六年级上册数学北京课改版知识要点 18页

一 分数乘法 一、分数乘整数 1.分数乘整数的意义。 求几个相同加数的和的简便运算。 2.分数乘整数的计算方法。 用分数的分子与整数相乘的积作分子．．．．．．．．．．．．．．．．,．分母不变。当整．．．．．．． 数与分母能约分时．．．．．．．．,．可以先约分．．．．．,．再计算．．．,．结果不变。 3.分数乘整数的计算方法同样适用于整数乘分数。 4.一个数乘分数的意义就是求这个数的几分之几是多 少。 5.求一个数的几分之几是多少,可以用乘法计算,即这个 数乘几分之几。 6.单位“1”的量×比较量占单位“1”的几分之几=比较量。 二、分数乘分数 1.分数乘分数的意义。 求一个分数的几分之几是多少。 2.分数乘分数的计算方法。 用分子和分子相乘的积作分子．．．．．．．．．．．．．,．分母和分母相乘的积作．．．．．．．．．． 分母。．．．计算分数乘分数时,能约分的应先约分,再计算。 3.分数乘分数的特殊情况。 (1)分数乘分数的计算方法也适用于小数乘分数,即先把 小数化成分数,再计算。例如,0.5× = × = 。 (2)分数乘分数,这里的分数也可以是带分数,计算时要先 把带分数化成假分数。例如,1 × = × = 。 4.因数与积的关系。 一个数(0除外)乘大于1的数,积大于这个数; 一个数(0除外)乘大于0且小于 1的数,积小于这个数; 一个数(0除外)乘 1,积等于这个数。 三、分数连乘 1.连续求一个数的几分之几是多少的实际问题,解题关 键是理清每一步中谁是单位．．．．．．．．．．“．1．”．,谁是谁的几分之几．．．．．．．．,．同时明确．．．． 题中的数量关系。．．．．．．．． 2.．．一般题目中和．．．．．．“．谁．”．比．,．“谁．”．就是单位．．．．“．1．”．的量。．．． (1)一种是题目里有典型特征的“比”字,“比”后面的量,即 为单位“1”的量。 (2)另一种是题目中没有“比”字,但是题目中的两个数量 分数乘整数的意义与整数乘法的意 义相同。 易错点:分数与整数相乘时,误将分子 与整数约分,这是不对的,一定要注意是分 母与整数约分。 举例:计算 ×6。 错解: ×6= × = 正解: ×6= × = 举例:计算 × 。 错解: × = 正解: × = 易错点:混淆单位“1”的量。 举例:甲数的 正好是乙数,这句话中 单位“1”的量是( )。 错解:乙数 正解:甲数 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第1页 可以看作两数的比较关系,如“占”“是”“相当于”后面的量即为 单位“1”的量。 3.分数连乘的计算方法．．．．．．．．．:．用分子相乘的积作分子,用分母 相乘的积作分母;如果有整数,用整数与分子相乘的积作分 子,用分母相乘的积作分母。计算过程中能约分的,要先约 分,再计算。 四、倒数 1.倒数的意义。 乘积是 l的两个数互为倒数．．．．。“互为倒数”是指两个数之 间是相互依存的,一个数不能称为倒数。 例如, × =1,可以说 和 互为倒数,也可以说 的倒数是 , 或者说 的倒数是 。 2.求一个数的倒数的方法。 (1)求真分数、假分数．．．．．．．的倒数:调换分子、分母的位置．．．．．．．．．．。 (2)求整数．．的倒数:先把整数(0除外)看作分母是．．．．．1．的假．． 分数．．,再调换分子、分母的位置。 (3)求带分数的倒数:先把带分数化为假分数．．．．．．．．．．,．再求假分数．．．．． 的倒数。．．．． 3.真分数的倒数大于．．．．．．．．1．,．假分数的倒数等于或小于它本．．．．．．．．．．．．． 身。．． 4. 1．的倒数是．．．．1．,．0．没有倒数。．．．．． 易错点:倒数表示的是乘积是1的两 个数相互依存的关系,不是数值相等的两 个数的数量关系,因此不能把互为倒数的 两个数用等号连接。 举例:写出 的倒数。 错解: = 。 正解: 的倒数是 。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第2页 二 分数除法 一、分数除法的意义和分数除以整数 1.分数除法的意义。 分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因 数的积与其中的一个因数,求另一个因数的运算。 2.一个带分数除以整数,先把这个带分数化成假分数,再按 照分数除以整数的计算方法进行计算。例如,4 ÷4= × = 。 二、一个数除以分数 1.一个数除以分数的计算方法。 (1)计算方法:一个数除以分数,等于乘分数的倒数。 (2)将除法转化成乘法的要点。 ①被除数不变。②除号变乘号。③除数变成它的倒数。 2.被除数与商的规律。 (1)当被除数不等于0时,0<除数<1,商>被除数。例 如, ÷ > 。除数=1,商=被除数。例如, ÷1= 。除数>1,商<被除 数。例如, ÷ < 。 (2)当被除数=0,除数≠0时,商=被除数。例如,0÷ =0。 三、分数除法的计算方法 甲数除以乙数．．．．．．(．0．除外．．),．等于甲数乘乙数的倒数。．．．．．．．．．．． 四、“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的简单实际 问题 1.“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的简单实际问 题的解题方法。 (1)方程法。 ①找出单位“1”,设单位“1”的量为 x。 ②找出题中的等量关系式。 ③列出方程并解答。 列方程解题的关键是找出题中的等量关系。．．．．．．．．．．．．．．．．．．． (2)算术法。 ①找出单位“1”。 ②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几。 ③列出除法算式并解答。 用算术法解除法应用题的关键是找准已知量占单位．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“．1．”．的． 几分之几。．．．．． 2.算术法与方程法的区别。 用算术法解分数除法的实际问题需要逆向思考,从“已知一 个数的几分之几是多少,求这个数”的角度去理解数量关系;用方 无论是分数除以整数,还是分数除 以分数,都可以转化成被除数乘除数的 倒数。 易错点:在除法算式中,易忽略除 数不能为0这个条件。 举例: 判断:甲数除以乙数,等于甲数乘 乙数的倒数。( ) 错解:√ 正解:✕ 分析:此题错在忽略了除数不能为 0这个条件。 易错点:用算术法解分数除法应用 题时,先找准单位“1”的量,再根据分数 除法的意义列式解答。易把除法算式 列为乘法算式。 举例:小丽家养了一些兔子,灰兔 有12只,正好是白兔只数的 。白兔有 多少只? 错解:12× =9(只) 答:白兔有 9只。 正解:12÷ =16(只) 答:白兔有 16只。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第3页 程法解分数除法的实际问题,只要根据分数乘法的意义顺向思 考,找到等量关系式列出方程并解答即可,方程法比算术法更易 于理解。 五、分数四则混合运算及简便算法 1.分数四则混合运算的运算顺序。 (1)分数四则混合运算的运算顺序和整数四则混合运算的 运算顺序相同。 如果算式中含有两级运算,要先算乘、除法,后算加、减法; 如果只含有同一级运算,要按照从左到右的顺序计算;如果有括 号,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面 的。 (2)在计算过程中能约分的要先约分,这样可以使计算简 便。 2.整数乘法运算定律在分数四则混合运算中的运用。 整数乘法运算定律在分数四则混合运算中同样适用。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．在分 数四则混合运算中,适合整数乘法运算定律的,使用整数乘法运 算定律,可以使计算简便。 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律:a×b=b×a 乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律:(a+b)c=ac+bc 易错点:同一级运算,按照从左到 右的顺序计算。带括号的,要先算括号 里面的,再算括号外面的。同级混合运 算(没有括号)要按照从左到右的顺序 计算。 举例:计算 ×8÷ ×8。 错解: ×8÷ ×8 = × ÷ × =3÷3 =1 正解: ×8÷ ×8 = × × ×8 =64 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第4页 三 百 分 数 一、百分数的意义及读、写方法 1.百分数的意义．．:表示一个数是另一个数的百分之几的数, 叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率．．．．．．．。 2.百分数的写法．．:百分数通常不写成分母是100的分数形 式,而是在原来分子的后面添上百分号“%”来表示。写百分数时, 百分号前面的数按整数、小数的写法来写,在写出的数的后面 加百分号。 3.百分数的读法．．:读百分数时,百分号前面的数按整数、小 数的读法来读,只是在前面加“百分之”。 二、百分数和分数的联系与区别 1.百分数和分数的联系:都可以表示两个数之间的倍数关 系。 2.百分数和分数的区别。 (1)意义不同,百分数只表示两个数之间的倍数关系,不能带 单位名称;分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数之间的 倍数关系,表示具体的数时可以带单位名称。 (2)百分数的分子可以是整数,也可以是小数;分数的分子不 能是小数,只能是除0以外的自然数;百分数不可以约分,分数一 般要约分成最简分数。 (3)应用范围不同,百分数在生产和生活中常用于调查、统 计、分析和比较,分数常常在计算、测量中得不到整数结果时 使用。 拓展提高 1.表示一个数是另一个数的千分之几的数,叫作千分数,千 分数也叫作千分率。与百分数一样,千分数也有千分号,千分号 用“‰”表示。 2.认识成数。 (1)成数的意义。 “成数”广泛应用于工农业生产和日常生活,用来表示增减情 况。如“今年小麦比去年增产10%”,可以说成“今年小麦比去年 增产一成”。 (2)成数与百分数的关系。 几成表示十分之几,也就是百分之几十。如“一成”是十分之 一,改写成百分数就是10%;“二成”是十分之二,改写成百分数就 是20%;“三成五”是十分之三点五,改写成百分数就是35%。 3.认识折扣。 (1)折扣的意义。 “%”的书写:两个小圈写得要小些, 以免与数字0混淆。 易错点:读百分数时,当百分号前 是小数时,易漏读小数点前面的0,把小 数读成整数。写百分数时,易把分子写 错。 举例:读、写出下面各百分数。 0.645%读作: , 百分之五百写作: 。 错解:百分之六百四十五 5% 正解:百分之零点六四五 500% 易错点:百分数只能表示两个数之 间的倍数关系,不能表示具体数量,不 能带单位名称。 举例: 判断:一块布长27%米。 ( ) 错解:√ 正解:✕ 现价=原价×折扣 易错点:把百分数化成小数,去掉 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第5页 “折扣”是指商家降价出售商品,即按原价的百分之几十或百 分之几出售。 (2)折扣与百分数的关系。 几折就是原价的百分之几十,几几折就是原价的百分之几 十几。如七五折就是75%,九折就是90%。 三、百分数和小数、分数的互化 1.百分数和小数的互化。 (1)百分数化成小数的方法:把百分号去掉．．．．．．,．同时把小数点向．．．．．．． 左移动两位．．．．．,．位数不够时．．．．．,．用．“．0．”．补足。．．． (2)小数化成百分数的方法:把小数点向右移动两位．．．．．．．．．．,．同时在．．． 后面添上百分号．．．．．．．,．位数不够时．．．．．,．用．“．0．”．补足。．．． 2.百分数和分数的互化。 (1)分数化成百分数的方法:先把分数化成小数．．．．．．．．,．除不尽时．．．．,．通． 常保留三位小数．．．．．．．,．再化成百分数。．．．．．．． (2)百分数化成分数的方法:先把百分数化成分数．．．．．．．．．,．再把能约．．．． 分的约成最简分数。．．．．．．．．．分子是小数的百分数化成分数,先用分数 的基本性质,把百分数化成分子是整数的分数,再化简。如 12.5%= = = 。 四、生活中的百分数 1.求一个数是另一个数的百分之几的实际问题。 求一个数是另一个数的百分之几的解题方法与求一个数是 另一个数的几分之几的解题方法相同,用“一个数÷另一个数”,然 后将计算结果化成百分数。 2.求百分率。 拓展提高 1.生活中各种百分率的意义。 发芽率:发芽种子数占试验种子总数的百分之几。 出米率:出米的质量占稻谷的质量的百分之几。 及格率:及格人数占考试总人数的百分之几。 2.各种百分率的计算方法。 百分号后,把小数点向左移动两位,位 数不够时,用“0”补足,易出现漏补“0”的 情况。 举例:把 5.4%化成小数。 错解:5.4%=0.54 正解:5.4%=0.054 易错点:把小数化成百分数,是把 小数点向右移动两位,而不是去掉小数 点。 举例:把 0.0326 化成百分数。 错解:0.0326=326% 正解:0.0326=3.26% 出勤率是百分率的一种,公式本身 应该用百分数的形式表示。如果不乘 100%,公式只是分数形式,乘 100%既 保持数值不变,又是百分数的形式。 出勤率、成活率、合格率、发芽 率等最高是100%,完成率、增长率、 利润率等可以超过100%。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第6页 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第7页 四 解决问题 一、“求一个数的几分之几(或百分之几)是多少”的实际问题 1.“已知一个部分量是总量的几分之几,求另一个部分量是多 少”的实际问题的解题方法。 (1)单位“1”的量-单位“1”的量×一个部分量占单位“1”的几分之 几=另一个部分量。 (2)单位“1”的量×(1-一个部分量占单位“1”的几分之几)=另一个 部分量。 2.“已知一个数比另一个数多几分之几,求这个数”的实际问题 的解题方法。 (1)单位“1”的量+单位“1”的量×一个数比单位“1”的量多的几分 之几=这个数。 (2)单位“1”的量×(1+一个数比单位“1”的量多的几分之几)=这 个数。 3.“已知一个数比另一个数少几分之几,求这个数”的解题思路 与“已知一个数比另一个数多几分之几,求这个数”的解题思路相同, 只不过在列式时把加法换成减法。 二、“已知一个数的百分之几(或几分之几)是多少,求这个数” 的实际问题 1.简单的“已知一个数的百分之几是多少,求这个数”的问题的 解题方法。 (1)方程法。 ①找出单位“1”,设单位“1”的量为 x。 ②找出题中的等量关系。 ③列出方程并解答。 (2)算术法。 ①找出单位“1”。 ②找出己知量和己知量占单位“1”的百分之几。 ③列除法算式解决问题。 2.稍复杂的“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的问题 的解题方法。 (1)找出题中的等量关系,设单位“1”的量为 x,列出方程并解 答。 “已知一个部分量占总量的百 分之几,求另一个部分量是多少”的 实际问题的解题方法与“已知一个 部分量占总量的几分之几,求另一 个部分量是多少”的实际问题的解 题方法相同。 “已知一个数比另一个数多百 分之几,求这个数”的解题方法与“已 知一个数比另一个数多几分之几, 求这个数”的解题方法相同。 易错点:在解答百分数问题时, 一定要找准单位“1”,单位“1”的量未 知,可以用除法求出单位“1”的量。 举例:李强六月份的生活费为 255元,比计划节省了15%,节省了 多少钱? 错解: 255×15%=38.25(元) 答:节省了38.25 元。 正解: 255÷(1-15%)-255 =300-255 =45(元) 答:节省了45元。 求一个数比另一个数多(或少) 百分之几,实质上就是求两个数的 差是另一个数(单位“1”)的百分之 几。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第8页 (2)找到题中的单位“1”,计算出已知量是单位“1”的几分之几,根 据分数除法的意义列式解答。 用算术法的解题关键:找准单位“1”,还要看清所求问题与单位 “1”的关系并计算出已知量是单位“1”的几分之几。 三、“求一个数比另一个数多(或少)百分之几”的实际问题 1.求甲数比乙数多百分之几的解题方法。 (．1．)(．甲数．．-．乙数．．)．÷．乙数。．．． (．2．)．甲数．．÷．乙数．．-．1．。． 2.求乙数比甲数少百分之几的解题方法。 (．1．)(．甲数．．-．乙数．．)．÷．甲数。．．． (．2．)．1．-．乙数．．÷．甲数。．．． 四、工程问题 工程问题的解题方法: 1.把工作总量看作单位“1”,用工作总量除以完成工作的时间, 就是工作效率。 2.根据数量关系式“工作总量．．．．=．工作效率．．．．×．工作时间．．．．”解决工程 问题。 五、利率和纳税 1.利息和利率。 (1)了解储蓄。 ①储蓄的意义:把钱存入银行就是储蓄。 ②储蓄的好处:可以支援国家建设;可以使个人钱财更安全;可 以增加一些收入。 (2)理解本金、利息、利率的意义。 ①本金的意义:存入银行的钱叫作本金。 ②利息的意义:取款时,银行除归还本金外,还要多付一些钱,多 付的钱叫作利息。 ③利率的意义:利息占本金的百分之几叫作利率。一般情况 下,利率根据计量的期限标准不同而不同,表示方法有年利率、月 利率和日利率。 (3)存款的方式。 ①活期:可以随时支取,随时存入。 ②定期。 整存整取:一起存入一定钱数,存期到时支取。 零存整取:每月存入一定钱数,存期到时支取。 易错点:相同的差和不同的标 准量比较,结果不同;两个不同的数 和同一个标准量比较,结果也不 同。 举例:甲数比乙数多25%,乙数 比甲数少( )。(甲、乙两数均不 为0) 错解:25% 正解:20% 易错点:解答工程问题时,不要 认为只要分子是“1”的分数就表示 工作效率。 举例:一项工程,甲单独做 小时 完成,乙单独做 小时完成。如果两 个人合作,几小时可以完成? 错解: 1÷ = (时) 答: 小时可以完成。 正解: l÷ =1÷(3+4) = (时) 答: 小时可以完成。 计算利息时,易忘记乘存 期。 税收取之于民,用之于民,依法 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第9页 ③定活两便:存款时不确定存期,一次性存入本金,随时可以一 次性支取。 (4)利息的计算公式。 利息．．=．本金．．×．利率．．×．存期．． 2.纳税。 (1)纳税的意义。 纳税是根据国家税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个 人收入的一部分缴纳给国家。 (2)税收的用途。 税收是国家收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经 济、科技、教育、文化和国防等事业,不断提高人民的物质和文化 水平,保卫国家安全。 (3)税收的种类。 税收主要分为消费税、增值税、营业税和个人所得税等几 类。 (4)税收的相关概念。 税款:集体或个人收入中的一部分要上缴给国家,上缴的钱叫 作税款。 应纳税额:缴纳的税款叫作应纳税额。 税率:应纳税额与各种收入(销售额、营业额……)的比率叫作 税率。 (5)应纳税额=应纳税所得额×税率。 纳税是每个公民应尽的义务。 税收的种类不同,税率也各不 相同。每种税的税率都是由国家财 政部门规定的。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第10页 五 圆 一、圆的认识 1.圆的意义:到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。 2.圆的画法。(用圆规画圆的方法) (1)把带有针尖的脚固定在圆心上。 (2)定好两脚间的距离,即半径。 (3)把装有铅笔的脚旋转一周,就画出一个圆。 (4)用圆规画圆时,应注意以下两点: ①带有针尖的脚不能移动。②两脚间的距离不能改变。 3.圆的各部分名称及特征。 (1)认识圆各部分的名称。 ①认识圆心。 圆心的意义:用圆规画圆时,固定的一点叫作圆心。 圆心的字母表示法:圆心一般用字母O表示。 圆心的作用:圆心决定圆的位置。．．．．．．．．． ②认识半径。 半径的意义:连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径。 半径的字母表示法:半径一般用字母 r表示。 半径的作用:半径决定圆的大小。．．．．．．．．．半径越长,圆越大;半径 越短,圆越小。 ③认识直径。 直径的意义:通过圆心．．．．并且两端．． 都在圆上．．．．的线段叫作直径。 直径的字母表示法:直径一般用字母d表示。 (2)在同圆或等圆中半径和直径的关系。 在同圆或等圆中．．．．．．．,．半径的长度是直径的 ,直径的长度是半 径的2倍。用字母表示为 d=．．2．r．或．r=．．。 (3)圆的对称性。 圆是轴对称图形．．．．．．．,直径所在的直线都是圆的对称轴,圆有．． 无数条对称轴．．．．．．。 拓展提高 1.等圆:两个半径相等的圆叫作等圆,等圆经过平移可以完 全重合。 2.同心圆:圆心重合、半径不相等的圆叫作同心圆。 3.在同圆或等圆中,半径扩大到原来的几倍,直径也扩大到 圆是由一条曲线围成的封闭图形, 长方形、三角形、正方形都是由线段围 成的封闭图形。 圆心决定圆的位置,半径(或直径)决 定圆的大小。 判断半径的方法:半径是一端在圆 心,另一端在圆上的线段。 直径是圆内最长的线段。 判断圆的直径的方法:①看是否通 过圆心。②看线段的两端是否都在圆 上。 半径和直径都是线段。直径所在的 直线是圆的对称轴。 圆的半径和直径都分别相等必须是 在同圆或等圆中。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第11页 原来的几倍;半径缩小到原来的几分之一,直径也缩小到原来 的几分之一。 二、圆的周长 1.圆的周长的认识及计算公式。 (1)圆的周长的意义:围成圆的曲线的长叫作圆的周长。 (2)圆的周长的测量方法。 ①绕绳法。 先把一根绳子绕圆一周,剪去多余的部分或在重叠处做好 标记,再拉直量出它的长度,就是这个圆的周长。 ②滚动法。 在圆上找一个点并做好标记。把圆放在直尺上,标记点对 准直尺的0刻度,滚动一周后标记点所对的刻度就是圆的周 长。 (3)圆周率。 任何一个圆的周长除以它的直径,得到的商是一个固定的 数,这个数叫作圆周率。 圆周率用希腊字母“π”表示,π是一个无限不循环小数。 π=3.141592653……在实际应用中,通常取它的近似值,即π≈ 3.14。 (4)圆的周长的计算公式。 ①根据圆的周长与直径之间的关系推导圆的周长的计算 公式。 =．圆周率．．． 圆的周长．．．．=．圆周率．．．×．直径．． ②圆的周长的计算公式的字母表达式。 如果用字母C表示圆的周长,r 表示圆的半径,d表示圆的 直径,那么圆的周长的计算公式为圆的周长=圆周率×直径=圆 周率×半径×2,用字母表示为C=．．π．d．或．C=．．2．π．r．。． 2.圆的周长的计算公式的应用。 (1)已知直径,求周长,根据C=．．π．d．来计算。．．．． (2)已知半径,求周长,根据C=．．2．π．r．来计算。．．．． 拓展提高 1.圆的周长与它的半径、直径的关系。 (1)如果圆的半径、直径扩大到原来的若干倍,那么它的 周长也扩大到原来的若干倍。例如,一个圆的半径扩大到原来 的3倍,它的周长也扩大到原来的3倍。 (2)如果圆的半径、直径缩小到原来的几分之一,那么它 的周长也缩小到原来的几分之一。例如,一个圆的半径缩小到 原来的 ,它的周长也缩小到原来的 。 π是一个固定的数,不随周长和直径 的改变而改变。 易错点:圆周率是一个无限不循环 小数,在实际应用中常常只取它的近似 值。 举例: 判断:因为一个圆的周长总是它的 直径的3倍多一些,所以π=3.14。 ( ) 错解:√ 正解:✕ 在判断时,圆周长是它直径的π倍, 而不是 3.14 倍。 计算圆周长的关键是确定半径。 一个圆的半径增加 a厘米,周长就 增加 2πa厘米。 一个圆的直径增加 b厘米,周长就 增加πb厘米。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第12页 2.两个圆的半径之比等于它们的直径之比,也等于它们的 周长之比。 3.半圆的周长指的是圆的周长的一半加上一条直径的长 或两条半径的长,半圆的周长的计算公式是．．．．．．．．．．．C．半圆．． =．π．d+d．．．或．C． 半圆．． =．π．r+．．2．r．。． 4.圆的周长的一半是把圆的周长平均分成两份,其中 一份的长度,圆的周长的一半的计算公式是C 圆的周长的—半=πr 或 C 圆的周长的—半= 。 三、圆的面积 1.探究圆的面积的计算方法和公式。 (1)通过正多边形求圆的面积。 在圆内画正多边形,如果把正多形的边数分得越来越多, 不可求的部分变得越来越少,那么正多边形的面积就越来越接 近圆的面积。通过此种方法,可近似地求出圆的面积。 (2)借助方格求圆的面积。 在圆内画小方格,小方格的面积可以求出,余下的边边角 角的面积不知道怎么求。如果分割得越多,小方格越来越小, 那么可以求出来的小方格的面积和就越来越接近圆的面积。 通过此种方法,可近似地求出圆的面积。 (3)转化成平行四边形,推导圆的面积计算公式。 ①转化演示。 把圆分成8、16、32……等份(偶数份),剪开后,用这些近 似的等腰三角形拼一拼,会拼成一个近似的平行四边形。如下 图: 8等份: 16等份: 32等份: 发现:把圆等分的份数越多,每一份就越小,曲边就越接近 直边,拼出来的图形就越接近平行四边形。 ②探究拼成的近似平行四边形的底和高与圆的周长和半 径之间的关系。 ③公式推导。 理解半圆的周长时,可以结合半圆 的图形来理解。 把圆的面积转化为平行四边形的面 积,体现了转化的数学思想。 易错点:周长和面积不是同类量,无 法进行比较。 举例: 判断:半径是2厘米的圆,它的周长 和面积相等。( ) 错解:√ 正解:✕ 圆的面积的大小与半径的长短有 关,因为S=πr2 易错点:在计算圆的面积时,不要把 r2计算成 r×2,r2应该是 r×r。 举例:一颗圆形纽扣的半径是1.5 厘米,它的面积是多少? 错解:3.14×1.52=3.14×3=9.42(平 方厘米) 答:它的面积是9.42平方厘米。 正解: 3.14×1.52 =3.14×2.25 =7.065(平方厘米) 答:它的面积是7.065平方厘米。 易错点:如果圆的直径扩大到原来 的a(a不为 0)倍,那么它的面积就扩大 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第13页 圆的面积=平行四边形的面积 =底×高 = ×r =πr×r =πr2 如果用．．．S．表示圆的面积．．．．．．,．那么圆的面积计算公式．．．．．．．．．．是． S=．．π．r． 2．。． 2.运用圆的面积计算公式解决实际问题。 (1)已知圆的半径,可直接运用圆的面积计算公式S=πr2 求出圆的面积。 (2)已知圆的周长,则圆的面积S=π×(C÷π÷2)2。 (3)已知圆的直径,则圆的面积S=π×(d÷2)2。 拓展提高 1.如果一个圆的半径(直径或周长)扩大到原来的 n倍,那 么圆的面积就扩大到原来的n2倍。例如,若圆的半径扩大到 原来的5倍,则圆的面积就扩大到原来的 52倍,即 25倍。 2.如果一个圆的半径(直径或周长)缩小到原来的 ,那么圆 的面积就缩小到原来的 。例如,若圆的半径缩小到原来的 ,则圆的面积就缩小到原来的 ,即 。 四、圆环的面积 1.圆环的意义:两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作 圆环,也叫作环形。 2.圆环面积的计算方法:用R表示外圆半径,用 r表示内圆 半径,用 S表示圆环的面积,那么圆环的面积计算公式是 S=．．π．R． 2．-．π．r． 2．或．S=．．π．(．R． 2．-r． 2．)．。． 3.圆环是轴对称图形,它有无数条对称轴。通过圆心的直 线都是它的对称轴。 五、扇形 1.弧的认识:圆上任意两点之间的部分叫作弧。 2.圆心角的认识:顶点在圆心的角,叫作圆心角。 3.扇形的意义。 由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形,叫作 扇形。 4.扇形的对称性。 扇形是轴对称图形,只有一条对称轴。 左边探究圆的面积的计算方法,(1)和(2)虽然都能近 似地求出圆的面积,但计算难度大,操作性差,且误差大,不能作 为通用的求圆的面积的方法。在剪拼的过程中,图形的形状虽 到原来的 a2倍。 举例:大圆直径是小圆直径的4倍, 大圆面积就是小圆面积的( )倍。 错解:4 正解:16 圆环的面积实际是两个同心圆的面 积差。 易错点:已知内圆直径和环宽,求外 圆直径,应该用内圆直径加上2个环宽; 已知外圆直径和环宽,求内圆直径,应该 用外圆直径减去2个环宽。 举例:在一个直径为6米的圆形花 坛周围铺一条 2米宽的环形小路,这条 小路的面积是多少平方米? 错解:6+2=8(米) 3.14×(8÷2)2- 3.14×(6÷2)2=21.98(平方米) 答:这条小路的面积是21.98 平方 米。 正解:6+2×2=10(米) 3.14×(10÷2)2- 3.14×(6÷2)2=50.24(平方米) 答:这条小路的面积是50.24 平方 米。 扇形是圆的一部分。 判断一个图形是不是扇形,主要看 圆心角的顶点在不在圆心上,如果顶点 不在圆心上,就不是扇形。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第14页 然改变了,但面积的大小并没有改变,因此圆的面积等于拼成 的近似平行四边形的面积。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第15页 六 扇形统计图 一、扇形统计图的特点及绘制方法 1.扇形统计图的意义:用整个圆表示总数,用圆 内大小不等的扇形表示各部分数量与总数之间的 关系。 2.扇形统计图的特点:可以清楚地表示出各部．．．．．．．．．． 分数量与总数之间的关系。．．．．．．．．．．．． 3.扇形统计图的绘制方法。 (1)算出各部分数量占总数的百分比。 (2)算出表示各部分数量所对应的扇形的圆心 角度数。 (3)画一个大小适中的圆,并按照算出的圆心角 的度数在圆里画出各个扇形。 (4)在各个扇形中标明所表示的数量的名称和 所占的百分比,并用不同的颜色或底纹把各个扇形 区分开,也可以用图例注明。 (5)写上统计图的名称和制图日期。 二、统计图的选择 1.要清楚地表示出每个项目的具体数量,一般 选择条形统计图。 2.要清楚地反映事物的变化规律,一般选择折 线统计图。 3.要清楚地反映各部分数量与总数量之间的 关系,一般选择扇形统计图。 当扇形统计图中有“其他”部分时,要注意“其他” 部分具有不确定性。 每种统计图都有各自不同的特点,在选择时要 充分利用它们的特性,以达到更好的展示效果。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第16页 七 数学百花园 一、黄金螺旋线 1.了解黄金螺旋线。 自然界中存在着许多美丽的图案,鹦鹉螺外壳上的优美曲线被 称为黄金螺旋线。黄金螺旋线可以用大小不同的扇形的弧线画出 来。 2.明确黄金螺旋线的画法。 (1)画一个边长为1厘米的正方形,以正方形的右下顶点为圆心, 以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形 。 (2)在正方形的右边画一个同样大小的正方形,以正方形的左下 顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。 (3)以组成的长方形的长为边长画—个正方形,以正方形的左上 顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。 (4)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,以正方形的右 上顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。 (5)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,以正方形的右 下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。 (6)再以组成的长方形的长为边长画一个正方形,以正方形的左 下顶点为圆心,以这个正方形的边长为半径画一个90°的扇形。 3.观察扇形的半径,发现其中的规律,如下表所示。 扇形编 号 一 二 三 四 五 六 …… 半径/厘 米 1 1 2 3 5 8 …… 第一个扇形的半径:1 第二个扇形的半径:1 第三个扇形的半径:2=1+1(第二个扇形的半径+第一个扇形的 半径) 第四个扇形的半径:3=2+1(第三个扇形的半径+第二个扇形的 半径) 第五个扇形的半径:5=3+2(第四个扇形的半径+第三个扇形的 半径) 第六个扇形的半径:8=5+3(第五个扇形的半径+第四个扇形的 半径) 由此得出规律:从第三个扇形起,每个扇形的半径都是它前面两 个相邻扇形的半径之和,所以,第七个扇形的半径=第六个扇形的半 径+第五个扇形的半径=8+5=13(厘米)。 4.验证规律是否正确。 方法一:画出半径是13厘米的扇形,刚好符合黄金螺旋线的画 黄金螺旋线在生活中应用广 泛。在摄影方面,可利用黄金螺旋 线进行拍照;在设计方面,有不少设 计师从黄金螺旋线中获得了灵感, 创造出了许多优秀的作品。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第17页 法。(画图略) 方法二:观察图形发现,从第三个正方形起,每个正方形的边长都 是它前面两个相邻正方形的边长之和,所以每一个扇形的半径都是 它前面两个相邻扇形的半径之和。 由此得出:规律正确。 5.根据发现的规律,将这串数继续写下去。 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233…… 这个数列就是著名的“斐波那契数列”。 拓展提高 斐波那契数列,从第 8项开始,每相邻两项的比值都接近 0.618, ≈0.618, ≈0.618, ≈0.618, ≈0.618, ≈0.618…… 0.618为黄金分割数。 二、铁链的长度 1.明确解题思路。 一个铁环,内直径是8厘米,外直径是10厘米。把10个这样的 铁环连成一条铁链,求拉直后有多长,就是用 10个铁环的长度减去 铁环连接处重复计算部分的长度。 2.计算铁环连接处的长度。 铁环的内直径为8厘米,外直径为10厘米,因此每个铁环的壁 厚=(外直径-内直径)÷2=(10-8)÷2=1(厘米),所以两个铁环连接处的 长度是2厘米,也就是重合部分的长度为2厘米。 3.探究铁链长度的求法。 (1)用第一个铁环的长度依次加上增加的长度。 ①发现:第一个铁环的长度是10厘米,增加一个铁环后,因为有 2厘米的连接处是重合部分,需要减去2厘米,所以增加的长度是8 厘米。增加几个铁环,长度就增加几个8厘米,由此可以推出,n个铁 环连在一起拉直后的长度的计算公式为10+(n-1)×8。 ②当 n=10时,10+(10-1)×8=82(厘米),所以 10个铁环连在一起 拉直后的长度为82厘米。 (2)用铁环的总长度减去连接处的长度。 ①发现:第一个铁环的长度是10厘米,每增加一个铁环,就增加 一个2厘米的连接处,增加几个铁环,就增加几个2厘米的连接处,用 铁环的总长度减去连接处的长度,就是几个铁环连在一起拉直后的 长度,所以,n个铁环连在一起拉直后的长度的计算公式为10n-(n- 1)×2。 ②当 n=10时,10×10-(10-1)×2=82(厘米),所以 10个铁环连在一起 拉直后的长度为82厘米。 通过用不同的方法探索铁链 拉直后的长度,认识解决问题的多 样性。 关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！ 第18页