四年级上册数学北京课改版知识要点 18页

一 大数的认识 一、计数单位与数位顺序表 1.一(个)、十、百、千、万、十万、百万……都是计 数单位。 2.数位顺序表。 3.在数位顺序表中,从个位起向左数,每四位为一级, 分别是个级、万级、亿级…… 4.每相邻两个计数单位之间的进率都是．．．．．．．．．．．．．．．．10．．。这就是．．．． 十进制计数法．．．．．．。 二、大数的读法、写法 1.大数的读法: (1)读数时,要从高位读起,按照数位顺序表划分数级, 先读亿级,再读万级,最后读个级。 (2)读亿级上的数时,先要按照个级上的数的读法来 读,再在后面加一个“亿”字;读万级上的数时,先要按照个级 上的数的读法来读,再在后面加一个“万”字;读个级上的数 时,直接读即可。 (3)每级末尾不管有几．．．．．．．．个．0．,．都不读．．．,．其他数位上有一个．．．．．．．． 或者连续几个．．．．．．0．,．都只读一个零。．．．．．．． 2.大数的写法: (1)写数时,从高位起一级一级往下写,即先写亿级,再 写万级,最后写个级。 (2)哪一个数位上一个计数单位也没有,就在那个数 位上写 0占位。 三、数的大小比较 1.比较大数的大小时,首先要看数的位数,位数多的那 个数就大。 2.如果位数相同,就比较最高位,最高位上的数大的那 个数就大。 10 个十万是一百万,10 个一 百万是一千万,10 个一千万是一 亿。 计数单位与数位的区别: 计数单位是指计算物体个数 的单位;数位是指一个数中每个 数字所占的位置。 易错点:误认为计数单位之 间的进率都是 10,这是不对的,一 定要注意“相邻”二字。 读数时一定要写汉字,不能 写阿拉伯数字。如 97000000 读 作:九千七百万,而不是 9千 7 百 万。 举例:707450055 错解:七亿七百四十五万五 十五 正解:七亿零七百四十五万 零五十五 写亿以上数时,除了亿级外, 万级和个级都要保证有四位数。 巧记 大数比较数数位, 数位相同看首位; 首位相同比下位, 比出大小巧解答。 第1页 3.如果最高位上的数相同,就比较下一位上的数,下一 位上的数大的那个数就大。 4.如果最高位的下一位上的数也相同,就按照上述方 法依次比较下去,直到比较出大小为止。 四、数的改写 1.改写整亿、整万的数。 (1)改写整万的数时,先分级,然后去掉万级后面的 4 个 0,并在末尾写上“万”字。 (2)改写整亿的数时,先分级,然后去掉亿级后面的 8 个 0,并在末尾写上“亿”字。 2.用“．四舍五入．．．．”．法求近似数．．．．． 用“四舍五入”法求一个数的近似数,精确到哪一位就 看它的下一位是大于 5,等于 5,还是小于 5。 (1)如果精确位的下一位大于或等于 5,就把精确位后 面的数全部舍去,并向前一位进 1。 (2)如果精确位的下一位小于 5,就直接把精确位后面 的数全部舍去。 “≈”是约等号,读作“约等于”。 易错点:只有整亿的数改写 成以“亿”为单位的数时,才可以用 “=”连接,而非整亿的数改写后是 一个近似数,要用“≈”连接。 第2页 二 乘 法 一、三位数乘两位数的计算法则 1.三位数乘两位数(进位,因数中间和末尾没有 0) (1)较大的数写在上面,相同数位对齐。 (2)用两位数的个位与另一个因数的每一位依次相 乘,所得积的末位与个位对齐。．．．．．．．．．．．． (3)用两位数的十位与另一个因数的每一位依次相 乘,所得积的末位与十位对齐。．．．．．．．．．．．． (4)将两次乘得的积加起来。 2.三位数乘两位数(一个因数中间有 0) 下面的两位数的个位或十位与 0相乘后,加上进位 数,写在相应位置,如果没有进位,就在这一位上写 0。 3.三位数乘两位数(因数的末尾有 0) 先将 0前面的数相乘,再看两个因数末尾一共有几 个 0,就在积的末尾添上几个 0 。 二、三位数乘两位数(估算) 在进行三位数乘两位数的估算时,可以根据“四舍五 入”法把三位数看成整百或整十数,两位数看成整十数来 进行估算。 三、积的变化规律 在乘法算式中．．．．．．,．一个因数不变．．．．．．,．另一个因数乘．．．．．．(．或除．． 以．)．几．(．0．除外．．),．积也乘．．．(．或除以．．．)．相同的数。．．．．．如: 18×2=36 45×3=135 180×2=360 45×30=1350 180×20=3600 450×30=13500 巧记 三位数乘两位数, 竖式计算别马虎, 大数在上位对齐, 下面的数最辛苦, 个位乘完十位乘, 对准各自积尾数, 所得的积加一起, 就是最后的得数。 易错点: 哪一位去乘上面的数,积的末 位就和那一位对齐。因数末尾有 0,只需先乘 0前面的数,再把 0添 上。 易错点: 把三位数看成整百数时,要看 十位上的数字是该“四舍”还是该“五 入”。 易错点: 乘法算式中,一个因数乘几(0 除外),另一个因数除以几(0 除外), 积不变。 第3页 三 运 算 定 律 一、加法运算定律 1.加法交换律 两个数相加,交换加数的位置．．．．．．．,和不变,这叫做加法交换．．．． 律．。 用字母表示:a+b=b+a 2.加法结合律 三个数相加,先把前两个数相加再加第三个数．．．．．．．．．．．．,或者先 把后两个数相加再加第一个数．．．．．．．．．．．．,和不变,这叫做加法结合律．．．．．。 用字母表示:(a+b)+c=a+(b+c) 3.加法算式中的简便计算 利用“加法交换律”和“加法结合律” 可以使计算更简便。 简便计算的基本原则是“凑整”。 如下所示: 582+115+118+385 =582+118+115+385 ……(加法交换律) =(582+118)+(115+385) ……(加法结合律) =700+500 =1200 二、乘法运算定律 1.乘法交换律 两个数相乘,交换因数的位置．．．．．．．,积不变,这叫做乘法交换．．．． 律．。 用字母表示:a×b=b×a 2.乘法结合律 三个数相乘,先把前两个数相乘,再与第三个数相乘,或 者先把后两个数相乘,再与第一个数相乘,积不变。这叫做乘． 法结合律．．．．。 用字母表示:(a×b)×c=a×(b×c) 3.乘法分配律 两个数的和与一个数相乘,可以先用这两个加数分别．． 与这个数相乘．．．．．．,再把两个积相加,结果不变。这叫做乘法分配．．．． 律．。 巧记 加法乘法运算律, 用的巧妙可简便, 交换加数、因数位, 所得结果不会变, 一个数乘两数和, 看看能否用简便, 如果可以凑成整, 分乘再加和不变。 易错点: 一个数连续减去两个数,可 以用这个数减去两个数的和。 不管运用什么定律,凑整数 是简便计算最基本的原则。要 根据每一题的实际情况,判断应 该用什么方法更简便。 第4页 用字母表示:(a+b)×c=a×c+b×c 4.乘法算式中的简便计算 (1) 25×13×4 =25×4×13 =100×13 =1300 …………(乘法交换律和结合 律) (2) 102×39 =(100+2)×39 =100×39+2×39 =3900+78 =3978 …………(乘法分配律) (3)35×89+65×89 =(35+65)×89 =100×89 =8900 …………(乘法分配律) 第5页 四 线 与 角 一、线段、射线和直线 1.线段 线段有两个端点．．．．,可以量出长度。 2.射线 射线只有一个端点．．．．,可以向一端无限延长。也可以将 射线看作是把线段的一端无限延长,得到一条射线。射线 不能测量长度。 射线: 3.直线 直线没有端点．．．．,可以向两端无限延长。也可以将直线 看作是将线段的两端无限延长,得到一条直线。直线不能 测量长度。 直线: 4.两点之间线段最短。 如下图: 通过观察,第③条路线最短,也就是两点之间线段最 短。 二、角 从一点引出的两条射线．．．．．．．．．所组成的图形叫做角。角通 常用符号“∠”来表示。 巧记 射线一路跑到黑, 直线两端无头尾, 线段两端被固定, 要量长度不用愁。 易错点: 直线:是直的,没有端点。有些 曲线,虽然也没有端点,但不属于 直线。 第6页 1.角的度量 (1)角的计量单位是“度”,用符号“°”表示,把半圆分成 180 等份,每一份所对的角的大小是 1度,记作 1°,量角的 工具是量角器。 (2)量角的步骤 ①将角的顶点与量角器的中心点．．．重合。 ②让量角器的 0．刻度线．．．与角的一条边重合。 ③角的另一条边所对的量角器上的刻度．．．．．．．．．．．．．．就是角的度 数。 2.角的分类 锐角是小于 90°的角;直角是等于 90°的角;钝角是大 于 90°且小于 180°的角;平角是等于 180°的角,平角的两 条边在同一条直线上;周角是等于 360°的角,周角的两条 边互相重合,在同一条直线上。 1平角=2 直角 1周角=2平角=4 直角 3.画角 画角的步骤(以画一个 65°的角为例): (1)画一条射线．．。 (2)使量角器的中心点和射线的端点重合,0 刻度线和 射线重合。 (3)在量角器 65°刻度线的地方点一个点。 易错点: 角的大小与角两边的长短无 关。角的顶点确定角的位置,角的 两边叉开的大小确定角的大小。 巧记 角的分类看大小, 锐角直角和钝角, 还有平角和周角, 从小到大错不了。 一副三角尺有两个,其中一 个三角尺是等腰直角三角形,分 别是 45°、45°、90°的角,另一个 三角尺分别是 30°、60°、90°的 角,利用一副三角尺,可以画出很 多特殊的角,比如:15°、105°、 135°、150°等。 用量角器量角时,一定要明 确是读内刻度线,还是读外刻度 线。 第7页 (4)以画的射线的端点为端点,通过刚画的点,再画一 条射线。 第8页 五 方向与位置 一、描述物体的方向 1.确定一个点的位置,除了知道方向．．,还要知道距． 离．。方向和距离是确定位置的两要素．．．．．．．．。 2.根据方向和距离确定物体位置 首先要确定方向;再确定距离,在位置图中,可以 用单位长度的线段表示较长的实际距离,根据实际距 离确定图中线段的长度;最后画出物体具体位置,标 明名称。 如上图:以学校为观测点,要确定小芳家、小红 家、小刚家、小亮家的位置,就要分别确定它们的方 向和距离,小芳家在学校的西北方向,距离是 4个格, 每格代表 200 米,即 800 米;小红家在学校的西南方 向,距离是1000米;小刚家在学校的东北方向,距离是 1000 米;小亮家在学校的东南方向,距离是 800 二、描述路线图 描述路线图时,三个要素不能少,一是观测点．．．,观． 测点是不同的．．．．．．;二是方向要找准;三是注意单位距离．．．． 表示的实际距离。按照先后顺序依次描述出行时走 的方向和距离。 如上图中,要描述每个赛段所走的方向和路程, 位置具有相对性,找准观测点很 关键,在观测点处用虚线画出方向标, 可以帮助确定方向。 易错点: 在表述两个方向中间的方向时, 通常把东、西放在前面,把南、北放在 后面。 易错点: 观测点不是一成不变的,要随着 行程的变化而变化。 描述行走路线时,要先描述起点, 再描述方向,最后描述距离。 第9页 首先从起点出发,向 1 号点行进,1 号点在起点的东北 方向,要走 5个单位长度,也就是 250 米;然后从 1号 点向西北行进 250米到达 2号点;再以 2号点为观测 点向西南行进 200 米到达终点。 三、用数对确定物体的位置 用数对确定物体的位置,主要是确定物体所在的 “列数、行数” ,确定了物体所在的列和行,就可以写出 数对。也可以根据数对表示出来的列数和行数,确定 物体的位置。 如:A 同学在教室中的位置是第 3列、第 5行, 他的位置用数对表示为(3,5);B 同学的位置用数对表 示为(2,4),那么他在教室中的位置是第 2列、第 4行。 四、魔术纸圈 莫比乌斯圈 德国有一位数学家叫莫比乌斯,在 1858 年发现 了这样一个奇妙的纸圈。所以人们就把这样的纸圈 叫莫比乌斯圈。 莫比乌斯圈只有一个面,一只小虫可以爬遍整个 曲面而不必跨过它的边缘。沿着莫比乌斯圈的中心 线剪开,不会像普通纸圈一样得到两个纸圈,而是得 到一个更大的纸圈。 易错点: 虽然人们常习惯说“行、列”,但数 对的格式是(列数,行数)。 莫比乌斯圈在实际生活中的应用 非常广泛。 第10页 六 除 法 一、三位数除以两位数的计算 1.两、三位数除以整十数 可以先将被除数和除数都看作是几个 十,然后按照除数是一位数的方法去口算。 比如:150÷30 想:150 是 15 个十,30 是 3 个十,因为 15÷3=5,所以 150÷30=5。 2.除数不是整十数的笔算除法 把除数看作与它接近的整十数来试商, 试得的商和除数相乘,如果余数比除数小,说 明试得的商是合适的。 比如:72÷12 想:把12看作10,72看作70,试商7,然后 用 7×12=84,发现商大了,调小一些,商 6,6×12=72,商正好,可得 72÷12=6。 3.三位数除以两位数 (1)从被除数的最高位．．．除起。 (2)先用除数去试除被除数的前两位,如 果比除数小,再试除前三位。 (3)除到哪一位．．．．．,就在那一位上面写商。 (4)每次除得的余数都要比除数小．．．．．．．．。 4.试商法: 四舍法．．．:当除数的个位上是 1、2、3、4 时舍去,看作整十数去估计大概商几,此法试 得初商通常大些,如不合适应调小。 五入法．．．:当除数的个位上是 5、6、7、8、 9时进一,看作整十数去估计大概商几,此法试 得初商通常小些,如不合适应调大。 二、三位数除以两位数(估算) 在进行三位数除以两位数的估算时,可 以根据“．四舍五入．．．．”．法把三位数看成整百或整 十数,两位数看成整十数来进行估算。 巧记 除法要从高位起, 除到哪里商哪里, 余数不能大除数, 这个道理别忘记。 易错点: 用“四舍”法估计除数来试商,得到的商容 易偏大;用“五入”法估计除数来试商,得到的商 容易偏小。 易错点: 把三位数看成整百数时,要看十位上的 数字是该“四舍”,还是该“五入”。 第11页 比如:812÷91 把812看作810, 91看作90, 810÷90=9, 那么812÷91≈9,但是有时候为了让商是整数, 被除数不满 5也要进一。比如:713÷79,如果 把79看作80,那么就要把713看作720,因为 72是 8的倍数,因为71不是8的倍数,所以即 使 713 个位上的数字不满 5,也要向十位进 一。 同样的道理,为了方便计算,有些算式的 被除数的个位满 5也要舍去,比如: 216÷29, 估算时要把 216 看作 210,把 29 看作 30,216 个位上的数字虽然大于 5,也要舍去,因为 21 是 3 的倍数。 三、商不变的性质 除法算式中,被除数和除数同时乘或除．．． 以同一个不为．．．．．．0．数．,商不变,余数也跟着乘或 除以同一个不为 0的数。 比如:59÷8=7……3 590÷80=7……30 5900÷800=7……300 四、单价、数量和总价的关系 单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价 五、速度、时间和路程之间的关系 速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度 易错点: 被除数和除数变化的倍数必须统一,余 数也要跟被除数或除数有同样的变化。 易错点: 如果题目中不止有一种商品,注意单价、 数量和总价要相对应。 速度是指单位时间内行走的路程,单位 时间可以是时、分、秒等其他时间单位。 第12页 七 用计算器探索规律 一、认识计算器 1. 计算器是生活中比较普及的计算工具,它通常 分为显示器与键盘区两部分。 开机键是ON,关机键是OFF,有时也用一个键开机 和关机是ON/OFF,清除键是C或者AC,有时清除键和 开机键是ON/C,还有数字键 0~9,运算符号键“+、-、×、 ÷”以及“=”等其他功能键。 2.如何运用计算机进行计算。 比如:27+39 (1)开机按ON/C 键。 (2)按数字键 2、 7,显示屏显示 27。 (3)按+,显示屏显示 27。 (4)按数字键 3、9,显示屏显示 39。 (5)按=键,显示屏显示计算结果为 66。 二、用计算器探索规律 计算过程中,我们可以先用计算器计算,然后通过 观察、比较、归纳、类比发现并表达同组算式中的规 律。 比如:1×1=1 11×11=121 111×111=12321 1111×1111=1234321 首先我们可以用计算器计算前三个算式的结果,通 过计算和观察规律,乘法算式的两个因数是相同的,由 若干个 1组成,因数有几个 1,乘积就先从 1排列到几, 然后从几排到 1,比如:1111×1111=1234321,两个因数 由 4个 1 组成,积就从 1排到 4再排到 1,即 1234321, 这样我们就可以推断出下一个算式的乘积为 11111×11111=12345321。 计算器的种类和型号有很多 种,不同种类和不同型号的计算器, 其构造和作用也不一样,但均有最 基本的运算能力。 用计算器计算时,输入运算符 号,并不显示运算符号。 要找规律,可以从数字的个数, 排列规律等方面去类比,看有什么 变化。 第13页 八 条形统计图 一、认识条形统计图 1.用一个单位长度．．．．(如 1 厘米)表示一定的数．．．． 量．,根据数量的多少,画成长短相应成比例的直条, 并按一定顺序排列起来,这样的统计图,称为条形 统计图。 2.条形统计图的特点 能清楚地表示出数量的多少,是统计图资料 分析中最常用的图形。 按照排列方式的不同,可分为纵式条形统计 图和横式条形统计图。 纵式条形统计图: “图书角”图书统计图 横式条形统计图: 鸿丰商场 2016 年 6月某周矿泉水销售量统 计图 二、制作条形统计图 1.从同一顶点画出两条射线分别作为统计图 的纵轴和横轴。 2. 确定好纵轴或横轴代表的是什么,一般纵 式条形统计图中都会用纵轴来表示变化的数据。 3.确定纵轴上 1格代表几个单位。 观察条形统计图,可以从图中读出我 们需要的信息,要注意1格代表几个单位。 纵式条形统计图和横式条形统计图 的原理是一样的,只是在不同情况下更为 方便。 易错点: 如果数据只是在一个范围内,而这个 范围的最低值又比较大,统计图中起始格 可以用曲线表示 0至最低值,从最低值开 始有规律地上升。 第14页 4.在横轴上正确的位置画出长条,表示数据。 第15页 九 可 能 性 一、确定事件与不确定事件 1.确定事件．．．． 确定事件分两种, 一种是确定必然会发生．．．．．的,描述时一般 用到“一定”“必须”等词语。比如:太阳每天一定 从东方升起。 一种是确定必然不会发生．．．．．．的,描述时一 般用到“绝不”“不可能”等词语,比如:地球不可 能围绕月球转动。 2.不确定事件 不确定事件是指事件的结果有不同的可．．．． 能性．．,描述不确定事件常用到“可能”“不一定”“也 许”等词语。比如:雨后可能出现彩虹,雨后出 现彩虹这个事件有可能发生,也有可能不发 生。 二、事件发生的可能性大小 通过事件的实际条件,可以判断出某种 情况出现的可能性大小。 比如:投骰子,骰子有六个面,每个面上的 点数是从 1到 6。 这六个面出现的可能性相同,机会均等。 确定事件或不确定事件,要根据实际情 况来判断。 事件发生的可能性大小和游戏的公平性 有关,要想让获胜的机会均等,必须有相等的 机会。 第16页 十 数学百花园 一、重叠问题 1.当两个计数部分中有重复包含的内容 时,我们称之为“重叠问题”。 2.数量关系 实际人．．．(．或物．．)．数．=．第一类人．．．．(．或物．．)．数．+．第． 二类人．．．(．或物．．)．数．-．重叠部分人．．．．．(．或物．．)．数． 解答重叠问题时,必须从条件入手认真 分析,有时可以根据条件画图来帮助我们思 考,找出哪些是重复的,重复了几次,明确求的 是哪一部分,从而找出解题的方法。 比如:四(1)班同学每人至少参加一种课 外活动小组,参加美术组的有 18 人,参加音乐 组的有 17 人,两组都参加的有 10 人,求四(1) 班一共有多少人? 计算时确定关键的三个量:第一类人数, 就是参加美术组的人有 18 人;第二类人数,就 是参加音乐组的人有 17 人;重叠人数,就是两 组都参加的有 10 人。根据关系式“实际人．．．(．或． 物．)．数．=．第一类人．．．．(．或物．．)．数．+．第二类人．．．．(．或物．．)．数．-． 重叠部分人．．．．．(．或物．．)．数．”,列出算式为 18+17-10=25(人)。 二、方阵问题 1.学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖 着排叫做列。如果行数与列数都相等,则正好 排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做 方阵。我们在这一部分主要研究最外层人(或 物)数与每边人(或物)数的关系以及方阵总人 数的问题。 2.数量关系: 每边人．．．(．或物．．)．数．=．[．四周总人．．．．(．或物．．)．数． ÷．4．]．+．1． 四周人．．．(．或物．．)．数．=．[．每边人．．．(．或物．．)．数．-．1．]．×．4． 在解答重叠问题时,要找准关键的数量, 尤其是重叠部分的数量,要明确求哪一部分。 如果是求重叠部分,需要用:第一类人(或物)数 +第二类人(或物)数-实际人(或物)数。 如果每个角上都有物体,那么这个物体 在计算时可能会被重复计算,所以我们要先 用每边人(或物)数减 1,再去计算。 第17页 方阵总人．．．．(．或物．．)．数．=．每行人．．．(．或物．．)．数．×．行． 数． 三、编码 生活中,常用一些数字或字母等有规律 的编排在一起,来表达一定的信息,如我们的 身份证号、电话号码、商品编码等。 以身份证为例,排列顺序从左至右依次 为:六位数字地址码,八位数字出生日期码,三 位数字顺序码和一位数字校验码。 地址码(身份证前六位)表示编码对象第 一次申领居民身份证时的常住户口所在县 (市、区)的行政区划代码。 出生日期码(身份证第 7位到第14位)表 示编码对象出生的年、月、日,其中年份用四 位数字表示,年、月、日之间不用分隔符。比 如:1981 年 05月 11日就用 19810511 表示。 顺序码(身份证第 15 位到 17 位)是县、 区级政府所管辖派出所的分配码,每个派出 所分配码为 10 个连续号码,比如“000-009”或 “060-069”,其中单数为男性分配码,双数为女 性分配码。 身份证最后一位是校验码。 编码时,要用固定的某几位数字去表达 固定的信息,才能形成有规律的编码。 第18页