小学六年级奥数教案：工程问题(学生版) 10页

工程问题 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是工程应用题的关键。本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。‎ 知识梳理 ‎1.工程问题在主要概念 定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间的相互关系的问题。在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。工程问题是小升初的常见考题，题型复杂多变，但是核心不变，‎ 即：工作总量=工作效率×工作时间，‎ 工作效率=工作总量÷工作时间，‎ 工作时间=工作总量÷工作效率；‎ 在分数应用题中，经常将工作总量抽象成单位“1”；例如：一项工程，甲5天完成，则甲每天完成全部的几分之几？分析：这道题中，我们将一项工程抽象成单位“1”，5为工作时间，所以每天完成整个工程的1÷5=，即为所求，同时也是甲完成这项工作的速度，所以就是这道题中甲的工作效率。‎ 在解决工程问题时，对于题中已知条件给出的每一个数字或字母表示的具体含义必须在读完题后，清晰明了，然后通过所求与已知的逻辑关系，再进一步求解。常用方法：列表法，条件转换法，整体法；每一种方法的使用要在具 体题目中用心体会。‎ ‎2.解决工程问题的基本思路 ‎(1) 工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效 率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采用这种方法求解。‎ ‎(2) 先求出独做的队或个人的工作效率 ，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。‎ ‎(3) 求剩余部分的工作量完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工作总量“1”中 减去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。‎ ‎3.划分工程问题的基本题型 ‎(1) 水管问题：从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.‎ ‎(2) 工资问题 从数学本质解法来看，工资问题与工程问题是一样的，抓住每个人发放的工资与发放总工资之间的关系就能找到相应量与率的关系进而转换成工程问题来解决了。‎ ‎(3) 牛吃草问题 从数学本质解法来看，牛吃草问题与工程问题是一样的，抓住牛头数与牛吃草的总数及吃的天数之间的关系就能找到相应量与率的关系进而转换成工程问题来解决了。‎ ‎(4) 周期问题问题 从数学本质解法来看，同上。‎ ‎4.重点难点解析 ‎（1）. 明确题目中的工作总量、工作效率、和工作时间具体指向 ‎（2）. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的转换。‎ ‎5.竞赛考点挖掘 ‎（1）. 工程问题的基本数量关系是：工作总量=工作效率×工作时间。解题时，要抓住这一关系，灵活地运用这一数量关系提高解题能力。‎ ‎（2）. 抓住完成工作的几个过程或几种变化，工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要对应工作每一阶段的工作量、工作时间来确定单独做或合作的工作效率。‎ ‎6.要想解决好工程问题，一定要求学生充分理解掌握多个单位“1”转换为统一单位“1”的方法，这是用算术方法解决分数应用题的基本思路也是重点难点，教师应该在授课过程中有耐心的将转换过程一一展示给学生。‎ 例题精讲 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 甲、 乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个? ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 一项工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成。甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲做3小时后，乙接着做，还需几小时完成？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成。那么五个小队一起合作需多少天才能完成这项工程？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 一项工程，甲15天做了后，乙加入进来，甲、乙一起又做了，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天? ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天? ‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的，乙只能完成原来的．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多丢．甲、乙、丙3队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．那么，丙队与乙队合作了多少天?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 甲、乙、丙3名搬运工同时分别在3个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了16小时后同时搬运完毕．问丙在A仓库做了多长时间?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9．8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9．6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时?‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】‎ 有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满?(2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?(结果四舍五入到个位)‎ 习题演练 ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一项工程，由甲工程队修建，需要12天，由乙工程队修建，需要20天，两队共同修建需要多少 天？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】一项工程，甲队独做8天完成，乙队独做10天完成，两队合做，多少天完成全部工程的3／4？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙两人生产个数之和的，乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的。丙生产了50个。这批玩具共有多少个？‎ ‎【试题来源】‎ ‎【题目】有一项工程，甲、乙合做需要12天完成，乙、丙合做需要20天完成，甲、丙合作需要15天完成。甲、乙、丙合做3天后，剩下的由甲单独完成，那么还需多少天才能完成？‎