五年级上册数学青岛六三制知识要点 16页

一 今天我当家——小数乘法 一、小数乘整数 1.小数乘整数的意义。 小数乘整数的意义与整数乘法的意义相同,都是求几个相 同加数的和的简便运算。 如 2.5×6,表示 6 个 2.5 的和是多少。 2.小数乘整数的计算方法。 (1)按照小数乘整数的意义计算:求几个相同加数的和是 多少。 如 3.1×3,就是把 3 个 3.1 相加,即 3.1+3.1+3.1=9.3。 (2)把小数乘法转化成整数乘法计算。 如 3.1×3 中的 3.1 可以看成是 3.1 元,即 31 角,然后按照 整数的乘法列竖式计算。 因为是在单位换算情况下完成的计算,所以要把积“93 角”换成以“元”为单位的,是 9.3 元,即 9.3 为最终结果。 (3)利用积的变化规律直接列竖式计算。 将小数转化为整数,按整数乘法算出积,根据因数扩大到 原来的倍数,将算得的积缩小相同的倍数,点上小数点。 如 即小数乘整数先按整数乘法计算,再看小数中有几位小 数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。如计算 1.25×4, 先算 125×4=500,由于因数 1.25 中有两位小数,就从积的右边 起数出两位,点上小数点,即 1.25×4=5.0 0 =5。 若积的小数位数不够时,要在积的前面用 0 补足。如计算 0.0125×4,先算 125×4=500,由于因数 0.0125 中有四位小数, 此时积的小数位数不足四位,要用 0 补足,即 0.0125×4=0.05。 3.整数乘小数的意义与计算方法。 (1)第二个因数是小数的乘法意义与整数乘法的意义不 同。当第二个因数是纯小数时,可以理解为求一个数的几分之 几是多少。 小数乘整数可以按照小数乘 整数的意义转化成加法来计算。 此方法不适用于相对复杂的计 算,如 43.8×11。 易错警示: 积的末尾有“0”时,要先点 小数点,再根据小数的性质去掉 小数末尾的．．．．．“．0．”．。整数末尾的“0” 不能去掉。 第1页 如 6×0.9,0.9 表示 9 个十分之一,即 910,故可理解为求 6 的 910是多少。 (2)计算整数乘小数时,先按照整数乘法的计算法则算出 积 , 再 看 因 数 中 共 有 几 位 小 数 , 积 就 有 几 位 小 数 。 如 4×0.25=1.0 0 =1。 注意:乘得的积的末尾有“0”时,要先点小数点,再根据小 数的性质去掉小数末尾的．．．．．“．0．”．。 二、小数乘小数 1.小数乘小数的计算,同小数乘整数、整数乘小数一样, 先按整数乘法计算出结果,再看这两个因数中一共有几位小 数,就从积的右边起数出几位,点上小数点。 2.积的小数位数与因数的小数位数的关系:两个因数中一 共有几位小数,积就有几位小数。 3.小数乘小数的一般计算方法。 (1)先按整数乘法算出积,再给积点上小数点。 (2)给积点小数点时,可以看因数中一共有几位小数,就从 积的右边起数出几位,点上小数点。 (3)当积的小数位数不够时,要在积的前面用“0”补足,再 点小数点。 4.比较小数乘积的大小。 a×b=c(a≠0),当 b<1 时,c1 时,c>a;当 b=1 时,c=a。 即当一个非 0 自然数乘比 1 小的数,积比这个数小;当一个非 0 自然数乘比 1 大的数,积比这个数大。 三、积的近似值 1.用“四舍五入”法求积的近似值。 (1)保留整数,即精确到个位,就要看十分位。若十分位满 5,就要向个位进 1,否则舍去。如 1.7×0.9=1.53≈2(保留整 数)。 小数乘小数,积的变化规律 仍然适用:一个因数扩大到原来 的 m(m≠0)倍,另一个因数扩大到 原来的 n(n≠0)倍,则积扩大到原 来的 m×n 倍;一个因数缩小到原 来的 1 (m≠0),另一个因数缩小到 原来的1(n≠0),则积缩小到原来 的 1 × 。 易错警示: 求积的近似值时常出现以下 几种错误:一是没有根据实际情 第2页 (2)保留一位小数,即精确到十分位,就要看百分位。若百分 位满 5,就要向十分位进 1,否则舍去。如 5.02×1.7=8.534≈ 8.5(保留一位小数)。 (3)保留两位小数,即精确到百分位,就要看千分位。若千分 位满 5,就要向百分位进 1,否则舍去。如 0.11×0.53=0.0583 ≈0.06(保留两位小数)。 2.小数乘法取近似值的方法。 (1)先按照小数乘法的计算方法进行计算,再根据需要,对 乘积用“四舍五入法”保留一定的位数。 (2)有时还要根据实际情况合理保留近似值,如人民币最 小的单位是“分”,在计算需要多少元钱的问题时,通常只算到 “分”,即得数保留两位小数即可。 如黄瓜每千克 1.02 元,妈妈买了 1.8 千克,一共需要多少 元? 按 照 小 数 乘 整 数 的 计 算 方 法 可 以 算 出 一 共 需 要 1.02×1.8=1.836(元),但是在收付现款时,通常只需要算到 “分”,所以结果需保留两位小数,即 1.84 元。 四、小数四则混合运算 1.小数四则混合运算的运算顺序与整数相同。 在只有同级的运算中,要从左往右依次计算;在没有括号 的算式里,有第一级运算和第二级运算,要先算第二级运算,再 算第一级运算;在有括号的算式里,先算括号里面的,再算括号 外面的。 2.整数乘法的运算律对于小数同样适用。 乘法交换律:两数相乘,交换两个因数的位置,积不变。 乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后 两个数相乘,积不变。 乘法分配律:一个数与两个数的和相乘等于把这个数分别 与两个数相乘,再把积相加。 0.25×4.78×4 =0.25×4×4.78→(乘法交换律) =1×4.78 =4.78 0.65×201 =0.65×(200+1) =0.65×200+0.65×1→(乘法分配律) =130+0.65 =130.65 况取积的近似值;二是取了近似 值,但还是用的“=”,而不是用 “≈”;三是取近似值时,近似值末 尾有“0”,此时小数末尾的“0” 不能去掉。 易错警示: 在小数四则混合运算中,暂 时没有计算到的部分,必须按原 式抄写下来,不可遗漏,也不能颠 倒,否则会造成计算错误。 在小数四则混合运算中,有 时可以运用运算律进行简便计 算,做题时要根据具体情况,灵活 选择合理的算法。 牢 记 25×4=100,125×8=1000, 并 依 据 积的变化规律(如 0.25×4=1)做 到在简便运算中熟练应用。 二 图案美——对称、平移与旋转 第3页 一、轴对称图形 1.定义。 将图形沿着一条直线对折,如果直线两侧的部分能够完 全重合,这样的图形叫作轴对称图形,折痕所在的这条直线叫 作它的对称轴。 轴对称图形中,有的只有 1 条对称轴,有的不止 1 条对称 轴。 正 方 形 :4 条 长 方 形 :2 条 菱形:2 条 等 腰 直 角 三 角 形 :1 条 等 边 三 角 形 :3 条 圆:无数条 2.画对称轴。 (1)找出轴对称图形的任意一组对称点;(2)连接对称点;(3) 画出对称点所连线段的垂直平分线(经过某一条线段的中点, 并且垂直于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线),就 可以得到该图形的对称轴。 3.画图形的另一半,使之成为轴对称图形。 (1)先在图形中找到几个关键点;(2)根据每个点到对称轴 的距离找到这些点的对称点;(3)最后把这些点连起来。 二、平移 1.定义。 平移是指在平面内,将一个图形上所有的点都按照同一 个方向移动相同的距离,这样的运动叫作图形的平移运动,简 称平移。 2.性质。 (1)图形平移前后的形状和大小没有变化,只是位置发生 变化。 (2)新图形与原图形的对应点所连的线段平行(或在同一 古今中外,有许多著名建筑也 是对称的。 故宫 黄鹤楼 埃菲尔铁塔 泰姬陵 物体在平移的过程中,各个部 分移动的距离都是一样的。平移 的过程中,图形自身的方向始终没 有发生变化。 第4页 直线上)。 3.平移的两个要素。 一是平移要有方向;二是平移要移动一定的距离,两者缺 一不可。 4.平移画图的步骤。 (1)分析要求,确定平移方向和平移的距离。 (2)分析原图形,确定关键点。 (3)画出关键点的对应点,标注相应的字母。 三、旋转 1.定义。 在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一定 的角度,这样的运动叫作图形的旋转。这个定点叫旋转中心, 这个方向叫旋转方向,旋转的角度称为旋转角。旋转中心、旋 转方向、旋转角是图形旋转的三要素。 2.顺时针旋转和逆时针旋转。 与时针旋转方向相同的是顺时针旋转;与时针旋转方向 相反的是逆时针旋转。 图 1 图 2 图 1 中图形围绕 O 点按顺时针方向旋转了 90°;图 2 中图 形围绕 O 点按逆时针方向旋转了 90°。 3.旋转的特点、性质与画图。 特点:(1)图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定 的;(2)旋转过程中,旋转中心始终保持不动;(3)旋转过程中,旋 转的方向是相同的;(4)旋转停止时,图形上每个点的旋转角度 是一样的;⑤旋转不改变图形的大小和形状。 性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等;(2)对应点与旋转 中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前、后的图形大小相 等。 旋转画图的步骤和方法:(1)确定旋转中心、旋转方向及旋 转角;(2)找出图形的关键点;(3)将图形的关键点和旋转中心连 接起来,然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数,得 到这些关键点的对应点;(4)按原图形顺次连接这些对应点,所 得到的图形就是旋转后的图形。 旋转 90°的方法: (1)找出原图形的关键点或关 键线段。 (2)借助三角板或量角器画原 图形关键点或线段与旋转中心所 在线段的垂线。 (3)在所画垂线上量出或数出 与原线段相等的长度(即找到原 图关键点的对应点)。 (4)顺次 连接 所找 到的 对应 点,即可得到原图形旋转 90°后 的图形。 三 游三峡——小数除法 一、小数除以整数 1.小数除法的意义。 小数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因 第5页 数的积与其中的一个因数,求另一个因数的运算。 如 9.84÷3 的意义就是表示已知两个因数的积 9.84 与 其 中 的 一 个 因 数 3, 求 另 一 个 因 数 是 多 少 的 运 算 。 2.除数是整数的小数除法的计算方法。 (1)除数是整数的小数除法,按照整数除法的法则计算。 (2)商的小数点要和被除数的小数点对齐。 (3)被除数的整数部分不够商 1 时,要先在商的个位上写 0, 点上小数点后再除。 (4)如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数的后面添 “0”继续除。 如 22.4÷4=5.6,1.8÷12=0.15。 3. 整数除法中不能除尽的计算方法。 整数除法中,除到个位不能除尽时,应在商的个位数字后 点 上 小 数 点 , 余 数 添 “ 0 ” 继 续 除 。 如 15÷4=3.75 。 4. 商大于 1 还是小于 1 的判断方法。 被除数大于除数,商大于1;被除数小于除数,商小于1;被除 数等于除数,商等于 1。 二、除数是小数的除法 易错点:用竖式计算小数加 减法时,必须对齐小数点;但是在 计算乘法时,要末尾对齐;计算除 法时,商的小数点要和被除数的 小数点对齐。 巧记小数除法的计算方法: 小数除法不难算, 数点对齐是关键。 整数部分不够除, 商 0 再点小数点。 末位如果有余数, 添 0 再把商来算。 要想验证商对错, 除数乘商来验算。 商不变的性质:被除数和除 数同时乘或除以相同的数(0 除 外),商不变。 第6页 1.除数是小数的除法。 利用商不变的性质将除数转化成整数,同时被除数扩大相 同的倍数,然后按照除数是整数的方法去除。如 2.除数是小数的竖式计算方法。 (1)计算思路:利用商不变的性质,使除数变成整数。 (2)计算方法: ①移动除数的小数点,使它变成整数; ②除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移 动几位(位数不够的,在被除数的末尾用“0”补足); ③按照除数是整数的小数除法进行计算。 如计算 7.004÷0.68。 除数是两位小数,要扩大到原来的 100 倍,除数的小数点向右移动两位,被除数的小数点也向右移动 两位。 然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 3.商与被除数的大小比较。(被除数≠0) 当除数大于 1 时,商小于被除数。 当除数小于 1 时,商大于被除数。 当除数等于 1 时,商等于被除数。 4.小数除法中商的变化规律。 (1)两个数相除,被除数扩大或缩小,除数不变,商也扩大或 缩小相同的倍数。如 0.12÷0.3=0.4→1.2÷0.3=4。 (2)两个数相除,除数扩大或缩小,被除数不变,商则缩小或 扩大相同的倍数。如 0.12÷0.3=0.4→0.12÷3=0.04。 计算口诀:一看(除数是几位 小数),二移(用商不变的性质移动 小数点),三算(按除数是整数的方 法计算)。 第7页 三、商的近似值 (1)商的近似值。 实际中有时不需要用精确的数描述一个量,如求钱数只需 要计算到“分”或“元”,这时就要根据需要用“四舍五入法” 保留一定的位数,求出商的近似值。 (2)求商的近似值的方法。 求商的近似值,一般先除到比需要保留的小数位数多一 位,再按照“四舍五入法”取商的近似值。 例:一个玩具厂试制了 35 架玩具飞机,共花费 1560 元。平 均每架玩具飞机花费多少元? 由题列式:1560÷35=44.571…(元) 计算时发现,如果除下去,永远除不完。而现实生活中最小 的人民币单位是“分”,因此商保留两位小数就够了。计算时 只需除到商的小数点后第三位即可。 保留两位小数:1560÷35≈44.57(元) 保留一位小数:1560÷35≈44.6(元) 保留整数:1560÷35≈45(元) (3)求商的近似值与求积的近似值的相同点与不同点。 相同点:都要用到“四舍五入法”,并且都要看保留那一位 的下一位。 不同点:求积的近似值,要先算出积的精确值,再求近似值; 求商的近似值,不需求出商的精确值,只要求出要保留的下一 位就可以了。 四、有限小数、无限小数与循环小数 有限小数:小数部分的位数是有限的小数,如 2.125。 无限小数:小数部分的位数是无限的小数,如 3.1818… 循环小数:像 58.3333…,2.86363…,2.1756756…,小数部分 从某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这 样的小数叫作循环小数。 循环节:一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的 数字,如 5.6060…的循环节是“60”,2.466…的循环节是“6”。 写循环小数时,可以只写一个循环节。如果循环节只有一 位时,在它的上方点一个圆点;如果循环节超过一位时,就在这 个循环节的首位和末位数字上方分别点一个圆点。 如 2.466…=2.46· ;5.6060…=5.6· 0· ;2.1756756…=2.17· 56· 。 求循环小数的近似值的方法:先把循环小数多补充几位, 再运用“四舍五入法”按要求求出近似值。 求商的近似值时,如果小数 末尾有“0”,则末尾的“0”不能 去掉。 在解决问题的时候,有时还 会根据实际情况选择“进一法” 和“去尾法”求商的近似值。 循环小数:①必须是无限小 数;②小数部分必须依次不断地 重复出现一个数字或几个数字。 循环小数一定是无限小数, 无限小数不一定是循环小数。 四 走进动物园——简易方程 第8页 一、方程 1.用字母表示数。 在数学中,可以用字母表示任何一个数,用字母表示数可 以简明运算律或表达问题中的数量关系,还可以用字母表示未 知数。如用 a、b、c 分别表示三个数,则运算律表示为: 加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:a×b=b×a 乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律(a+b)×c=a×c+b×c 2.方程。 含有未知数的等式叫作方程。方程必须具备两个条件:① 含有未知数;②必须是等式。 如 20+x=50、3x=27、5x+9=54、a÷9=8 等都是方程。30+x、 3x+1>5、x-12.5<5、3+6.5=9.5 等不是方程。 3.看图列方程的方法。 (1)弄清已知数和未知数之间的关系;(2)找出题中的等量 关系,列出方程。 二、利用等式的性质解方程(一) 1.等式的性质 1。 等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立。如 x=50→x+20=50+20;a=b→a-c=b-c。 2.方程的解及解方程。 使方程左右两边相等的未知数的值,叫作方程的解。 求方程的解的过程叫解方程。 3.利用等式的性质 1 解方程。 例: x+20=100 解: x+20-20=100-20(方程两边同时减 20) x=80 检验:方程左边=x+20 =80+20 =100 =方程右边 所以,x=80 是方程 x+20=100 的解。 三、利用等式的性质解方程(二) 1.等式的性质 2。 等式两边同时乘或除以同一个数(0 不作除数),等式仍然 成立。如 x=50→x×2=50×2;50=4a→50÷4=4a÷4。 2.利用等式的性质 2 解方程。 例: 3x-2=4 解: 3x-2+2=4+2(方程两边同时加 2) 3x=6 3x÷3=6÷3(方程两边同时除以 3) 等式包含方程,方程也属于 等式,方程是特殊的等式。 等式的性质 1 可简记为同加 同减。 检验的过程就是把求出的未 知数的值代入原方程,看左右两 边是否相等。 等式的性质 2 可简记为同乘 同除。 第9页 x=2 检验:方程左边=3x-2 =3×2-2 =4 =方程右边 所以,x=2 是方程 3x-2=4 的解。 四、列方程解应用题 1.列方程解应用题的方法和步骤。 (1)审题(弄清已知数和未知数之间的关系); (2)写出等量关系式,可以借助线段图分析; (3)找出等量关系式中的未知数; (4)根据等量关系式列出方程; (5)解方程; (6)检验并写出答案。 2.列方程常用的数量关系式。 (1)速度×时间=路程、路程÷速度=时间、路程÷时间= 速度 (2)单价×数量=总价、总价÷单价=数量、总价÷数量= 单价 (3)工作效率×工作时间=工作总量、工作总量÷工作效率 =工作时间、工作总量÷工作时间=工作效率 3.列方程与算术方法解应用题对比。 列方程解应用题是一种不同于算术解法的新的解题方法, 两者解法的不同点: 列方程解应用题: (1)未知数用字母表示,参与列式; (2)根据题意找出等量关系,列出含有未知数的等式,也就 是方程。 用算术方法解应用题: (1)未知数不参与列式; (2)根据已知数和未知数之间的关系,确定解题步骤,再列 式计算。 列方程解应用题的优越性体现在可以使未知数直接参与 运算。 设未知数的方法有两种: 一种是直接设未知数,即求 什么就设什么; 另一种是间接设未知数,当 直接设未知数不易列出方程时, 就设与要求相关的间接未知数。 易错警示: (1)列方程解应用题,设未知 数时一定要带上单位名称。 (2)方程的解不要带单位名 称。 (3)在答句中要把单位名称写 清楚。 五 生活中的多边形——多边形的面积 一、平行四边形的面积 1.用割补法求平行四边形的面积。 方法一:用剪刀过平行四边形的一个顶点,沿着平行四边 形底边上的高剪开,剪成一个三角形和一个直角梯形,把三角 形拼在直角梯形的右边,使平行四边形变成一个长方形。 平行四边形的面积公式中, 底和高必须是对应的。 第10页 方法二:用剪刀沿平行四边形的一条高剪开,剪成两个直 角梯形,平移后拼合,使平行四边形变成一个长方形。 观察拼出的长方形和原来的平行四边形,发现平行四边形 的底等于长方形的长,平行四边形的高等于长方形的宽,平行 四边形的面积等于长方形的面积。 2.平行四边形的面积公式。 平行四边形的面积=底×高 ↓ ↓ ↓ 长方形的面积=长×宽 用 S 表示平行四边形的面积,a 表示底,h 表示高,则平行四 边形的面积公式为 S=ah。 二、三角形的面积 1.求三角形的面积。 拼接法 1: 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四 边形。 观察拼成的平行四边形和原来的三角形,三角形的底和高 分别是平行四边形的底和高,三角形的面积是拼成的平行四边 形面积的一半。 拼接法 2:用剪刀沿三角形两边中点的连线剪开,也可以拼 成一个平行四边形。 观察拼成的平行四边形和原来的三角形,三角形的面积等 于平行四边形的面积。 2.三角形的面积公式。 由上面的拼接可知,三角形的面积=底×高÷2。如果用 S 表示三角形的面积,a 表示三角形的底,h 表示三角形的高,那么 三角形的面积计算公式为 S=ah÷2。 三、梯形的面积 1.求梯形的面积。 (1)两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形。 把长方形框架拉成平行四边 形,周长不变,面积变小。 三角形的面积等于与它等底 等高的平行四边形面积的一半。 计算圆木、钢管等的根数:(顶 第11页 梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半。 (2)用剪刀沿梯形两腰中点的连线剪开,也可以拼成一个 平行四边形。 梯形的面积等于拼成的平行四边形的面积。 2.梯形的面积公式。 由上面的拼接可知,梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。如 果用S表示梯形的面积,a表示梯形的上底,b表示梯形的下底,h 表示梯形的高,那么梯形的面积计算公式为 S=(a+b)h÷2。 四、组合图形的面积。 1.计算组合图形面积的方法。 (1)分割法:将组合图形分成几个基本图形,求几个基本图 形面积的和。 (2)添补法:将组合图形补成一个基本图形,求大小两个基 本图形面积的差。 (3)割补法:将组合图形的一部分剪割下来,拼补成一个基 本图形,直接求基本图形的面积。 五、公顷、平方千米 (1)相邻面积单位之间的进率是 100。 1 平方米=100 平方分米 1 m 2 =100 dm 2 1 平方分米=100 平方厘米 1 dm 2 =100 cm 2 1 平方厘米=100 平方毫米 1 cm 2 =100 mm 2 1 平方千米=100 公顷 1 km 2 =100 hm 2 (2)边长是 100 米的正方形,面积是 1 公顷。 1 公顷=10000 平方米 1 平方千米=1000000 平方米=100 公顷 层根数+底层根数)×层数÷2 求组合图形的面积时,可以 把组合图形分成几个基本图形, 再把这几个基本图形的面积加起 来;或者从一个基本图形面积里 减去另外一个或几个基本的图形 面积,所得的差就是这个组合图 形的面积。 相邻两个面积单位之间的进 率是 100。高级单位换算成低级 单位,乘进率;低级单位换算成高 级单位,除以进率。 六 团体操表演——因数与倍数 一、因数与倍数 1.因数与倍数的意义。 如果 a×b=c(a、b、c 都是不为 0 的整数),我们就说 a 和 b 都是 c 的因数,c 是 a 和 b 的倍数。 2.找因数和倍数的方法。 (1)找一个数的因数,可以利用积与因数的关系一对一对 只有在因数和积都是整数的 情况下,才能讨论因数和倍数的 概念。 第12页 地找。如 12 的因数有 1,12,2,6,3,4。也可从最小的因数 1 找起, 一直找到它本身。如 12 的因数有 1、2、3、4、6、12,共 6 个。 (2)找一个数的倍数,可以用这个数分别乘自然数 1、2、 3……如 2 的倍数有 2×1=2,2×2=4,2×3=6…… 注意: (1)一个数的因数中,最小的因数是 1,最大的因数是它本 身,所以它的因数的个数是有限的。 (2)一个数的倍数的个数是无限的,最小的倍数是它本身, 没有最大的倍数。 (3)因数与倍数是相互依存的,不能单独地说某个数是倍 数,某个数是因数。 二、2、3、5 的倍数的特征 1. 2、5 的倍数的特征。 (1)个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。 (2)个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数。 (3)是 2 的倍数的数叫作偶数,不是 2 的倍数的数叫作奇 数。 偶数的个位上是 0、2、4、6、8,奇数的个位上是 1、3、5、 7、9。0 是最小的偶数,1 是最小的奇数。 2. 3 的倍数的特征。 一个数各个数位上数的和是 3 的倍数,这个数就是 3 的倍 数。 三、质数与合数 1. 质数与合数的意义。 (1)一个数,只有 1 和它本身两个因数,这样的数叫质数(或 素数)。如 3、7、13 等都是质数。 (2)一个数,除了 1 和它本身外还有其他的因数,这样的数 叫合数。如 4、9、12 等都是合数。 (3)1 只有一个因数,它既不是质数,也不是合数。 2. 判断一个数是质数还是合数的方法。 先找各数的因数,再根据质数和合数的意义去判断。如果 只有1和它本身两个因数,它就是质数;如果有三个或三个以上 的因数,它就是合数。 质数与奇数是本质不同的两个概念,一是从能否被 2 整除 来断定某数是否为奇数;一是从含有因数个数来断定某数是否 为质数。因此,奇数不一定是质数,质数也不一定是奇数。 合数与偶数也是两个不同的概念,分析原理同上,牢记2是 唯一的偶质数。 3. 质因数、分解质因数。 (1)质因数的意义:每个合数都可以写成几个质数相乘的 形式,其中每个质数都是这个合数的因数,叫作这个合数的质 为 了 避 免 一 些 不 必 要 的 麻 烦,研究因数和倍数的时候,一般 将 0 排除在外。 注意:0 也是偶数。 最小的合数是 4;最小的质数 是 2,它也是唯一的偶质数。没有 最大的质数和合数,质数和合数 的个数是无限的。 按因数个数把自然数分为质 数、合数和 1;按能否被 2 整除的 特征把自然数分为奇数和偶数。 第13页 因数。 (2)分解质因数:把一个合数用质数相乘的形式表示出来, 叫作分解质因数。如 6=2×3,24=2×2×2×3。 (3)分解质因数的方法。 ①逐步分解法:先把合数分解成较小数的乘积,再把其中 的 合 数 进 行 分 解 , 直 到 所 有 因 数 都 是 质 数 为 止 。 ②分解质因数时,通常用短除法。先用一个能整除这个合 数的质数去除(一般从最小的开始),如果得出的商是质数,就把 除数和商写成相乘的形式;如果得出的商是合数,就继续除下 去,直到得出的商是质数为止;再把各个除数和最后的商写成 连乘的形式。 例: 分解质因数时不能有 1,因为 1 不是质数。 用短除法分解质因数时,一 定要除到所得的商为质数为止。 七 绿色家园——折线统计图 一、折线统计图 1.折线统计图的特点。 (1)折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量,根据 数量的多少描出各点,然后把各点用线段顺次连接起来,以折 线的上升或下降来表示统计数量增减变化的统计图。 (2)优点:折线统计图不但可以表示出数量的多少,而且能 够清楚地表示数量增减变化的情况。 2.条形统计图与折线统计图的区别。 (1)观察下面的条形统计图可以发现,条形统计图能够清 条形统计图适合用来表示数 据之间相互独立,不是同一项目 的数据对比。 第14页 楚直观地表示出数量的多少。 2006—2012 年中国青少年机器人大赛参赛队伍统计图 (2)观察下面的折线统计图可以发现,折线统计图不仅能 表示出数量的多少,通过折线的起伏还能清楚地表示出数量增 减变化的情况。 2006—2012 年中国青少年机器人大赛参赛队伍统计图 3. 绘制折线统计图的方法和步骤。 (1)根据统计的数据,画出互相垂直的纵轴和横轴。①在横 轴上等间隔地标注项目,并在横轴尾端标注项目名称。②在纵 轴上标注数据刻度,使得最大刻度能表示最大数据,并在纵轴 顶端标注单位。 (2)根据数量的多少找到对应的横轴和纵轴的交点,并标 上数据,按照同样的方法根据数据大小描出其他各点。 (3)在各点旁注明数据,顺次连接相邻的两个点。 (4)写出折线统计图的名称、日期。 如小丁上学期五次数学测验成绩统计表的绘制: 折 线 统 计 图 中 的 点 表 示 数 量,折线表示数量的增减变化情 况。 折线统计图既可以看到它每 一部分的变化趋势,也可以看到 它的整体变化趋势,每相邻两点 间的线段越长,说明增减越大,也 可以看出每一年的数量多少…… 第15页 4.折线统计图与条形统计图的绘制区别。 条形统计图是用直条的高低长短表示数据的大小,折线统 计图是在每一项目的竖线上描点表示数据的大小,描完点后用 线段把这些点顺次连接起来。 5.折线统计图的分析。 分析折线统计图时,要重点注意分析数据在什么时间达到 最多或最少;数据上升和下降的时间段及变化快慢情况;哪两 个时间段的数据相比变化的趋势明显一些。 根据折线走势看数据变化趋势的方法: ①折线图起始数据低,而终端数据较高,则数量呈上升趋 势; ②如果起始数据、中间数据、终端数据变化不大,则数量 平稳; ③起始数据高,终端数据较低,数量呈下降趋势。 二、折线统计图的选择 (1)条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目,且 方便两种数据的对比。如果数据之间相互独立(不是描述同一 项目的数据),应该选择条形统计图。 (2)折线统计图能清楚地反映事物随时间的变化趋势,且 方便两种数据的对比。如果数据随时间变化,则选择折线统计 图。 画图时注意:一“点”(描点)、 二“连”(连线)、三“标”(标数 据)。 数量是用多、少来形容;增减 变化是用快、慢来形容。 第16页