五年级下册数学试题-计数综合（二）（含答案解析）全国通用 8页

计数练习题 一． 夯实基础：‎ ‎1.‎ 现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有 40 人，化学实验做正确 的有 31 人，两种实验都错的有 4 人，则两种实验都做对的有多少人？‎ ‎2.‎ 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。其中 25％是白色的，75％是蓝色的。‎ 如果这批衬衫共有 100 件，其中大号白色衬衫有 10 件，小号蓝色衬衫有多少件？‎ 实验小学五年级二班，参加语文兴趣小组的有28 人，参加数学兴趣小组的有29 人，有12‎ 人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？‎ ‎3.‎ ‎4.‎ 有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是 3 的倍数或 4 的倍数，其中标有 3 的倍数的 ‎2‎ ‎3‎ 卡片占 ，标有 4 的倍数的卡片占 ，标有 12 的倍数的卡片有 15 张，那么，这些卡片 ‎3‎ 一共有多少张？‎ ‎4‎ 二． 拓展提高：‎ ‎5. 学校数学竞赛出了 A，B，C 三道题，至少做对一道的有 25 人，其中做对 A 题的有 10 人， 做对 B 题的有 13 人，做对 C 题的有 15 人。如果三道题都做对的只有 1 人，那么只做对两道题和只做对一道题的各有多少人？‎ ‎1‎ ‎6.‎ 五年级一班有 46 名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组.其中有 24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语言语文小组的有 10 人.参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 3.5 倍，还是三项小组都参加的人 数的 7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的 2 倍， 求参加文艺小组的人数.‎ 卫生部对 120 种食物是否含有维生素 A、C、E 进行调查，结果是：含维生素 A 的有 62 种，含维生素 C 的有 90 种，含维生素 E 的有 68 种，同时含维生素 A 和 C 的有 48 种， 同时含维生素 A 和 E 的有 36 种，同时含有维生素 C 和 E 的有 50 种，同时含这三种维生素的有 25 种.请问：‎ ‎(1)这三种维生素都不含的食物有多少种？‎ ‎(2)仅含维生素 A 的食物有多少种？‎ ‎7.‎ ‎8.‎ 某班人数 60 人，在一次抽考英语、数学、化学的考试中，英语及格的有 41 人，数学及 格的有 39 人，化学及格的有 42 人；英语、数学两科不及格的有 14 人，数学、化学两 科不及格的有 13 人，英语、化学两科不及格的有 11 人，有两科或两科以上不及格的人 数为 20 人，则：‎ ‎(1)三科都不及格的有几人？‎ ‎(2)至少有一科不及格的有几人？‎ ‎(3)三科都及格的人数有几人？‎ 三． 超常挑战 ‎9. 在 2 至 400 的偶数中，既不能被 3 整除，又不能被 5 整除，同时不能被 7 整除的整数有多少个？‎ ‎2‎ ‎10. 某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有 ‎63 人，准备参加英语六级考试的有 89 人，准备参加计算机考试的有 47 人，三种考试都 准备参加的有 24 人，准备只选择两种考试都参加的有 46 人，不参加其中任何一种考试 的都 15 人。问接受调查的学生共有多少人？‎ ‎11. 在 1 至 2011 的自然数中，‎ ‎1)能被 3 或 5 或 7 整除的数有 ‎2)能同时被 3,5,7 整除的有 个； 个；‎ ‎3)能被 3 整除，但不能被 5 和 7 整除的有 ‎4)能被 5 和 7 整除，但不能被 3 整除的有 ‎（利用容斥原理方法解题）‎ 个；‎ 个.‎ 四. 杯赛演练：‎ ‎12. （101 中学考题）‎ 一根 101 厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔 2 厘米画一个刻度，第二次每隔 3‎ 厘米画一个刻度，第三次每隔 5 厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出 段．‎ ‎13. (黄冈名校试题)‎ 在 1 至 2011 的自然数中，‎ ‎1)能被 3 或 7 整除的数有 个；‎ ‎2)既能被 3 整除，又能被 7 整除的有 ‎3)能被 3 整除，但不能被 7 整除的有 ‎4)能被 7 整除，但不能被 3 整除的有 个； 个；‎ 个.‎ ‎3‎ ‎14. (西城实验考题)‎ 在 1 至 2008 这 2008 个自然数中，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的数共有 个．‎ ‎15. (西城实验考题)‎ 新年联欢会上，共有 90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞 的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少 7 人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多 4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有 人．‎ ‎4‎ 答案：‎ ‎1.‎ 直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B，得 A∩B=25，所以答案为 25 人。‎ 该种题型直接从求解出发，将所求答案设为 A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件 A 和 B，小号占 50%，蓝色占 75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。‎ ‎2.‎ 如图所示， A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人， A 与 B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中 A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28 -12 =16 (人)；图中 B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29 -12 =17 (人)．‎ 由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16 +12 +17 = 45 (人)．‎ ‎3.‎ A C B ‎3 2‎ ‎5‎ 分析：即是 3 的倍数也是 4 的倍数的卡片占（ + -1= ），所以这些卡片一共有 15‎ ‎4 3 12‎ ‎5‎ ‎4.‎ ‎÷ =36 张.‎ ‎12‎ ‎5.‎ 分析：10+13+15=38 个人数中，只做对两道题的被统计了两遍，三道题都做对的统计了 ‎3 遍，所以设只做对两道题的有 x 人，那么 38-x-1×2=25，x=11，只做对两道题的有 11‎ 人，只做对一道题的有 25-1-11=13 人.‎ 设三项都参加的有 a 人，则： 参加文艺小组的有： 7a 人；‎ 只参加文艺和数学小组的有： 7a ¸ 3.5 - a = a ； 只参加文艺和语文小组的有： a ´ 2 - a = a ；‎ 全班共有： 24 + 20 -10 + (7a - a - a - a) = 34 + 4a = 46‎ 解之得： a = 3 .‎ 所以文艺小组共有： 7 ´ 3 = 21 人；‎ ‎6.‎ ‎⑴设三种都不含的有 x 种，则在 P0 - x = P1 - P2 + P3 中，P0 = 120 ，P1 = 62 + 90 + 68 = 220 ，‎ P2 = 48 + 36 + 50 = 134 ， P3 = 25 ，即120 - x = 220 -134 + 25 ，解得 x = 9 .‎ ‎⑵辅助韦恩图进行分析，仅含维生素 A 的如图阴影所示，在 A 中减掉 AE 和 AC，再加上 ACE，也就是62 - (48 + 36) + 25 = 3.‎ ‎7.‎ ‎5‎ A C E 学而思课程配套习题集 ‎8.‎ 使用韦恩图辅助分析，将不及格作为条件，则英语不及格的有60 - 41 =19 (人)，‎ 数学不及格的有60 - 39 = 21(人)，‎ 化学不及格的有60 - 42 =18 (人)，‎ 英数 14 人、英化 11 人、数化 13 人也如图所标，并设三科不及格的 P3 = x 人.‎ ‎60人 题目中所谓两科或两科以上不及格 20 人，即 P2 - 2P3 = (14 +13 +11) - 2x = 20 ，解得 x = 9 . 即 P3 = 9 ，从而 P2 = 20 + 2P3 = 20 + 2 ´ 9 = 38 ，还知道 P1 = 19 + 21+18 = 58 ，P0 = 60 .从而：‎ ‎⑴三科都不及格的有： P3 = 9 人.‎ ‎⑵至少有一科不及格的有： P1 - P2 + P3 = 58 - 38 + 9 = 29 (人).‎ ‎⑶三科都及格的有： P0 - P1 + P2 - P3 = 60 - 58 + 38 - 9 = 31(人).‎ ‎9.‎ 首先 2 至 400 共 200 个偶数，即：‎ P0 = 200 ，‎ P = é 400 ù + é 400 ù + é 400 ù = 66 + 40 + 28 = 134 ，‎ êë 2 ´ 3úû êë 2 ´ 5úû êë 2 ´ 7 úû ‎1‎ = é ‎400‎ ù + é ‎400‎ ù + é ‎400‎ ù = 13 + 9 + 5 = 27 ，‎ P êë 2 ´ 3´ 5úû êë 2 ´ 3´ 7 úû êë 2 ´ 5 ´ 7 úû ‎2‎ = é ù = 1 ，‎ ‎400‎ P êë 2 ´ 3´ 5 ´ 7 úû ‎3‎ 从而符合条件的 P0 - P1 + P2 - P3 = 200 -134 + 27 -1 = 92 个.‎ ‎6‎ ‎10. 根据每个区域含义应用公式得到：‎ 总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数 ‎＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15‎ ‎＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15‎ 根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为 46 人；得本题答案为 120.‎ 英语19 数学21‎ ‎14‎ x ‎13 11‎ 化学18‎ ‎11. 如图，我们用方框表示 1～2011 中的所有自然数； A 圆表示能被 3 整除的自然数； B 圆表示能被 5 整除的自然数； C 圆表示能被 7 整除的自然数.那么我们能求出：‎ A = é 2011ù = 670 ； B = é 2011ù = 402 ； C = é 2011ù = 287 ； A B = é 2011ù = 134 ；‎ êë úû êë úû êë úû êë 3´ 5 úû ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ A C = é 2011ù = 95 ； B C = é 2011ù = 57 ； A B C = é ‎2011‎ ù = 19 .‎ êë 3´ 7 úû êë 5 ´ 7 úû êë3´ 5 ´ 7 úû ‎1) A B C = A + B + C - A B - B C - A C + A B C = 670 + 402 + 287 -134 - 95 - 57 +19 =1092‎ ‎2) A B C = é ‎2011‎ ù = 19‎ êë3´ 5 ´ 7 úû ‎3) A - A B - A C + A B C = 670 -134 - 95 +19 = 460‎ ‎4) A B C - A =1092 - 640 = 452‎ ‎12. 要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于 1、2、3、…、‎ ‎100 、 101 这 101 个 自 然 数 中 2 或 3 或 5 的倍数的个数，为 ：‎ é1 0 ù1+ é 1ù 0+ é1‎ ù -1é0 ù - é1 1ù - é 1 ù0+1é ‎1‎ ‎0‎ ‎1 ù0=1‎ ‎74‎ êë úû êë úû êë ‎5 êë 2 ´ 3úû êë 2 ´ 5úû êë3´ 5úû êë 2 ´ 3´ 5úû úû ‎2‎ ‎3‎ ‎，故木棒上共有 74 个刻 度，可以截出 75 段．‎ ‎13. 如图，我们用方框表示 1～2011 中的所有自然数； A 圆表示能被 3 整除的自然数； B 圆表示能被 7 整除的自然数；那么中间重叠部分表示既能被 3 整除，有能被 7 整除的自然数，即 A B .那么我们能求出：‎ A = é 2011ù = 670‎ B = é 2011ù = 287‎ B = é 2011ù = 95‎ A êë úû êë úû êë 3´ 7 úû ‎3‎ ‎7‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ ‎1) A B = A + B - A B = 670 + 287 - 95 = 862‎ B = é 2011ù = 95‎ ‎2) A êë 3´ 7 úû ‎3) A - A B = 670 - 95 = 575‎ ‎4) B - A B = 287 - 95 =192‎ ‎7‎ A B A B C é 2008ù = 133‎ ê ‎14. 1 到 2008 这 2008 个自然数中，3 和 5 的倍数有ë úû ‎15‎ 个，3 和 7 的倍数有 é 2008 ù = 95‎ é 2008 ù = 57‎ é 2008 ù = 19‎ êë úû ê 个，5 和 7 的倍数有 ë úû ê 个，3、5 和 7 的倍数有 ë 105‎ úû ‎21‎ ‎35‎ 个．所 以，恰好是 3、5、7 中两个数的倍数的共有133 -19 + 95 -19 + 57 -19 = 228 个．‎ ‎15. 设只参加合唱的有 x 人，那么只参加跳舞的人数为3x ，由50 人没有参加演奏、10 人同 时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏，得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为 ‎50 -10 = 40 人，即 x + 3x = 40 ，得 x = 10 ，所以只参加合唱的有10 人，那么只参加跳舞 的人数为30 人，又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7 人”，得到同时参 加三项的有3 人，所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”‎ 有： 40 -10 -10 - 3 = 17 人．‎ ‎8‎