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- 2022-02-10 发布
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学科培优 数学
等积变换、切割、平移、旋转
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知识定位
本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华,等积变换试平面几何的基础,解决三角形问题几乎无处不在,切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想,在几何中举足轻重,能使复杂的问题巧妙化解。所以本讲是非常重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。
重点难点:
1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。
2.化未知图形为已知图形。
3. 合理做辅助线
4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围
主要考点:
1. 面积和边的比例关系
2. 利用平移、旋转解复杂问题
知识梳理
常见图形面积的解题方法
我们已经知道三角形面积的计算公式:三角形面积=底×高÷2
从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积.
如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小);
如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);
这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍,底变为原来的1/3,则三角形面积与原来的一样。这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状.
在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论:
1、 等底等高的两个三角形面积相等.
2、若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.
若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.
3、夹在一组平行线之间的等积变形,如下图,和夹在一组平行线之间,且有公共底边那么;反之,如果,则可知直线平行于。
4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。
例题精讲
【试题来源】
【题目】三个正方形ABCD,BEFG,HKPF如图所示放置在一
起,图中正方形BEFG的周长等于14厘米。求图中
阴影部分的面积。
【试题来源】
【题目】在平行四边形ABCD中,AC为对角线,EF平行
AC。如果三角形AED的面积为10平方厘米,求三角形CDF的面积。
【试题来源】
【题目】如图(1),ABCD是一长方形纸片,把它的左下角沿虚线EC折叠过去成图(2),AE恰好是AD的1/4,三角形CDE面积是27,三角形AHE面积是3,三角形BCG面积是16,问三角形DGH(阴影部分)的面积是多少?
【试题来源】
【题目】右图是一块长方形草地,长方形的长是16,宽是10。中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,它们的宽都是2,求草地部分的面积(阴影部分)有多大?
【试题来源】
【题目】在正方形中,、、、分别是、、、边的中点(如图),连接线段、、、,由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的____分之______。
【试题来源】
【题目】如下图,六边形中,,,,且有平行于,平行,平行,对角线垂直于,已知厘米,厘米,试求六边形的面积是多少平方厘米。
【试题来源】
【题目】如图,在直角三角形中有一个正方形,已知BD=10厘米, DC=7厘米,求阴影部分的面积为多少平方厘米?
【试题来源】
【题目】如图,正方形和有一个公共点,试比较三角形和三角形的面积。
【试题来源】
【题目】长方形的广告牌长为10米,宽为8米,A,B,C,D分别在四条边上,并且C比A低5米,D在B的左边2米,四边形ABCD的面积是 平方米。
【试题来源】
【题目】在七巧板中(如下图),所有三角形面积的和,是大正方形面积的多少倍?
【试题来源】
【题目】长方形的面积为36平方厘米,、、分别为边的中点,为边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少?
【试题来源】
【题目】如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是ABCD各边的中点,求阴影部分四边形PQRS的面积之比。
【试题来源】
【题目】正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米,B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米.
A6
A5
A4
A3
A2
A1
B6
B5
B4
B3
B2
B1
【试题来源】
【题目】如右图,一个面积为2009平方厘米的长方形,被分割成了一个长方形、两个等腰直角三角形、三个梯形.已知除了阴影长方形外,其它的五块面积都相等,且B是AC的中点;那么阴影长方形的面积是 平方厘米.
【试题来源】
【题目】如图,在四边形ABCD中, ,,, 厘米,求四边形ABCD的面积。
【试题来源】
【题目】如下图所示,梯形ABCD中,AB平行与CD,又BD=3,AC=4,AB+CD=5,试求梯形ABCD的面积.
【试题来源】
【题目】已知正方形的边长为10,EC=3,BF=2,则= 。
【试题来源】
【题目】如图,已知, ,, ,则________。
【试题来源】
【题目】如图所示,一阴影四边形,其外侧的四边形是边长为10厘米的正方形,求阴影四边形的面积。
【试题来源】
【题目】如下图,三角形ABC中AB=AC,∠BAC=120°,三角形ADE为正三角形,点D在BC边上.并且有BD:DC=2:3.三角形ABC的面积为50平方厘米,试求三角形ADE的面积?
习题演练
【试题来源】
【题目】如图,已知三角形面积为1,延长至,使;延长至,使;延长至,使
,求三角形的面积.
【试题来源】
【题目】如右图,长方形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形.已知AB=22厘米,BC=20厘米,那么每一个正方形的面积为 平方厘米.
【试题来源】
【题目】 一张边长为20厘米的正方形纸片,从顶点起5厘米处,沿45度角下剪(如右图),中间形成一个小正方形。小正方形的面积是多少平方厘米?
【试题来源】
【题目】如图在直角三角形ABC中,内接一个最大的正方形,BF=27厘米,FC=52厘米。图中两个阴影三角形面积的和是多少厘米。
【试题来源】
【题目】 若E、F、G、H分别是四边的三等分点(如图),那么所得的小正方形的面积占大正方形面积的______分之______。
【试题来源】
【题目】 如图,如果长方形的面积是56平方厘米,那么四边形的面积是多少平方厘米?3
【试题来源】
【题目】四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=90°,求四边形ABCD的面积.
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