六年级下册数学教案-5数学广角——鸽巢问题｜人教版 (4) 9页

1 鸽巢问题 教学内容：人教版小学数学六年级下册教材第 68～69 页。 教材分析： 鸽巢问题又称抽屉原理，它是组合数学中最简单也是最基本的原理之 一，从这个原理出发，可以得出许多有趣的结果。这部分教材通过几 个直观的例子，借助实际操作，向学生介绍了“鸽巢问题”。学生在 理解这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题“模型化”，会 用“鸽巢问题”解决问题，促进逻辑推理能力的发展。 学情分析： “鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。但“鸽 巢问题”的应用却是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生 对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找 到切入点。 设计理念： 在教学中，让学生经历将具体问题“数学化”的过程，初步形成模型 思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理 能力和应用能力，这是《标准》的重要要求，也是本课的编排意图和 价值取向。 教学目标： 1、知识与技能：通过操作、观察、比较、推理等活动，初步了解鸽 2 巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简 单的实际问题。 2、过程与方法：在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握 鸽巢原理，经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。 3、情感态度：通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会 数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。 教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。 教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。 教学准备：多媒体课件、合作探究作业纸。 教学过程： 一、谈话引入： 1、谈话：老师这有一副扑克牌,如果我将这两张王牌去掉,还剩 52 张 你们知道这 52 张牌有几种花色？对，接下来我们来做一个 游戏。请 5 位同学，每人从这副牌中抽 1 张。我来猜一猜： 你们 5 位同学抽的牌中同种花色的肯定至少有 2 张！老师 猜的对不对？（请 5 位学生抽牌、亮牌、统计） 这是不是巧合呢？我们再来抽一次！ 2、设疑：其实老师并没有神机妙算的功能，是因为这里面蕴含了一 个有趣的数学原理。相信通过今天的学习，你们也能解释这个现 象了，我们先从简单的情况入手研究。 二、合作探究 （一）初步感知 3 1、出示题目：有 3 张牌，2 个盘子（把实物摆放在讲桌上），把 3 张 牌放进 2 个盘子，怎么放？有几种不同的放法？谁愿意上来试一 试。 2、学生上台实物演示 学生板贴，老师记录 3、提出问题：（老师交换位置放）这三张牌不管怎么放，你们有什么 发现？ 我们可以说“不管怎么放，总有一个盘子里至少有 2 张牌”吗？ 学生尝试回答，师引导：这句话里“总有一个盘子”是什么意思？（一 定有，不确定是哪个盘子，最多的盘子）。“至少有 2 张”是什么意思？ （最少有 2 张，不少于 2 张，包括 2 张及 2 张以上） 4、得到结论：从刚才的实验中，我们可以得到 3 张牌放进 2 个盘子， 总有一个盘子至少放进 2 张牌。 （二）列举法 过渡：如果现在有 4 支铅笔放进 3 个笔筒，还会出现这样的结论吗？ 1、合作要求： （1）画一画：将每种分法记录下来； （2）找一找：每种摆法中一个笔筒最多放了几支，用笔标出； （3）小组交流，我发现：（ ） 2、学生汇报，展台展示。 交流后明确： （1）四种情况：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0） 4 （2）每种摆法中最多的一个笔筒放进了：4 支、3 支、2 支。 （3）总有一个笔筒至少放进了 2 支铅笔。 3、小结：刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有 情况验证了结论，这种方法叫“列举法”，我们能不能找到一种更 为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论，找到“至少 数”呢？ （三）假设法 1、学生尝试回答。（如果有困难，也可以直接投影书中有关“假设法” 的截图） 2、学生操作演示，教师图示。 3、语言描述：把 4 支铅笔平均放在 3 个笔筒里，每个笔筒放 1 支， 余下的 1 支，无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有 2 支笔，所以说 总有一个笔筒至少放进了 2 支笔。（指名说，互相说） 4、引导发现： （1）这种分法的实质就是先怎么分的？（平均分） （2）为什么要一开始就平均分？（均匀地分，使每个笔筒的笔尽可 能少一点，方便找到“至少数”），余下的 1 支，怎么放？（放 进哪个笔筒都行） 5、同学们太聪明了，所以老师想请你们帮我想想 如果把 10 个苹果放进 9 个抽屉，至少有（）个苹果放进同一个抽 屉。 把 6 只鸽子飞进 5 个鸽笼，至少有 2 只鸽子在一个鸽笼，对吗？ 5 6、小结：刚才的这种方法就是“假设法”，它里面就蕴含了“平均分”， 现在会用简便方法求“至少数”吗？ （四）建立模型 1、出示题目：5 支笔放进 3 支笔筒，会怎样？ 学生可能有两种意见：总有一个笔筒里至少有 2 支，至少 3 支。 针对两种结果，各自说说自己的想法。 2、小组讨论，突破难点：至少 2 支还是 3 支？ 3、学生说理，边摆边说：先平均分每个笔筒放进 1 支笔，余下 2 只 再平均分放进 2 个不同的笔筒里，所以至少 2 只。（指名说，互相 说） 4、质疑：为什么第二次平均分？（保证“至少”） 你们能用算式表示出这个过程吗？ 5÷3＝1（支）…2（支） 1+1＝2（支） 算式中的两个“1”是什么意思？ 5、如果把笔的数量进一步增加呢？ 7 支铅笔放进 3 个笔筒，总有一个笔筒里还是至少有 2 支吗？为 什么？ 6、学生说理，边摆边说：先平均分每个笔筒放进 2 支笔，余下 1 支 无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有 3 支，所以总有一个笔筒至少 2 支。 列式为 7÷3＝2（支）…1（支） 2+1＝3（支） 这里的 2 和 1 又分别是什么意思？ 6 7、对比算式、找规律 如果把笔和笔筒数量都增加呢？ 14 支笔放进 4 个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？ 14÷4＝3（支）…2（支） 3+1＝4（支） 38 支笔放进 7 个笔筒，至少几支放进同一个笔筒？？ 38÷7＝5（支）…3（支） 5+1＝6（支） 8、对比算式，发现规律：先平均分，再用所得的“商+1” 9、强调：和余数有没有关系？ 学生交流，明确：与余数无关，不管余多少，都要再平均分，所以 就是加 1. 三、鸽巢原理的由来 同学们从数学的角度分析了这些事情，同时根据数据特征，发现 了这些规律。你们发现的这个规律和一位数学家发现的规律一模一 样，只不过他是在 150 多年前发现的，你们知道他是谁吗？——德国 数学家“狄里克雷”，后人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的 规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，由于人 们对鸽子飞回鸽巢这个引起思考的故事记忆犹新，所以人们又把这个 原理叫做“鸽巢原理”，它还有另外一个名字叫“抽屉原理”。 四、原理应用 “抽屉原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题， 并且常常能得到一些令人惊异的结果。 1、 7 分宝 1 师：有一天，一群海盗获得了很多宝贝，海盗首领非常高兴，对手下 8 个小海盗说，这些宝贝都给你们了，你们自己处理吧，没想到小海 盗平时都抢惯了，一拥而上，有人拿得很多，有人很少，甚至有人一 件宝贝也没拿到，看到小海盗们乱哄哄的样子，海盗首领非常生气， 就想惩罚一下那些贪婪的海盗，机会终于来了！有一次：海盗们获得 了 73 件宝贝，海盗首领又叫 8 个小海盗自己分。且规定：1、必须分 完。2、若某人拿 10 件或 10 件以上的宝贝，说明他是个过分贪婪的 人，就把他扔进大海喂鲨鱼。 海盗们是否都能逃过这一劫呢？ 小组讨论后派代表说说想法，其他同学可以补充。无论怎样分，总有 一个海盗至少会拿到 10 件，这个海盗怎么办呢？学生自由谈看法。 师：正在海盗们担心的时候，事情有了转机，小海盗们趁着天黑偷偷 地把一件宝贝扔进大海，现在只剩下 72 件宝贝，大家都平安无事。 分宝 2 师：海盗们终于逃过一劫，海盗首领回到自己屋里，闷闷不乐，夫人 问他为什么不开心，海盗首领如实相告，夫人说是不是有人把一件宝 贝扔到海里去了，海盗首领如梦方醒，决心下一次不再上当，又是在 一个风急天黑的夜晚：海盗们获得了 79 件宝贝，首领还是要 8 个小 海盗自己分，规则不变，还警告，79 件宝贝已数得清清楚楚，谁要 是作弊，也要受到惩罚。 师：有几个小海盗们听闻后大惊失色，心想这下可能真的逃不过去了， 8 有一个聪明的海盗镇定自若，站出来对海盗首领说，既然宝贝比上次 增加了 6 件，能不能把限定的 10 件提高 1 件？海盗首领心想，宝贝 增加这么多，而限定只提高 1 件，还是肯定有人会受到惩罚，就同意 了小海盗的请求。你认为首领的想法对吗？说说你是怎样想的。 学生先小组讨论，然后再叫几个学生来说说是怎样想的。老师再对学 生的思路进行梳理。 以上我们所碰到的问题是什么问题？他的解答 或证明的方法是怎样的？你能否找到被分的物品数和抽屉数？ 师：靠着小海盗的聪明才智，事情终于风平浪静。 2、现在谁能解释牌的问题？ 3、（机动）如果不看花色，只看数字，至少取出多少张牌才能保证有 2 张同样大小的牌？ 五、我们研究到这里，谁来谈谈你对鸽巢原理的想法。 板书： 鸽巢原理 至少数 列举法 5 ÷ 3 = 1（支）……2（支） 1+1=2 （支） 假 设法 7 ÷ 3 = 2 （ 支） … …1 （支） 2+1=3（支） 先平均分 商＋1 9