小学数学精讲教案5_4_1 约数与倍数（一） 教师版 8页

1. 本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。 2. 本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识， 例如：（1）约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关系； （2）整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 的结构， 而且表达形式唯一” 一、 约数、公约数与最大公约数概念 (1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数 a 能被整数 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数； (2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”； (3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数； (4)0 被排除在约数与倍数之外 1． 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如： ， ，所以 ； ②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如： ，所以 ； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相 除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除 小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前 一个余数，直到余数是 0 为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是 1，那么原 来的两个数是互质的)． 例如，求 600 和 1515 的最大公约数： ； ； ； ； ；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15． 2． 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数 ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以 ． 3． 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a；求出各个分数的分子的 最大公约数 b； 即为所求． 4． 约数、公约数最大公约数的关系 5-4-1.约数与倍数（一） 教学目标 ...× × ×☆ ☆ ☆△ △ △ 知识点拨 231 3 7 11= × × 2 2252 2 3 7= × × (231,252) 3 7 21= × = 218 12 3 9 6 3 2 (12,18) 2 3 6= × = 1515 600 2 315÷ =  600 315 1 285÷ =  315 285 1 30÷ =  285 30 9 15÷ =  30 15 2 0÷ =  n n b a （1）约数是对一个数说的； （2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数 二、倍数的概念与最小公倍数 (1)倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数 (2)公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍数 (3)最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如： ， ，所以 ； ②短除法求最小公倍数； 例如： ，所以 ； ③ ． 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 ；求出各个分数分母的最大公约数 ； 即为所求．例如： 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如： 4． 倍数、公倍数、最小公倍数的关系 （1）倍数是对一个数说的； （2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数 三、最大公约数与最小公倍数的常用性质 1． 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 如果 为 、 的最大公约数，且 ， ，那么 互质，所以 、 的最小公倍数为 ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系： ① ，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公约数是 、 、 、 及最小公倍数的约数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即 ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3． 对于任意 3 个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如： ，210 就是 567 的最小公倍数 231 3 7 11= × × 2 2252 2 3 7= × × [ ] 2 2231,252 2 3 7 11 2772= × × × = 218 12 3 9 6 3 2 [ ]18,12 2 3 3 2 36= × × × = [ , ] ( , ) a ba b a b ×= a b b a 3 5 [3,5] 15[ , ]4 12 (4,12) 4 = = [ ] ( ) 1,41 4, 42 3 2,3   = =   m A B A ma= B mb= a b、 A B mab A B ma mb m mab× = × = × A B A B+ A B− ( , ) [ , ]a b a b a b× = × 5 6 7 210× × = b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的 2 倍 例如： ，而 6,7,8 的最小公倍数为 性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几 个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。 四、求约数个数与所有约数的和 1． 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积。 如:1400 严格分解质因数之后为 ，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24 个。(包括 1 和 1400 本身) 约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过 的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌 握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有 多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2． 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从 1 加至这个质因数的最 高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如： ，所以 21000 所有约数的和为 此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记 忆即可。 模块一、求最大公约数 【例 1】 把一张长 1 米 3 分米 5 厘米、宽 1 米 5 厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能 裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？ 【考点】求最大公约数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长 方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的 长和宽的最大公约数．1 米 3 分米 5 厘米＝135 厘米，1 米 5 厘米＝105 厘米， ，长方 形纸块的面积为 (平方厘米)，正方形纸块的面积为 (平方厘米)，共可 裁成正方形纸块 (张)． 【答案】边长 15，裁成 63 块 【巩固】【巩固】一个房间长 450 厘米，宽 330 厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少 块(整块)，才能正好把房间地面铺满？ 【考点】求最大公约数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间 长、宽厘米数的公约数．由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公 约数．450 和 330 的最大公约数是 30． ， ，共需 (块). 【答案】边长 30，需要 165 块 【例 2】 将一个长和宽分别是是 1833 厘米和 423 厘米的长方形分割成若干修正在方形，则正方形最少是（ ） 个。 （A）78 （B）7 （C）5 （D）6 【考点】求最大公约数 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】华杯赛，初赛，第 3 题 6 7 8 336× × = 336 2 168÷ = 3 22 5 7× × 3 321000 2 3 5 7= × × × 2 3 2 3(1 2 2 2 )(1 3)(1 5 5 5 )(1 7) 74880+ + + + + + + + = 例题精讲 (135,105) 15= 135 105 14175× = 15 15 225× = 14175 225 63÷ = 450 30 15÷ = 330 30 11÷ = 15 11 165× = 【解析】本题不是求 与 的最大公约数，因为题目没有强调是相同正方形，所以应该用辗转相处法， 求商，因为 ，所以先切成 的共有 4 个 剩下长方形 的 ，所以应该还可以切成 3 个，所以一共有 个，选择 B 【答案】 【例 3】 如图，某公园有两段路，AB＝175 米，BC＝125 米，在这两段路上安装路灯，要求 A、B、C 三点 各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯___个. 【考点】求最大公约数 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第 7 题 【解析】175 与 125 的最大公约数为 25，所以取 25 米为两灯间距，175＝25×7，125＝25×5，AB 段应按 7＋1 ＝8 盏灯，BC 段应按 5＋1＝6 盏灯，但在 B 点不需重复按灯，故共需安装 8＋6－1＝13（盏） 【答案】 盏 【例 4】 把 20 个梨和 25 个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下 2 个，而苹果还缺 2 个，一共最多有多少个 小朋友？ 【考点】求最大公约数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多 2 个，苹果数是人数的整数倍还缺 2 个，所以减掉 2 个梨， 补充 2 个苹果后，18 个梨和 27 个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是 18 和 27 的公约数，要求 最多的人数，即是 18 和 27 的最大公约数 9 了． 【答案】9 人 【例 5】 有 336 个苹果，252 个桔子，210 个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物 中，三样水果各多少？ 【考点】求最大公约数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有 , 即可以分 42 份，每份中有 苹果 8 个，桔子 6 个，梨 5 个． 【答案】42 份，每份中有苹果 8 个、桔子 6 个、梨 5 个 【巩固】【巩固】教师节那天，某校工会买了 320 个苹果、240 个桔子、200 个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这 些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼 此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？ 【考点】求最大公约数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】因为 ， ， ， ，所以最多可分 40 份，每份中有 8 个苹果 6 个桔子，5 个鸭梨. 【答案】可分 40 份，每份中有 8 个苹果 6 个桔子，5 个鸭梨. 模块二、约数 【例 6】 2004 的约数中，比 100 大且比 200 小的约数是 。 【考点】约数 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第 4 题，5 分 【解析】2004=3×4×167，所以结果为 167 【答案】 【例 7】 过冬了，小白兔只储存了 180 只胡萝卜，小灰兔只储存了 120 棵大白菜，为了冬天里有胡萝卜吃， 小灰兔用十几棵大白菜换了小白兔的一些胡萝卜，这时他们储存的粮食数量相等，则一棵大白菜 可以换__________只胡萝卜。 【考点】约数 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，一试，第 13 题 1833 423 1833 423=4 141÷  423 423× 141 423× 423 141=3÷ 4 3=7+ B 13 (336,252,210) 42= (320,240,200) 40= 320 40 8÷ = 240 40 6÷ = 200 40 5÷ = 167 【解析】方法一：若使他们存储粮食的数量相等，需要将小白兔的胡萝卜给小灰兔 （只）， 但是本题需要去换，即若干次换完后要多 30 个胡萝卜即可，若想用十几颗大白菜换，而 里面只 有 这个约数是十几，所以需要换 15 次，，每次换后要多 （只），所以 1 棵白菜换了 只胡萝卜 方法二：设 1 棵白菜换 只胡萝卜，灰兔用 棵白菜换胡萝卜，则 ， ，∴ ， ，∴ ， 即 1 棵白菜换了 3 只胡萝卜 【答案】 只 【例 8】 一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是 111，这个自然数是________. 【考点】约数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，六年级，决赛，第 7 题 【解析】因为 111 是奇数，而奇数＝奇数＋偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶。而一个 数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的次大约数应为这个偶数 的 ，设这个次大约数为 a，则最大约数为 2a，a＋2a＝111，求得 a＝37，2a＝74，即所求数为 74。 【答案】 【例 9】 一个两位数有 6 个约数，且这个数最小的 3 个约数之和为 10，那么此数为几？ 【考点】约数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】最小的三个约数中必然包括约数 1，除去 1 以外另外两个约数之和为 9，由于 9 是奇数，所以这两个 约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是 2 的 倍数，即 2 是它的约数。于是 2 是这个数第二小的约数，而第三小的约数是 7，所以这个两位数是 14 的倍数，由于这个两位数的约数中不含 3、4、5、6，所以这个数只能是 14 或 98，其中有 6 个约数 的是 98． 【答案】98 【例 10】如果你写出 12 的所有约数，1 和 12 除外，你会发现最大的约数是最小约数的 3 倍．现有一个整数 n，除掉它的约数 1 和 n 外，剩下的约数中，最大约数是最小约数的 15 倍，那么满足条件的整数 n 有哪些？ 【考点】约数 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】设 整 数 n 除 掉 约 数 1 和 n 外 ， 最 小 约 数 为 a ， 可 得 最 大 约 数 为 ， 那 么 ．则 3、5、a 都为 n 的约数．因为 a 是 n 的除掉约数 1 外的最小约数， 那么 ．当 时， ；当 时， ．所以满足条件的整数 n 有 60 和 135． 【答案】n 有 60 和 135 模块三、公约数与最大公约数综合 【例 11】马鹏和李虎计算甲、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积 473；李虎把甲 数的十位数字看错了，得乘积 407，那么甲、乙两数的乘积应是______. 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】乙数是 473 与 407 的公约数.473 与 407 的最大公约数是 11，11 是质数，它的两位数约数只有 11， 所 以 乙 数 是 11 ， 又 ， ， 所 以 甲 数 是 47 ， 甲 、 乙 两 数 的 乘 积 应 为 ： . 【答案】甲、乙两数的乘积应为： 【例 12】用 2、3、4、5、6、7 这六个数码组成两个三位数 A 和 B，那么 A、B、540 这三个数的最大公约数 最大可能是___________． 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【解析】【解析】 ，A、B、540 这三个数的最大公约数是 540 的约数，而 540 的约数从大到小排列依 次为：540、270、180、135、108、90……由于 A 和 B 都不能被 10 整除，所以 540、270、180 都不 是 A 和 B 的约数．由于 A 和 B 不能同时被 5 整除，所以 135 也不是 A 和 B 的公约数．540 的约数除 ( )180 120 2=30− ÷ 30 15 30 15=2÷ 2 1=3+ x a ( )10,20∈a ( )180 120 1 30 2 15⇒− + = − + − = = ×ax a a ax a x 15=a 1 2− =x 3=x 3 1 2 74 15a 2 215 15 3 5n a a a a= × = = × × 3a ≤ 2a = 215 2 60n = × = 3a = 215 3 135n = × = 473 43 11= × 407 37 11= × 47 11 517× = 47 11 517× = 2 3540 2 3 5= × × 去这些数后最大的为 108，考虑 108 的三位数倍数，有 108、216、324、432、540、648、756、864、 972，其中由 2、3、4、5、6、7 这六个数码组成的有 324、432 和 756，易知当 A 和 B 一个为 756、 另一个为 324 或 432 时，A、B、540 这三个数的最大公约数为 108，所以 A、B、540 这三个数的最 大公约数最大可能是 108． 【答案】108 【例 13】现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？ 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条件“它 们的和是 1111”入手分析．三个数的和是 1111，它们的公约数一定是 1111 的约数．因为 ， 它的约数只能是 1，11，101 和 1111，由于三个自然数的和是 1111，所以三个自然数都小于 1111， 1111 不可能是三个自然数的公约数，而 101 是可能的，比如取三个数为 101，101 和 909．所以所求 数是 101． 【答案】101 【例 14】10 个非零不同自然数的和是 1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？ 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】设 M 为这 10 个非零不同自然数的最大公约数，那么这 10 个不同的自然数分别可以表示为： ，其中 那么根据题意有： 因为 10 个不同非零自然数的和最小为 55，所以 M 最大可以为 13 【答案】13 【巩固】【巩固】100 个非 0 自然数的和等于 2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（ ）。 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 8 题，10 分 【解析】2006=2×17×59，现在要求最大公约数最大，则让整个一百个数的和除以约数后的商尽可能的小，且 还应该为 2006 的一个约数，100 个非 0 自然数的和最小且符合是 2006 的一个约数的为 2×59=118。 所以，最大公约数的最大可能值为 17。 【答案】 【例 15】三个两两不同的正整数，和为 126，则它们两两最大公约数之和的最大值为 ． 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，11 题 【解析】假设这三个数分别为 ， ， ，且 ，则 ，要求的是 的最 大值． 由于 是 和 的最大公约数，根据辗转相除法求最大公约数的过程，可以知道 也是 和 的最大公约数，而一个数的约数不可能比这个数大，所以 ， ． 同理可得， ， ； ， ． 由 ， 得到 ； 由 ， 得到 ； 由 ， 得到 ； 三式相加可得 ， 故 ． 也就是说 的最大值为 72． 要使等号成立，必须使五个不等式 ， ， ， ， 中的 等 号 都 成 立 ， 即 ， ， ， ， ， 得 到 ， ，即 时等号成立．在本题中就是 ， ， 分别为 18，36，72 时它们两两最大 公约数之和取得最大值 72． 1111 11 101= × 1 2 10, ,...,Ma Ma Ma 1 2 10( , ,..., ) 1a a a = 1 2 10( ... ) 1001 7 11 13M a a a+ + + = = × × 17 a b c a b c< < 126a b c+ + = ( ) ( ) ( ), , ,a b b c a c+ + ( ),a b a b ( ),a b b a− a ( ),a b a≤ ( ) ( ), ,a b a b a b a= − ≤ − ( ),b c b≤ ( ),b c c b≤ − ( ),a c a≤ ( ),a c c a≤ − ( ),a b a≤ ( ),a b b a≤ − ( ) ( )7 , 2 5 5 3a b a b a b a≤ + − = − ( ),b c b≤ ( ),b c c b≤ − ( ) ( )7 , 3 4 4b c b c b c b≤ + − = − ( ),a c a≤ ( ),a c c a≤ − ( )7 , 7a c a≤ ( ) ( ) ( ) ( )7 , 7 , 7 , 5 3 4 7 4a b b c a c b a c b a a b c+ + ≤ − + − + = + + ( ) ( ) ( ) ( )4 4, , , 126 727 7a b b c a c a b c+ + ≤ + + = × = ( ) ( ) ( ), , ,a b b c a c+ + ( ),a b a≤ ( ),a b b a≤ − ( ),b c b≤ ( ),b c c b≤ − ( ),a c a≤ ( ),a b a= ( ),a b b a= − ( ),b c b= ( ),b c c b= − ( ),a c a= 2b a= 4c a= : : 1: 2: 4a b c = a b c 小结：本题的结论 较容易猜到，但证明起来较困难．另外可能会有人猜到 时取 到最大值，这是错误的． 【答案】 【例 16】用 这九个数码可以组成 362880 个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数． 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】【解析】 ，是 9 的倍数，因而 9 是这些数的公约数．又 123456789 和 123456798 这两个数只 差 9，这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是 9 的约数，所以 9 是这两个数的最大公约 数．从而 9 是这 362880 个数的最大公约数． 【答案】9 【例 17】少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每 2 个人合做 一个泥“猪娃娃”；然后每 3 个人合做一个布“猪娃娃”；最后每 4 个人合做一个电动“猪娃娃”。这样 下来，一共做了 100 个“猪娃娃”，由此可知手工组共有 个小朋友。 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，1 试 【解析】设有如果有 个人，12 个人做 12 个纸娃，6 个泥娃，4 个布娃，3 个电动娃，共 25 个， 做 100 要 4 个 12 人，即 48 人. 【答案】 人 【例 18】一根长为 L 的木棍，用红色刻度线将它分成 m 等份，用黑色刻度将它分成 n 等份（m>n）。(1)设 x 是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x+1 是 m 和 n 的公约数；(2)如果按刻度线将该木棍锯 成小段，一共可以得到 170 根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有 100 根。试确定 m 和 n 的值。 【考点】公约数与最大公约数综合 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，14 题， 10 分 【解析】① 　 同样， ② 由题设， ， ， ， 所以， ， ， 即 13＋n 是 13×13 的因数，13×13 只有 3 个因数：1，13， .所以， 甲追上乙的位置(3 分)：③会判断丙在甲追上乙的时刻所爬行的距离(3 分)。　 即 13+n 是 13×13 的因数，13×13 只有 3 个因数：1，13，13。所以， 13+n= ，n= －13=156，m=12。 求出正整 m，n 的另一方法：使 ， . 设 m＝Ka，n＝Kb，(a，b)=1，代入上式， . (b 一 a)和 a，b 都互质，一定整除 K。记 d＝ 是正整数，b＞a 则有： . 由上式和 b>a，b=13，a=1，d=1。所以，K=12，m 和 n 有唯一解，m=13，n=156。 1: 2: 4 : : 1: 2:3a b c = 72 1 9 1 2 9 45+ + + = ( )1, 2, 3, 4 12= 48 符：m=13，n=156。 【答案】（1）　 ，同样， （2） m=13，n=156