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- 2022-02-11 发布
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5-4-4.完全平方数及应用(一)
教学目标
1. 学习完全平方数的性质;
2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程
3. 掌握完全平方数的综合运用。
知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.主要性质
1.完全平方数的尾数只能是0,1,4,5,6,9。不可能是2,3,7,8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数,约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p整除完全平方数,则p能被整除。
2.性质
性质1:完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9.
性质2:完全平方数被3,4,5,8,16除的余数一定是完全平方数.
性质3:自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数.因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次,所以,如果p是质数,n是自然数,N是完全平方数,且,则.
性质4:完全平方数的个位是6它的十位是奇数.
性质5:如果一个完全平方数的个位是0,则它后面连续的0的个数一定是偶数.如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个.
性质6:如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间,则它不是完全平方数.
3.一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除;任何奇数的平方被4(或8)除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有:00,01,21,41,61,81,04,24,44,64,84,25,09,29,49,69,89,16,36,56,76,96。
4.完全平方数个位数字是奇数(1,5,9)时,其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数(0,4)时,其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时,其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数;末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数;个位数字为1,4,9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾:平方差公式:
例题精讲
模块一、完全平方数计算及判断
【例 1】 已知:1234567654321×49是一个完全平方数,求它是谁的平方?
【例 1】 是 的平方.
【例 2】 已知自然数满足:除以得到一个完全平方数,则的最小值是 。
【例 3】 有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为0,试求满足上述条件的最小的正整数.
【例 4】 A是由2002个“4”组成的多位数,即,A是不是某个自然数B的平方?如果是,写出B;如果不是,请说明理由.
【巩固】 是由2008个“4”组成的多位数,即,是不是某个自然数的平方?如果是,写出;如果不是,请说明理由.
【例 5】 计算-=A×A,求A.
【例 1】 ①,求A为多少?
②求是否存在一个完全平方数,它的数字和为2005?
模块二、平方数特征
(1) 平方数的尾数特征
【例 2】 下面是一个算式:,这个算式的得数能否是某个数的平方?
【例 3】 一个数与它自身的乘积称为这个数的平方.各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有________个.
【例 4】 用1~9这9个数字各一次,组成一个两位完全平方数,一个三位完全平方数,一个四位完全平方数.那么,其中的四位完全平方数最小是 .
【例 5】 称能表示成1+2+3+…+K的形式的自然数为三角数,有一个四位数N,它既是三角数,又是完全平方数,N= 。
(1) 奇数个约数——指数是偶数
【例 1】 在,,,,,……等这些算是中,4,9,16,25,36,……叫做完全平方数。那么,不超过2007的最大的完全平方数是_________。
【例 2】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数.
【例 3】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数,则a的最小值是________.
【巩固】 已知恰是自然数b的平方数,a的最小值是 。
【例 4】 从1到2008的所有自然数中,乘以72后是完全平方数的数共有多少个?
【例 5】 已知自然数满足:除以得到一个完全平方数,则的最小值是 。
【例 6】 有5个连续自然数,它们的和为一个平方数,中间三数的和为立方数,则这五个数中最小数的最小值为 .
【例 1】 求一个最小的自然数,它乘以2后是完全平方数,乘以3后是完全立方数,乘以5后是5次方数.
【例 2】 三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”.问:所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少?
【例 3】 考虑下列32个数:,,,……,,请你去掉其中的一个数,使得其余各数的乘积为一个完全平方数,划去的那个数是 .
【例 4】 一个数的完全平方有39个约数,求该数的约数个数是多少?
【例 5】 有一个不等于0的自然数,它的是一个立方数,它的是一个平方数,则这个数最小是 .
(1) 平方数的整除特性
【例 6】 三个连续正整数,中间一个是完全平方数,将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。问所有的小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少?
【例 1】 证明:形如11,111,1111,11111,…的数中没有完全平方数。
【例 2】 记,这里.当k在1至100之间取正整数值时,有 个不同的k,使得S是一个正整数的平方.
【例 3】 能够找到这样的四个正整数,使得它们中任意两个数的积与的和都是完全平方数吗?若能够,请举出一例;若不能够,请说明理由.
【例 4】 的末三位数是多少?
【例 5】 求所有的质数P,使得与也是质数.
【例 6】 古时候有两位贩卖家畜的商人把他们共有一群牛卖掉,每头牛买得的钱数正好等于牛的头数。他们把所得的钱买回了一群羊,每只羊10文钱,钱的零头又买了一只小羊。他们平分了这些羊,结果第一个人多得了一只大羊,第二人得到了那只小羊。为了公平,第一个人应补给第二个人____文钱。
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