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- 2022-02-15 发布
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3.比例的应用
第五课时 比例尺
1、 认识比例尺,理解比例尺的意义。
2、 会求一副图的比例尺,能根据比例尺求图上距离或实际距离。
3、 重难点:理解比例尺的意义,能根据比例尺求图上距离或实际距离。
知识导入
爸爸过几天要去北京出差,为在当地能方便出行,他买来一副北京市地图。明明好奇地凑过来,和爸爸一起查看。他突然发现在地图右下角有这样的标注:
他用手指给爸爸:“这是什么意思呢?”爸爸说:“这叫线段比例尺,表示地图上1cm的距离相当于地面上50km的实际距离。有的地图标注的是数值比例尺。”那么,什么是数值比例尺呢?它和线段比例尺又有什么不同?
这节课,我们就和明明一起来深入地认识比例尺。
知识讲解
知识点一:比例尺的意义
什么叫做比例尺?
分析:在绘制地图和其他平面图的时候,需要把实际距离按一定的比缩小(或扩大),再画在图纸上。这时,就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。
解析:一幅地图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
图上距离:实际距离=比例尺 或=比例尺
点拨:比例尺不是一把尺子,也不是一个数,而是两个数的比,不能带单位名称。
知识点二:比例尺的分类
解析:
(1) 根据表现形式的不同,比例尺可以分为数值比例尺和线段比例尺。
左图是用数字形式表示的比例尺,就是数值比例尺,它表示图上1cm的距离相当于实际100000000cm,即1000km。1:100000000也可以写成的形式。
右图用附有一条注有数量的线段来表示和地面上相对应的实际距离,这样的比例尺叫做线段比例尺。它表示图上1cm的距离相当于实际距离50km。
(2) 根据图上距离是将实际距离缩小还是放大,比例尺可以分为缩小比例尺和放大比例尺。
在绘图时,有时需要把实际距离按一定的比缩小,画在纸上,这种方法得到的比例尺就是缩小比例尺。前面提到的几个比例尺都是缩小比例尺。
在生产中,有时由于机器零件比较小,需要把实际尺寸扩大一定的倍数后,再画到纸上,这样的比例尺就是放大比例尺。如图:
图中的2:1就是一个放大比例尺,它表示图上2cm的长度相当于实际长度1cm。
点拨:为了计算方便,一般把缩小比例尺写成前项是“1”,把扩大比例尺写成后项是1。
知识点三:线段比例尺和数值比例尺的改写
例1 把教材48页右图的线段比例尺改写成数值比例尺。
分析:根据线段比例尺,写出图上距离和实际距离的比,统一单位后再化成最简比的形式。
解析:图上距离:实际距离
=1cm:50km
=1cm:5000000cm
=1:5000000
点拨:线段比例尺改写成数值比例尺,一定注意把图上距离和实际距离的单位统一后再化简。此题还要注意,km和cm之间的进率是1000000。
知识点四:根据比例尺和图上距离,求实际距离。
分析:解答此题有两种方法:(1)可以设实际距离为χ,再根据“=比例尺”列方程求解。由于要求的实际距离的单位是千米,而已知图上距离的单位是厘米,可以先设是距离为χ厘米,算出实际距离是以厘米为单位的数,再化成以千米为单位的数。(2)要求实际长度是多少,先利用“图上距离÷比例尺”求出实际长度是多少厘米,再化成以千米为单位的数。
解析:(1)解:设地铁1号线的实际长度大约是χ厘米。
=
χ=10×500000
χ=5000000
5000000cm=50km
(2)10÷=5000000(cm) 5000000cm=50km
答:地铁1号线的实际长度大约是50千米。
点拨:已知比例尺和图上距离,求实际距离,可以根据“=比例尺”列比例解答,也可利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。
同样,已知比例尺和实际距离,求图上距离,可以根据“=比例尺”列比例解答,也可利用“图上距离=实际距离×比例尺”直接列式计算。
知识点五:应用比例尺画图
例3 学校要建一个长80m、宽60m的长方形操场,画出操场的平面图。
分析:想一想,这道题和前面解决的问题相比,有哪些难度?一是题中只告诉了实际距离,没有告诉比例尺,得自己先确定比例尺,再解决问题;二是还要算出操场的长和宽两个图上距离;三是不但要算出图上距离,还要画出操场的平面图。
确定比例尺要根据自己纸的长和宽来决定,用自己的纸的长和宽来表示这个长方形操场的长和宽,然后根据纸上距离和实际距离就可以求出这幅图比较合适的比例尺。
解析:(1)确定比例尺为1:1000或 0 10 20m
(2)利用数值比例尺解答:
80m=8000cm 60m=6000cm
长:8000×=8(cm) 宽:6000×=6(cm);
利用线段比例尺解答:
长:80÷10==8(cm) 宽:60÷10==6(cm)
因此画在图纸上,操场的长应画8cm,宽应画6cm。
(3)画一个长画8cm,宽6cm的长方形,并标明平面图名称及所用的比例尺。
操场平面图
(或1:1000)
0 10 20m
点拨:应用比例尺画图时,要先根据实际距离与纸张的大小确定平面图的比例尺,再根据比例尺和实际距离求出图上距离,然后根据图上距离画出相应的平面图,并标明平面图名称及比例尺。
知识探究
1、比例尺的意义
(1)一幅地图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
(2)图上距离:实际距离=比例尺 或=比例尺
例:从北京到天津的实际距离是120km,在一副地图上量得两地的图上距离是2cm,求这幅图的比例尺。
解析:120km=12000000cm
2cm:12000000cm=1:6000000 答:这幅图的比例尺是1:6000000。
2、比例尺的种类
(1)根据表现形式的不同,比例尺可以分为数值比例尺和线段比例尺。
(2)根据图上距离是将实际距离缩小还是放大,比例尺可以分为缩小比例尺和放大比例尺。
(3)线段比例尺和数值比例尺可以相互转化。
(4)为了计算方便,一般把缩小比例尺写成前项是“1”,把扩大比例尺写成后项是1。
例:把下面的线段比例尺改写成数值比例尺。
0 30 60km
解析:30 km=3000000cm 数值比例尺为1:3000000
3、比例尺的应用
(1)已知比例尺和图上距离,求实际距离,可以根据“=比例尺”列比例解答,也可利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。
(2)已知比例尺和实际距离,求图上距离,可以根据“=比例尺”列比例解答,也可利用“图上距离=实际距离×比例尺”直接列式计算。
例:在一副比例尺是1:1000的校园平面图上,量得校门到楼门的距离是12cm,校门到楼门的实际距离是多少米?
解析:12÷=12000(cm)=120(m)。答:校门到楼门的实际距离是120米。
易错辨析
题1 判断:比例尺的前项都是1。(√)
辨析:通常缩小比例尺的前项为1,放大比例尺的后项为1。
正解:(×)
题2 判断:从甲地到乙地的实际距离是150km,在一幅图上量得两地的图上距离是3cm,求这幅图的比例尺。
3:150=1:50 答:这幅图的比例尺是1:50。
辨析:此题错在没有把单位统一。
正解:150km=15000000cm
3:15000000=1:5000000答:这幅图的比例尺是1:5000000
1、填空题:
(1)、( )和( )的比叫做比例尺。比例尺=( ):( ),比例尺实际上是一个( )。
(2)、在比例尺是1:4000000的地图上,图上距离1厘米表示实际距离( )千米。也就是图上距离是实际距离的( ),实际距离是图上距离的( )倍。
0 10 20 30km
(3)、一幅图的比例尺是 ,那么图上的1厘米表示实际距离( );实际距离50千米在图上要画( )厘米。把这个线段比例尺改写成数值比例尺是( )。
(4)、一种微型零件的长5毫米,画在图纸上长20厘米,这幅图的比例尺是( )。
2、实际应用:
(1)、在一幅地图上,测得甲、乙两地的图上距离是13厘米,已知甲乙两地的实际距离是780千米。①求这幅图的比例尺。
②在这幅地图上量得A、B两城的图上距离是5厘米,求A、B两城的实际距离。
(2)、在比例尺是1:3000000的地图上,量得两地距离是10厘米,甲乙两车同时从两地相向而行,3小时后两车相遇。已知甲乙两车的速度比是2:3,求甲乙两车的速度各是多少千米?
在比例尺是1:30000000的地图上,甲、乙两地之间的航空线长4.5厘米,改画在比例尺是1:25000000的地图上,甲、乙两地之间的航空线应画多少厘米?
分析:由比例尺是1:30000000,图上距离是4.5厘米,可求出甲、乙两地之间的实际距离,再根据这个实际距离和比例尺1:25000000,求出两地之间航空线的图上距离。
解析:4.5÷=4.5×30000000=135000000(cm)
135000000×=5.4(cm)答:两地之间航空线的图上距离为5.4厘米。
点拨:此题的关键是求实际距离,在求实际距离时不必将厘米化成千米,以免下步计算时再换算单位。
练习
:在一副比例尺为1:20000的地图上,量得A、B两地的距离是5cm,如果在比例尺为1:5000的地图上,A、B两地间的图上距离应是多少厘米?
参考答案
课时练习
1、(1)图上距离 实际距离 图上距离 实际距离 比
(2)40 4000000 (3)10km 5 1:1000000 (3)40:1
2、(1)①780千米=78000000厘米 13:78000000=1:6000000
答:这幅图的比例尺为1:6000000。
② 5÷=30000000(厘米)=300(千米)
答:A、B两城的实际距离是300千米。
(2)10÷=30000000(厘米)=300(千米) 300÷3=100(千米)
100×=40(千米)100×=60(千米) 答:甲车的速度是1小时40千米,乙车的速度是1小时60千米。
拓展提升
5÷=100000(cm)100000×=20(厘米)
答:A、B两地间的图上距离是20厘米。