小学五年级奥数教案：等高成比(讲师版) 16页

等高成比 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 本讲中的主要知识点可以概括为三种基本模型，并不难理解。三角形、平行 四边形、长方形、正方形这些基本图形的面积公式在学校里都已经学过，这三种 模型不外乎是在这些公式的基础上延伸。等高成比在平面几何题中应用十分广泛， 需要重点掌握. 知识梳理 1、模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系 (1) 两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。 S1：S2 =a：b ； 条件 ：共线比例 a：b 应用 ：以比例线段为底边找三角形 延伸 ：已知面积比求线段比 （2）模型一是最关键的模型，虽然简单但应用范围很 广，出现形式多样，一定要让学生完全掌握。 2、模型二：等分点结论（“鸟头定理”） ba s2s1 如图，三角形 AED 占三角形 ABC 面积的 2 3 × 1 4 = 1 6 模型二是模型一的一种简单拓展，可适当进行推导让学生加深对模型一的 理解认识，进一步强调模型一的重要性。 3、模型三：任意四边形中的比例关系 （“蝴蝶定理”） （1）①S1：S2=S4：S3 或者 S1×S3=S2×S4 （对角面积之积相等） 应用：知道三个面积就能求第四个面积 ②AO：OC=（S1+S2）：（S4+S3） （2）模型三虽然不常见，但是在解任意四边形的 面积问题时很实用。同时，这个结论也是由模型 一推到而来，过程较模型二稍微复杂一些，可作 适当讲解，进一步加深学生对模型一的理解。 4、重点难点解析 (1)模型一与其他知识混杂的各种复杂变形 (2)在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头” 5、竞赛考点挖掘 (1)三角形面积等高成比 (2)“鸟头定理” (3)“蝴蝶定理” S4 S3 s2 s1 O D CB A 例题精讲 【试题来源】 【题目】 如图，长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，点 E、F、G 分别 是长方形 ABCD 边上的中点，H 为 AD 边上的任意一点，求阴影 部分的面积. 【答案】28 【解析】 如右图，连接 BH、HC，由 E、F、G 分别为 AB、BC、CD 三边的中点有 AE=EB、BF=FC、CG=CD. 因此 S1=S2 ， S3=S4 ， S5=S6, 而阴影部分面积 =S2+S3+S6，空白部分面积=S1+S4+S5.所以阴影部分面 积与空白部分面积相等，均为长方形的一半，即阴影部 分面积为 28. 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 如右图，ABFE 和 CDEF 都是矩形，AB 的长是 4 厘米，BC 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的面积是____平方厘米． 【答案】6 【解析】 上排 4 个阴影三角形的高都等于 BF，底边之和恰好为 AB，他们的面积之和为 1 2 BF AB ； 下排 4 个三角形的高都等于 CF，底边之和恰好为 CD，他们的面积 之和为 11 22CF CD CF AB   .所以阴影部分面积为: 1 1 1 1 3 4 62 2 2 2BF AB CF AB BC AB         (平方厘米). 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 G H F E D CB A 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 如图，在三角形 ABC 中，BC=8 厘米，AD=6 厘米，E、F 分别为 AB 和 AC 的中点，那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？ 【答案】6 【解析】 首先， 1 242ABCS BC AD    平方厘米，而 F 是 AC 中点，所以 1 2ABF ABCSS .又 E 是 AB 中点，所以 11624EBF ABF ABCSSS   平方厘米. 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 如图，在面积为 1 的三角形 ABC 中，DC=3BD,F 是 AD 的中点，延长 CF 交 AB 边于 E,求三角形 AEF 和三角形 CDF 的面积之和。 【答案】 3 7 【解析】 连接 DE,于是三角形 AEF 的面积=三角形 EFD 的面积，所求被转化为三角形 EDC 的面积。因 为 F 是 AD 中点，所以三角形 AEC 的面积和三角形 EDC 的面积相等，设 S  BDE 为 1 份,则 S AEC=S EDC 为 3 份 因此 S ABC 一共 7 份， 每份面积为 1 7 所以 S EDC 占 3 份为 。 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】（难度等级 ※※） F E D CB A F A B C D E 如右图 BE= BC，CD= AC，那么三角形 AED 的面积是三角形 ABC 面积的几分之几？ 【答案】 1 2 【解析】 上图中，三角形 AEC 与三角形 ABC 的高相等，而 BE= BC，于是 EC= BA D C BC， 2 3 AEC ABC S S  又由于三角形 AED 与三角形 AEC 的高相等，而 CD= 4 1 AC,于是 AD= 4 3 AC, 3 4 AED AEC S S  所以，三角形 AED 的面积= 4 3 ×三角形 AEC 的面积= × 2 3 ×三角形 ABC 的面积 = ×三角 形 ABC 的面积 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 在右图中，AE:EC=1:2，CD:DB=l:4，BF:FA=1:3，三角形 ABC 的面 积等于 1．那么四边形 AFHG 的面积是多少? 【答案】 1 1 1 131 3 36 39 468AFHG ABE BFH AEGS S S S         【解析】 如下图所示，我们分别求出△BFH、△AGE 的面积问题也就解决． D E CB A D E CB A A B CE D ① 如上左图，我们设 BFHSx  ,则 3AFHSx  ;设 AFESy  ,则 2CEHSy  . 于是有 14 3ABES x y    , 333 4ACFS y x    有 12 3 1 333 4 xy xy   ,则 19 4x  ,所以 1 36x  ② 如上右图,我们设 AEGSa  ,则 2CEGSa  ;设 CDGSb  ,则 4BDCSb  .于是有 13 5ACDS a b    , 225 3BCES a b    .有 15 5 1 225 3 ab ab   ,则 113 3a  ,所以 1 39a  . 这样, 1 1 1 131 3 36 39 468AFHG ABE BFH AEGS S S S         . 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】5 【试题来源】 【题目】 如图所示，四边形 ABCD 与 AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积 相等． 【答案】 ABCD AEGFSS 【解析】 连接 BE 显然有 1 2ABE ABCDSS  ， 1 2ABE AEGFSS  所以 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 G F E D C BA 【试题来源】 【题目】 如图，在长方形 ABCD 中，Y 是 BD 的中点，Z 是 DY 的中点，如果 AB=24 厘米，BC=8 厘米，求三角形 ZCY 的面积． 【答案】24 【解析】 192ABCDS AB BC   平方厘米 因为 Y 是 BD 中点，Z 是 DY 中点，所以 1 1 1 1 1 1( ) [ ( )] 242 2 2 2 2 8ZCY CDB ABCD ABCDS S S S    【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 如图，正方形 ABCD 的边长为 4 厘米，EF 和 BC 平行， 三角形 ECH 的面积是 7 平方厘米，求 EG 的长。 【答案】3.5 【解析】 1 2 ×EG×AE + 1 2 ×EG×EB = 7 平方厘米 即 1 2 ×EG×AB=7 平方厘米；EG=3.5 厘米 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 Y Z D C BA H G FE D CB A 【试题来源】 【题目】 如图已知四边形 ABCD 和 CEFG 都是正方形，且正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，那么图中阴影三角形 BFD 的面积为多少平方厘米? 【答案】50 【解析】 连接 CF 由 ABCD 和 CEFG 都是正方形有 45BDC DCF     所以 BD CF . 由平行线间距离相等知三角形 BDF 和三角形 BDC 同底等高 所以 1 502BFD BCD ABCDS S S   【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 如图，一个长方形被切成 8 块，其中三块的面积分别为 12，23，32，则图中阴影部分的面 积为? 【答案】67 【解析】 如右图，已知 a+b+x=23+a+32+12+b 所以 x=23+32+12 x=67. 【知识点】等高成比 23 32 12 12 32 23 d c b a x 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 如图，平行四边形 ABCD 周长为 75 厘米，以 BC 为底时高是 14 厘米；以 CD 为底时高是 16 厘米。求平行四边形 ABCD 的面积。 【答案】280 【解析】 BC×14=CD×16，BC：CD=16：14， BC+CD= 75 2 ，BC= 75 2 × 16 16 14 =20 ABCD 面积=14×20=280（平方厘米） 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 如右图，正方形 ABCD 的边长为 6 厘米，△ABE、△ADF 与四边形 AECF 的 面积彼此相等，求三角形 AEF 的面积. 【答案】10 【解析】 因为△ABE、△ ADF 与四边形 AECF 的面积彼此相等，所以四边形 AECF 的面积与△ABE、△ ADF 的面积都等于正方形面积的三分之一，也就是： 1 6 6 123ABE ADFS S S     △ △四边形AECF 在△ABE 中，因为 AB＝6.所以 BE＝4，同理 DF＝4，因此 CE＝CF＝2， ∴△ECF 的面积为 2×2÷2＝2． 所以 =12 2=10AEF FS S S  △ △EC四边形AECF （平方厘米）． 【知识点】等高成比 A B C D E F F E D CB A 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 如图，有四个长方形的面积分别是 1 平方厘米、2 平方厘米、3 平方厘米和 4 平方厘米，组 合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。 【答案】10 21 【解析】 【解法 1】如图，阴影部分的面积可以“等积变形”为下图 中的深色三角形的面积。 已知等宽的长方形面积之比就是相对的底边之比，所以，设 大长方形的长为 a 厘米，宽为 b 厘米，则有： GH 的长度为： 3 1 2 3 4 1 2 21a a a 所以，阴影部分的面积为 1 2 × 2 21a ×b= × 2 21 ×10= (平方厘米) 【解法 2】如图， S 阴影=S△ABH-S△ABG= S 长方形 ABFP- S 长方形 ABOE 长方形 ABFP= 3 34 ×长方形 ABCD= 3 7 ×10 长方形 ABOE= 1 12 ×长方形 ABCD= 1 3 ×10 S 阴影= ×（ ×10- ×10）= (平方厘米) 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 O PA B C DE F G H M F EA B C D G H 【试题来源】 【题目】 如图，四边形 B C D A 的面积是 66 平方米， EA AB ， CB BF ， DC CG ， ，求四边形 的面 积． 【答案】 66 5ABCDS  【解析】如图，连接 DE 、 DB 、 BG 由 ， 有 1 2CDB CGB CGFS S S   ；同理有 1 2ADB AHESS 所以 11 22ABCD ADB CDB AHE CFBS S S S S       连接CH 、CA 、 AF ，同样有 11 22ABCD DHG BFES S S 所以 5EHGF DHG BFE AHE CFB ABCD ABCDS S S S S S S         因此 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 如图，三角形 ABC 被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4， BE=3，AE=6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？ 【答案】 1 5SS 乙甲 【解析】 由 BD DC BD=DC 有 1 2BD BC ；由 3BE  ， 6AE  ，有 1 3BE AB .由鸟头定理有 1 1 1 3 2 6ABC ABCS S S   甲 ， 5 6ABC ABCS S S S  乙 甲 ，故 . 【知识点】等高成比 H G F E D C B A 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 某公园的外轮廓是四边形 ABCD，被对角线 AC、BD 分成四个部分， △AOB 面积为 1 平方千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面 积为 3 平方千米，公园陆地的面积是 6.92 平方千米，求人工湖的 面积是多少平方千米？ 【答案】0.58 【解析】 由任意四边形的蝴蝶定理有 AOB COD AOD BOCS S S S      所以 1 3 2 1.5AODS     平方千米，故公园总面积为 1 3 2 1.5 7.5    平方千米，人工湖面积为7.5 6.92 0.58平方千米 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 如图，P 是三角形 ABC 内一点，DE 平行于 AB， FG 平行于 BC，HI 平行于 CA，四边形 AIPD 的面积是 12，四边 形 PGCH 的面积是 15，四边形 BEPF 的面积是 20．那么三角形 ABC 的面积是多少? 【答案】40 【解析】 如果知道三角形 PDG、PEH、PFI 各自的面积，则三角形 ABC 的面积就等于三个四边形和上述三个三角形的面 积之和．但是题中没有给出任何长度的信息，要计算三角形 PDG、PEH、PIV 的面积，惟一 可行的办法是把它们和三个已知面积的四边形比较，找出它们面积之间的关系．在比较过 程中，三角形之间的面积关系是最容易分析的，所以应该添加辅助线，把四边形分割成三 角形，然后再进行比较． 显然四边形 AIPD、PGCH、FPEB 都是平行四边 形．因为平行四边形 FPEB 与平行四边形 Pl；CH 的高相等，所以它们的面积比等于它们的 底边长度之比．因此有： 同样的道理 我们先计算三角形 PEH 的 面积．连接线段 PC、HD，如图 7—7 所示．因为 IH 平行于 AC， 利用等底等高三角形面积相等，我们有 注意到三角形 HPE 与三角形 HPD 底边共线，高相等，所以 从而有 接着计算三角形 PGD 的面积．连接线段 EG、HG，如图 7—8 所示，因为 FG 平行于 BC， 同样利用等底等高三角形面积相等，有 因为三角形 GDP 和三角形 GPE 底边共线，高相等，所以 从而有 最后计算三角形 PFI 的面积．连接线段 FH、PB，如图 7—9 所示．因为 FG 平行 BC，以 因为三角形 FPH 和三角形 FPI 底边共线，高相等，所以 从而有 最后得 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积 是多少平方厘米? 【答案】 400 80020 20 33   【解析】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接 BG． 设△AEG 的面积为 x，显然△EBG、△ BFG、△ FCG 的面积均为 x，则△ABF 的面积为 3x， 1 20 10 1002ABFS     即 100 3x  ，那么正方形内空 白部分的面积为 4004 3x  . 所以原题中阴影部分面积为 (平方厘米)． 【知识点】等高成比 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 习题演练 【试题来源】 【题目】如图，三角形 ABC 中， 2DC BD ， 3CE AE ， 三角形 ADE 的面积是 20 平方厘米，三角形 的面积是多 少？ 【答案】120 【解析】120 【知识点】等高成比 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三 块面积分别是 13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】97 【解析】97 【知识点】等高成比 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是 4 厘米， 求三角形 ABC 的面积。 【答案】8 【解析】8 【知识点】等高成比 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 E D CB A H G F E D C BA 【题目】 如图，平行四边形 ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行四边形 ABCD 的面积是 2， 求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比. 【答案】1：17 【解析】1:17 【知识点】等高成比 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】如图，在△ABC 中，延长 BD=AB，CE= 1 2 BC，F 是 AC 的中点，若△ABC 的面积 是 2，则△DEF 的面积是多少？ 【答案】3.5 【解析】3.5 【知识点】等高成比 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 F E D CB A