五年级奥数教案：第26周　最小公倍数（一） 6页

第二十六周 最小公倍数（一）‎ 专题简析：‎ 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]= a×b。‎ 两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：‎ 最大公约数×最小公倍数=两数的乘积 即（a、b）×[a、b]= a×b 要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。‎ 例题1 两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？‎ 分析 根据“两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积”可先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个数。根据题意：‎ 当a1b1分别是1和6时，a、b分别为15×1=15，15×6=90；当a1b1分别是2和3时，a、b分别为15×2=20，15×3=45。所以，这两个数是15和90或者30和45。‎ 练习一 ‎1，两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？‎ ‎2，两个数的最大公约数是12，最小公倍数是60，求这两个数的和是多少？‎ ‎3，两个数的最大公约数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？‎ 例题2 两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？‎ 分析 我们把这两个自然数称为甲数和乙数。因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公约数是360÷120=3。又因为（甲÷3=a，乙÷3=b）中，3×a×b=120，a和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。当a和b是1和40时，所求的数是3×1=3和3×40=120；当a和b是5和8时，所求的数是3×5=15和3×8=24。‎ 练习二 ‎1，求36和24的最大公约数和最小公倍数的乘积。‎ ‎2，已知两个数的积是3072，最大公约数是16，求这两个数。‎ ‎3，已知两个数的最大公约数是13，最小公倍数是78，求这两个数的差。‎ 例题3 甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？‎ 分析 从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。因为3、4、5的最小公倍数是60，所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。‎ 练习三 ‎1，1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又这三种路线的车同时发车？‎ ‎2，甲、乙、丙从同一起点出发沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。问：再过多少时间三人第二次同时从起点出发？‎ ‎3，五年级一班的同学每周一都要去看军属张爷爷，二班的同学每6天去看一次，三班的同学每两周去看一次。如果“六一”儿童节三个班的同学同一天去看张爷爷，那么，再过多少天他们三个班的同学再次同一天去张爷爷家？‎ 例题4 一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？‎ 分析 把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。‎ 练习四 ‎1，用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？‎ ‎2，有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？‎ ‎3，一个长方体长‎2.7米、宽1.8分米、高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体小块，不许有剩余，这些小正方体的棱长最多是多少分米？‎ 例题5 甲每秒跑‎3米，乙每秒跑‎4米，丙每秒跑‎2米，三人沿‎600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？‎ 分析 甲跑一圈需要600÷3=200秒，乙跑一圈需要600÷4=150秒，丙跑一圈需要600÷2=300秒。要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。200、150和300的最小公倍数是600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。‎ 练习五 ‎1，有一条长‎400米的环形跑道，甲、乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇；若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第一次相遇。已知甲比乙快，求二人的速度。‎ ‎2，一环形跑道长‎240米，甲、乙、丙从同一处同方向骑车而行，甲每秒行‎8米，乙每秒行‎6米，丙每秒行‎5米。至少经过几分钟，三人再次从原出发点同时出发？‎ ‎3，甲、乙、丙三人在一条长‎240米的跑道上来回跑步，甲每秒跑‎4米，乙每秒跑‎5米，丙每秒跑3米。若三人同时从一端出发，再经过多少时间三人又从此处同时出发？‎