小学六年级奥数教案：长方体和正方体(学生版) 9页

‎ 学科培优 数学 ‎ 长方体和正方体 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 本讲内容从我们熟悉的平面扩展到了三维立体空间，教学目标是培养学生的空间想象能力，对于长方体和正方体的表面积和体积的计算我们在学校的课本上都已经学习过，都是相对比较简单的，今天我们一起将这部分内容进行拓展和研究。我们主要研究的对象是复杂的立方体的体积和表面积计算方法。同学生要记住知识是有限的，但想象力是无限的。‎ ‎ 重点难点：1．长方体与正方体的表面积和体积的计算公式的理解性记忆与运用 ‎2．构造法的运用 ‎ 考点： 3．结合棱长、表面积的特性等求立体图形的体积 ‎4．水深问题的求解 ‎5．长方体正方体知识点与其他知识点的结合 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？  蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。‎ 法国科学家法伯曾做过一个著名的毛毛虫试验。法伯把若干毛毛虫放在一个花盆的边 缘上，首尾相连，围成一圈，并在花盆周围不到六英寸的地方撒了一些毛毛虫最爱吃的松针。毛毛虫开始一个跟一个，绕着花盆一圈又一圈地走，一小时过去了，一天过去了，又一天过去了，毛毛虫们还是不停地围绕花盆在转圈，一连走了七天七夜，它们终于因为饥饿和精疲力竭而死去。‎ 毛毛虫的悲剧在于盲从。其实，只要有一只毛毛虫能越雷池一步，打破固有的习惯及跟随的习性，就会逃脱死亡的陷阱。‎ 另一位科学家的实验是在海洋馆里。他用玻璃板把一条具有攻击性的大鲨鱼和另一条小鱼隔开。刚开始，这条大鲨鱼不断撞击玻璃，企图捕食隔壁的小鱼。无奈，玻璃隔板太坚硬，无论怎么发威，玻璃隔板丝毫未损。攻击了一段时间，它便放弃了。于是，科学家便把隔板悄悄地移开。意想不到的是，大鲨鱼再也没有攻击过小鱼。它们都温和地在各自的领域活动，互不侵犯。 ‎ 其实，很多时候，人和鲨鱼一样。经过一段时间努力而没达到预期效果时，我们便画地为牢，认为这件事自己永远都办不到，却完全忽视自身力量的壮大和外界条件的改变。久而久之，便形成习惯性思维，套在失败的经验中爬不出来，以致失去一次又一次唾手可得的机会，最终一事无成。‎ 知识梳理 一、长方体 若长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么可得：‎ 方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；‎ 长方体的体积：V长方体＝abc．‎ 如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱。‎ 在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等。‎ ‎（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）．‎ 二、正方体 我们也可以称其为立方体，它是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么可得：‎ 正方体的表面积：S正方体=6a2 ；‎ 正方体的体积：V正方体=a3．‎ 三、常用数学方法 立体几何相关数学方法： ‎ 接法：与平面几何中的方法类似，将不规则的图形体积化作规则图形的体积进行加减计算. ‎ 视图法：主要适用于求正方体积木塔建图形的表面积计算.以及染色问题或计数问题，从上、前、左（下、后、右）这几个基本视角，分析图形的表面. ‎ 片法：适用于求具有穿孔结构或内部结构的立体图形的体积计算,将立体图形沿某个方向切成多片，化立体为平面. ‎ 模法：割补法的引申，分析立体图形的展开图,以最适合该立体图形的基本几何图形为模型.再在该图形上进行切割. ‎ 例题精讲 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】左下图中共有多少个面？多少条棱？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】用直径为20厘米的圆柱形钢材，锻造长300厘米，宽100厘米，厚5厘米的长方形钢板，应截取圆柱形钢材多长？（π取3）‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（右图），求这个立体图形的表面积。‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】用棱长是1厘米的立方体拼成右图所示的立体图形．求这个立体图形的表面积．‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】边长为1 厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第5 层时，这个立体图形的表面积是多少平方厘米？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】如图，把19个棱长为1 ㎝的正方体重叠在一起，‎ 按图中的方式拼成一个立方体图形。求这个立方体图形的表面积。 ‎ ‎ ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】右图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米．‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】把一根长2．4米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】如右图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长．　‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每种颜色涂两个面，共有多少种不同涂法？（两种涂法，经过翻动能使各种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。）‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】右图是4×5×6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透“十字形”的孔（如左图阴影部分），如果将其全部浸入黄漆后取出，晒干后，再切成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体未被染上黄漆的面积总和是多少？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】如图，有一个棱长为10厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为4厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱），且穿透．另有一长方体容器，从内部量，长,宽,高分别为15厘米,12厘米,9厘米，内部有水，水深3厘米．若将正方体铁块平放入长方体容器，铁块在水下部分的体积为　　　　立方厘米．‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的，乙的棱长是丙的棱长的．如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用一块，那么最少需要这3种木块一共多少块?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体；最多有多少个? ‎ 习题演练 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个正方体的棱长扩大3倍，那么它的体积扩大_ _倍.‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】 如果一个边长为2厘米的正方体的体积增加208立方厘米后仍是正方形，则边长增加______厘米。‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个5×6×7正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一个正方体的棱长为4厘米，在它的前、后、左、右、上、下各面中心各挖去一个棱长为1厘米的正方体做成一种玩具，求这个玩具的表面积. ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】右图是一个表面被涂上红色的棱长为lO厘米的正方 体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一个颜色，且4个面得颜色互不相同。现有5中颜色可选，共有多少种不同的染色方法？（旋转后事一样的染色情况算同一种方式）‎