人教版2020年秋季小学六年级数学上册全册单元备课教材分析 37页

人教版2020年秋季小学六年级数学上册 全册单元备课教材分析 目 录 第一单元 分数乘法 1‎ 第二单元 位置与方向（二） 8‎ 第三单元 分数除法 11‎ 第四单元 比 19‎ 第五单元 圆 22‎ 第六单元 百分数 23‎ 第七单元 扇形统计图 28‎ 第八单元 数学广角-数与形 32‎ 36‎ 第一单元 分数乘法 一、教学内容 ‎1.分数乘法的意义 ‎2.分数乘法的计算 ‎3.利用分数乘法解决相关实际问题。‎ 二、教学目标 ‎1.使学生理解分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展；理解和掌握分数乘法的计算方法，会计算分数乘整数、分数、小数；能运用乘法运算定律进行一些简便计算。‎ ‎2.使学生经历分数乘法计算方法的探索过程，经历应用分数乘法解决简单实际问题的过程，进一步培养分析、比较、抽象、概括、归纳、类推的能力，发展初步的合情推理和演绎推理的能力。‎ ‎3.使学生感受知识之间的内在联系，提高自主探索与合作交流学习的能力，建立学好数学的信心。‎ 三、主要变化与具体编排 ‎（一）主要变化 ‎1．进一步厘清分数乘法的意义。‎ 分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展，二者在本质上完全一致，只是在表述方式上有所区别。例如，如果脱离情境，在抽象的层面上讨论“5×3”，它既可以表示5个3相加，用“倍”的语言来描述就是“3的5倍”；也可以表示3个5相加，同样可以说成“5的3倍”。类似地，如果以这样的方式来讨论“3×”，它既可以表示3个相加，即“的3倍”；也可以表示“3的”。从表面上看，“一个数的几分之几”是一种全新的表述，但实际上，它只是省略了“3的倍”中的“倍”字，把“一个数的几倍”扩展到“一 36‎ 个数的几分之几”。从另一个角度看，“3的”和“个3”表示的意思完全相同，例如，一根绳子长3m，“它的长多少米”和“根绳子长多少米”说的是一个意思。因此，不管是整数乘法还是分数乘法，其意义都可以归结为“几个几”，只不过，这里的两个“几”都既可以是整数，也可以是分数。‎ 根据这样的思路，教材编排了三道例题来教学分数乘法的意义和计算。例1，让学生计算3个m是多少,学生可以直接利用整数乘法的意义，转化成连加进行计算。例2，是例3的铺垫，让学生根据整数乘法中的数量关系“单位量×数量=总量”列出“1桶水12L，桶是多少升”的算式是12×，然后结合直观图和分数的意义，发现12×在这儿表示的就是12L的，进而得出“一个数乘几分之几可以表示求这个数的几分之几是多少”的结论。在这一过程中，把“桶水”变成“1桶水的”，实现了从“量”到“率”的有效转换。有了例2的基础，例3中求“公顷的”，算式列成×就“有据可依”了。‎ 这样编排，有几个好处。一是在单元之始就把分数乘法意义的两种不同表述方式都呈现出来，使学生对分数乘法的意义有比较全面、完整的认识。二是编排逻辑更加清晰，先让学生理解分数乘法的意义，解决“如何列式”，再解决“如何计算”。三是突破了过去教材中到“问题解决”部分才去解决“求一个数的几分之几是多少”的限制，大大拓宽了本单元其他内容的素材选择范围。例如，既可以出现“蜂鸟的飞行速度是千米/分，分钟飞行多少千米”的题材（分数是一种具体量，带单位），也可以出现“一头鲸长28m，一个人身高是鲸体长的。这个人身高是多少米”的练习题（分数是一种“率”，不带单位）。‎ ‎2．增加分、小数相乘的内容。‎ 36‎ 学生在未来的学习中会遇到许多分、小数相乘的情况，例如，解决“按1：5的比配制一杯1.2L的稀释液，需要多少升浓缩液”的问题时，需要计算形如1.2×的算式。如果学生不会直接约分，计算的繁琐程度和出错概率就会大大增加。因此，教材新编了例5，让学生分别计算2.1×和2.4×，让学生根据数据的特点灵活选择计算方法，能直接约分的尽量直接约分。教学时，要使学生通过2.4×=24×0.1×=×0.1×=0.6×的推导过程理解“为什么能直接约分”的原理。 3．调整了用分数乘法解决实际问题的类型。‎ 如前所述，学生已经在“分数乘法的意义和计算”中解决了“求一个数的几分之几是多少”的基本问题。这一基本数量关系的掌握对于解决更复杂的分数乘法问题至关重要。‎ 此次修订增加了“连续求一个数的几分之几是多少”的问题。这一类问题是“求一个数的几分之几是多少”的延续，已知量和所求的量之间的关系没有直接给出，而是通过一个“中间量”搭建起二者之间的“桥梁”。在解决这一类问题时，需要学生把复杂的问题化归为基本的“求一个数的几分之几是多少”，并抓住这一基本数量关系中的几个关键要素：单位“1”是谁？所求的量是谁？二者之间是几分之几的关系？尤其要注意单位“1”与几分之几之间的对应关系。‎ 对于“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”这类问题，与实验教材相比，修订后的教材减轻了例题的份量，在例题中只出现不同量的情况（婴儿每分钟心跳的次数比青少年多），对于同一量的情况（嗓音降低），则放在“做一做”中让学生巩固掌握。‎ ‎4．把“倒数”的内容移至“分数除法”单元。‎ 倒数是联结分数乘法和分数除法的纽带。在进行分数除法计算时，要用到“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”这一结论，因此，把“倒数”安排在“分数除法”单元，更能体现出学习倒数的必要性。‎ 36‎ ‎（二）具体编排 ‎1.例1。‎ 直接利用整数乘法的意义来引入分数乘法，使学生理解几个相同分数相加和几个相同整数相加都可以用乘法计算。并通过将分数乘法转化为分数加法来探究分数乘法的算理，掌握计算方法。‎ 从吃蛋糕的实际问题引入，借助圆形直观图帮助学生理解题意，探究计算方法。这一直观图延续了三年级学习简单的分数加法时所用的直观图，有助于学生利用已学的知识自主探索。此例中的分数带单位，是一个“量”，学生对于求几个相同量之和的数量关系非常熟悉。先呈现加法计算，然后直接根据整数乘法的意义列出两个乘法算式，说明在这种情况下整数乘法的意义同样适用。‎ 计算时，先将分数乘法转化为几个相同分数相加，使学生明白分母不变、分子相乘的道理。在此基础上总结分数乘整数的计算方法，并指出有时可以先约分再相乘的简便算法。‎ ‎2.例2。‎ 让学生利用已学的整数乘法的数量关系进行类推，列出分数乘法算式，结合具体情境，使学生理解“一个数乘几分之几可以表示求这个数的几分之几”。这是“求一个数的几分之几可以用这个数乘几分之几”的列式依据。‎ 教材呈现了三幅图，都是已知1桶水的体积，分别要求3桶水、桶水、桶水的体积。在这里，列式所依据的数量关系都是“每桶水的体积×桶数=水的体积”，只是桶数可以由整数扩展到分数。接下来，结合情境，说明求桶水、桶水的体积就是求12L的和12L的分别是多少。在此基础上，概括出“一个数乘几分之几，可以表示这个数的几分之几是多少”。‎ 36‎ ‎3.例3。‎ 本例是在学生会利用“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”列式之后，学习分数乘分数的计算方法。‎ 教材利用两个小题，由简单到复杂，结合直观操作，使学生在探索和理解分数乘分数算理的基础上，一步一步总结出分数乘分数的计算方法，渗透数形结合的数学思想，培养学生的逻辑推理能力。‎ 要理解分数乘分数的算理，其根本在于分数意义的理解。在这里，有些分数是带单位的“量”，有些分数是不带单位的“率”，事实上，“量”与“率”也是可以互相转化的。例如，公顷，实际上就是1公顷的；公顷的，就是1公顷的，即公顷。‎ ‎4.例4。‎ 本例是学习分数乘法的简便方法。学生在前面对于分数乘法的意义和算理有了深刻的理解后，教学重点转入寻求便捷的算法。‎ 在设计情境时，教材特意把两个小题设计成需要运用分数乘法意义的两种不同形式进行列式的情形，旨在进一步巩固分数乘法的意义。其中，第（1）小题是“求一个数的几分之几”，第（2）小题既可以根据“速度×时间=路程”列式，也可以根据“几个相同分数相加”列式。‎ 在数据处理上，本例中既包含分数与分数相乘，又包含分数与整数相乘。学生可以通过此例，进一步掌握分数乘法的一般性算法。‎ ‎5.例5。‎ 本例是教学分数与小数相乘的计算问题。分、小数混合运算是在日常生活中以及未来的数学与其他学科的学习中经常会遇到的情形，因此，根据分、小数的数据特点灵活选择计算策略，也是学生应该具备的一项技能。为此，教材在修订时增加了这部分内容。‎ 36‎ 分数和小数相乘，可把分数化成小数相乘（如果分数可以化成有限小数），也可把小数化成分数相乘。不管哪种方法，都是学生已学的知识，可以让学生自行解决。而当小数与分数的分母存在某种倍数关系时，可以直接“约分”。这种约分虽然与以前学过的约分形式不同，但实质都是除以一个相同的数。‎ ‎6.例6。‎ 从“做一个长方形画框需要多长的木条”的实际问题引入，利用长方形画框的周长计算引出分数混合运算。鼓励学生用不同的方法（除了教材上的两种方法，还有可能用四条边相加的）计算，很自然地呈现各种形式的算式，有两级运算的，有带小括号的。教材直接说明分数混合运算的顺序和整数混合运算顺序相同，让学生自主解决。‎ 教材特意用两道有关联的算式教学分数混合运算的顺序，为接下来正式教学把整数乘法运算定律推广到分数乘法作了很好的铺垫。在此基础上，再通过观察、计算，归纳得出“整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用”的结论。‎ ‎7.例7。‎ 教材结合具体计算，说明应用乘法运算定律可以使分数混合运算更加简便。‎ ‎8.例8。‎ 本例是让学生在会解决求一个数的几分之几是多少的基础上，解决连续求一个数的几分之几是多少的实际问题。在这里，由于研究的是三个量之间的关系，在描述其中某两个量的数量关系时，单位“1”是在动态变化的。‎ 36‎ 教材按“阅读与理解”“分析与解答”和“回顾与反思”呈现解决问题的一般步骤。到了高年级，随着问题复杂度提高，对于信息的搜集、题意的理解以及整个问题解答过程以及结果合理性的回顾与讨论，显得越来越重要。‎ 在“分析与解答”环节，一方面，通过折纸或画图等操作活动，借助直观图形帮助学生理解题中的数量关系，体会画图是分析问题、解决问题的重要策略。另一方面，倡导解决问题方法的多样化。既可以先求出萝卜地的面积，再求出红萝卜地的面积；也可以先求出红萝卜地占大棚面积的几分之几，再求出红萝卜地的面积。不同解题思路的呈现，可以提高学生思维的灵活性和发散性。‎ ‎“回顾与反思”让学生自己完成。检验的角度很多，比如，看看直观图画得是否符合题意，看看列式是否符合图意，看看计算是否正确。检验的方法也是多样化的。例如，可以看到萝卜地的面积是红萝卜地的4倍，而大棚面积是萝卜地的2倍。用红萝卜地的60m2乘4，得到萝卜地是240m2，再乘2，是480m2，与题中的信息相符。也可以看看红萝卜地的面积是否占整块萝卜地的。‎ ‎9.例9。‎ 本例是让学生解决求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题。虽然还是研究两个量间的关系，但由于没有直接给出“一个量是另一个量的几分之几”，需要先求出一个量比另一个量多（或少）的具体数量或者先求出一个量是另一个量的几分之几。‎ 教材通过线段图直观地表示出“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多”的意思，对于学生理解题意、选择解决方法起到了关键性的作用。‎ 教材体现了多样化的解题策略。可以先计算婴儿每分钟心跳比青少年多多少次，这就需要先解决“75次的是多少次”的问题。还可以先求出婴儿每分钟心跳次数是青少年的几分之几，这就需要先解决“比一个数多的数是这个数的几分之几”的问题。‎ 36‎ ‎“回顾与反思”部分，使学生通过回顾解题的过程，充分认识到画线段图这一策略对于解决问题的重要作用。同时，列举了一种检验结果的方法，引导学生用不同的方法加以检验。‎ 四、教学建议 ‎1.在已有知识的基础上，帮助学生自主构建新知识。‎ ‎2.通过操作和直观图示帮助学生理解分数乘法的算理，掌握计算方法。‎ ‎3.紧密联系分数乘法的意义，引导学生在理解数量关系的基础上正确列式，解决实际问题。‎ 第二单元 位置与方向（二）‎ 一、教学内容 用方向和距离描述平面上两个点的相对位置关系并在此基础上描述简单的路线图。‎ 二、教学目标 ‎1．使学生会根据平面上一个点的位置说出它相对于观测点的方向和距离；会根据一个点相对于观测点的方向和距离确定这个点的具体位置；会描述简单的路线图。‎ ‎2．通过让学生想象出物体的方位和相互之间的位置关系，培养空间观念。‎ ‎3.使学生通过用方向和距离来表示平面上的位置，初步感受坐标法的思想。‎ ‎4．使学生通过生活实例学习位置与方向的知识，感受数学与生活的紧密联系，学会在生活中应用数学。‎ 三、主要变化与具体编排 ‎（一）主要变化 36‎ ‎“用数对确定位置”和“用方向和距离确定位置”是直角坐标和极坐标思想在小学的初步渗透。在上一轮教材的实验过程中，教师普遍反映“用方向和距离确定位置”的教学难度要大于“用数对确定位置”。因此，此次修订，根据各方意见，把实验教材六年级上册的“用数对确定位置”移至五年级上册，把实验教材四年级下册的“用方向和距离确定位置”移至本册。‎ ‎（二）具体编排 在具体编排上，也更加注重体现层次性。教材选择台风移动这一学生相对熟悉的现实素材作为一个大背景，用“情境串”的形式引出3个例题。‎ ‎1.例1。‎ 教材以电视播报台风警报作为情境引入，具有很强的生活气息，使学生充分感受生活和数学的紧密联系。‎ 教材直接给出标出台风中心和A市的方位图，让学生利用图示理解台风中心“位于A市东偏南30°方向、距离A市600km”所表示的含义。‎ 确定一个位置，需要方向和距离两个条件，教材先通过小精灵提问的方式，让学生思考东偏南30°表示什么意思，这也是本例的重点。使学生看到东偏南30°表示的是一条射线上的所有点，如果只有这一条件，还无法判断台风中心的确切位置，由此引出距离。“东偏南30°”与“南偏东60°”含义完全相同，只是生活中更习惯于选择小于45°的角度来描述。图示中用一条线段表示100km，由于学生还没学习比例尺，只要能说出这样的6条线段表示600km就可以了，不必涉及比例尺。‎ 36‎ 最后小精灵问“台风大约多少小时后到达A市”，主要目的是为了在解决实际问题的过程中，与例2进行很自然的情境连接。‎ ‎2.例2。‎ 本例在学生通过例1了解了方向与距离的含义之后，让学生根据给出的某个点相对于参照点的方向和距离，在方位图上找到该点的位置。延续了例1的情境，情节连贯，随着现实情境的发展，自然地引出数学问题。‎ 教材给出了两类定位的情形，一类是非正东、正南、正北、正西的，一方面需要确定角度，另一方面需要确定距离；另一类的正东、正南、正北、正西的，只需要确定距离即可。‎ 教材采取小组合作的方式，提示学生应该如何根据方向和距离确定位置。先确定方向再确定距离和先确定距离再确定方向这两种方法都可以用，但学生通过尝试，一般会主动选择先确定方向，然后在该方向所在射线上根据相应的距离找到该位置。‎ ‎3.例3。‎ 教材呈现了台风从生成地出发、经过四次方向改变的大致路径，让学生用数学的语言来描述简单的路线图。路线图中包括了例1和例2中台风的移动路线，体现了情境的整体性和知识的综合性。‎ 路线图描述的不仅仅是两个点的静态关系，而是物体在多个点之间的运动关系。除了整条路线的起点和终点之外，其他点都既是某一段路线的终点，也是下一段路线的起点。教材通过学生对话的方式，给出了分段描述的示范，使学生明白方向与距离的描述是具有相对性的，并掌握在描述每一段路线时要注意的几个关键点：起点在哪儿？终点在哪儿？沿着什么方向？移动了多少距离？‎ 四、教学建议 36‎ ‎1.注意联系学生的生活经验和已有知识，引导学生自主探索新知，发展空间观念。‎ ‎2.以问题为载体，鼓励学生通过自主探究、合作交流，克服教学重难点，初步建立坐标观念。‎ 第三单元 分数除法 一、教学内容 ‎1.倒数的认识 ‎2.分数除法的计算 ‎3.问题解决 二、教学目标 ‎1．使学生理解倒数的意义，掌握求一个数的倒数的方法。‎ ‎2．使学生体会分数除法的意义，理解并掌握分数除法的计算方法，会进行分数除法计算。‎ ‎3．使学生会解决一些和分数除法相关的实际问题。‎ ‎4．使学生体会数学与生活的密切联系，体会并掌握模型、方程、数形结合等数学思想。‎ 三、主要变化与具体编排 ‎（一）主要变化 除了把“倒数”从“分数乘法”单元移过来和把“比”的内容另设单元以外，本单元还有两个较大的变化。‎ ‎1.删去“分数除法意义”的相关例题。‎ 考虑到学生对整数乘、除法之间的关系已经非常熟悉，修订后的教材不再单独设置有关“分数除法意义”的例题，只在相关练习中进一步巩固分数乘、除法之间的关系。‎ ‎2.增加两类“问题解决”。‎ 第一类是和倍、差倍 36‎ 问题（两个量之间的“倍数关系”是以“几分之几”的形式出现的）。在这类问题中，有两个未知量，这两个未知量之间的数量关系也有两个。例如，第41页例6中，两个未知量分别是“上半场得分”和“下半场得分”，两个数量关系分别是“上半场和下半场共得42分”和“下半场得分是上半场的一半”。解决时，可以设其中一个未知量为x，利用其中的一个数量关系，用代数式表示出另一个未知量，再利用另一个数量关系列出方程。设的未知数不同，列代数式和列方程所依据的数量关系不同，列出的方程也完全不同。例如，本例就可以列出如下一些方程。‎ 设其中一个未知量为x 如果设上半场：x分 如果设下半场：x分 用代数式表示出另一个量 下半场：(42-x)分 ‎（依据“全场得42分”）‎ 下半场：x分 ‎（依据“下半场得分是上半场的一半”）‎ 上半场：(42-x)分 ‎（依据“全场得42分”）‎ 上半场：2x分 ‎（依据“下半场得分是上半场的一半”，即“上半场得分是下半场的2倍”）‎ 列出方程 ‎42-x=x或 x=2(42-x)‎ x+x=42‎ ‎（依据“全场得42分”）‎ x=(42-x)‎ 或42-x=2x ‎2x+x=42‎ ‎（依据“全场得42分”）‎ 36‎ ‎(依据“下半场得分是上半场的一半”或“上半场得分是下半场的2倍”)‎ ‎(依据“下半场得分是上半场的一半”或“上半场得分是下半场的2倍”)‎ 虽然这些方程之间可以通过变形互相转化，但其背后的思考角度是各不相同的。教学时，要注意引导学生说一说解决问题的完整过程，并通过不同解法的交流，养成多角度地思考问题的习惯。‎ 第二类是可用抽象的“1”来解决的实际问题。教材利用修路这一“工程问题”来引入，使学生经历发现和提出问题、分析和解答问题的过程。例如，学生会认为题中缺少解题的信息，此时，教师追问：缺少什么信息呢？学生会回答：不知道公路长多少千米。这样就很自然地引导学生假设公路总长为某个具体的长度，把新问题转化为旧问题，加以解决。通过学生之间的交流，发现虽然假设的公路具体长度不同，得到的结果却是相同的，使学生产生探究原因的欲望。通过分析，发现不管公路总长是多少，两队每天修的长度分别占总长度的和是不变的，这也是能得到相同结果的内在原因。此基础上，进一步抽象，可用“1”来表示公路总长。‎ 教学此例时，要注意以下几点。‎ 第一，这里不是要系统地教学各类“工程问题”，教学时不要对“工程问题”多变式、深挖掘、广训练。‎ 第二，不必要求学生死记硬背“工作总量÷工作效率=工作时间”等数量关系，只要会用具体的语言描述出来就可以，如“公路的总长÷每天修的长度=需要修的天数”。‎ 36‎ 第三，最重要的不是让学生记住结论，尤其不要把列出“1÷（+）”这一最简形式的算式作为教学的终极目标，形成“解题套路”，而是要让学生经历问题解决的全过程，掌握问题解决的技能和策略。例如，假设的方法是解决此类问题的重要策略，也是数学学习中常用的有效方法。如果学生认为把公路总长假设成一个具体的量来解决更易于理解，要允许学生继续采用这种一般性的解题思路。把公路总长假设成“1”（而不是1km），需要学生具有更抽象的数学思维。‎ 第四，要结合问题解决，使学生体会和运用基本的数学思想和方法，积累基本的活动经验。在此例的教学中，要注意体现变中有不变的思想、抽象的思想、模型的思想。为了让学生进一步体会模型化的思想，教材特意在练习中编排了运输问题、行程问题、泄洪问题、种树问题，使学生发现：虽然这些问题的现实背景各不相同，但其背后的数量关系是相同的。数学教学的一个重要任务就是让学生学会透过纷繁芜杂的现实情境的表象，找出体现数量之间本质关系的数学模型。‎ ‎（二）具体编排 ‎1．倒数的认识 ‎（1）例1。‎ 教材编排了几组乘积为1的乘法算式，使学生通过计算、观察、讨论等活动，归纳出它们的共同规律，引出倒数的定义，并用实例突出“互为倒数”的含义。然后引导学生思考互为倒数的两个数有什么特点；如果两个数都是分数，那么这两个数的分子、分母交换位置；如果一个是整数，那么另一个分数的分子是1，分母就是该整数，为例1的学习打下基础。‎ 例1教学求倒数的方法。教材先安排找倒数的活动，初步体验找倒数 36‎ 的方法：调换分子、分母的位置。在总结求倒数的方法时，要分三种情况：求分数的倒数；求整数的倒数；1和0的倒数的问题。对于1和0的倒数问题，因为1×1=1，所以1的倒数是1；因为0与任何数相乘都不可能是1，所以0没有倒数。‎ ‎2.分数除法 ‎（1）例1。‎ 例1以折纸活动为载体，利用数形结合的方法帮助学生理解分数除以整数的算理。教材分两个层次编排：先解决分数的分子能被整数整除的特殊情况；再引出分子不能被整数整除的情况。第一个问题是分子能被整数整除的情况，有两种思考方法，方法一是利用整数除法的意义，将分数除法转化为整数除法理解并计算；方法二是利用分数的意义，将问题转化为求的来理解和计算。在此基础上提出第二个问题，凸显方法一的局限性和方法二的一般适用性。‎ 教材体现了让学生经历由特殊到一般的探索过程，进而理解把一个数平均分成几份，求其中的1份，就是求这个数的几分之一是多少，渗透转化的数学思想。‎ ‎（2）例2。‎ 例2研究一个数除以分数的计算，包括整数除以分数和分数除以分数两种情况。在解决“谁走得快些”这一实际问题的过程中，自然地列出两个算式，列式的依据是“路程÷时间＝速度”的数量关系，和以前所不同的是路程、时间由整数换成了分数。由于学生对这一数量关系比较熟悉，所以列出分数除法算式不会感到困难，有利于把教学重点集中于计算方法的探索与理解。‎ 36‎ 理解“2÷”的算理是本例的重点。教材采用画线段图的直观方式呈现推算的思路：由于1小时里有3个小时，所以可以先求出小时走了多少千米，即先求出小时走的2km的一半（即）。由于有了直观图的支持，降低了学生对2××3中每一部分含义的理解难度，顺利完成从“除以一个分数”到“乘上这个分数的倒数”的转化。‎ 通过求小红平均每小时走多少路程引出分数除以分数的算式。由于有了整数除以分数的算理的铺垫，教材在这儿没有呈现线段图，而是通过提问“为什么写成×”，引导学生通过迁移类推，自行阐述算理。‎ 以提问的方式，引导学生总结分数除法的一般算法，使学生看到，不管被除数是整数还是分数，不管除数是整数还是分数，只要除数不为0，都可以转化成乘上除数的倒数来计算。并启发学生用自己的方式表示这一算法。‎ ‎（3）例3。‎ 本例以学生熟悉的生活情境为素材引出分数混合运算。分数混合运算的顺序问题已在“分数乘数”单元解决了，学生在此学习分数混合运算，既是分数四则运算的综合应用，也为后面学习利用分数四则运算解决实际问题打下基础。‎ 教材提供了两种不同的解决方法，体现了不同的分析思路。先分步列式，再列综合算式解答。对于不带括号的分数乘除法混合运算，既可以从左至右按步骤计算，也可以直接转化为分数连乘后同时约分计算。‎ ‎（4）例4。‎ 本例是让学生解决简单的“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题。这类问题是分数乘法中“求一个数的几分之几是多少”的逆向问题。‎ 36‎ 教材通过问题解决的三大步骤让学生经历问题解决的全过程。其中，“阅读与理解”让学生自行分析题意，弄清楚条件和问题，选取有效信息。在这里，成人体内水分与体重的关系是一个多余条件，需要学生加以辨别。‎ 这类问题如果用算术方法解，较难理解，学生往往难以判断谁是单位“1”，数量关系也较复杂。因此，教材根据分数乘法的意义，利用已有知识画线段图，找到数量关系，列出方程，并解出方程。这样思考问题的思路与相应的分数乘法问题完全一致，只是参与列式的是未知数而已。‎ ‎“回顾与反思”部分中检验结果的合理性是相应乘法数量关系的二次应用。同时，对有效信息的选取的反思，以及对列方程方法价值的体会，也是反思的重点。‎ ‎（5）例5。‎ 本例是“求比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的逆向问题，是以例4为基础，把条件稍作改变，形成稍复杂的问题。‎ 用算术方法解决这样的实际问题，不仅需要逆向思考，还要把“比一个数多（少）几分之几”，转化为“是一个数的几分之几”，比较抽象，思维难度大。用方程方法解决，可以列出形如的方程，也可以列出形如的方程，前者仍然要经历从“多（少）几分之几”到“是几分之几”的转化，后者只要根据一个数加（减）增加部分等于增加（减少）后的数，就能列出方程。这样的等量关系，学生容易理解。因此，教材选择符合学生顺向思维的思路，给出多样化的解题方法。‎ 为了帮助学生思考，教材提示“先画线段图看看”，并给出了完整的图示，为学生分析、理解等量关系提供直观支柱。然后得出不同的等量关系，并据此列方程解答。‎ 回顾与反思的目的在于反思问题解决的过程是否合理，检验解答是否正确，方法可以多样化。‎ 36‎ ‎（6）例6。‎ 本例中包括两个未知量，题中给出了这两个未知量之间的两种关系，要求学生根据这样的关系列方程解答。由于这两种关系中，一种是两个量之间的倍数关系，另一种是两个量之间的和或差的关系，因此，这样的问题过去被称为“和倍问题”“差倍问题”。‎ 教材以篮球比赛上、下场得分为素材，引出含有两个未知数的实际问题。这样的问题如果用算术方法解决，需要逆向思考，比较抽象，思维难度大，容易出错，列方程来解决更符合顺向思维。‎ 教材给出了两种解法，区别在于先设哪个量为未知数，然后利用两个量的数量关系，用代数式表示出另一个量。除了教材上的示例以外，还有其他的列方程方法。‎ ‎（7）例7。‎ 本例是一类特殊的实际问题，使学生通过尝试、分析，找到本质的数量关系，进而解决问题。‎ 本例采用的素材是“工程问题”，但并不是要求学生解决形形色色的“工程问题”，而是要借此让学生经历利用自主探究解决问题的过程，掌握用假设、验证等方法解决问题的基本策略，让学生体会模型思想。‎ 例题的呈现顺应学生的思维过程。“阅读与理解”部分在引导学生从题目中获取已知条件和问题的同时，在学生利用已有经验解题时很自然地产生疑问：道路的总长未知，怎么办？接下来就在“分析与解答”部分，提出思考的方向：如果道路总长是已知的，这个问题就转化成以前 36‎ 学过的旧问题了。那是否可以假设一个长度呢？这就是一个猜想、尝试的过程，学生在这一过程中经历了发现问题、提出问题。通过假设，可以把抽象问题具体化，使复杂的数量关系明显化或简单化。不同的学生假设的长度不同，又体现了解决问题方法的开放性和多样化。‎ 四、教学建议 ‎1．加强直观教学，结合实际操作和直观图形，帮助学生理解算理，掌握方法。‎ ‎2.加强分数乘、除法的沟通与联系，促进知识正迁移，提高解决实际问题的能力。‎ 第四单元 比 一、教学内容 ‎1.比的意义 ‎2.比的基本性质 ‎3.比的应用 二、教学目标 ‎1．使学生理解比的意义，知道比与分数、除法的关系。‎ ‎2．使学生理解并掌握比的基本性质，会求比值、化简比，能解答按比分配的实际问题。‎ ‎3．使学生在理解比的意义、探索比与分数和除法之间的关系以及比的基本性质的过程中，体会类比法、推理思想，积累数学活动经验，体会数学知识之间的内在联系，把握数学知识的本质。‎ ‎4．使学生经历用比描述生活现象和解决实际问题的过程，感受数学知识在日常生活中的应用价值。‎ 三、主要变化与具体编排 ‎（一）主要变化 这一单元的内容与编排与实验教材基本一致。把这部分内容分拆出来另成单元，主要是为了突出“比和比例”的独立性、重要性。‎ 36‎ 比不仅与分数除法有联系，与分数、除法等知识的联系更加紧密和重要。比的知识是学习比例相关知识的必要基础，把比单独设单元，能使学生从量与量之间的关系这一角度去认识比，而不仅仅从运算的角度去理解比，有利于学生代数思想的培养。‎ ‎（二）具体编排 ‎1.比的意义、各部分名称。‎ 教材精心选取了“神舟”五号这一现实素材作为载体，既富有教育意义，又能比较自然地引出比的两种情形。例1的素材也是从中选取的，凸显情境的连续性和整体性。‎ 教材先给出两面长方形小旗的数据，引导学生讨论长与宽的关系。除了可以用减法表示出它们之间的相差关系，还可以用除法表示它们的倍数关系。在此基础上直接指出：可以用比来表示它们之间的关系，由此引出同类量的比。如果仅从形式上看，比是除法关系的另一种表示方式，这为学生认识比和除法、分数之间的关系奠定了基础。‎ 接下来，教材介绍飞船的运行路程与时间，用除法表示出飞船进入轨道后的速度。在此基础上，直接指出还可以用比来表示路程和时间的关系，引出非同类量的比。使学生进一步认识比的意义以及比和除法的关系。‎ 教材在教学了可以用比来表示两个同类量或不同类量相除的关系的基础上，直接抽象出比的意义：两个数的比表示两个数相除。这一意义是后面求比值、推导比的基本性质的直接保证。‎ 接下来，给出比的写法、各部分名称以及比值的概念，并根据分数和除法的关系，给出比的分数形式的写法。并根据小精灵的问题，进一步沟通比和除法、分数的联系。‎ ‎2.比的基本性质。‎ 36‎ 教材在前面“做一做”第3题对商不变性质和分数的基本性质进行了回顾，在此基础上，启发学生根据比和除法、分数的关系思考：“在比中有什么样的规律？”首先通过比较比值，直接看出6：8和12：16这两个比相等，同时也能看出这两个比和3：4也是相等的。接下来，让学生探究两个比相等的内在原因。教材给出了根据比和除法的关系类推的过程，再让学生根据比和分数的关系自主探究。在此基础上，概括出比的基本性质。‎ ‎3.例1。‎ 本例教学运用比的基本性质化简比。第（1）题仍采用“神舟”五号的题材，给出两面旗的长和宽，要求这两面旗长和宽的最简整数比。其中15∶10的化简给出了完整的过程并启发学生思考为什么这样化简；180∶120的化简则让学生自己完成。化简的过程便于学生感悟化简的必要性，即能使量与量之间的关系更加简明、清晰。两个最简整数比相等，也渗透了图形按比例缩放的相似变换思想。第（2）题的两个比中的前、后项分别出现了分数和小数。教材同样提出了启发学生思考比的化简方法的问题，把前、后项不是整数的情况首先转化为前、后项都是整数的情况，再利用第（1）题的方法自行完成。‎ ‎4.例2。‎ 本例让学生解决按比分配的实际问题，这一类问题与“和倍问题”实质相同。教材创设了一个日常生活中比较常见的配制清洁剂稀释液的问题情境，便于学生理解。‎ 教材按问题解决的三个步骤编排，旨在使学生经历问题解决的完整过程，尤其是养成审题和反思的习惯。在问题情境图中和解答过程中都采用直观图帮助学生清楚地看到量与量之间的关系，理解稀释瓶上标明的比表示的含义。‎ 36‎ 教材介绍了两种解法。一种是把比看成份数之比，先求出每份是多少，再求几份是多少。即把此问题转化为整数的“归一问题”来解决。另一种是根据直观图和比的意义，算出浓缩液和水分别占总体的几分之几，把问题转化为求一个数的几分之几是多少，用分数乘法来解决。‎ ‎“回顾与反思”阶段，重新借助比的意义，看浓缩液与水的体积之比化简后是否与题目中所给信息相符。‎ 四、教学建议 ‎1．联系生活实际，使学生在情境中学习比的意义。‎ ‎2．加强比与除法、分数的联系，促进知识的融会贯通。‎ 第五单元 圆 一、教材分析：‎ 这部分内容是在学生已经学过直线围成的平面图形的基础上学习的。‎ 本单元学习的主要内容有：认识圆，圆的周长，圆的面积。‎ 本单元教材编写力图体现以下特点：‎ ‎1.更注重经历周长、面积计算公式的探索过程，相关的计算例题减少。‎ ‎2.轴对称图形的知识放到图形变换中编排，此单元中只涉及到圆的轴对称性并加以应用。‎ ‎3、加强了圆环面积的计算教学，更加注重知识的应用。‎ ‎4、综合应用“确定起跑线”是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。通过该活动一方面让学生了解椭圆形田径场跑道的结构，学会确定跑道起跑线的方法；另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。‎ 36‎ 二、教学目标：‎ ‎1.认识圆，掌握圆的基本特征，理解直径与半径的相互关系；学会用圆规画圆。‎ ‎2.理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值，会用实验的方法探索圆的周长与面积的计算公式，并能正确地计算圆的周长与面积。‎ ‎3.初步学会用转化的思想推导圆的面积计算公式。‎ ‎4、认识轴对称图形，知道轴对称的含义，能找出轴对称图形的对称轴。‎ ‎5、通过介绍圆周率的史料，使学生受到爱国主义教育。‎ 三、重点难点：‎ ‎1、认识圆和轴对称图形；‎ ‎2、掌握圆的周长和面积的计算公式。‎ ‎3、理解圆周率“π”；圆面积计算公式的推导以及画具有定半径或直径的圆。‎ 四、教学措施：‎ ‎1、结合生活实际体会圆的特征。使学生感受到了圆在生活中的应用，同时加深了对圆的特征的认识，同时可以培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。‎ ‎2、让学生动手操作，通过画一画、剪一剪、围一围等多种方式，帮助学生认识圆的基本特征，探讨圆的周长和面积计算公式。‎ ‎3、引导学生动手剪切、拼贴，从而“化圆为方”，得出圆面积的计算方法。‎ ‎4、指导学生动手操作，通过滚动、围一围、测量、验证等多种方式，理解圆周率“π”‎ 五、教学课时：6课时 36‎ 第六单元 百分数 一、教学内容 ‎1．百分数的意义 ‎2．百分数与分数、小数的互化 ‎3．百分数的一般性应用 二、教学目标 ‎1．使学生理解百分数的意义，会正确地读、写百分数，会运用百分数表述生活中的一些数学现象。‎ ‎2．使学生掌握小数、分数和百分数之间互化的方法。‎ ‎3．使学生在理解、分析数量关系的基础上，正确解决有关百分数的实际问题。‎ ‎4．使学生学会把分数的有关知识和技能迁移到百分数，体会类比的数学思想。‎ 三、主要变化与具体编排 ‎（一）主要变化 除了前文提到的把“百分数”内容分成两段，分别安排在六年级上册和下册以外，本册教材在编排百分数与分数、小数的互化时进行了新的尝试。教材结合“求一个数是另一个数的百分之几”（如求命中率）教学如何把分数、小数化成百分数，结合“求一个数的百分之几是多少”教学如何把百分数化成分数或小数。因为在求一个数是另一个数的百分之几时，求出的结果或者是分数的形式，或者是小数的形式，而题目要求以百分数的形式呈现结果，就自然产生了把分数和小数化成百分数的需要；在求一个数的百分之几是多少时，只有把百分之几化成分数或小数，才能继续计算。这样编排，一是更能体现将百分数与分数、小数进行互化的必要性；二是大大缩减了例题的容量。‎ 36‎ ‎（二）具体编排 ‎1.百分数的意义。‎ 教材呈现程序格式化进度、服装面料和里料的成分、汽车销售情况的百分数，旨在突出百分数在生活中的广泛运用。教材呈现的三个实例中的百分数包括百分号前面的数的是整数的、小数的，小于100的、等于100的、大于100的，使学生认识各种情形的百分数。让学生说说还在什么地方见过这样的数，激活学生的生活经验，引导学生建立起新知与生活的联系。‎ 教材直接给出百分数的意义，并让学生根据此意义描述实例中百分数的实际含义。引导学生找出相比的量是哪两个，这两个量之间有什么样的关系。这与分数教学中强调“量率对应”的思想是一致的。‎ 由于百分数只能表示两个量之间的一种比的关系，在生活中也叫百分率或百分比，如“出勤率”“发芽率”等。由于百分数是一种比，因此也可以从比的角度解释相关概念。‎ 接下来，教材呈现了前面所引出的三个百分数的读写，具有一定的代表性，分子分别是整数、小数和大于100的数。‎ ‎2.例1。‎ 本例有两个教学目标：一是会解决求一个数是另一个数的百分之几的问题，二是在解决问题的过程中学会把分数、小数化成百分数的方法。这样编排，既凸显了转化的必要性，又把分数化成百分数、小数化成百分数整合在一起。‎ 教材通过求投篮命中率的情境引入，并直接给出命中率的概念，使学生明白：要把最终结果化成百分数，再进行比较。根据“求一 36‎ 个数是另一个数的几分之几”，列出除法算式3÷5和4÷6。两种不同的运算，产生了小数和分数的结果，很自然地产生“如何把小数和分数化成百分数”的需求。‎ 教材选取的数据具有典型性。3÷5，4÷6这两个算式，3÷5能得到有限小数，也能直接将分数结果化成分母是100的分数；4÷6则无法除尽，需取近似值，且无法直接将分数结果化成分母是100的分数。这四种情况基本涵盖了小数、分数化成百分数的所有可能性。‎ 在此基础上，再让学生理解生活中其他一些“百分率”的含义，水到渠成。‎ ‎3.例2。‎ 例2也有两个教学目标：一是会解决求一个数的百分之几是多少的问题，二是在解决问题的过程中学会把百分数化成分数、小数的方法。这样编排，既凸显了转化的必要性，又把百分数化成分数、百分数化成小数整合在一起。‎ 教材注重将新知与原有知识进行沟通和联系，提示“求一个数的百分之几”和“求一个数的几分之几”意义相同，引导在已有知识基础上寻找数量关系，正确列式。利用两种不同的计算方法，体现把百分数化成分数或小数的必要性。由于百分数无法直接参与运算，需要利用它和分数、小数的关系，把它“等值转化”成分数或小数，再进行计算。‎ 百分数化成小数，先把百分数改写成分数是100的分数，再根据小数的意义（或进行除法计算），改写成小数。在此基础上，观察到只要把百分数小数点左移两位，去掉百分号即可，这是小数化成百分数的逆过程。百分数化成分数，也是把百分数先改写成分数是100的分数，再约分化简。‎ ‎4.例3。‎ 本例是求比一个数增加（或减少）百分之几，是求一 36‎ 个数是另一个数的百分之几的延伸和发展，其数量关系和求一个数比另一个数多（或少）几分之几是一致的。教材呈现了两种解决问题的方法，拓宽学生的解题思路：①先求出实际比原计划增加的公顷数，再求出增加的公顷数是原计划的百分之几。②先求出实际造林的公顷数是原计划的百分之几，再减去100%，就是实际造林比原计划增加了百分之几。为了帮助学生理解数量关系，教材利用线段图直观表示出量与量之间的关系，清晰地展示出谁和谁比，以谁为标准。‎ 接下来，教材指出：在实际生活中，人们常用“增加百分之几”“减少百分之几”“节约百分之几”来表示增加、减少的幅度。使学生理解：这些生活中的表述都可以归结为数学上的“求一个数比另一个数多（少）百分之几”。‎ ‎5.例4。‎ 例4是解决求比一个数多（或少）百分之几的数是多少的问题，这类问题的数量关系与求比一个数多（或少）几分之几的数是多少的问题相同。由于有了相关知识基础，学生对解决此类问题不会感到困难。‎ 教材提供了两种基本的解法，体现不同的解题思路，使学生看到每种解法中先算什么，再算什么，着重理解“增加了12%”是增加了谁的12%。‎ ‎6.例5。‎ 例5选取了“某种商品4月的价格比三月降了20%，5月的价格比4月又涨了20%，这件商品的价格是涨了还是降了”这样一个既有趣又有挑战性的数学问题。问题中没有提供商品的具体价格，有利于激发学生的探究兴趣。‎ 36‎ 教材注重让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程。在“阅读与理解”时发现按照“要求涨幅或降幅，就要知道前后的价格”的常规思路，遇到了“原来价格未知”的障碍，由此产生假设原有价格的的需要。‎ 在学生提出问题的基础上，自主发现可以假设商品原来的价格为某个具体数值，比如100元。这就将新的问题转化为已学过的问题，利用旧知加以解决。教材以商品原价100元为例，给出具体解法。在解决的过程中，学生可以发现降价的20%和涨价的20%是相对于不同的量而言的，因此，虽然降价和涨价的相对比率相同，降价和涨价的绝对数值却不同。‎ 不同的假设，却可以得到相同的结果，这说明原价是多少并不会影响结论。在此基础上，提出可以把商品的原价假设成抽象的“1”。这个“1”不是“1元”，但可以代表“1元”“100元”“1000元”……是一个高度抽象的概念。‎ 在“回顾与反思”阶段，引导学生进一步讨论：如果用更为一般的假设方法，把商品原价假设为a元。此时5月的价格是0.96a，和3月价格a相比，（a-0.96a）÷a=4%，结论不变，进一步验证了假设法的合理性和有效性。‎ 四、教学建议 ‎1．引导学生充分利用分数的相关知识进行迁移类推。‎ ‎2．紧密结合生活实例，引导学生理解百分数的意义以及利用百分数解决实际问题。‎ 第七单元 扇形统计图 一、教学内容 扇形统计图 选择合适的统计图 36‎ 二、教学目标 ‎1．使学生了解扇形统计图的特点与作用，知道扇形统计图可以直观地反映部分数量占总数的百分比。‎ ‎2．使学生能读懂扇形统计图，从中获取必要的信息，进一步体会统计在现实生活的作用。‎ ‎3．使学生知道对于同样的数据可以有多种分析的方法，能根据需要选择合适的统计图，直观、有效地描述数据，进一步发展数据分析观念。‎ 三、主要变化与具体编排 ‎（一）主要变化 到本单元为止，学生已经学完了条形统计图、折线统计图、扇形统计图这三种统计图。因此，本单元除了让学生认识扇形统计图（例1）之外，又新增了一道让学生根据不同的统计目的选择不同统计图的例题（例2），使学生从整体上认识三种统计图各自的特点，理解这三种统计图在使用上各有什么优越性和局限性。‎ ‎（二）具体编排 ‎1.例1。‎ 教材联系学生的生活实际，创设了学生在校园参加各种体育活动的情境，为引出有关统计数据提供现实背景。通过统计表中的数据提出对数据的进一步处理要求：你能算出喜欢每种运动人数各占全班人数的百分之几吗？以百分数意义的理解引出扇形统计图的教学。‎ 教材让学生将统计表中的数据填入未完成的扇形统计图，让学生经历用不同大小的扇形表示各部分数量占总数百分比的过程，初步了解扇形统计图的特点。‎ 36‎ 在完成了扇形统计图后通过三个问题的思考，进一步引导学生在观察的基础上得出扇形统计图的特点：用扇形可以清楚地表示出最喜欢的各种运动项目的人数占全班总人数的百分比。‎ ‎2.例2。‎ 条形统计图、折线统计图和扇形统计图的特点各异，在实际应用中的适用条件也不一样，例2以三组校园树木数量相关数据，通过不同的统计内容让学生选择合适的统计图，在统计图的多样化与优化中进一步认识各统计图的特点。同时体会相同的统计对象，当需要表达的信息不同时，选择的统计图也不同，让学生进一步感受统计的价值，发展数据分析观念。‎ 第（1）小题统计的是树木总量在2007～2011年之间的变化情况。既可用条形统计图，也可以用折线统计图。这一题对比的意图在于让学生体会条形统计图、折线统计图的特点，突出选择折线统计图的一般条件，即表示数据变化趋势时用折线统计图更直观。‎ 第（2）小题统计的是各种树木占树木总量的百分比，既可以用扇形统计图，也可以用条形统计图表示。条形统计图只是直观呈现了各种树木数量占总数的百分之几，而扇形统计图能更直观、有效地看出校园树木数量的分布情况，突出选择扇形统计图的一般条件：当需要了解整体与部分之间的关系时，选择扇形统计图更合适。‎ 第（3）小题统计的是各种树木的数量，教材中只出现条形统计图，引导学生思考“为什么不用其他的统计图”，在对比三种统计图特点的基础上突出选择条形统计图的一般条件：当只需要表示各项目的数据时，用条形统计图就可以了。‎ 四、教学建议 ‎1．结合生活中的统计实例进行教学，使学生充分感受统计的现实价值。‎ 36‎ ‎2．使学生通过比较，认识各种统计图的适用性和局限性。‎ 节约用水 一、教学内容 通过对水龙头漏水情况的调查，了解水资源浪费情况，提出节约用水的具体建议并落实在行动中。‎ 二、教学目标 ‎1．通过测量等操作活动，让学生经历收集、整理、分析数据的过程。‎ ‎2．使学生综合运用所学的数学知识、技能和方法科学地认识日常生活中水资源浪费的问题。‎ ‎3．使学生加强环保意识，并把节约用水落实到行动上。‎ 三、具体编排 本活动包含以下环节。‎ ‎（1）收集信息。‎ 通过板报的形式给出地球水资源的一些统计信息，通过这些信息让学生认识到我国水资源匮乏，帮助学生认识到节约用水的重要意义。在此基础上让学生收集相关的信息：（1）观察生活中浪费水的现象，实际调查一下学校或家里漏水水龙头的数量。（2）选择其中一个漏水的水龙头，测量出它一定时间漏水的量。（3）通过多种途径收集节约用水的资料。‎ ‎（2）分析数据。‎ 36‎ 小组同学合作对收集到的一定时间水龙头漏水的量进行测量分析，计算出水龙头每分钟漏水的速度。然后，对各组的分析结果进行比较，并针对比较的结果进行小组讨论：“收集到的水龙头漏水速度不一样，怎样表示全班同学调查到的水龙头漏水的一般水平比较恰当？”‎ ‎（3）解决问题。‎ 在上述数据分析的基础上，通过把有限样本得出的结论进一步类推到更大的样本，解决教材提出的问题，帮助学生对生活中浪费水的现象有一个客观而量化的认识。‎ ‎（4）提出方案。‎ 对课前收集的节约用水的资料进行讨论交流，提出具体的节约用水的方案，加强学生的环保教育。‎ 四、教学建议 ‎1．要体现活动的综合性，在活动过程中有机融合各部分数学知识和技能。‎ ‎2．要体现活动的实践性，要通过具体操作收集数据，感受统计过程的真实性，并最终把节约用水落实在学生的日常行为中。‎ 第八单元 数学广角-数与形 一、教学内容 利用数与形的关系解决问题。‎ 二、教学目标 ‎1．使学生会用数形结合的方法解决一些数学问题。‎ ‎2．在解决问题的过程中培养学生的发现模式、应用模式的能力，提高推理能力。‎ ‎3．在解决问题的过程中掌握和体会数形结合、极限等数学思想。‎ 三、主要变化与具体编排 ‎（一）主要变化 本册的数学广角，编排了一个新的内容──数与形。‎ 36‎ 数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中随处可见。有的时候，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。本单元的例1以及相关的练习就属于这种情况。例如，第109页第2题（如下图），使学生通过观察，发现第2个图比第1个图增加2个圆片，第3个图比第2个图增加3个圆片，第4个图比第3个图增加4个圆片……这样依次下去，各个图的圆片个数分别是1，3，6，10，…，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…，如果是第n个图，圆片的个数是1+2+3+4+…+n，等将来学习了等差数列的知识，就知道圆片个数是。‎ 有的时候，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是小学生思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等。‎ 还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形”来解决“数”的问题。例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具，互为解释，有机融合。小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这样的思想。‎ ‎（二）具体编排 ‎1．例1‎ 本例让学生计算从1开始的连续若干个奇数之和。‎ 在计算时，即使不借助图形，也可以通过1=1、1+3=4、1+3+5=9……发现规律：从1开始，连续n个奇数之和，就是n的平方。但把图与式对应起来，更具直观性，更能让学生体会到数学之美。图中有的规律显而易见（每个图都是一个大的正方形，第n个正方形图中每行、每列都有n个 36‎ 小正方形，因此，小正方形总数是n2）,有的规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“┓”形的小正方形数分别是1，3，5，7，…)。每个图中都“隐藏”着一个等式，如第n个图中的等式就是1+3+5+…+（2n-1）=n2。‎ ‎2．例2‎ 本例让学生计算的得数。‎ 学生在计算的过程中发现，，……加数有规律，即后一个加数是前一个加数的；和也有规律，每次相加所得的和等于1减去最后一个加数；加数的项数越多，和越接近1。‎ 这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于1。但这个无限接近于1的数到底是多少呢？教材利用“分数的认识”中的面积模型和长度模型，在圆上和线段上表示出这些加数，使学生借助图理解：无限加下去，最终的得数为1。‎ 即使有了图形的直观支持，仍有学生对最终结果为1这一事实不能理解，这也是非常正常的。可以有两种解释的方法：第一种，如果学生认为和为1-，教师可以追问：如果再加上一项呢？即加上，和就变成了1-，不管你找到一个怎样接近1的数，总还能再加一项，求出一个比它更接近1的和，这恰恰是极限思想的精髓所在。第二种，可以利用反推的方法来使学生明白其中的道理：‎ 四、重难点突破 一、自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题，并学会应用所发现的规律 突破建议：‎ 36‎ ‎1．引导学生数形结合，从不同角度寻找规律。形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，要让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出发，让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系，互相印证结果，感受数学的魅力。例如，教学例1时，可从形引入，先让学生说一说三幅图中分别有多少个小正方形？你是怎么发现的？通过学生的讨论，学生容易得出小正方形数为12，22，32，…的结论；也可以使学生看到三个图中的小正方形数还可以分别表示成1，1+3，1+3+5，…的结论。也可以从数引入，让学生通过计算，发现1+3=4，1+3+5=9，…有的学生可能很快发现4=22，9=32，…此时老师可以引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比照，看到这些连续的奇数在图形中的什么地方，平方数代表的又是图形中的什么。从而对规律形成更为直观的认识。‎ ‎2．充分发挥教师的指导作用，让学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性。例2中，“无限”的概念非常抽象，学生不易理解。因此，在教学过程中，教师要积极发挥自身的主导作用，帮助学生深刻理解。比如说，教师可以出示一个圆或者一条线段或者一个正方形，让学生根据分数的意义表示出这些加数，使学生直观地看到最终的结果是“1”。从而进一步感受到“化数为形”的直观、形象、简捷特点。当然，如果学生还是有困难，教师也可以通过反推的方法帮助学生理解。‎ 二、体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想 突破建议：‎ 36‎ ‎1．在学生经历发现模式、应用模式的过程中渗透数形结合、归纳推理等数学思想。本单元教学通过数与形的比照，引导学生从不同角度探索规律。例如，通过观察与计算1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，…既能发现加数的规律，又能发现和的规律。在发现规律的基础上，通过推理，逐步抽象，形成模式，再引导学生把规律应用于一般的情形，解决问题。显然，这样的一个教学过程，既是学生自主探究获取知识的过程，更是有机渗透数学思想方法的过程，使学生在潜移默化的过程体会与领悟推理和数形结合的思想。‎ ‎2．在利用数形结合解决问题的过程中积累基本的数学经验，培养基本的数学思想。例如，在例2教学中，让学生通过计算，发现和越来越趋向于1，感受什么叫“无限接近”。虽然无法一一穷举所得的结果，但可以利用观察到的规律进行“无穷无尽”类推，使学生在这一过程中体会推理和极限的思想。‎ 36‎