) 250－125=125(元) 答：第一名可得 500 元，第二名可得 250 元，第三名可得 125 元. 故答案为： 第一名：500 元；第二名：250 元；第三名：125 元 这道题重点在于将两名其他工人分别用第一名工人代替，再进行运算，这种题目在试卷中出现的频 率非常高，同学们必须要注意在平时的学习过程中多练习、多理解这种类型的题目，以加强解题的熟练程 度. 解析 三名工人所得奖金共为 875 元，第一名比第二名多得 250 元，第二名比第三名多得 125 元，即第一 名比第三名多得(250＋125)元，据此我们可以很容易解题. 3，小明期终考试的语文、数学和英语的平均分是 95 分，数学比语文多 6 分，英语比语文多 9 分。小明期终考试三门功课各多少分答案 小明语文 90 分，数学 99 分，英语 96 分． 解析 【解析】 试题分析：根据“语文、数学、英语平均分是 95 分，”求出语文、数学、英语的总分，再根据“数 学比语文多 9 分，英语比语文多 6 分，”从三科总分中减去数学多的 9 分，减去英语多的 6 分，就是和语 文同样多时三科总分，再除以 3，即可求出语文成绩，再用语文成绩加上 9 分就是数学成绩，再用语文成 绩加上 6 分就是英语成绩． 解：语文得分：（95×3﹣9﹣6）÷3 =270÷3 =90（分） 数学得分：90+9=99（分） 英语得分：90+6=96（分） 答：小明语文 90 分，数学 99 分，英语 96 分． 【点评】本题主要是灵活利用平均数的意义与和差公式解决问题． 例题 5 四个人年龄之和是 88 岁，最小的 3 岁，他与最大的年龄之和比另 外两个人年龄之和大 8 岁。最大的年龄是多少岁？ 思路导航：我们可以这样思考，将最大、最小两个人年龄的和与另外两人 年龄和分别看作大数与小数，根据四个人的年龄和是 88 岁，年龄差是 8 岁，即 可求出大数与小数。 大数：（88+8）÷2=48 岁 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 181 - 最大的年龄：48－3=45 岁 练 习 五 1，小军一家四口年龄之和是 129 岁，小军 7 岁，妈妈 30 岁，小军与爷爷 年龄这和比他父母年龄之和大 5 岁。爷爷和爸爸的年龄各是多少岁？答案 解： 因为四个人年龄和是 129 岁，小军是 7 岁，妈妈是 30 岁，所以： 爸爸+爷爷=129－7－30=92(岁)，所以爸爸=92－爷爷. 小军+爷爷=爸爸+妈妈+5，所以 7+爷爷=爸爸+30+5，所以爷爷－爸爸=28(岁)，也就是爷爷－(92－ 爷爷)=28，所以爷爷=60(岁) 所以爸爸=92－60=32(岁) 答：爷爷是 60 岁，爸爸是 32 岁. 故答案为： 60 岁；32 岁 解析 因为四个人年龄和是 129 岁，小军是 7 岁，妈妈是 30 岁，所以爸爸+爷爷=129－7－30=92 岁，再根 据小军+爷爷=爸爸+妈妈+5，就可以求出来爸爸和爷爷的年龄. 2，某校四个年龄共有 438 名学生，其中一年级 119 人，四年级 101 人，一、 二年级的总人数比三、四年级的总人数多 52 人。二、三年级各有多少人？答案 解： 一二年级的总和为(528＋46) ÷ 2＝287 人，三四年级的总和为 528－287＝241 人，则二年级的人数 为 152 人，三年级的人数为 138 人. 故答案为： 152 人；138 人. 应用题在数学中占有重要的地位，因此要熟练掌握简单应用题的基本解法.利用数的加减乘除运算， 将应用题转化成数学计算.同学们要掌握这类题的解答方法. 解析 利用数的加减乘除运算，将应用题转化成数学计算，根据一二年级的人数和与三四年级的人数和， 进而求出二年级与三年级的人数. 3，某校四个年级共有 138 名学生参加数学竞赛，其中一、二年级共 70 名， 一、三年级共 65 名，二、三年级共 59 名。四年级有多少名？答案 解:(70+65+59)÷2 ＝194÷2 ＝97(人) 138 - 97＝41(人) 答:四年级有 41 人. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 182 - 解析 根据题干“一、二年级共 70 名,一、三年级共 65 名,二、三年级共 59 名”,把这三个数据加起来即可 得出一二三年级的人数之和的 2 倍,据此除以 2 就是一二三年级的人数之和,再用四个年级的总人数 138 减 去这三个年级的人数之和,即可得出四年级的人数. 第二十九周 年龄问题 专题简析： 年龄问题可以说是前面所讲的和差问题及差倍问题的综合，要正确解答这 类题，首先要弄清：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变，但两个人年龄的 倍数关系却在不断地变化。 年龄问题的主要特征是：大小年龄差是一个不变的量。我们可以抓住差不 变这个特点，利用和差、差倍等知识来分析解答这类应用题。 例题 1 三年前爸爸年龄是女儿的 4 倍，爸爸今年 43 岁，女儿今年多少岁？ 思路导航：由题意可知爸爸今年 43 岁，则三年前爸爸的年龄是 43－3=40 岁，40 岁正好是女儿年龄的 4 倍，女儿三年前的年龄是 40÷4=10 岁，今年女儿 的年龄是 10＋3=13 岁。 练 习 一 1，四年前小林年龄是小丽的 2 倍，小林今年 12 岁，小丽今年多少岁？答案 (12-4)÷2=4 4+4=8 2，五年前爷爷年龄是孙子的 7 倍，孙子今年 14 岁，爷爷今年多少岁？答案 14×7＝98 岁 3，儿子今年 10 岁，爸爸今年 34 岁。几年前，爸爸的年龄是儿子的 4 倍？ 答案 解：几年前，儿子的年龄：（39-15）÷（4-1）， =24÷3， 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 183 - =8（岁）， 15-8=7（年）， 答：7 年前，爸爸的年龄是儿子的 4 倍． 解析 由题意知道今年儿子与爸爸的年龄相差（39-15）岁，因为两人的年龄差不会随时间变化，所以几年 前两人的年龄差也是（39-15），又由题意知道两人年龄的倍数是 4 倍，由此根据差倍公式，解决问题． 此题主要根据两人的年龄差不会随时间变化，而求出几年前两人的年龄的差，再利用[差÷（倍数-1） =小数，小数×倍数=大数，（或 小数+差=大数）]求出几年前儿子的年龄，进而求出答案． 例题 2 明明 4 岁时，妈妈年龄是明明的 8 倍。今年明明 12 岁，妈妈今年 多少岁？ 思路导航：妈妈的年龄是明明的 8 倍，那么妈妈与明明的年龄相差 4×8－ 4=28 岁。妈妈与明明的年龄差是不变的，今年明明 12 岁，那么妈妈的年龄是 12＋28=40 岁。 练 习 二 1，玲玲 7 岁时，爸爸年龄是玲玲的 5 倍。今年爸爸 40 岁，玲玲今年多少 岁？答案 解： 当玲玲 7 岁是算出爸爸的年龄是 7×5 是 35 岁，此时两人的年龄相差 35-7=28 岁，当爸爸 40 岁是玲 玲的年龄是 40-28=23 岁。 故答案为： 12 解析 两个人的年龄相差是固定，当玲玲 7 岁是算出爸爸的年龄是 7×5 是 35 岁，此时两人的年龄相差 35-7=28 岁，当爸爸 40 岁时玲玲的年龄是 40-28=12 岁。 2，爷爷 63 岁时，他的年龄是小青的 9 倍。今年小青 12 岁，爷爷今年多少 岁？答案 爷爷 63 岁时,小青 7 岁,今年小青 12 岁,也就是过来五年了,爷爷当然也加了五岁 ,所以是 68 岁,63+(12-63/9)=68 3，两年前妈妈年龄是儿子的 5 倍，儿子今年 9 岁，妈妈今年多少岁？答案 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 184 - 解： 12－3＝9(岁)，9×4＝36(岁)，36＋3＝39(岁) 故答案为： 39 岁 解析 根据三年前妈妈的年龄是女儿的 4 倍，今年女儿 12 岁求出妈妈多少岁 经过几年年龄就会增加几岁 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 185 - 例题 3 女儿今年 3 岁，妈妈今年 33 岁。几年后，妈妈的年龄是女儿的 7 倍？ 思路导航：女儿今年 3 岁，妈妈今年 33 岁，她们的年龄差是 33－3=30 岁。 她们年龄差不变，几年后，妈妈的年龄是女儿的 3 倍，把女儿的年龄看作 1 份， 妈妈的年龄就有 7 份，相差 7－1=6 份，6 份是 30 岁，所以几年后女儿的年龄是 30÷6=5 岁。也就是说，5－3=2 年后，妈妈的年龄是女儿的 7 倍。 练 习 三 1，小明今年 7 岁，爷爷今年 62 岁。几年前，爷爷的年龄是小明的 12 倍？ 答案 2 解析 提示 1：可设在 x 年前，则在 x 年前爷爷的年龄为 62-x，孙子的年龄为 7-x，再根据 x 年前爷爷的年 龄是孙子的 12 倍列出方程求解即可． 提示 2：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．解： 设在 x 年前，则在 x 年前爷爷的年龄为 62-x，孙子的年龄为 7-x，根据题意得： 62-x=12（7-x）， 62-x=84-12x， 11x=22， x=2， 答：2 年前，爷爷的年龄是小明的 12 倍． 故答案为：2． 2，儿子今年 2 岁，爸爸今年的年龄是儿子的 16 倍。几年后，爸爸的年龄 是儿子的 7 倍？答案 3 年后 3，妈妈今年 26 岁，是小玲年龄的 13 倍。几年后，妈妈的年龄是小玲的 7 倍？答案 26/13=2 （26+x）=7（x+2） x=2 2 年后 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 186 - 例题 4 4 年前，妈妈的年龄是女儿的 3 倍，4 年后，母女年龄和是 56 岁。 妈妈今年多少岁？ 思路导航：4 年后，母子的年龄和是 56 岁，可求出今年母子年龄和是 56－ 4×2=48 岁。4 年前母子年龄和是 48－4×2=40 岁。又根据 4 年前，妈妈年龄是 女儿的 3 倍，把女儿年龄看作 1 份，妈妈的年龄就有这样的 3 份，共有 3＋1=4 份。所以 4 年前女儿的年龄是 40÷4=10 岁，妈妈今年的年龄是 10×3＋4=34 岁。 练 习 四 1，3 年前，哥哥的年龄是弟弟的 2 倍。3 年后，哥弟俩的年龄和是 30 岁。 哥哥今年多少岁？答案 答:哥哥今年 15 岁. 解析 设弟弟 3 年前的年龄是 x 岁,那么哥哥 3 年前的年龄就是 2x 岁,3 年后,弟弟和哥哥各增加 6 岁,弟弟的 年龄是岁,哥哥的年龄是岁,根据“3 年后,哥弟俩的年龄和是 30 岁”列出方程求出弟弟 3 年前的年龄,进而求 得哥哥今年的年龄. 解决本题关键是用弟弟的年龄表示出哥哥的年龄,再找出等量关系列出方程求解. 2，5 年前，小明的年龄是小红的 3 倍。5 年后，小明和小红年龄和是 44 岁。 今年小明多少岁？答案 (44-5×4)÷（1+3）×3+5=23 岁 3，7 年前，姐姐的年龄是妹妹的 4 倍。7 年后，姐妹俩的年龄和是 48 岁。 姐姐今年多少岁？答案 27 解:根据题意可得: 7 年前与 7 年后相差:7+7＝14(年); 7 年前,姐姐和妹妹年龄和是 48 - 14 -14＝20(岁); 由和倍公式可得: 7 年前,妹妹的年龄是 20÷(4+1):＝5(岁);姐姐的年龄是:5×4＝20(岁); 那么今年姐姐的年龄是 20+7＝27:(岁). 答:今年姐姐 27 岁. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 187 - 故答案为:27. 解析 根据题意,7 年前与 7 年后相差年,7 年后,姐姐和妹妹年龄和是 48 岁,那么 7 年前,姐姐和妹妹年龄和是 岁,然后再根据和倍公式求出 7 年前姐姐的年龄,然后再进一步解答即可. 本题的关键的求出 7 年前姐姐和妹妹年龄和,然后再进一步解答即可. 例题 5 明明今年 12 岁，强强今年 7 岁，当两人的年龄和是 45 岁时，两人 各多少岁？ 思路导航：明明和强强的年龄差为 12－7=5 岁，这是一个不变量。当两人 的年龄和是 45 岁时，明明比强强还是大 5 岁，如果从两人的年龄和 45 岁里减 去两人的年龄差 5 岁，得到的就是两个强强的年龄。所以，强强的年龄是（45 －5）÷2=20 岁，明明的年龄是 20＋5=25 岁。 练 习 五 1，小红今年 4 岁，小平今年 10 岁，当两人的年龄和是 30 岁时，两人各多 少岁？答案 解：13-9=4（岁） 40-4=36（岁） 36÷2=18（岁） 40-18=22（岁） 答：当两人的年龄和是 40 岁时，小强、小军的年龄分别是 22 岁、18 岁。 2，聪聪今年 2 岁，妈妈今年 28 岁。当母子俩的年龄和是 42 岁时，两人各 多少岁？答案 解： 妈妈和聪聪今年的年龄和是＋28＝30(岁)，和年龄和是 42 岁相差 42－30＝12(岁)，也就是说妈妈和 聪聪分别加上 12÷2＝6(岁)，年龄和就是 42 岁，那么妈妈就是 28＋6＝34(岁)，聪聪的年龄是 2＋6＝8(岁). 答：妈妈 34 岁，聪聪 8 岁. 故答案为： 妈妈 34 岁；聪聪 8 岁 ①解决此题的关键是：利用已知条件，先求出今年的年龄和，然后再计算出与年龄和 42 岁相差的岁 数，再除以 2，就可以解答问题；②解决此题也可以找到等量关系，列方程解答. 解析 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 188 - 根据已知条件可以算出今年妈妈和聪聪的年龄和是 2＋28＝30 岁，和 42 岁相差 423＋30＝12 岁，也 就是说妈妈和聪聪各自再加上 12÷2＝6 岁，他们俩的年龄和就是 42 岁，据此解答即可. 3，兰兰今年 12 岁，婷婷今年 14 岁，当两人的年龄和是 40 岁时，两人各 多少岁？答案 解：[40–(14–12)]÷2=19(岁) 40–19=21(岁) 答：兰兰 19 岁，婷婷 21 岁. 故答案为： 兰兰 19 岁，婷婷 21 岁. 解析 兰兰和婷婷的年龄相差 14–12=2 岁，所以当两人的年龄和是 40 岁时，它们的相差也是 2 岁. 本题考查稍复杂应用题的解法，本题的关键是无论到什么时候，两人的年龄差是不变的，在本题中 兰兰和婷婷的年龄相差 14–12=2 岁，所以当两人的年龄和是 40 岁时，它们的相差也是 2 岁. 第三十周 用还原法解题 专题简析： “一个数加上 3，乘 3，再减去 3，最后除以 3，结果还是 3，这个数是几？” 像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做 “还原问题”。解答还原问题，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。 解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一 步步倒着推想，直到问题解决。同时，可利用线段图表格帮助理解题意。 例题 1 一个减 24 加上 15，再乘 8 得 432，求这个数。 思路导航：我们可以从最后的结果 432 出发倒着推想。最后是乘 8 得 432， 如果不乘 8，那应该是 432÷8=54；如果不加上 15，应该是 54－15=39；如果不 减去 24，那应该是 39＋24=63。 因此，这个数是 63。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 189 - 练 习 一 1，一个数加上 3，乘 3，再减去 3，最后除以 3，结果还是 3。这个数是几？ 答案 解：(3×3+3)÷3－3 =4－3 =1 答：这个数是 1. 故答案为： 1 解析 从后向前来推算，①“除以 3，结果还是 3”，则前一个数是 3×3=9；②“减去 3 等于 9”，则前一个 数是 9+3=12；③“乘以 3 等于 12”，则前一个数是 12÷3=4；④“加上 3，等于 4”，则原来的数是 4-3=1. 此题考查了逆推的思想，即从后向前一步步推出.本题已知一个数加上 3，乘以 3，再减去 3，最后除 以 3，结果还是 3，所以可列出算式：(3×3+3)÷3－3. 2，一个数的 4 倍加上 6 减去 10，再乘 2 得 88，求这个数。答案 解：设这个数为 x，可得方程： （4x+6-10）×2=88． 8x+12-20=88， 8x=96， x=12． 答：这个数是 12． 解析 提示 1：本题可列方程解答，设这个数为 x，则其 4 倍为 4x，4x 加 6 的和为 4x+6，它们的和减去 10 的差为 4x+6-10，它们的差乘 2 的积为（4x+6-10）×2，则可得方程：（4x+6-10）×2=88． 提示 2：完成本题要注意分析条件中“加上、减去、乘”此类体现数据之间关系及运算顺序的词语．解： 设这个数为 x，可得方程： （4x+6-10）×2=88． 8x+12-20=88， 8x=96， x=12． 答：这个数是 12． 3，一个数缩小 2 倍，再缩小 2 倍得 80，求这个数。答案 这个数=80×2×2=320 例题 2 一段布，第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，还剩 8 米。 这段布原来长多少米？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 190 - ？米 8米 余下的一半 全长的一半 从上面的线段图可以看出：剩下的 8 米和余下的一半同样多，那么原长的 一半是：8×2=16 米，原来长：16×2=32 米。 练 习 二 1，某水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半，第二次卖掉剩下的一半，这 时还剩 10 只西瓜。原有西瓜多少只？答案 40 个 2，某人乘船从甲地到乙地，行了全程的一半时开始睡觉，当他睡醒时发现 船又行了睡前剩下的一半，这时离乙地还有 40 千米。甲、乙两地相距多少千米？ 答案 160 千米 3，有一箱苹果，第一次取出全部的一半多 1 个，第二次取出余下的一半多 1 个，箱里还剩下 10 个。箱里原有多少个苹果？答案 46 个 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 191 - 例题 3 甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙 3 本，乙给丙 5 本后，三 人的本数同样多。乙原来比丙多多少本？ 思路导航：因为乙给丙 5 本后，两人同样多，可知乙比丙多 5×2=10 本， 而这 10 本中又有 3 本是甲给的，所以原来乙比丙多 10－3=7 本。 练 习 三 1，小松、小明、小航各有玻璃球若干个，如果小松给小明 10 个，小明给 小航 6 个后，三人的个数同样多。答案 解：10－6=4(个) 6－4=2(个) 答：小明原来比小航多 2 个. 故答案为： 2 个 解析 小松给小明 10 个，小明得到 10－6=4 个，小航得到 6 个，6－4=2；小航多得到 2 个后两人一样多， 所以小明原来比小航多 2 个. 2，甲、乙、丙三个组各有一些图书，如果甲组借给乙组 13 本后，乙组又 送给丙组 6 本，这时三个组的图书本数同样多。原来乙组和丙组哪组的图书多， 多几本？答案 解：依据题意得：甲组借给乙组 3 本后，等于甲组减少 3 本，乙组增加 3 本又送给丙组 6 本，等于 乙组现在是比原来少了 3 本，而丙组则在原来的总数上加了 6 本，三组的图书才同样多，所以：原来乙组 的图书比丙组的多； 多的本数为：6＋3=9(本) 答：原来乙组的图书比丙组的多；多 9 本． 故答案为： 乙组；9 本． 解析 根据题目中的信息可知：甲组借给乙组 3 本后，等于甲组减少 3 本，乙组增加 3 本又送给丙组 6 本， 等于乙组现在是比原来少了 3 本，而丙组则在原来的总数上加了 6 本，三组的图书才同样多，据此即可解 答． 本题主要考查了推理的相关问题；解答此题的关键是：理清三个小组现在的本数分别是在原来本数 的基础上多了多少本还是减少了多少本． 3，甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙 13 张，乙给丙 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 192 - 23 张，丙给甲 3 张，那么他们每人各有 30 张。原来 3 人各有年历卡多少张？答 案 甲 40 张，乙 40 张，丙 10 张 解析 可以用倒推的策略来解决这个问题。甲乙丙三个各有 30 张，因为“丙给甲 3 张”，所以甲将 3 张还 给丙，这时甲有 27 张，丙有 33 张。因为“乙给丙 23 张”，所以丙将 23 张还给乙，这时丙有 10 张，乙有 53 张。因为“甲给乙 13 张”，所以乙将 13 张还给甲，这时，乙有 40 张，甲有 40 张。 例题 4 李奶奶卖鸡蛋，她上午卖出总数的一半多 10 个，下午又卖出剩下 的一半多 10 个，最后还剩 65 个鸡蛋没有卖出。李奶奶原来有多少个鸡蛋？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 从图上可以看出，最后剩下的 65 个鸡蛋加上 10 个正好是余下的一半，余 下的一半为 65+10=75 个，所以上午卖出后余下 75×2=150 个；150 个加上 10 个 就是总数的一半，所以总数的一半是 150+10=160 个，总数为：160×2=320 个。 练习四 1，竹篮内有若干个李子，取它的一半又 1 枚给第一人，再取余下的一半又 2 枚给第二人，还剩 6 枚。竹篮内原有李子多少枚？答案 解：由剩余的李子数量和第二人得到的李子数，可倒推出第一人取走李子后的剩余数的一半就是 6+2 枚，则可求出剩余数为 （6+2）×2=16（枚），在由第一人取得的的李子数可推出篮子中的李子树为（16+1）×2=34（枚） 综合算式为：[（6+2）×2+1]×2=34(枚) 答：竹篮内原有李子 34 枚. 故答案为： 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 193 - 34 枚 解析 先读懂题意后，再结合题中的已知条件，运用倒退和替换这两种解决问题的策略来列式计算. 2，王叔叔拿工资若干元，从工资中拿出一半多 10 元存入银行，又拿出余 下的一半多 5 元买米、米，剩下 80 元买菜。王叔叔拿工资多少元？答案 解：（80＋5）×2=170（元） （170＋10）×2=360（元） 答：王叔叔领到工资 360 元. 故答案为： 360 元 解析 先通过 80＋5 求出余下的一半，再求出余下的部分，余下部分加 10 元就是工资的一半，据此解答即 可. 本题考查学生对应用题的掌握情况，拿出余下的一半多 5 元买米、油，那么剩下的加 5 元刚好是余 下的一半，这是本题解题的关键，乘以 2 即可求出余下的部分，据此进一步解答即可. 3，妈妈买来一些橘子，小明第一天吃了一半多 2 个，第二天吃了剩下的一 半少 2 个，还剩下 5 个。妈妈买了多少个橘子？答案 解： [（5-2）×2+2]×2 =[3×2+2]×2 =[6+2]×2 =8×2 =16（个） 答：妈妈一共买了 16 个橘子. 故答案为： 16 个. 解决此类应用题的关键找到题里的已知条件和问题，由问题入手，抓住最后得到的数量，运用逆运 算思维从后向前逐步推算，得出结果. 解析 此题应从后向前推算，由“第二天吃了剩下的一半少 2 个，这时还剩下 5 个，也就是说 5 个-2 个正 好是第一天吃完剩下的一半，所以第一天吃完剩下的个数为（5-2）×2=6（个）；由“第一天吃了一半多 2 个，剩下 6 个”可知，6 个加上 2 个正好是这些橘子总数的一半，所以总页数为（6+2）×2，计算即可. 例题 5 小红、小青、小宁都喜爱画片，如果小红给小青 11 张画片，小青 给小宁 20 张画片，小宁给小红 5 张画片，那么他们三人的画片张数同样多。已 知他们共有画片 150 张，他们三人原来各有画片多少张？ 思路导航：三人画片进行交换，其总张数是不会改变的。交换以后三人张 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 194 - 数相等，那每人应有：150÷3=50 张。再对照题中条件，把各人的画片还原，便 可得到他们三人原来画片的张数。 小红：50＋11=61 张； 小青：50－11＋20=59 张； 小宁：50－20＋5=35 张。 练 习 五 1，三筐苹果共放 90 千克，如果从甲筐取出 15 千克放入乙筐，从乙筐取出 20 千克放入丙筐，从丙筐取出 17 千克放入甲筐，这时三筐苹果就同样重。甲、 乙、丙筐原来各有苹果多少千克？答案 解：后来每筐各有：90÷3=30(千克) 甲筐原有：30－(17－15)=28(千克) 乙筐原有：30+(20－15)=35(千克) 丙筐原有：30－(20－17)=27(千克) 答：甲筐原有 28 千克，乙筐原有 35 千克，丙筐原有 27 千克. 故答案为： 28 千克；35 千克；27 千克 解析 经过三次取放以后，这时三筐苹果的重量相等，也就是每筐 90÷3=30(千克)，根据“从甲筐中取出 15 斤放入乙筐，从乙筐中取出 20 斤放入丙筐”，可以求出乙筐减少了 20－15=5(千克)，原来有 30+5=35(千 克)，依次类推. 此题采用了逆推的方法，关键是抓住最后得到的数量，看是增加了还是减少了额，然后从后先前进 行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答． 2，三年级三个班共有学生 156 人，若从一班调 5 人到二班，从二班调 8 人 到三班，从三班调 4 人到一班，这时每个班的人数正好相同。三个班原来各有 学生多少人？答案 解： 156÷3＝52(人) 一班原有：52－4＋5＝53(人) 二班原有：52－5＋8＝55(人) 三班原有：52－8＋4＝48(人) 答：一班原来有 53 人，二班原来有 55 人，三班原来有 48 人. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 195 - 故答案为： 一班 53 人；二班 55 人；三班 48 人 解析 根据题意可以知道，平均每个班的人数是 156÷3＝52(人)，然后根据每个班人数的变化情况，从 52 人中减去调入的人数再加上调出的人数就是原来的人数. 本题属于较为复杂的应用题，解决本题的关键是求出三个班的平均人数，然后根据变化情况，计算 出原来人数，计算时应该根据“平均人数－调入人数＋调出人数＝原有人数”计算. 3，小林、小方、军军、小敏四个好朋友都爱看书，如果小林给小方 10 本 书，小方给军军 12 本书，军军给小敏 20 本，小敏再给小林 14 本，四个人书的 本数同样多。已知他们共有 112 本书，他们 4 人原来各有多少本书？答案 112÷4＝28 28-20+14=22（本） 28-12+20=36（本） 28-10+12=30（本） 28-14+10=24（本） 答：小敏 22 本， 军军 36 本， 小方 30 本，小林 24 本。 第三十一周 用假设法解题 专题简析： 假设是数学中思考问题的一常见的方法，有些应用题乍看很难求出答案， 但是如果我们合理地进行假设，往往会使问题得到解决。所谓假设法就是依照 已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，作适当的调整，从而找到正确答 案。我国古代趣题“鸡兔同笼”就是运用假设法解决问题的一个范例。 解答“鸡兔同笼”问题的基本关系式是： 兔数=（总脚数－每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数－每只鸡脚数） 用假设法解答类似“鸡兔同笼”的问题时，可以根据题意假设几个量相同， 然后进行推算，所得结果与题中对应的数量不符合时，要能够正确地运用别的 量加以调整，从而找到正确的答案。 例题 1 鸡、兔共 30 只，共有脚 84 只。鸡、兔各有多少只？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 196 - 思路导航： 假设全是鸡，共有脚：30×2=60 只； 比实际少：84－60=24 只； 这是因为把 4 只脚的兔子都按 2 只脚的鸡计算了。 每把一只兔子算作一只鸡，少算：4－2=2 只脚，现在共少算了 24 只脚，说 明把：24÷2=12 只兔子按鸡算了。 所以，共有兔子 12 只，有鸡 30－12=18 只。 练 习 一 1，鸡、兔共 100 只，共有脚 280 只。鸡、兔各多少只？答案 解： 1.解：假设全是鸡，兔子的只数为： (280－2×100)÷(4－2)， =80÷2， =40(只)； 那么鸡的只数是： 100-40=60(只)； 答：鸡有 60 只，兔子有 40 只； 2，鸡、兔共 50 只，共有脚 160 只。鸡、兔各几只？2.假设全是鸡，则应该有脚 50 ×2=100 只，这比已知的 160 只脚少了 160－100=60 只，因为 1 只兔比 1 只鸡多 4－2=2 只脚，所以兔子 有 60÷2=30 只，则鸡有 50－30=20 只； 答：兔子有 30 只，鸡有 20 只． 故答案为： 1.60 只；40 只； 2.20 只；30 只． 利用假设法解鸡兔同笼问题的解答思路是：(1)假设要求的两个未知量是同一种量或相等，然后列式 求解；(2)如果数量出现矛盾，要适当调整求出正确答案． 解析 假设全是鸡，共有脚 2×100=200 只，比实际脚的只数少了 280-200=80(只)，数量出现矛盾，因为我 们把 4 只脚的兔子看做了 2 只脚的鸡，每只少算了：4-2=2 只脚；因此根据这个矛盾可以求出兔子的只数， 列式为：80÷2=40(只)；那么鸡的只数是：100-40=60(只)；问题得解．2.假设全是鸡，则应该有脚 50×2=100 只，这比已知的 160 只脚少了 160－100=60 只，因为 1 只兔比 1 只鸡多 4－2=2 只脚，所以兔子有 60÷2=30 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 197 - 只，则鸡有 50－30=20 只． 3，鸡、兔共 45 只，鸡的脚比兔的脚多 60 只。鸡、兔各多少只？答案 解：设鸡有 x 只，则兔就有 100-x 只，根据题意可得方程： 2x-4×（45-x）=60， 2x-180+4x=60， 6x=240， x=40， 则兔有 45-40=5（只）， 答：鸡有 40 只，兔有 5 只． 解析 这里可以设鸡有 x 只，则兔就有 45-x 只，根据鸡的脚比兔的脚多 60 只；即可列出方程解决问题． 点评：此题也可以这样分析：因为鸡脚比兔脚多 60，不妨先抓出 30 只鸡来，这样鸡脚和兔脚就一 样多了，则剩下的 45-30=15 只鸡占 2 份，兔占 1 份；所以可得兔有 15÷3=5 只，则鸡就有 45-5=40 只． 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 198 - 例题 2 鸡、兔共笼，鸡比兔多 30 只，一共有脚 168 只，鸡、兔各多少只？ 思路导航：因为鸡比兔多 30 只，则可以把 30 只鸡的脚从总数中去掉，剩 下的鸡兔就同样多了。每一对鸡和兔共 4＋2=6 只脚，用 6 去除剩下的鸡兔总脚 数，就可求出兔的只数。 兔的只数：（168－2×30）÷（4＋2）=18 只； 鸡的只数：18＋30=48 只。 练 习 二 1，鸡兔共笼，鸡比兔多 25 只，一共有脚 170 只。鸡、兔各几只？答案 解： (170-25×2)÷(2+4) =120÷6 =20(只) 20 + 25=45(只) 答：鸡有 45 只，兔有 20 只. 故答案为： 鸡 45 只；兔 20 只. 此题为鸡兔问题，此类题常用假设法解答；由于鸡比兔多 25 只，这 25 只鸡共有 50 只脚，假设鸡和 兔的只数相等则可以求出共应有的脚数；再根据这一数量除以一鸡一兔的脚数和即为兔的只数，进而得解. 解析 已知鸡比兔多 25 只，鸡和兔一共有 170 只脚，假如鸡和兔的只数一样多，则共有 170-25×2=120(只) 脚；由于鸡和兔的只数一样多，我们可以让每一只鸡与一只兔组成一组，则每一组的脚数 2+4=6(只)，120 只脚按照每 6 只一组可分为 120÷6=20(组)；共有多少组即有兔多少只，所以兔有 20 只；再根据鸡比兔多 25 只即可用加法求解. 2，买甲、乙两种戏票，甲种票每张 4 元，乙种票每张 3 元，乙种票比甲种 票多买了 9 张，一共用去 97 元。两种票各买了几张？答案 解： 设甲种票买了 x 张，则乙种票买了 x+9 张，根据题意可得方程： 4x+3×(x+9)=97 4x+3x+27=97 7x=70 x=10 10+9=19(张) 答：甲种票买了 10 张，乙种票买了 19 张. 故答案为：10 张；19 张 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 199 - 此题属于 3，鸡兔共有脚 48 只，如果将鸡的只数与兔的只数互换则共有脚 42 只。鸡、 兔各几只？答案鸡 6 只 兔 9 只 例题 3 某学校举行数学竞赛，每做对一题得 9 分，做错一题倒扣 3 分。共 有 12 道题，王刚得了 84 分。王刚做错了几题？ 思路导航：这类题实与鸡兔同笼同类，还用假设法进行思考。 若全做对，应得 9×12=108 分，现在少了 108－84=24 分。为什么会少 24 分，因为做错一题，不但得不到 9 分，反而需要倒扣 3 分，里外少了 12 分，所 以错了 24÷12=2 题。 练 习 三 1，某小学进行英语竞赛，每答对一题得 10 分，答错一题倒扣 4 分，共 15 题，小华得了 102 分。小华答对几题？答案 如果 15 题，全部答对得分为，15×10＝150 小华实得 102 分，与满分相差 150 102＝48 分。 全做对的 15 题，做错 1 题将- 10+4＝14 分，所以答错的题数为，─答案 如果 15 题，全部答对得分为，小华实得 102 分，与满分相差分。 全做对的 15 题，做错 1 题将分，所以答错的题数为 48/14，由于不能整除，所以请检查所出题目数 字是否有问题。由于不能整除，所以请检查所出题目数字是否有问题。 2，运输衬衫 400 箱，规定每箱运费 30 元，若损失一箱，不但不给运费， 并要赔偿 100 元。运后运费为 8880 元，损失了几箱？答案 【解析】 假设 400 箱没有损失，则应得运费 400×30=12 000(元)，而实际得了 8 880 元，这就相差了 12 000-8 880=3 120(元)，这是因为损失一箱不但不给运费，还要赔偿 100 元，就是损失一箱少得 100+30=130(元)．除 以相差的钱，就是损失的箱数． 【答案】 解： (400×30－8 880)÷(100+30)， ＝(12 000－8 880)÷130， ＝3 120÷130， 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 200 - ＝24(箱). 答：损失了 24 箱. 故答案为： 24. 3，某车间生产一批服装共 250 件，生产 1 件可得 25 元，如果有 1 件不符 合要求，则倒扣 20 元。生产后得到费用 5350 元，有几件不符合要求？答案 解： 25×250-5 350 =6 250-5 350 =900(元) 900÷（25+20） =900÷45 =20（件） 答：有 20 件服装不符合要求. 故答案为：20 件 解析 假设全部合格，那就应得 6 250 元，实际得 5 350 元，用少得的钱除以不符合要求的一件少得的钱 （25+20）元，就是不符合要求的服装数量. 例题 4 水果糖的块数是巧克力糖的 3 倍，如果小红每天吃 2 块水果糖，1 块巧克力糖，若干天后，水果糖还剩下 7 块，巧克力糖正好吃完。原来水果糖 有几块？ 思路导航：水果糖的块数是巧克力糖的 3 倍，如果小红每天吃 1 块巧克力 糖，3 块水果糖，那若干天后，两种糖正好同时吃完。现在小红每天吃 2 块水果 糖，少吃 3－2=1 块，结果若干天后水果糖还剩下 7 块。所以共吃了 7÷1=7 天， 水果糖有 2×7＋7=21 块。 练 习 四 1，小英家有些梨和苹果，苹果的个数是梨的 3 倍，爸爸和小英每天各吃 1 个苹果，妈妈每天吃 1 个梨。若干天后，苹果还剩 9 个，而梨恰巧吃完。原来 苹果有多少个？答案 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 201 - 解： 9 ×2﹢9 =18＋9 =27(个) 答：原来苹果有 27 个. 故答案为：27 个 掌握稍复杂应用题的解题思路及方法. 解析 从题中可以知道，每天吃 2 个苹果，1 个梨，这样每天就剩下 1 个苹果，最后剩下 9 个苹果，说明 吃了 9 天，再根据吃了的天数算出原来苹果有多少个？ 2，某商店有些红气球和黄气球，红气球的只数是黄气球的 4 倍。每天卖出 2 只红气球和 1 只黄气球，若干天后，红气球剩下 12 只，黄气球刚好卖完。红 气球原来有多少只？答案 解： 因为每天卖掉 2 只红气球和 1 只黄气球，说明每天卖掉的红气球个数是黄气球的 2 倍，即卖掉的红 气球总是黄气球的 2 倍，所以当黄气球卖光时，红气球一定卖掉了黄气球个数的 2 倍，即红气球卖掉了开 始时黄气球个数的 2 倍，原来红气球个数是黄气球的 4 倍，所以原来黄气球有：12÷(4－2)＝6(个)；红气 球的个数是 6×4＝24(个) 答：红气球原来有 24 个. 故答案为： 24 个 解析 因为每天卖掉 2 只红气球和 1 只黄气球，说明每天卖掉的红气球个数是黄气球的 2 倍，即卖掉的红 气球总是黄气球的 2 倍，所以当黄气球卖光时，红气球一定卖掉了黄气球个数的 2 倍，即红气球卖掉了开 始时黄气球个数的 2 倍，原来红气球个数是黄气球的 4 倍. 3，四（3）班有彩色粉笔和白粉笔若干盒，白粉笔是彩色粉笔的 7 倍。每 天用去 2 盒白粉笔和 1 盒彩色粉笔，当彩色粉笔全部用完时，白色粉笔还剩 10 盒。原来白色粉笔有多少盒？答案 解：10÷(7－2)×7＝14(盒) 答：原来白色粉笔有 14 盒. 故答案为：14 盒. 倍数问题关键是找“一倍量”，求“一倍量”用除法计算，再求一倍量的几倍用乘法计算. 解析 根据白色粉笔是彩色粉笔的 7 倍，可知把彩色粉笔看作“一倍数”，再根据每天白色粉笔用 2 盒，彩 色粉笔用 1 盒，当彩色粉笔用完时，白色粉笔用去了彩色粉笔的 2 倍，白色粉笔还剩下彩色粉笔的(7－2) 倍，又因白色粉笔还剩 10 盒，可求出原来彩色粉笔的盒数. 再乘 7 就是白色粉笔的盒数. 例题 5 学校买来 8 张办公桌和 6 把椅子，共花去 1650 元。每张办公桌的 价钱是每把椅子的 2 倍，每张办公桌和每把椅子各多少元？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 202 - 思路导航：假设学校买的全部是办公桌，根据“每张办公桌的价钱是每把 椅子的 2 倍”，则买 6 把椅子的价钱只能买 6÷2=3 张办公桌，那么 1650 元就相 当于 8＋3=11 张办公桌的价钱。 所以，每张办公桌：1650÷11=150 元 每把椅子：150÷2=75 元。 练 习 五 1，买 4 张办公桌 9 把椅子共用 252 元，1 张桌子和 3 把椅子的价钱正好相 等。桌、椅单价各多少元？答案 一张桌子和 3 把椅子的价钱正好相等， 则 4 张桌子的价钱等于 4×3=12 把椅子的价钱 252 元相当于买了：12+9=21 把椅子 椅子的价钱为：252÷21=12 元 桌子的价钱：12×3=36 元 2，学校买来 4 个篮球和 5 个排球，共用了 185 元。已知 1 个篮球比 1 个排 球贵 8 元，那么篮球每个多少元？排球每个多少元？答案 解： 设排球一个 x 元，则篮球就是(x＋8)元，根据题意可得方程： 4(x＋8)＋5x＝185， 4x+32＋5x＝185， 9x＝153， x＝17， 17+8=25(元)， 所以篮球单价是 25 元，排球单价是 17 元. 故答案为： 25；17. 3，小明买 2 个乒乓球和 4 个皮球共用去 52 元，6 个乒乓球的价钱相当于 1 个皮球的价钱。乒乓球、皮球的单位各多少元？答案 6×4＝24 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 203 - 乒乓球： 52÷(2+24) ＝52÷26 ＝2 皮球： 2×6＝12 答：乒乓球、皮球的单价分别是 2 元 12、元。 第三十二周 平均数问题 专题简析： 在日常生活中，我们会遇到下面的问题：有几个杯子，里面的水有多有少， 为了使杯中水一样多，就将水多的杯子里的水倒进水少的杯子里，反复几次， 直到几个杯子里的水一样多。这就是我们所讲的“移多补少”，通常称之为平均 数问题。 解答平均数应用题关键是要求出总数量和总份数，然后再根据“总数量÷ 总份数=平均数”这个数量关系式来解答。 例题 1 用 4 个同样的杯了装水，水面的高度分别是 8 厘米、5 厘米、4 厘 米、3 厘米。这 4 个杯子里水面的平均高度是多少厘米？ 思路导航：根据已知条件，先求出 4 个杯子里水的总厘米数，再用总厘米 数除以杯子的个数就可以求出平均每个杯子里水面的高度。 （8＋5＋4＋3）÷3=5 厘米 练 习 一 1，小华期末测试语文、数学、英语、社会分别得了 90 分、96 分、92 分、 98 分，这四门的平均分是多少？答案 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 204 - 解:,(90+96+92+98)÷4 ,＝376÷4 ＝94(分); 答:这四门的平均分是 94 分. 解析 求四门的平均分,先求出四门的总成绩和,再根据“总成绩和门数=平均数”进行解答即可. 此题应认真分析题意,然后根据求平均数的方法列式解答即可. 2，某校 1——4 年级分别有 260 人、300 人、280 人、312 人，平均每个年 级有多少人？答案 解:,(260+300+280+312)÷4 ,＝1152÷4 ＝288(人); 答:平均每个年级有 288 人. 解析 3，甲筐有梨 32 千克，乙筐有梨 38 千克，丙、丁筐共有梨 50 千克，平均 每筐多少千克？答案 解:(32+38+50)÷4 ＝120÷4 ＝30(千克) 答:平均每筐梨有 30 千克. 例题 2 幼儿园小朋友做红花，小华做了 7 朵，小方做了 9 朵，小林和小宁 合做了 12 朵。平均每个小朋友做了多少朵？ 思路导航：根据已知条件，先求出做花的总朵数，再用花的总朵数除以人 数就可求出平均每人做花的朵数。 （7＋9＋12）÷4=7 朵 练 习 二 1，一个书架上第一层放书 52 本，第二层和第三层共放 70 本，第四层放了 46 本，平均每层放书多少本？答案 解： 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 205 - (52+70+46)÷4 ＝168÷4 =42(本) 答：平均每层放书 42 本. 故答案为： 42 本 2，某工厂第一、二车间共有工人 180 人，第三车间有 103 人，第四车间有 81 人。平均每个车间多少人？答案 解:(180+103+81)÷4 ＝364÷4 ＝91(人) 答:平均每个车间有 91 3，商店有蓝色气球和红色气球共 43 只，黄气球有 20 只，绿气球有 33 只。 平均每种气球多少只？答案 角:(43+20+33)÷4 ＝96÷4 ＝24(只) 答:平均每种气球有 24 只. 例题 3 植树小组植一批树，3 天完成。前 2 天共植 113 棵，第 3 天植了 55 棵。植树小组平均每天植树多少棵？ 思路导航：要求植树小组平均每天植树的棵数，必须知道植树的总棵数和 植树的天数，植树的总棵数用前 2 天植的 113 棵加上第 3 天植的 55 棵：113＋ 55=168 棵，植树的天数为 3 天。所以，平均每天植树：168÷3=56 棵。 练 习 三 1，小佳期中考试语文、数学总分为 197 分，外语考了 91 分，小佳三门功 课的平均成绩是多少分？答案 解：(197+97)÷3=98(分) 所以应该填写：98 故答案为： 98 2，小红、小青的平均身高是 103 厘米，小军的身高是 115 厘米，三个人的 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 206 - 平均身高是多少厘米？答案 解:(103×2+115)÷3 ＝(206+115)÷3 ＝321÷3 ＝107(厘米); 答:三人的平均身高是 107 厘米. 3，一个同学读一本故事书，前 4 天每天读 25 页，以后每天读 40 页，又读 了 6 天正好读完。这个同学平均每天读多少页？答案 解:(25×4+40×6)÷(6+4) ＝(100+240)÷10 ＝340÷10 ＝34(页) 答:这个同学平均每天读 34 页. 例题 4 一辆摩托车从甲地开往乙地，前 2 小时每小时行驶 60 千米，后 3 小时每小时行驶 70 千米。平均每小时行驶多少千米？ 思路导航：根据已知条件，先求这辆摩托车行驶的总路程：60×2＋70× 3=330 千米，再求行驶的总时间：2＋3=5 小时。所以，平均每小时行驶：330÷ 5=66 千米。 练 习 四 1，小华家先后买了两批小鸡，第一批的 20 只每只重 60 克，第二批的 30 只每只重 70 克。小华家的小鸡平均多重？答案 解:,20×60+30×70÷(20+30) ,＝(1200+2100)÷50 ,＝3300÷50 ＝66(克), 答:小鸡的平均重量是 66 克. 2，少先队员为饲养场割草，第一组 7 人，平均每人割草 13 千克，第二组 5 人，平均每人割 25 千克。平均每人割草多少千克？答案 解:(13×7+5×25)÷(7+5) ＝(91+125)÷12 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 207 - ＝216÷12 ＝18(千克) 答:平均每人割草 18 千克. 3，一小组同学量身高，其中 2 人都是 124 厘米，另外 4 人都是 130 厘米。 这组同学的平均身高是多少？答案 解：(2×124+4×132)÷(2+4) =(248+520)÷6 =768÷6 =128（厘米） 答：这个小组同学的平均身高是 129 厘米。 例题 5 数学测试中，一组学生的最高分是 98 分，最低分是 86 分，其余 5 名学生的平均分为 92 分。这一组学生的平均分是多少分？ 思路导航：要求平均分，应用总分数÷总人数=平均分，依题意，总分数为： 98＋86＋92×5=644 分，总人数为：1＋1＋5=7 人。 所以，这组学生的平均分为：644÷7=92 分。 练 习 五 1，一组同学进行立定跳远，最远的跳了 152 厘米，最近的跳了 144 厘米， 其余 6 名同学都跳了 148 厘米。这一组同学的平均跳远成绩是多少？答案 解:,(152+144+148×6)÷(6+2) ,＝1184÷8 ＝148(厘米); 答:这一组平均跳了 148 厘米. 2，一组学生测量身高，最高的是 150 厘米，最矮的是 136 厘米，其余 4 名 同学都是 143 厘米。这组同学的平均身高是多少？答案 解： (143×4+150+136)÷6 =858÷6 =143(厘米) 答：这组同学的平均身高是 143 厘米. 故答案为： 143 厘米 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 208 - 3，音乐考试中，一组学生中有 2 人得了最高分 90 分，1 人得了最低分 70 分，其余 5 名同学都得了 78 分。这组学生的平均成绩是多少？ 第三十三周 平均数问题（二） 专题简析： 前面我们已经向同学们介绍了用基本数量关系式来求平均数的方法了，如 果题目中没有直接告诉我们总数量以及总份数，那又该怎么办呢？这类题可以 拓宽同学们的解题思路，从而提高解题的能力。 解答平均数问题的关键是要找准问题与条件，条件与条件之间相对应的关 系，通常要先确定总数量以及与总数量相对应的总份数，再求平均数。 例题 1 华华 3 次数学测验的平均成绩是 89 分，4 次数学测验的平均成绩 是 90 分。第 4 次测验多少分？ 思路导航：根据 3 次数学测验平均成绩是 89 分，可求出 3 次测验的总成绩 是 89×3=267 分；根据 4 次数学测验平均成绩是 90 分，可以求出 4 次测验的总 成绩是 90×4=360 分，最后求出第 4 次测验成绩是：360－267=93 分。 也可以这样想：4 次测验的平均成绩比 3 次的平均成绩多了 90－89=1 分，4 次共多出了 1×4=4 分，那么第 4 次的测验成绩就是 89＋4=93 分。 练 习 一 1，有 4 个采茶小队，甲、乙、丙三个小队平均每队采 20 千克，甲、乙、 丙、丁四个队平均每队采 22 千克。丁队采了多少千克？答案 解： 27×4－26×3 ＝108－78 ＝30（千克） 答：丁队采了 30 千克。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 209 - 2，期中考试后，王英的语文、数学平均成绩是 92 分，加上英语后，三门 的平均成绩是 93 分。英语考了多少分？【答案】 解：93×3-92×2 =279-184 =95（分）． 答：王英英语考试的成绩是 95 分． 3，明明、红红两人的平均体重是 32 千克，加上英英的体重后，他们的平 均体重就上升了 1 千克。英英重多少千克？答案 解： （32+1）×3-32×2 =99-64 =35（千克），所以英英重 35 千克. 故答案为： 英英重 35 千克. 例题 2 宁宁期中考试语文、数学、自然的平均分是 91 分，英语成绩公布 后，他的平均分提高了 2 分。宁宁英语考了多少分？ 思路导航：宁宁语文、数学、自然的平均分是 91 分，可以求出三门功课的 总分为 91×3=273 分；英语成绩公布后，四门功课的平均分为 91＋2=93 分，总 分为 93×4=372 分，所以，英语成绩为 372－273=99 分。 练 习 二 1，小英 4 次数学测验的平均分是 92 分，5 次数学测验的平均分比 4 次的平 均分提高 1 分。小英第 5 次测验得多少分？答案 92+5*1=97 2，小王、小张、小刘三人体育测试平均成绩是 82 分，如果加上小顾，四 人平均成绩就提高了 4 分。小顾体育测试分数是多少？【答案】 解： 82×3=246(分) (82+4)×4=344(分) 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 210 - 344－246=98(分) 答：小顾的体育测试分数是 98 分. 故答案为： 3，一个同学读一本书，共 10 天读完，平均每天读 8 页。前 5 天他平均每 天读 6 页，后 4 天这个同学平均每天读多少页？答案 解:(8×10 - 6×6)÷4 ＝44÷4 ＝11(页) 答:后 4 天这个同学平均每天读 11 页 例题 3 有 7 个数的平均数为 8，如果把其中一个数改为 1，这时 7 个数的 平均数是 7。这个被改动的数原来是几？ 思路导航：改动前，7 个数的平均数为 8，这 7 个数的总和是 8×7=56；改 动后 7 个数的平均数是 7，这时 7 个数的总和是 7×7=49，改动前后总和相差了 56＋49=7，这说明原数比 1 多了 7，因而原数为 1＋7=8。 练 习 三 1，有 5 个数的平均数是 5，如果把其中一个数改为 2，这 5 个数的平均数 是 4。这个被改动的数原来是几？答案 解:2+5×5 - 4×5 ＝2+25 - 20 ＝27 - 20 ＝7 答:这个被改动的数原来是 7. 2，期中考试中小明 4 门功课的平均分是 94 分，由于老师批改的错误，其 中有一门功课的成绩被改为 87 分，这时 4 门功课的平均分是 92 分。这个被改 动的成绩原来是多少？答案 解： 87＋(94×4－92×4) ＝87＋(376－368) ＝87＋8 ＝95(分) 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 211 - 答：这门被错改的功课成绩原来是 95 分. 故答案为： 95 分 3，有 3 个数的平均数是 3，如果把其中一个数改为 10，那么这 3 个数的平 均数是 5。这个被改动的数原来是多少？答案详解 解：有 3 个数的平均数是 3，这三个数的和是 9，(3×3＝9)，可推测出这 3 个数可能是（2、3、4）； 改动后，这 3 个数的平均数是 5，则改动后 3 个数的和是 15，（5×3＝15），比原数和多了 6，则这 三个数现在可能是（2、3、10），只有 4＋6＝10，所以被改动的数原来是 4. 故答案为：4 解析: 例题 4 有 4 个数，这 4 个数的平均数是 21，其中前两个数的平均数是 15， 后 3 个数的平均数是 26。第二个数是多少？ 思路导航：根据“4 个数的平均数是 15”可以得出 4 个数的总数就是 21× 4=84；又根据“前 2 个数的平均数是 15，后 3 个数的平均数是 26”可以得出它 们的总数为 15×2＋26×3=108，其中第二个数被重复算了一次，所以总数就多 出了 108－84=24，这多出的 24 就是第二个数。 练 习 四 1，有 4 个数，它们的平均数是 34，其中前 3 个数的平均数是 30，后 2 个 数的平均数是 36。第三个数是多少？答案 解：34×4－30×3＝46，36×2－46＝26.故答案为：26 2，有 4 个数，平均数是 100，前两个数的平均数是 95，后 3 个数的平均数 是 98。第二个数是多少？答案 解： 95×2+98×3-100×4=190+294-400=84 答：第二个数是 84. 故答案为： 84 3，小林的语文、数学、英语、社会 4 门测试的平均分是 89，前 3 门的平均 分为 92，后两门的平均分为 88。小林英语测试多少分？答案 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 212 - 解：92×3＋88×2－89×4 ＝276＋176－356 ＝452－356 ＝96(分) 答：小林的英语测试成绩是 96 分. 故答案为： 96 分 例题 5 甲地到乙地相距 30 千米，爸爸骑自行车从甲地到乙地每小时行 15 千米，从乙地到甲地每小时行 10 千米。求爸爸往返的平均速度。 思路导航：求爸爸往返的平均速度，必须知道总路程和总时间，总路程是 两个全程，即 30×2=60 千米；总时间是去的时间与返回的时间的和，即 30÷15 ＋30÷10=5 小时。所以，爸爸往返的平均速度是：60÷5=12（千米/小时）。 练 习 五 1，摩托车驾驶员以每小时 20 千米的速度行了 60 千米，返回时每小时行 30 千米。往返全程的平均速度是多少千米？答案 摩托车驾驶员，以每小时 20 千米的速度行了 60 千米，回来时每小时行 30 千米先；根据时间=路程 ÷速度，分别求出来和回需要的时间，再根据速度=总路程÷时间即可解答． 答案 解：(60×2)÷(60÷20+60÷30)， =120÷(3+2)， =120÷5， =24km， 答：往返全程平均速度是 24 千米每小时． 故答案为： 24km 2，一辆汽车以每小时 20 千米的速度上坡，行了 120 千米，然后用每小时 30 千米的速度返回。求这辆汽车全程的平均速度。【答案】 解：120÷20＝6（小时），120÷30＝4（小时），120×2÷（6＋4）＝24（千米/小时）.故答案为：24 千米/小时. 3，某生产小组一天的工作任务都是生产 300 个零件。第一天以每小时 30 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 213 - 个的速度完成任务，第二天以每小时生产 60 个的速度完成任务。在这两天的工 作时间内，平均每小时生产多少个？答案 解：300×2÷(300÷30+300÷60) =600÷(10+5) =600÷15 =40(个) 答：在这两天的工作时间内平均每小时生产 40 个. 故答案为： 40 个. 第三十四周 简单推理（二） 专题简析： 小文比小林高，小林比小佳高，那我们可以推断，小文一定比小佳长得高， 这也是一种推理。与前面推理题不同的是，这种推理解答时不需要或很少用到 计算，而要求我们根据题目中给出的已知条件，通过分析和判断，得出正确合 理的结论。 做推理题时，要根据已知条件认真分析，为了找到突破口，有时先假设一 个结论是正确的，然后验证它是不是符合所给的一切条件，若没有矛盾，说明 推理正确，否则再换个结论来验证。 例题 1 红红、聪聪和颖颖都戴着太阳帽去参加野炊活动，她们戴的帽子一 个是红的，一个是黄的，一个蓝的。只知道红红没有戴黄帽子，聪聪既不载黄 帽子，也不戴蓝帽子。请你判断红红、聪聪和颖颖分别戴的是什么颜色的帽子？ 思路导航：从已知条件中可知，“聪聪既不戴黄帽子，也不载蓝帽子”是个 关键条件，因为 3 个人戴的帽子只有红、黄、蓝三种颜色，因此排除黄、蓝两 种颜色，聪聪只能戴红帽子；又根据“红红没戴黄帽子”可知红红戴蓝帽子， 因此颖颖只能戴黄帽子。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 214 - 练 习 一 1，爸爸买回 3 双袜子，其中 2 双是花袜子，1 双是红袜子，爸爸塞了一双 花袜子给妹妹，又塞了一双红袜子给哥哥，把剩下的 1 双藏在自己手中，让兄 妹俩猜是什么颜色的，谁猜对就把袜子给谁。你们说，谁肯定会猜对？答案 解:我认为哥哥肯定会猜对. 因为在 3 双袜子中,有 2 双是花袜子,1 双是红袜子,爸爸拿了 1 双花袜子给妹妹,那就剩下 1 双花袜子 和 1 双红袜子,所以妹妹猜对的可能性是;而爸爸拿了 1 双红袜子给哥哥,那就剩下 2 双都是花袜子,所以哥哥 猜对的可能性就是 1. 2，黄颖、李红和马娜都穿着新衣服，她们穿的衣服一个是花的，一个是粉 红的，一个是蓝的。已知黄颖穿的不是花衣服，李红既不穿蓝衣服，也不穿花 衣服。她们分别穿什么颜色的衣服？答案 解： 因为李红既不穿蓝衣服也不穿花衣服，可知李红穿的是粉红衣服； 又因为黄颖没有穿花衣服，所以可得出马娜穿的是花衣服； 则黄颖就是穿的蓝衣服； 答：李红穿粉红衣服，马娜穿花衣服，黄颖穿蓝衣服． 故答案为： 蓝；粉红；花． 3，某班学生中，如果有红色铅笔的人就没有黄色铅笔，没有红色铅笔的人 有蓝色铅笔，那有黄色铅笔的人，一定有蓝铅笔吗？答案 解：不一定，黄、红没有交集，红、蓝没有交集，但黄并红不等于全部，蓝并红也不等于全部，所 以黄不一定等于蓝，所以有黄铅笔的人不一定有蓝铅笔. 故答案为： 不一定，因为有红色铅笔的人就没有黄色铅笔，但没有红色铅笔的不一定都有黄色铅笔 例题 2 一个正方体有六个面，每个面分别涂有红、绿、黄、白、蓝、黑六 种颜色，你能根据这个正方体的三种不同的摆法，判断出这个正方体每一种颜 色对面各是什么颜色吗？ 黄 红 绿 蓝 黄 白 白 红 黑 思路导航：如果直接思考某种颜色对面是什么颜色比较困难，可以换一种 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 215 - 思维方式，想想某种颜色对面不应该是哪种颜色。 从图（1）中可看出红色的对面肯定不是黑色和白色；从图（2）可看出红 色对面肯定不是黄色和绿色，所以红色的对面是蓝色。 从图（2）可看出黄色对面肯定不是绿色和红色；从图（3）可以看出黄色 对面肯定不是蓝色和白色，所以黄色对面是黑色。剩下的白色的对面肯定是绿 色。 练 习 二 1，有一个正方体，每个面上分别写着 1、2、3、4、5、6，有三个人从不同 的角度观察，结果如下： 5 2 6 1 2 3 4 3 1 答案 解：根据题意可知：1 的对面不能是 6、4 和 2、3，所以 1 对 5； 4 的对面不能是 1、6 和 3、5，所以 4 对 2； 剩下的是 3 对 6； 故答案为： 5；6；2. 这个正方体每个数的对面是什么数？ 2，一个正方体，每个面上分别写有 A、B、C、D、E、F，根据它三种不同的 摆法，判断这个正方体每个字母的对面是什么？ F E E D B A C B A 答案 解： 一个正方体,每个面上面分别写有 A、B、C、D、E、F,根据它三种不同的摆法,判断这个正方体每个 字母的对面是什么? ). 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 216 - A 的对面是(D). B 的对面是(F). C 的对面是(E). 故答案为： A→D；B→F；C→E. 判断这个正方体每个字母的对面是什么?要看给出的 3 个正方体的方位图，用排除的方法，寻找每个 字母的对面是什么.A 的对面是(D).B 的对面是(F).C 的对面是(E). 解析 一个正方体根据不同的摆法,判断这个正方体每个字母的对面是什么?要看给出的 3 个正方体的方位 图，用排除的方法，寻找每个字母的对面是什么. 3，把一个正方体的六个面分别编上 1——6 六个数字，现在用这样的四个 小正方体拼成一个长方体，相对两个面分别是几和几？ 4 1 4 2 2 3 1 5 1 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 217 - 例题 3 已知某月中，星期二的天数比星期一的天数多，而星期三的天数比 星期四的天数多。那么这个月最后一天是星期几？ 思路导航：我们可以这样想：一周有 7 天，一个月最多有 31 天，31÷7=4 周……3 天，这说明一个月中，无论是星期几，最少有 4 个，最多有 5 个。这样 问题可以转化为：某月星期二和星期三都是 5 个，而星期一和星期四都是 4 个。 根据转化的条件，我们可画出下面的月历表： 六 五 四 二 三 一 日 不难看出，这个月是小月，最后一天是星期三。 练 习 三 1，某年二月，星期日的天数最多，那么这个月最后一天是星期几？答案 解：根据题意，首先分析出，该年肯定是闰年，即二月有 29 天，正常情况下，二月只可能有四个周 日，这里出现了，要想最多，则该月第一天是周日，且最后一天也是周日，这里注意到一周有 7 天故答案 为：周日 2，某月中，星期日的天数比星期六的天数多，而星期四的天数比星期三的 天数多。那么这个月最后一天是星期几？答案 31 天的月份,星期日是月初,星期二是月末.则星期日比星期六多,星期二比星期三多.最后一天是星期 二 3，某月中，星期四的天数比星期五的天数多，星期二的天数比星期一的天 数多。这个月的第一天是星期几？答案 星期四的天数比星期五的天数多 得星期四为本月最后一天 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 218 - 星期二的天数比星期一的天数多 星期二为本月第一天 所以为星期二 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 219 - 例题 4 王帆、李昊、吴一凡三人中，有一人看了《地球奥秘》这部科技片。 当老师问他们三个谁看了这部科技片时： 王帆说：“李昊看了。” 李昊说：“我没有看。” 吴一凡说：“我没有看。” 如果知道他们三人中有两人说了假话，有一人说的是真话，你能判断谁看 了这部影片吗？ 思路导航：我们可以这样想：假设是王帆看了这部影片，那么王帆说的是 假话，李昊和吴一凡说的是真话，这样与三人中有两人说了假话、一人说了真 话不符，因而王帆没看这部影片； 假设是李昊看了这部影片，那么王帆和吴一凡说了真话，李昊说了假话， 这与两人说了假话、一人说了真话不符，因而李昊没看这部影片； 假设吴一凡看了这部影片，那么王帆和吴一凡说了假话，只有李昊一人说 了真话，因而我们可以断定是吴一凡看了这部影片。 练 习 四 1，王峰、朱红、王艺三人中，有一人打碎了玻璃，当老师问谁打碎玻璃时： 王峰说：“朱红打碎的。” 朱红说：“我没打碎。” 王艺说：“我没打碎。” 他们三人中有两人说了假话，有一人说的是真话。你能判断是谁打碎了玻 璃吗？答案 解： 若王峰说的是对的，那么朱红、王艺就是错的，那么王峰与朱红的话相矛盾； 若王艺说的是对的，那么王峰、王艺就是错的，那么三人之话也相矛盾； 所以朱红所说的是对的．分析出是王艺打碎了玻璃．故答案为：朱红所说的是对的． 是王艺打碎了 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 220 - 玻璃． 2，小张、小王、小李三人参加宴会，他们分别喝了一杯酒、两杯酒、三杯 酒，当小吴问他们各喝了几杯时： 小张说：“我喝了两杯。” 小李说：“我喝得最少。” 小王说：“我喝的杯数不是偶数。” 他们三人只有一人讲得不对，他们各喝了几杯？答案 解：假设小张说了谎，即小张喝的不是两杯酒，而此时小王、小李都没说谎，即小李喝了三杯酒， 小王喝了一杯酒，推知小张喝了两杯酒，这就与假设相矛盾，所以小张没说谎，喝的是两杯，剩下的 1 杯 和 3 杯都是奇数，所以小王也没有说谎，说谎的是小李，所以小王喝了 3 杯，小张喝了两杯，小李喝了一 杯.故答案为：小王喝了 3 杯，小张喝了两杯，小李喝了一杯. 解答此类题首先进行假设，然后根据假设，筛出与题意不符的结论，舍去；进而得出结论． 解析 假设小张说了谎，即小张喝的不是两杯酒，而此时小王、小李都没说谎，即小李喝了三杯酒，小王 喝了一杯酒，推知小张喝了两杯酒，这就与假设相矛盾．据此再进行推理即可解到此类问题． 3，运动场上，有 1、2、3、4 四个班正在进行接力赛对于比赛胜负，在一 旁的张明、王浩、李哲进行猜测。 张明说：“我看一班只能得第三，冠军肯定是三班。” 王浩说：“三班只能得第二，至于第三名，我看是二班。” 李哲说：“肯定四班第二，一班第一。” 而真正的结果，他们每人的预测只对了一半。请你根据他们的猜测，推出 比赛结果。答案 第一种推论：张明的预测,冠军是三班如果为真,那么一班就不是第三. 同时王浩的推论三班是第二为假,则二班是第三为真.也同时推论出一班第一为假,四班第二为真.则三 班第一,四班第二,二班第三,一班第四.不矛盾. 第二种推论：以张明的预测,一班得第三为真,则三班是冠军为假.王浩的第三名是二班为假,则三班是 第二为真.那么李哲的四班是第二为假,一班第一为真.则有一班第一,与假设相悖.推论不成立. 所以以第一种推论为真. 例题 5 张老师、王老师和李老师三位老师，其中一位老师教美术，一位老 师教音乐，一位老师教书法。已知： 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 221 - （1）张老师比教音乐的老师年龄大； （2）王老师比教美术的老师年龄小； （3）教美术的老师比李老师年龄小。 问：三位老师各教什么课？ 思路导航：我们可画出一张空白表，用“√”表示是，用“×”表示不是： 李老师 王老师 张老师 书法 音乐 美术 根据（2）王老师比教美术的老师年龄小，（3）教美术的老师比李老师年龄 小，我们可以判断： × × × × √ 李老师 王老师 张老师 书法 音乐 美术 再根据张老师（教美术的）比教音乐的老师年龄大，和教美术的老师比李 老师年龄小，可以得到李老师不教音乐。 × × √ × × × × √ √ 李老师 王老师 张老师 书法 音乐 美术 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 222 - 可以得到的结果是：张老师教美术，王老师教音乐，李老师教书法。 练 习 五 1，小王、小李和小徐三人中，一位是教师，一位是工人，一位是工程师。 现在知道： （1）小徐比工人年龄大； （2）小王和教师不同岁； （3）教师比小李年龄小。 请问：小王、小李和小徐各自做什么工作？答案 解： 由小王和教师不同岁，知道小王不是教师，由教师的年龄比小李小，知道小李也不是教师；小王、 小李都不是教师，只有小徐是教师；由小徐的年龄比工人大，和教师的年龄比小李小，说明小李不是工人 是工程师，所以小王是工人． 故答案为： 小徐是教师，小李是工程师，小王是工人 2，刘艺、王天、张明三个男孩都有一个妹妹，六个人在一起打羽毛球，举 行男女混合双打。事先规定：兄妹俩不可搭伴；第一盘由刘艺和小红对张明和 小英；第二盘中由张明和小平对王天和刘艺的妹妹。小红、小英、小平各是谁 的妹妹？答案 小红是张明的妹妹 小英是刘艺的妹妹 小平是王天的妹妹 解释： 张明跟小英和小平都打过，就只剩小红，因此小红是张明的妹妹 第二场刘艺妹妹有两种可能：小英或者小平 但是小平正跟张明打，所以刘艺妹妹只能是小英了 最后剩下的小平就是王天的妹妹了 3，甲、乙、丙三位老师分别教语文、数学、英语课。 （1）甲上课全用汉语； （2）英语老师是一位学生的哥哥； （3）丙是一位女教师，她比数学老师泼。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 223 - 请问：三位老师各教什么课？ 答案 解：甲老师上课全用汉语，所以甲老师教语文或数学； 因为英语老师是一个学生的哥哥，所以英语老师是男的； 因为丙是一位女老师，她比数学老师活泼，所以丙不教数学； 综合以上得知丙教语文，甲教数学，乙教英语．故答案为：丙教语文，甲教数学，乙教英语 将各个条件结合起来综合进行考虑，通过排除法进行推理，推出丙老师教语文是解答此题的关键. 解析 由“甲上课全用汉语”得出甲老师教语文或数学；“英语老师是一个学生的哥哥，”说明英语老师是 男的；“丙是一位女老师，她比数学老师活泼，”说明丙不教数学；综合以上得知丙教语文，甲教数学，乙 教英语． 第三十五周 巧求周长（一） 专题简析： 一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。我们已经学会了求长方 形、正方形这些标准图形的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长计算公 式，巧妙地求一些复杂图形的周长呢？ 对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用 平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计 算。 将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就 会增加几个长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正 方形，图形周长就会减少几个长或宽。 例题 1 下图是一个楼梯的侧面图，求此图形的周长。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 224 - 思路导航：如果把每层台阶的宽度向上移到和最上层台阶同样高的地方， 把每层台阶的高度向右移到和最下层的台阶长度一致的地方（如下图），这样楼 梯侧面图就转化为一个长方形，然后我们利用长方形周长计算公式求出此图形 的周长。 （2＋3）×2=10 米。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 225 - 练 习 一 1，下图是一个楼梯的侧面，如果在阶梯上铺地毯，要计算地毯的长度，可 以怎样测量？ 答案 这一题是学习了长方形的周长以后进行学习的，在解决这一题的时候，先让学生巩固一下长方形的 周长计算方法，然后再让学生通过画一画来解决这一题目，解决这一题的时候，主要是让学生把这一个图 转化成长方形，然后再求出长方形周长的一半.这一题的答案就出来了. 【答案】 解： 可以直接量出长方形的长和宽. 故答案为： 直接量出长方形的长和宽. 2，如下图所示，小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿 A 路线行走， 小玲沿 B 路线行走。如果两人速度一样，谁先到少儿书店？为什么？ 答案 解： 小明和小玲同时从学校到少儿书店，小明沿 A 路线行走，小玲沿 B 路线行走，如果两人速度一样， 他们两人会同时到达；因为 B 路线通过平移后能正好与 A 路线重合，也就是说 A 路线的路程等于 B 路线 的路程，然后再根据路程÷速度＝时间，路程一样，速度一样，那么时间就会一样. 故答案为： 同时到达；因为 B 路线通过平移后能正好与 A 路线重合，也就是说 A 路线的路程等于 B 路线的路 程，然后再根据路程÷速度＝时间，路程一样，速度一样，那么时间就会一样. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 226 - 3，下图是一个“凹”字形的花园，求花园的周长。（单位：米） 12 12 30 60 答案 解：答：该花圃的周长等于 60+60+30+30+12+12=204（米） 故答案为： 204 米. 例题 2 下图是由 6 个边长 2 厘米的正方形拼成的，这个图形的周长是多少 厘米？ 思路导航：这题我们可以用平移的方法将它转化为一个长方形，如下图： 这个长方形的长含有 4 个小正方形的边长，长为 2×4=8 厘米；宽含有 2 个 小正方形的边长，宽为 2×2=4 厘米。这个长方形的周长为：（2×4＋2×2）× 2=24 厘米。 练 习 二 1，下图是由 5 个边长为 3 厘为的正方形组成的图形，求此图形的周长。答 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 227 - 案 解： 该图可以拼接成 3 个正方形，所以该图形周长为 3×3×4＝36(厘米). 故答案为： 3×3×4＝36(厘米) 2，下图是由 6 个边长为 2 厘米的正方形组成的，求此图形的周长。 答案 解： 2×14＝28(厘米) 答：图形的周长是 28 厘米. 故答案为： 28 厘米 3，用 24 个边长是 1 厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是 多少厘米？解：（4×1+1）×2=10（厘米）； （1×2）×4=8（厘米）； 答：这个长方形的周长是 10 厘米，这个正方形的周长是 8 厘米； 故答案为： 10 厘米；8 厘米 例题 3 两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形 周长的和减少了 6 厘米。原来一个正方形的周长是多少厘米？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 228 - 思路导航：根据题意，画出下图。 当两个正方形拼成一个长方形时，组成两个正方形的 8 条边就减少了 2 条， 而已知两条边的和是 6 厘米，那么一条边长就是 6÷2=3 厘米。所以，原来正方 形的周长是：3×4=12 厘米。 练 习 三 1，把两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形的 周长和减少 10 厘米。原来一个正方形的周长是多少？答案 解：10÷2×4 = 5×4 = 20(厘米) 答：原来一个正方形的周长是 20 厘米. 故答案为： 20 厘米 2，把一个正方形剪成两个大小相同的长方形后，两个长方形的周长和比原 来正方形的周长增加 28 分米。原来正方形的周长是多少？答案 解：正方形的边长：28÷2=14(分米) 正方形的周长：14×4=56(分米) 故答案为： 56 分米 3，把边长是 48 厘米的正方形剪成三个同样大小的长方形，算一算，每个 长方形的周长是多少厘米？答案 解：一据图意可知，每块长方形的周长是： 〔48+(48÷3)〕×2 =〔48+16〕×2 =64×2 =128(厘米) 答：周长是 128 厘米 故答案为： 128 厘米 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 229 - 例题 4 一个正方形，边长是 5 厘为，将 9 个这样的正方形如下图一样拼成 一个大正方形，问：拼成的大正方形的周长是多少？ 思路导航：从图上可以看出，9 个小正方形拼成的大正方形共有 3 排，每排 由 3 个小正方形组成。已知小正方形的边长是 5 厘米，所以大正方形的边长就 是 5×3=15 厘米，大正方形的周长就是 15×4=60 厘米。 练 习 四 1，把 16 个边长为 3 厘米的小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的 周长是多少厘米？【答案】 解： 大正方形的边长为 8 厘米，则周长为 2×(8＋8)＝32 厘米. 故答案为： 见解答过程 2，把 6 个边长为 4 厘米的小正方形如下图拼成一个长方形，这个长方形的 周长为多少厘米？ 答案 解：5×3=15（厘米）；5×2=10（厘米）；（15+10）×2=50（厘米） 答：这个长方形的周长是 50 厘米.故答案为：50 厘米 3，把 6 个长为 3 厘米、宽为 2 厘米的小长方形如下图拼成一个大长方形， 这个大长方形的周长是多少？答案 解：大长方形的长：3×3=9 厘米，宽是 2×2=4 厘米，它的周长是：(9+4)×2=26(厘米)；它的面积 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 230 - 是：9×4=36(平方厘米). 答：这个大长方形的周长是：26 厘米；它的面积是：36 平方厘米. 故答案为： 26 厘米；36 平方厘米. 例题 5 将一张边长为 36 厘米的正方形纸，剪成 4 个完全一样的小正方形 纸片，这 4 个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了多少厘米？ 思路导航：将边长 36 厘米的正方形，沿竖直方向剪一刀，周长的和就比原 来大正方形周长增加 2 个边长；再沿水平方向剪一刀，又增加 2 个边长，一共 增加 2×2 个边长。所以这 4 个小正方形周长的和比原来的正方形周长增加了 36 ×4=144 厘米。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 231 - 练 习 五 1，将一张边长为 12 厘米的正方形纸，剪成 4 个完全一样的小正方形，那 么这 4 个小正方形周长之和比原来的大正方形的周长增加了多少厘米？答案 解：根据分析： 剪成后小正方形的边长是： 16÷2=8（厘米）， 剪成后四个小正方形的周长之和是： 8×4×4， =32×4， =128（厘米）， 原正方形的周长是： 16×4=64（厘米）， 增加的长度是： 128－64=64（厘米）． 答：周长增加了 64 厘米． 故答案为： 64 厘米. 解析 根据正方形的特征，四条边都相等，将一张边长为 16 厘米的正方形纸剪成 4 个完全一样的小正方形 纸片，就要用到原正方形的角作为小正方形的角，把正方形的边长要分成两个相等长度的边，据此画图， 再根据剪成的正方形的周长乘上 4，减去原正方形的周长就是增长的长度． 本题要根据图形拼组和正方形的周长来解答，可以先根据题意，画出图形，然后再计算.此题的关键 是画出图形，再用 4 个小正方形的周长减去原正方形的周长来解答． 2，把一个边长为 20 厘米的正方形，如下图剪成 6 个完全一样的小长方形， 这 6 个小长方形周长的和与原来的正方形相比，增加了多少厘米？解：正方形周长 =20×4=80(厘米)；长方形周长和：(20÷2＋20÷3)×2×6=200(厘米)；200－80=120(厘米)； 答：这 6 个小长方形周长的和与原来的正方形相比增加了 120 厘米. 故答案为： 120 厘米. 3，将一个长为 8 分米，宽为 6 分米的长方形如下图剪成 6 个完全一样的小 长方形，这 6 个小长方形周长之和比原来的正方形周长增加了多少分米？解析】 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 232 - 本题题考查的是长方形的周长公式.将大长方形的周长求出来为 2×（8+6）=48（厘米），一个小长方 形的长为 8÷2=4（厘米），宽为 6÷3=2（厘米），那么小长方形的周长为 2×（4+3）=14（厘米），6 个小 长方形的周长之和比原来的增加了 14×6-48=36（厘米）. 【答案】 解： 小长方形的长为 8÷2=4（厘米），宽为 6÷3=2（厘米），那么小长方形的周长为 2×（4+3）=14（厘 米），6 个小长方形的周长之和比原来的增加了 14×6-48=36（厘米）. 答：增加了 36 厘米. 故答案为： ​ 36 厘米. 第三十六周 巧求周长（二） 专题简析： 在解答比较复杂的关于长方形、正方形周长计算的问题时，生搬硬套公式 往往行不通，这时灵活地运用所学知识在解题中显得相当的重要。 解答稍复杂的有关长方形、正方形周长的问题，首先要仔细观察，认真思 考，想想已知条件和要求问题之间有什么联系，应该先求什么，再求什么，然 后灵活运用长方形、正方形周长公式进行计算。 例题 1 把长 130 厘米的铁丝围成一个长方形，接头处重合 2 厘米，要使长 比宽多 18 厘米，长和宽各是多少厘米？ 思路导航：把长 130 厘米的铁丝围成一个长方形，去掉接头处重合的 2 厘 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 233 - 米，可知围成的长方形的周长为 130－2=128 厘米。因为长方形的周长=（长＋ 宽）×2，所以长与宽的和为 128÷2=64 厘米。又因为题目中还告诉长与宽的差 为 18 厘米，因此这道题可以转化为和差应用题来解。 13-2=128 厘米 128÷2=64 厘米 长：（64＋18）÷2=41 厘米 宽：（64－18）÷2=23 厘米 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 234 - 练 习 一 1，如图：已知这个长方形的周长为 38 厘米，阴影部分为正方形，求长方 形的长和宽。答案 答:长方形的长是 12 厘米,宽是 7 厘米 2，小华家给长方形的院子装上了篱笆墙，由于门宽 2 米，所以篱笆墙共长 16 米，而这个长方形的宽是长的一半。长和宽各是多少米？答案】 解：设长方形的宽是 x 米，那么长为 2x 米. 2(x+2x)=16+2 6x=18 x=3 2x=6 答：长方形的宽是 3 米，长是 6 米. 故答案为： 6；3 3，一个周长为 20 厘米的正方形，从中间剪开成为两个大小相等的长方形。 这两个长方形周长共多少厘米？答案 20÷4＝5（厘米） 20＋5×2 ＝20＋10 ＝30（厘米） 答：这两个长方形的周长共 30 厘米。 例题 2 一根铁丝长 80 厘米，围成一个边长为 8 厘米的正方形，余下的铁 丝围成一个长为 14 厘米的长方形。这个长方形的宽是多少厘米？ 思路导航：要求长方形的宽是多少，必须先求出这个长方形的周长是多少， 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 235 - 也就是这根铁丝余下的长度。 （1）正方形的周长：8×4=32 厘米 （2）长方形的周长：80－32=48 厘米 （3）长方形的宽：48÷2－14=10 厘米 练 习 二 1，一根铁丝长 100 厘米，围成一个边长为 10 厘米的正方形，余下的铁丝 围成一个宽为 10 厘米的长方形。这个长方形的长是多少厘米？答案 解:(100 - 10×4)÷2 - 10 ＝(100 - 40)÷2 - 10 ＝60÷2 - 10 ＝30 - 10 ＝20(厘米) 答:这个长方形的长是 20 厘米. 2，一根绳子长 78 厘米，围成一个长 12 厘米，宽 9 厘米的长方形，余下的 围成一个正方形。这个正方形的边长是多少厘米？答案 剩：164-2（24+9）=98 厘米 正方形边长=98/4=24.5 厘米 正方形面积=24.5*24.5=600.25 平方厘 3，一根铁丝围成一个边长为 7 厘米的正方形，余下的正好围成一个长为 12 厘米、宽为 10 厘米的长方形。这根铁丝长多少厘米？答案 72 解:,7×4+(12+10)×2 ,＝28+22×2 ,＝28+44 ＝72(厘米); 答:这根铁丝长 72 厘米. 故答案为:72. 例题 3 一个长方形的周长是正方形的 2 倍，正方形的边长与长方形的宽都 是 4 厘米。长方形的长是多少厘米？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 236 - 思路导航：根据长方形的周长是正方形的 2 倍，我们就应先求出正方形的 周长，然后根据它们之间的关系，求出长方形的周长，再求出长方形的长。 （1）正方形的周长：4×4=16 厘米 （2）长方形的周长：16×2=32 厘米 （3）长方形的长：32÷2－4=12 厘米。 练 习 三 1，一个长方形的周长是正方形的 4 倍，正方形边长与长方形的宽为 6 厘米。 长方形长多少厘米？解： (6×4)×4=96(厘米)，96÷2-6=48-6=42(厘米)； 答：长方形的长是 42 厘米． 故答案为： 42 厘米 2，一个长方形的周长是正方形的 2 倍，正方形的边长与长方形的宽为 10 厘米。长方形的长是多少厘米？答案 解： 长方形的周长： 10×4×2=80（厘米） 长方形的长：（80-20）÷2=30（厘米） 答：长方形的长是 30 厘米. 故答案为： 答：长方形的长是 30 厘米. 3，一张长方形纸，长 28 厘米，宽 15 厘米，剪下一个最大的正方形后，余 下的长方形纸周长是多少？答案 解：(28－15+15)×2 =28×2 =56(厘米) 答：余下的长方形纸的周长是 56 厘米. 故答案为： 56 厘米 例题 4 三个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长是 48 厘米，求每个长方形的周长。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 237 - 思路导航：要求每个长方形的周长必须先求出每个长方形的长和宽，长方 形的长正好是正方形的边长，宽是把正方形的边长平均分成 3 份，其中的 1 份， 根据正方形的周长是 48 厘米，可求出它的边长为 48÷4=12 厘米，那么长方形 的周长是（12＋4）×2=32 厘米。 练 习 四 1，四个同样大小的长方形正好拼成一个正方形，正方形的周长为 64 厘米， 长方形周长是多少？答案 解:长方形的长是 64÷4＝16:(厘米), 宽是 16÷4＝4:(厘米), 周长:(16+4)×2 ＝20×2 ＝40(厘米); 答:长方形的周长是 40 厘米. 2，六个同样大小的长方形正好拼成一个如下图的正方形，正方形周长为 48 厘米，每个长方形周长是多少？答案 解： 正方形的边长：48÷4=12（厘米）； 小长方形的长：12÷2=6（厘米）； 小长方形的宽：12÷3=4（厘米）； 小长方形的周长：（4+6）×2=20（厘米）. 故答案为：20 厘米 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 238 - 3，明明用学具盒里的三个同样大小的长方形拼成了一个大长方形，已知大 长方形的周长是 60 厘米，长是宽的 4 倍，求小长方形的周长。答案 大长方形的周长是 60 厘米,长是宽的 4 倍 宽为 60÷5＝12 厘米 长为 12×4＝48 厘米 小长方形周长为 2×(48÷3+12) ＝2×24 ＝48 厘米 例题 5 一张长方形的纸，长是 28 厘米，宽是 15 厘米，先剪下一个最大的 正方形，再从余下的纸片中，再剪下一个最大的正方形。最后余下的长方形周 长是多少？ 思路导航：根据题中的要求，我们可以画出一张示意图。 28厘米 15厘米 第二次剪下 第一次剪下 观察图形，我们发现：第一次剪下的以宽为标准的边长为 15 厘米的正方形， 这时长边还剩下 28－15=13 厘米；第二次剪下的以长边剩下的 13 厘米为边长的 正方形，这时最后剩下的长方形宽是 15－13=2 厘米，长为 13 厘米，即周长是： 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 239 - （13＋2）×2=30 厘米。 练 习 五 1，一张长为 25 厘米，宽为 10 厘米的长方形，先剪下一个最大的正方形， 余下的长方形的周长是多少？答案 解：余下的长方形长 25－10=15 厘米，宽 10 厘米， 周长(15+10)×2 =25×2 =50(厘米). 答：余下的长方形的周长是 50 厘米. 故答案为： 50 厘米 2，一张长方形纸，长为 32 厘米，宽为 15 厘米，先剪下一个最大的正方形， 再从余下的纸片中，又剪下一个最大的正方形，最后余下的长方形周长是多少？ 答案 第一次减去 一个边长为 15 的正方形后剩余长方形为长 17 宽 15; 第二次减去一个边长为 15 的正方形后剩余长方形为长 15 宽 2; 即面积为;(32 - 15 - 15)×15＝30 周长为 2×(32 -15 - 15)+2×15＝34 3，下图甲、乙两图形，哪个图形的周长长些？ 第三十七周 面积计算 专题简析： 我们已经学会了计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽， 正方形的面积=边长×边长。利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。 在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公 式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。因此，敏锐 的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 240 - 例题 1 把一张长为 4 米，宽为 3 米的长方形木板，剪成一个面积最大的正 方形。这个正方形木板的面积是多少平方米？ 思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如图），那 么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是 3 米。 3米 4米 正方形的面积：3×3=9 米。 练 习 一 1，把一张长 6 厘米，宽 4 厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这 张正方形纸的面积是多少平方厘米？答案 解：4×4=16(平方厘米) 答：这张正方形纸的面积是 16 平方厘米. 故答案为： 16 平方厘米. 2，把一块长 2 米、宽 6 分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形， 这个正方形铁板的面积是多少？答案 解： 6×6=36(平方分米) 答：这个正方形铁板的面积是 36 平方分米. 故答案为： 36 平方分米 3，将一张长 10 厘米、宽 8 厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形， 那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？答案 解：7×(10－7) =7×3 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 241 - =21(平方厘米) 答：剪去的长方形纸片的面积是 21 平方厘米. 故答案为： 21 平方厘米 例题 2 学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长 20 米。 花坛的面积是多少平方米？ 思路导航：要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。根据绿 篱总长是 20 米，可求出花坛的边长为 20÷4=5 米，所以花坛的面积是：5×5=25 平方米。 练 习 二 1，一个正方形的周长为 36 厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？ 答案 解： 36÷4=9（厘米）， 9×9=81（平方厘米）， 答：这个正方形的面积是 81 平方厘米．故答案为： 81 平方厘米 2，运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖总长 400 米，求游泳池的面积是多少平方米。答案 400÷4＝100(米) 100×100＝10 000(平方米) 答：游泳池的面积是 10 000 平方米. 故答案为： 10 000 平方米 3，在公园里有两个花圃，它们的周长相等。其中长方形花圃长 40 米，宽 20 米，求另一个正方形花圃的面积。答案 解：(30＋20)×2÷4 =100÷4 =25(米) 25×25=625(平方米) 答：另一个正方形花圃的面积是 625 平方米. 故答案为： 625 平方米 例题 3 求下面图形的面积。（单位：厘米） 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 242 - 1 3 2 4 思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将 这个图形分割成两个长方形。如下图： 1 3 2 4 从图上可以看出，左边长方形的长为 4 厘米，宽为 2 厘米，面积为 4×2=8 平方厘米；右边长方形的长为 3 厘米，宽为 1 厘米，面积为 3×1=3 平方厘米。 所以，这个图形的面积为：8＋3=11 平方厘米。 想一想：这道题还可以怎样画辅助线，分割后求面积呢？ 练 习 三 计算下面图形的面积。（单位：厘米） (1) 15 20 30 40 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 243 - (2) 3 1 1 2 2 (3) 1 1 1 2 5 1 4 例题 4 有两个相同的长方形，长是 8 厘米，宽是 3 厘米。如果把它们按下 图叠放，这个图形的面积是多少？ 思路导航：如果两个长方形没有叠放，那么它们的面积就是 8×3×2=48 平 方厘米，现在两个长方形重叠了一部分，重叠部分是个边长 3 厘米的正方形， 面积是 3×3=9 平方厘米，因此，这个图形的面积是 48－9=39 平方厘米。 练 习 四 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 244 - 1，两张边长 8 厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌上（如下图），桌 面被盖住的面积是多少？ 8 8 8 4 4 8 答：桌面被盖住的面积是 112 平方厘米． 2，求下图中阴影部分的面积。（单位：分米） 3，一个长方形与一个正方形部分重合（如下图），求没有重合的阴影部分 面积相差多少？（单位：厘米） 例题 5 一个长方形若长增加 2 厘米，面积就增加 10 平方厘米，若宽减少 3 厘米，面积就减少 18 平方厘米。求原来长方形的面积。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 245 - 从图上可以看出，长增加 2 厘米，面积就增加 10 平方厘米，说明原来长方 形的宽是 10÷2=5 厘为；宽减少 3 厘米，面积就减少 18 平方厘米，说明原来长 方形的长是 18÷3=6 厘米。所以，原来长方形的面积是：6×5=30 平方厘米。 练 习 五 1，一个长方形，若长减少 5 厘米，面积就减少 50 平方厘米，若宽增加 7 厘米，面积就增加 28 平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？答案 原来长方形的宽是： 50÷5＝10 原来长方形的长是： 28÷7＝4 原来长方形的面积： 10×4＝40 答：原来长方形的面积是 40 平方 2，一个正方形若边长都增加 4 厘米，面积就增加 56 平方厘米。原来正方 形的面积是多少平方厘米？答:原来正方形的面积是 25 平方厘米. 3，一个长方形，若宽增加 6 分米就是一个正方形，面积就增加了 66 平方 分米，求原来长方形的面积。答案 解： 66÷6×(66÷6－6) =11×(11－6) =11×5 =55(平方分米) 答：原来长方形的面积是 55 平方分米. 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 246 - 故答案为： 55 平方分米. 第三十八周 最佳安排 专题简析： 我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时间有大学问吗？合理 地安排时间，往往会达到事半功倍的效果。科学地安排时间的方法，就叫做最 佳安排。 小朋友在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事：（2） 做每件事需要的时间；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪 些事可以同时做。 在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥 出更大的效率。 例题 1 明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶 1 分钟，烧开水 12 分 钟，把水灌入水瓶要 2 分钟，吃早点要 8 分钟，整理书包 2 分钟。应该怎样安 排时间最少？最少要几分钟？ 思路导航：经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。 水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和 整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示： 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 247 - 从图上可以看出，洗水壶要 1 分钟，接着烧开水要 12 分钟，在等水开的同 时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需 15 分钟。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 248 - 练 习 一 1，红红早晨起来刷牙洗脸要 4 分钟，读书要 8 分钟，烧开水要 10 分钟， 冲牛奶 1 分钟，吃早饭 5 分钟。红红应怎样合理安排？起床多少分钟就能上学 了？答：起床 20 分钟就能上学了. 2，玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要 2 分钟，烧开水要 12 分钟，买茶叶 5 分钟，洗茶杯要 1 分钟，冲茶要 1 分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理 的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？共用时：2＋12＋1＝15(分钟). 故答案为： (1)略；(2)能同时做的就同时做；(3)洗水壶 烧开水、买茶叶、洗茶杯可同时做 3，小李阿姨要出门，出门之前她要完成以下几件事：整理房间 5 分钟，把 衣服和水放入洗衣机要 1 分钟，洗衣服自动洗涤要 12 分钟，擦鞋要 3 分钟。怎 样合理安排，小李阿姨在多少分钟后就可以出发了？(分钟) 答:小李阿姨在 13 分钟后就可以出发了. 例题 2 贴烧饼的时候，第一面需要烘 3 分钟，第二面需要烘 2 分钟，而贴 烧饼的架子上一次最多只能放 2 个烧饼。要贴 3 个烧饼至少需要几分钟？ 思路导航：先放第一、二两个烧饼贴第一面，过 3 分钟后，拿下第一个， 并把第二个翻过去，并放上第三个烧饼；过 2 分钟拿下第二个，并放第一个烧 饼，过 1 分钟把第三个烧饼翻过来；再过 1 分钟取下第一个烧饼，再过 1 分钟 三个烧饼全贴完了，只用了 8 分钟。 3＋2＋1＋1＋1=8 分钟 练 习 二 1，用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要 2 分钟，烙 第二面需要 1 分钟。现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？答案 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 249 - 解：2+2+1=5(分钟)， 答：烙 3 张饼至少需要 5 分钟故答案为：5 分钟 2，烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要 2 分钟， 那么烤三个面包最少需要多少分钟？至少需要 2＋2＋2＝6(分钟). 故答案为： 6 分钟 3，小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放 4 个饼。烙一个饼一面 要 2 分钟，另一面要 1 分钟，可小红烙 6 个饼只用了 5 分钟，她是怎么做的？小 红的妈妈是这样做的：先将 4 个饼放在烙锅里，过了 2 分钟后，拿出 2 个饼子，并将另外两个饼子翻面； 再放入剩下的 2 个饼子，过了 1 分钟，翻面的 2 个饼子熟了；拿出这两个熟了的饼子，再将第一次拿出的 两个饼子放入烙锅；最后将第二次的两个饼子翻面放入锅内.总共用了 2+2+1=5(分钟) 例题 3 甲、乙、丙、丁四人各有一块麦地，他们同时用一台收割机进行收 割，甲的麦地需要收割 4 小时，乙的麦地需要收割 1 小时，丙的麦地需要收割 3 小时，丁的麦地需要收割 2 小时。怎样安排四人的顺序，他们花的总时间最少？ 最少时间是多少？ 思路导航：所用的时间是指他们四个各自收割时间与等的时间的总和，因 为各自收割的时间不变，所以在安排收割的顺序时，应该使等的时间尽可能少， 即应该安排收割时间少的人先用，顺序是：乙、丁、丙、甲，过程可用下表表 示： 4 3 3 2 2 2 1 1 1 1 甲等的时间 丙等的时间 丁等的时间 乙等的时间 甲收割 的时间 丙收割 的时间 丁收割 的时间 乙收割 的时间 从表中可以看出，四人收割的时间为：1＋2＋3＋4=10 小时，三人等的时间 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 250 - 为：1×3＋2×2＋3=10 小时，所以，最少时间为 10＋10=20 小时。 练 习 三 1，甲、乙、丙三人都要到同一水龙头下取水，甲需要用 2 分钟，乙需要用 4 分钟，丙需要用 1 分钟。怎样安排，他们花的总时间最少？最少时间是多少？ 答案 解：按丙→甲→乙的顺序使等侯的时间和最少； 1×3+2×2+4=11(分钟) 答：最少时间是 11 分钟． 故答案为： 按丙→甲→乙的顺序；11 分钟 2，卫生室里有四名同学等候医生治病，甲打针要 3 分钟，乙换纱布需要 4 分钟，丙涂红药水需要 2 分钟，丁点眼药水需要 1 分钟。怎样安排，他们在医 院等候的时间和最少？最少是多少分？答案 解：因为 1 分钟＜2 分钟＜3 分钟＜4 分钟； 所以就诊顺序是:丁→丙→甲→乙； 等待时间就是: 1×4+2×3+3×2+4 =4+6+6+4 =20（分钟） 故答案为：丁→丙→甲→乙；20 分钟 3，三个顾客到同一个柜台去买东西，甲需要用 4 分钟，乙需要用 6 分钟， 丙需要用 2 分钟。怎样安排他们购买的顺序，使他们所花的总时间最少？最少 是多少？答案 解:按丙甲乙的顺序使等侯的时间和最少; (分钟), 答:最少时间是 20 分钟. 例题 4 在一条公路上每隔 50 千米有一个粮库，共 4 个粮库。甲粮库存有 10 吨粮食，乙粮库存有 20 吨粮食，丁粮库存有 50 吨粮食，还有一个粮库是空 的。现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运 1 千米要 1 元 的运费，那么最少要花多少运费才行？ 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 251 - 丁 丙 乙 甲 50吨 20吨 10吨 思路导航：这种运输问题，运的货物越重路程越远，花费就越多。反之， 如果移动的货物重量小路程近，花费的费用就少。在本题中，各粮库之间的距 离相等都是 50 千米，一般原则是“少往多处靠”。集中存在粮食较多的库房比 较节约，甲、乙两仓库粮食合起来是 30 吨，还不如丁粮库的粮食多，所以应将 甲、乙粮库的粮食集中放在丁粮库。甲粮库需用 1×10×50×3=1500 元，乙粮 库需要 1×20×50×20=2000 元，共用 1500＋2000=3500 元。 练 习 四 1，一条公路上每隔 20 千米有 1 个仓库，共有 5 个仓库。1 号仓库存有 20 吨货物，2 号仓库存有 30 吨货物，5 号仓库存有 70 吨货物，其余两个仓库是空 的。现在要把所存的货物集中在一个仓库中，如果每吨货物运 1 千米要 1 元运 费，那么最少要花多少运费？答案】 解： 根据常识，可先将两端的两个仓库排除， 又 2 号仓库中的货物最多，因此如果从 2 号向 4 号运，费用一定高，所以也可将 4 号排除， 则只剩下 2 号、3 号两个仓库： 每吨货物运输一千米要 10 元运费，则每吨每 40 千米需要运费 10×40=400 元， 如果向 2 号仓库运需要运费： 20×400+20×400×3 =8 000+24 000 =32 000(元) 如果向 3 号仓库运需要运费： 20×400×2+50×400+20×400×2 =16 000+20 000+16 000 =52 000(元) 32 000 元<52000 元， 所以，集中到 2 号仓库运费最少，需要 32 000 元. 故答案为 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 252 - 5号 4号 3号 2号 1号 70吨 20吨 30吨 2，一条公路有四个储油站，它们之间都相隔 100 千米。甲储油站有 50 吨 油，乙储油站储有 10 吨油，丙储油站有 20 吨油，丁储油站是空的。现在如果 想把所存的油集中于一个储油站，每吨油运 1 千米要 2 元运费，那么最少要花 多少运费？ 丁 丙 乙 甲 50吨 20吨 10吨 答案 解：3×15×100 =45×100 =4500（元）， 3×10×100×2 =3000×2 =6000（元）， 4500+6000=10500（元）。 答：最少要花 10500 元运费。 3，一条公路有三所小学分别为 A、B、C，在什么地方设一个汽车站，才能 使用三个学校的学生上学放学所行的总路程最少？答案 解：假设 A，C 间的距离是 x 米，路程最少车站一定在线段 AC 上，学校 A，C 的学生每次上学和放 学所走的路程的和都是 x，所以只需要让 B 学校的学生走路最少即可，即车站在 B 学校处. 答：车站在 B 学校处可满足要求. 故答案为： B 学校处. C B A 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 253 - 例题 5 小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河 需 2 分钟，乙马过河需 3 分钟，丙马过河需 6 分钟，丁马过河需 7 分钟。每次 只赶两匹马过河，要把 4 匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？ 思路导航：要使过河时间最少，应抓住以下两点：（1）同时过河的两匹马 相差时间尽可能小些，才能使花时间少的马在过河时少浪费时间；（2）过河后 应骑时间少的那匹马回来。因此，赶马的顺序是：小明先骑甲马赶乙马一起过 河，再骑甲马返回，共需 3＋2=5 分钟；然后骑丙马赶丁马一起过河后，再骑乙 马返回，7＋3=10 分钟；最后骑在甲马背上赶乙马一起过河，不再回来，共需 3 分钟。所以，4 匹马都赶到对岸去最少时间是 5＋10＋3=18 分钟。 练 习 五 1，明明骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁 4 头牛，甲牛过河需 1 分钟，乙牛过河需 2 分钟，丙牛过河需 5 分钟，丁牛过河需 6 分钟。每次只能 赶两头牛过河，要把 4 头占都赶到对岸去，最少要多少分钟？答案 解：2＋1＋6＋2＋2＝13(分钟) 答：将四头牛全部赶到对岸至少需要 13 分钟. 故答案为： 13 分 2，小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁 4 匹马，甲马过河需 7 分钟， 乙马过河要 2 分钟，丙马过河要 3 分钟，丁马过河要 8 分钟。每次只能两匹马 过河，要把 4 匹马都赶到对岸去，最少要多少分钟？答案 解：2＋1＋6＋2＋2＝13(分钟) 答：将四头牛全部赶到对岸至少需要 13 分钟. 故答案为： 13 分 3，小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河 要 1 分钟，乙牛过河要 2 分钟，丙牛过河要 3 分钟，丁牛过河要 4 分钟，戊牛 过河要 5 分钟，己牛过河要 6 分钟。每次只能三头牛过河，要把 6 头牛都赶到 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 254 - 对岸去，最少要几分钟？答案 解:因为 6 头牛过河,每次只能赶 3 头牛, 所以需要三次; 骑甲赶戊和己,骑甲回:(分钟), 再骑甲赶丙和丁,骑甲回需:分钟 最后再骑甲赶乙需 2 分钟 共用:(分钟) 答:最少要 14 分钟. 第三十九周 抽屉原理 专题简析： 把 12 个苹果放到 11 个抽屉中去，那么，至少有一个抽屉中放有两个苹果， 这个事实的正确性是非常明显的。把它进一步推广，就可以得到数学里重要的 抽屉原理。 用抽屉原理解决问题，小朋友一定要注意哪些是“抽屉”，哪些是“苹果”， 并且要应用所学的数学知识制造抽屉，巧妙地加以应用，这样看上去十分复杂， 甚至无从下手的题目才能顺利地解答。 例题 1 敬老院买来许多苹果、橘子和梨，每位老人任意选两个，那么，至 少应有几位老人才能保证必有两位或两位以上老人所选的水果相同？ 思路导航：根据抽屉原理，要保证必有两个或两个以上的苹果放在同一抽 屉中，苹果总数至少要比抽屉数多 1。这里，我们可以马敬老院老人人数看作抽 屉原理中的苹果数，关键是看抽屉数了。 因为三种水果任选两个的搭配有：苹果——苹果；苹果——橘子；苹果— —梨；橘子——橘子；橘子——梨；梨——梨共 6 种，所以，既然有 6 个抽屉， 必须至少有 7 个苹果才能保证两个或两个以上的苹果放在同一抽屉里，即至少 要 7 位老人。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 255 - 练 习 一 1，学校图书室买来许多故事书、科技书和连环画，每个同学任意选两本。 那么，至少应有几个同学，才能保证有两个或两个以上同学所选的书相同？答案 解： 三种类型的书，每个同学可以任意选两本， 则所有的选择种类是：故事书和科技书，故事书和连环画，科技书和连环画，一共 3 种选择， 所有根据抽屉原理可知，要使得“两个或两个以上同学所选的书的种类相同”， 则至少应有 4 个同学. 故答案为：4 个 2，布袋中有红、黄、橙三种颜色的木块若干块，每个小朋友任意摸两块木 块。那么，至少有多少个小朋友，才能保证有两个或两个以上小朋友所选的木 块相同？答案 取出木块的可能性有这些：红红、红黄、红蓝、黄黄、蓝蓝、红蓝.总计六种情况. 那么无论怎么取都可以取到前面的组合所以算式很简单：6+1＝7 3，一个袋子里有红、黄、橙、紫四种颜色的小球，每人任意摸三个球，那 么至少有几人才能保证有两个或两个以上的人所选的小球相同？答案 解： 每人摸三个球，共有 4(颜色各不相同时)+12(两种颜色)+4(颜色相同)=20 种情况，所以至少有 21 人 才能保证至少有两人相同. 故答案为： 21 人. 例题 2 幼儿园大班有 41 个小朋友，老师至少拿几件玩具随便分给大家， 才能保证至少有一个小朋友能得两件玩具？ 思路导航：41 个小朋友相当于 41 个抽屉，玩具的件数相当于苹果。根据抽 屉原理，玩具的件数应比 41 多 1，所以至少要拿 42 件玩具。 练 习 二 1，小明家有 5 口人，小明妈妈至少要买几个苹果分给大家，才能保证至少 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 256 - 有一人能得两个苹果？答案 解 5+1＝6:个); 答:明妈妈至少要买 6 个苹果分给大家,才能保证至少有一人能得两个苹果. 2，某学校共有 15 个班级，体育室至少要买几个排球分给各班，才能保证 至少有一个班能得两个排球？ 3，某校有 370 名 1992 年出生的学生，那么，至少有几个学生的生日是同 一天？答案 解： 1992 年是闰年共 366 天，把 370 名看作“物体个数”370÷366＝1…4 个，即平均每天有一个学生过 生日，还余 4 名学生，根据抽屉原理，至少 1＋1＝2 个学生生日是同一天. 故答案为： 至少 2 个学生在同一天 例题 3 盒子里混装着 5 个白色球和 4 个红色球，要想保证一次能拿出两个 同颜色的球，至少要拿出多少个球？ 思路导航：如果每次拿 2 个球会有三种情况：（1）一个白球，一个红球；（2） 两个白球；（3）两个红球。不能保证一次能拿出两个同颜色的球。 如果每次拿 3 个球会有四种情况：（1）一个白球，两个红球；（2）一个红 球，两个白球；（3）三个白球；（4）三个红球。这样每次都能保证拿出两个同 颜色的球，所以至少要拿出 3 个球。 练 习 三 1，箱子里装着 6 个苹果和 8 个梨，要保证一次能拿出两个同样的水果，至 少要拿出多少个水果？答案 解 2+1＝3:(个), 答:至少需要取出 3 个水果. 2，书箱里混装着 3 本故事书和 5 本科技书，要保证一次能拿出两本同样的 书，至少要拿出多少本书？答案】 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 257 - 解：把故事书和科技书看作 2 个抽屉，若要符合题意，取出书的本数必须大于 2，则至少取出 3 本 才符合要求. 答：要保证一次能拿出两本同样的书，至少要拿出 3 本书. 故答案为： 3 本 3，书箱里混装着 3 本故事书和 5 本科技书，要保证一次一定能拿出 2 本故 事书，至少要拿出多少本书？答案 解：从最坏的情况考虑，先拿走了 5 本科技书，再拿 2 本故事书，那么至少要拿 5+2=7 本书.故答案 为：7 本书 例题 4 一个布袋里装有红、黄、蓝袜子各 5 只，问一次至少取出多少只， 才能保证每种颜色至少有一只？ 思路导航：我们从最不利的情况着手，如果先取 5 只全是红的，那么只了 再取 5 只；如果 5 只又全是黄的，这时，再取 1 只一定是蓝的了，这样取 5×2 ＋1=11 只才能保证每种颜色至少有 1 只。 练 习 四 1，抽屉里放着红、绿、黄三种颜色的球各 3 只，一次至少摸出多少只才能 保证每种颜色至少有一只？答案 解:(只); 答:一次至少摸出 7 只才能保证每种颜色至少有一只. 2，书箱里放着 4 本故事书，3 本连环画，2 本文艺书。一次至少取出多少 本书，才能保证每种书至少有一本？答案 根据抽屉原理,把把三种书分别看做 3 个抽屉,然后考虑最差情况,4 本故事书全部取出来,再把 3 本连 环画书全部取出来,那么再取一本书一定是文艺书; 4+3+1＝8(本) 3，盒子里放有 3 枝绿铅笔，3 枝红铅笔和 5 枝蓝铅笔，如果闭上眼睛摸一 次，必须摸几枝才能保证至少有 1 枝蓝铅笔？答案 7 例题 5 三（2）班有 50 个同学，在学雷锋活动中，每人单独做了些好事， 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 258 - 他们共做好事 155 件。问：是否有人单独做了 4 件或 4 件以上的好事？ 思路导航：根据条件可知：三（2）班有 50 个同学，假如每个同学做 3 件 好事，那就做了 3×50=150 件好事，而他们做的好事是 155 件，就多做了 155 －150=5 件，所以完全可能有一个同学做了 4 件或 4 件以上好事。 练 习 五 1，幼儿园小班共有 30 个小朋友，他们每人自己都有一些玩具，他们共有 玩具 92 件。问：是否有人单独有 4 件或 4 件以上玩具？答案 解：92÷30=3……2，3+2=5，所以有人单独有四件以上.故答案为：有 2，童星幼儿园有 6 个班，他们在植树节中每班都种了一些树，他们共种了 14 棵树，问：是否有班级种了 3 棵或 3 棵以上的树？答案 解： 假设每个班都种了 2 棵，则种了 2×6=12(棵)，还剩 14－2=2(棵)，这 2 棵无论放在哪个班种植 都会使这个班种了 3 棵或 3 棵以上，所以一定有班级种了 3 棵或 3 棵以上. 故答案为： 是 3，明明、华华、颖颖三人各有一些铅笔，他们共有铅笔 14 枝。问：是否 有人有 5 枝或 5 枝以上的铅笔？答案 解：一定有人有 7 支或 7 支以上的铅笔，因为：如果每人 6 支是 6×3=18(支)，剩下 20-18=2(支)， 这 2 支给其中任何 2 人都会使其得到的数量是 7 支或 7 支以上. 故答案为：是 第四十周 一题多解 专题简析： 一题多解是指从不同角度，运用不同的思维方式来解答同一道题的思考方 法，经常进行一题多解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑更灵活。 在进行一题多解的练习时，要根据题目的具体情况，首先确定思维的起点， 然后沿着不同的思考方向，就能找到不同的解题方法。在寻求一题多解时，还 应该特别选择解决问题的简便方法和最佳途径。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 259 - 例题 1 有一个正方形池塘，四周种树，每边种 8 棵，每个顶点种一棵，每 两棵树之间距离都相等。四周一共种了多少棵树？ 思路导航： 方法一：根据条件可知，每边种 8 棵，4 边就是 8×4=32 棵，但每边起点一 棵算了两次，一共多算了 4 棵，所以四周一共种了 32－4=28 棵树。 方法二：我们可以先数正方形的一组对边，包括两个顶点的，每边种 8 棵； 再数另一组对边的，不数两个顶点的，每边种 8－2=6 棵。所以，一共有：8×2 ＋6×2=28 棵。 方法三：把正方形四边拉直，每边种 8 棵，就是把每边分成了 7 等份，4 边 共分成了 28 等份，每一等份对应一棵树，所以共有 28 棵树。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 260 - 练 习 一 1，在一个正方形的菜地四周围篱笆，每个顶点插一根，每两根篱笆之间的 距离相等，每边有 12 根篱笆，四周一共围了多少根篱笆？答案 解：12×4－4＝48－4＝44(根).故答案为：44(根). 2，有一个三角形花圃周围种松树，每个顶点种一棵，每边种 10 棵，每两 棵之间距离相等，四周一共种了多少棵？答案 解：10×3－1×3 =30－3 =27(棵) 答：四周一共种了 27 棵. 故答案为： 27 棵 3，少先队员表演节目，围成一个正方形，每个顶点站 1 人，已知每边站 6 人，一共站了多少人？答案 解：6×4－4＝20(人). 故答案为：20(人). 例题 2 一瓶花生油连瓶一共重 800 克，吃掉一半油，连瓶一起称，还剩 550 克。瓶里原有多少克油？空瓶重多少克？ 思路导航： 方法一：根据条件可知，花生油和瓶的重量油 800 克变为 550 克，是因为 吃掉了一半油，半瓶油的重量是 800－550=250 克，一瓶油的重量是 250×2=500 克，油瓶的重量是 800－500=300 克。 方法二：根据条件可知，半瓶油连瓶重 550 克，从 550 克中减去半瓶油的 重量 800－550=250 克，550－250=300 克即为瓶的重量，油的重量为：800－ 300=500 克。 方法三：根据“并瓶油连瓶共重 550 克”可求出一瓶油和两个瓶共重 550 ×2=1100 克，所以瓶重：1100－800=300 克，油重 800－300=500 克。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 261 - 练 习 二 1，一袋大米，连袋共重 50 千克。吃掉一半后，连袋剩下 27 千克。大米重 多少千克？袋重多少千克？答案 解:(50 - 27)×2 ＝23×2 ＝46(千克); 27 - (50 - 27) ＝27 - 23 ＝4(千克); 答:大米重 46 千克;袋重 4 千克. 2，一筐苹果连筐共重 85 千克，倒去一半后，连筐共重 45 千克。苹果和筐 各重多少千克？答案 解：设苹果重 x 千克，则筐重(85－x)千克，由题意列方程得， 12x+85－x=45， 12x=40，x=80，85 －80=5(千克)，所以苹果重 80 千克，筐重 5 千克. 故答案为： 各有 80 千克和 5 千克. 3，一筐橘子，连筐共重 45 千克。先拿一半送给幼儿园，再拿出剩下的一 半给敬老院的老人，余下的橘子连筐重 15 千克。橘子和筐各重多少千克？答案为： 40 千克;5 千克 例题 3 甲班有 42 人，乙班有 35 人，开学时来了 25 位新同学，怎样分才 能使两班学生人数相等？ 思路导航： 方法一：根据已知条件，我们可求出转来了 25 位同学后的总人数为：42＋ 35＋25=102 人，再求出平均每班为 102÷2=51 人，再根据甲班乙班原有的人数 分别求出甲班分了：51－42=9 人，乙班分了：51－35=16 人。 方法二：根据已知条件，我们可先求出乙班比甲班少 42－35=7 人，那么 25 位新同学中我们可先分 7 人给乙班，使乙班和甲班一样多，这样就剩下 25－7=18 人。剩下的 18 人，我们再平均分给两班，每班各分 18÷2=9 人。 所以，甲班共分了 9 人，乙班共分了 9＋7=16 人。 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 262 - 练 习 三 1，小明有 18 枝铅笔，小红有 15 枝铅笔，妈妈又买来 13 枝铅笔，怎样分， 才能使两人铅笔一样多？答案 18+15+13=46 46÷2=23 23-18=5（分给小明五只） 23-15=8（分给小红八支） 2，甲仓库有粮食 420 吨，乙仓库有粮食 370 吨，又运来粮食 180 吨，怎样 分，才能使两仓库粮食一样多？解析 假设 44 辆都是三轮摩托车，则应共有 44×3＝132 个轮子，比实际少了 132－116＝16 个轮子，每辆 两轮摩托比三轮摩托少了 3－2＝1 个轮子，所以这里有 16÷1＝16 辆两轮摩托；三轮摩托有 44－16＝28 辆 3，有甲、乙两筐苹果，甲筐有苹果 25 千克，乙筐有苹果 18 千克，又买来 13 千克苹果，怎样分才能使两筐苹果一样多？答案 解：根据：(25+18+13)÷2=28(千克)；知甲、乙每筐应分 28 千克苹果，所以又买来的 13 千克苹果 分别分给甲筐 3 千克苹果，分给乙筐 10 千克苹果； 答：分给甲筐 3 千克，分给乙筐 10 千克，才能使两筐苹果一样多. 故答案为： 甲筐 3 千克；乙筐 10 千克. 例题 4 从小青家经小红和小强家到学校有 450 米，从小青家到小强家有 390 米，从学校到小红家有 320 米。从小红家到小强家有多少米？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 学校 小强家 小红家 小青家 方法一：从小青家到学校有 450 米，到小强家有 390 米，说明小强家到学 校有 450－390=60 米，又因为小红家到学校有 320 米，所以小红家到小强家有 320－60=260 米。 方法二：根据上面线段图和已知条件可知： 从小青家到学校有 450 米，从学校到小红家有 320 米，说明小青家到小红 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 263 - 家有 450－320=130 米。又因为小青家到小强家有 390 米，所以小红家到小强家 有 390－320=260 米。 方法三：根据上面线段图和已知条件可知： 从小青家到小强家有 390 米，从学校到小红家有 320 米。我们可求出小青 家到学校与小红家到小强家的距离为 390＋320=710 米，从中减去小青家到学校 的距离 450 米，就是小红家到小强家的距离：710－450=260 米。 练 习 四 1，亮亮经过小明、小丹家到电影院共 500 米，从亮亮家到小丹家是 270 米， 从小明家到电影院是 410 米。从小明家到小丹家多少米？答案 270+410-500=180 2，小敏外出旅游乘车回家，从汽车站经医院、商店到家共 1000 米，从汽 车站到商店是 620 米，从医院到家是 690 米。那么医院到商店多少米？答案 690 - (1000 - 620) ＝690 - 380 ＝310 答：医院到商店 310 米。 3，有两块木板，一块长 70 厘米，另一块长 80 厘米。如果把两块木板重叠 后钉成一块木板，全长 130 厘米。重叠部分长多少厘米？答案 （70+80-130）/2=10， 重叠 10 厘米。 例题 5 小青以均匀的速度在公路上散步，从第 1 根电线杆走到第 10 根电 线杆共用了 12 分钟，如果她走 24 分钟，应走到第几根电线杆？ 思路导航： 方法一：根据题意，画出线段图。 12分钟 12分钟 A 三年级奥数 1 至 40 讲参考答案 - 264 - 从图上可以看出，由于每个间隔所用的时间无法直接求出，因而只有从时 间关系上加以考虑，24 分钟正好是 12 分钟的 2 倍，就相当于小青先走 12 分钟， 又继续走 12 分钟。注意第 10 根（图中 A 处）既是前 12 分钟的终点，又是后 12 分钟的起点，显然被重复算了一次。因此，小红如果走 24 分钟，应走到 10 ×2－1=19 根电线杆处。 方法二：根据题意，画出线段图。 12分钟 12分钟 B 由图可知，12 分钟走到第 10 根电线杆，共走了 10－1=9 个间隔，24 分钟 正好是 12 分钟的 2 倍，那么 24 分钟就走了 9×2=18 个间隔。 要求应走到第几根电线杆，我们要加上起点 B 点那根电线杆，因而应走到 第 18＋1=19 根电线杆。 练 习 五 1，玲玲上楼，从一楼到三楼用 6 分钟，如果她走 12 分钟，应走到几楼？6 ÷(3 - 1) ＝6÷2＝3 12÷3+1＝4+1＝5 2，路的一旁插着彩旗，如果从第一面旗走到第 4 面旗要用 12 分钟，那么 走 24 分钟能从第一面走到第几面？ 3，小芳和妈妈用均匀的速度在马路上散步，他们从第 1 根电线杆走到第 12 根电线杆，整整用了 8 分钟。仍用这样的速度，再走 8 分钟，他们会走到第几 根电线杆？