小学五年级奥数教案：约数、倍数、完全平方数(学生版) 7页

‎ 学科培优 数学 ‎ ‎“约数、倍数、完全平方数”‎ 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.‎ 知识梳理 一、最大公约数与最小公倍数的常用性质 ‎(1)两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。‎ 即若那么 ‎(2)两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。‎ ‎ 即 ‎(3)对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 二、约数个数与所有约数的和 ‎(1)求任一整数约数的个数：‎ 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。‎ ‎(2)求任一整数的所有约数的和：‎ 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。‎ 三、完全平方数常用性质 ‎1.主要性质 l 完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。‎ l 在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。‎ l 完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。‎ l 若质数p整除完全平方数，则p能被整除。‎ ‎2.一些推论 l 任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。‎ l 一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。‎ l 自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。‎ l 完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。‎ l 完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。‎ l 凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。‎ 注意：‎ ‎1．最大公约数与最小公倍数的概念和常用性质 ‎2．由数字分解质因数的角度构造原数的方法和思想 ‎3．代数方法的应用 ‎4．完全平方数的性质和平方差公式 ‎5．约数个数计算公式的正向和反向应用 ‎6．最大公约数和最小公倍数与原数字的关系 ‎7．约数倍数知识点与其他知识点的结合 ‎8．完全平方数的性质 例题精讲 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲乙两数最小公倍数是60，最大公约数是6，已知甲数是12，求乙数.‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲乙两个自然数的最大公约数是7，并且甲数除以乙数所得的商是l.那么乙数是多少 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个数是5个2,3个3,6个5,1个7的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】3个连续的自然数的最小公倍数是9828,那么这3个自然数的和等于多少?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三 个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】今有语文课本42册,数学课本112册,自然课本70册,平均分成若干堆,每堆中这3种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少? ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】某校三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么学而思学校总的的学生人数有多少人？请写出最现实的答案.‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，C+D=187，那么A+B等于多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个数乘2是4的倍数，乘3是9的倍数，乘4是16的倍数，乘5是25的倍数，乘6是36的倍数，乘7是49的倍数，乘8是64的倍数，乘9是81的倍数.这个数最小是？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】已知自然数A、B满足以下2个性质：‎ ‎（1）A、B不互质 （2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。‎ 那么A+B的最小值是多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?‎ 习题演练 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】1. 甲数和乙数的最大公约数是6最小公倍数是90.如果甲数是18,那么乙数是多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】有4个不同的自然数,它们的和是1111,它们的最大公约数最大能是多少?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个偶数，它的约数里最大的两个之和是120，求该数是多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】已知A数有7个约数，B数有12个约数，且A、B的最小公倍数为1728，求B的值。‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】2个质数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，那么B的平方的4倍有多少个约数？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】已知甲数的12倍与乙数的15倍的最大公约数是1440，那么甲数和乙数的最大公约数最小可以是多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】a、b、c是三个互不相等的非0自然数，他们的和是1155，则他们最大公约数的最大值是多少？最小公倍数的最小值是多少？最小公倍数的最大值是多少？‎