五年级下册数学试题-奥数：第一讲 直线形面积的计算（解析版）全国通用 8页

第一讲直线型面积的计算内容概述前三讲我们将针对几何部分进一步学习提高！首先，让我们一起来回顾一些基本知识！我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。如下表：对于不规则图形的面积及周长计算，我们大都是由规则图形转化而来的！在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，和夹在一组平行线之间，且有公共底边那么；反之，如果，则可知直线平行于。这节课我们将通过例题学习到几个很重要的定理结论！同学们注意做好笔记啊！ 例题精讲【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成（1）2个面积相等的三角形；（2）3个面积相等的三角形；（3）4个面积相等的三角形。分析：（1）如右图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；（2）如右图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点；答案不唯一；（3）如下图，答案不唯一，以下仅供参考；前四种答案学生都容易得到，在这里我们需要特别说明的是第五个答案，请看例2。【例2】在学习三角形时，很多同学都听说过中位线，所谓中位线就是三角形两边中点的连线。如右图所示，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，根据定义可知DE、DF、EF就是三角形ABC的中线。那么请你说明：（1）DE与BC平行（2）DE=1/2BC（3）S△ADE=1/4S△ABC分析：（1）在解答一些几何问题时，我们常常需要添加一些辅助线帮助我们分析解决。如右图（1），连接DC、BE。因为D、E分别是AB、AC的中点，所以S△BDC=1/2S△ABC=S△BEC，又因为△BDC与△BEC同用BC做底，根据“内容概述”部分常用结论③可得：DE与BC平行。同理可得：DF与AC平行，EF与AB平行。（2）我们知道两组对边平行的四边形是平行四边形，因为DE与BC平行，EF与AB平行，所以四边形BDEF是平行四边形，所以DE=BF=1/2BC。同理可得：DF=1/2AC，FE=1/2AB。（3）如图（1），因为E是AC的中点，所以S△ABE=1/2S△ABC，D是AB的中点，所以 S△ADE=1/2S△ABE=1/4S△ABC,同理可以得到：S△BDF=S△EFC=1/4S△ABC。那么我们就容易知道被分得的4个小三角形面积相等。从例2（1）、（2）中，我们可以得到三角形“中位线”的两条性质：（1）它与对应底边平行；（2）它的长度是底边长的二分之一。【例1】把1个等边三角形分成形状和面积完全相同的8个三角形、12个三角形，画出分割后的图形。分析：如图所示。【例2】如右图，D是BC上任意一点，请你说明S1：S4=S2：S3=BD：DC分析：三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S1：S4=BD：DC；三角形ABE与三角形EBD同高，三角形ACE与三角形CED同高，所以S1：S4=S2：S3；综上可得S1：S4=S2：S3=BD：DC。这就是几何中的燕尾定理。看右下图，根据燕尾定理我们可以得到：S1：S2=S3：S4=S5：S6=BD：DC【例3】如图，M为AB中点，N是BC上一点，CN=2BN．连结AN交MC于0点，若四边形BMON的面积为14cm2，则△ABC的面积是_________cm2分析：连接OB。不妨把△BMO的面积视为1，因为M为AB中点，所以S△AMO=1，根据燕尾定理可知S△ABO：S△AOC=BN：CN=1：2，所以S△AOC=4，那么S△ACM=5，可得S△BCM=5，进而得S△BCO=4。又因为S△NBO：S△NCO=BN：CN=1：2，S△NBO+S△NCO=S△BCO，所以S△NBO=4/3，S△NCO=8/3。阴影面积=S△BMO+S△NBO=1+4/3=7/3，对应14cm2，S△ABC=1+1+4+4=10，是60cm2 【例1】将三角形ABC的BA边延长1倍到点D，CB边延长2倍到点E，AC边延长3倍到点F，问三角形DEF的面积是多少?(S△ABC=1)分析：∵△ABC面积=1，CB边延长2倍到点E∴△ABE面积=2，也可得△AED面积=2∵△ABC面积=1，AC边延长3倍到点F∴△BCF面积=3，也可得△ADF面积=4，根据燕尾定理：△ABE面积：△FBE面积=△ABC面积：△BCF面积，可得△FBE面积=6。总上可得：△DEF面积=2+4+2+1+3+6=18。【例2】把矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形的面积是矩形面积的15％，黄色三角形的面积是21cm2求矩形面积.分析：在讲解这道题目之前，教师先介绍一个结论：如右下图，E为矩形ABCD内部的任意一点，则当E落在矩形的某条边上时，也成立。（矩形换成平行四边形同样成立）由上面这个结论，我们就容易得到此题解答：【例3】O是长方形ABCD内一点，已知三角形OBC的面积是5cm2，三角形OAB的面积是2cm2，求三角形OBD的面积是多少?【例4】如图20-4，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积为6平方厘米，求三角形CDH的面积。分析：通常求三角形的面积，都是先求它的底和高。题目中没有一条线段的长度是已知的，所以我们只能通过创造等积的方法来求。　　直接找三角形HDC与三角形AFH的关系还很难，而且也没有利用“四边形ABCD和四边形DEFG是正方形” 这一条件。我们不妨将它们都补上梯形DEFH这一块。寻找新得到大三角形CEF和大直角梯形DEFA之间的关系。经过验算，可以知道它们的面积是相等的。从而得到三角形HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米。【例1】如右图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，请你说明它们的面积相等。分析：这道题两个平行四边形的关系不太明了，似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结CE（见右下图），这时通过三角形DCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABCD的面积是三角形DCE的两倍；同理，在平行四边形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高与平行四边形DEFG边DE上的高相等，所以平行四边形DEFG的面积也是三角形DCE的两倍。两个平行四边形的面积都是三角形DCE的两倍，所以它们的面积相等。【例2】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．分析：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而S△ACF=S△ACE+S△AEF，S△ABF=S△BEF+S△AEF　∴S△ACE=S△BEF，即S△BEF=S△ADE=1．【例3】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。分析：这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×4÷2=8。【例4】右图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。分析：直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。 法1：连结B，E（见右图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。法2：连结C，F（见右图）。三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。法3：延长BC交GF于H（见右图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。所求为（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。法4：延长AB，FE交于H（见右图）。三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。所求为4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。附加题目【附1】两个正方形组成右图所示的组合图形。已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。分析：组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了。用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于（52-4）÷3=16（厘米）。又由两个正方形的边长之差是4厘米，可求出大正方形边长=（16+4）÷2=10（厘米），小正方形边长=（16-4）÷2=6（厘米）。阴影部分的面积：102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。【附2】如图（1），ABCD是一长方形纸片，把它的左下角沿虚线EC折叠过去成图（2），AE恰好是AD的1/4，三角形CDE面积是27，三角形AHE面积是3，三角形BCG面积是16，问三角形DGH（阴影部分）的面积是多少？分析：三角形ACE面积=27÷3=9，四边形ABCD面积=（27+9）+9=45,阴影部分面积=3+27+16-45=1。【附3】图中是一块长方形草地，长方形长为12，宽为8，中间有一条宽为2的道路，求草地（阴影部分）的面积。分析：将道路进行一定的分割，如下左图所示，而后将1、3、5推到长方形左端，2、4、6推倒长方形上端，那么可得下右图，阴影部分面积就为：（12-2）×（8-2）=10×6=60。 练习一1．将任一个三角形分成面积相等的六个三角形，用四种不同的方法应怎么分？解答：2．在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。解答：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50厘米2。3．右图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。解答：EC=（4×6-9）÷6×2=5（厘米），ED=EC-DC=1（厘米）。4．右图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。解答：连结CB。三角形DCB的面积为4×4÷2-2=6厘米2，CD=6÷4×2=3厘米。5．右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10。中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？解答：平行四边形的道路面积：10×2，我们可以把它置换成一个10×2的长方形，将横竖两条道路都移至边上（如右下图所示），那么草地的面积就是：（16-2）×（10-2）=112。 6．如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49。那么图中阴影部分的面积是多少？解答：（三角形ABC的面积）+（三角形CDE的面积）+（13+49+35）=（长方形面积）+（阴影部分面积）又因为三角形ABC的面积=三角形CDE的面积=1/2长方形面积所以可得：阴影部分面积=13+49+35=97。课外知识赶牛过河题目：牧童骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁4头牛。甲牛过河需1分钟，乙牛过河需2分钟，丙牛过河需5分钟，丁牛过河需6分钟。又知，每次只能赶两头牛过河。那么牧童要把这4头牛都赶到对岸最少要用几分钟？分析：要使用的时间最少，我们首先得让牧童骑着用时最少的牛返回。所以第一次，牧童赶甲、乙两头牛过河，用2分钟；然后骑甲回来，用1分钟；第二次，牧童赶甲、丙两头牛过河，用5分钟；然后再骑甲回来，用1分钟；第三次，牧童赶甲、丁两头牛过河，用6分钟；这时四头牛全部过河，总共用了：2＋1＋5＋1＋6=15（分钟），是不是最省时呢？　　其实不然，最短的时间是13分钟，先想一想这是为什么？刚才我们只考虑回来的时间要最少，却将用时最多的两牛分开过河了。让用时最多的两牛同时过河，再骑用时较少的牛返回，不是更省时吗？　　所以最优的方案应该是：第一次，牧童赶甲、乙两牛过河，用2分钟；然后骑甲回来，用1分钟；第二次，牧童赶丙、丁两头牛过河，用6分钟；然后骑乙牛回来，用2分钟；第三次，最后赶甲、乙过河，用2分钟；这次四头牛全部过河，只需用：2＋1＋6＋2＋2=13（分钟）。