小学数学精讲教案5_4_5 完全平方数及应用（二） 教师版 5页

‎5-4-5‎‎.完全平方数及应用（二）‎ 教学目标 1. 学习完全平方数的性质；‎ 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。‎ 知识点拨 一、完全平方数常用性质 ‎1.主要性质 ‎1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。‎ ‎2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。‎ ‎3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。‎ ‎4.若质数p整除完全平方数，则p能被整除。‎ ‎2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9．‎ 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数．‎ 性质3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且，则．‎ 性质4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数．‎ 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个．‎ 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数．‎ ‎3.一些重要的推论 ‎1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。‎ ‎2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。‎ ‎3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。‎ ‎4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。‎ ‎5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。‎ ‎6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。‎ ‎7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“‎0”‎的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。‎ ‎3.重点公式回顾：平方差公式：‎ 例题精讲 模块一、平方差公式运用 【例 1】 将两个自然数的差乘上它们的积，能否得到数45045？‎ ‎【考点】平方差公式运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设这两个数分别是a和b，那么有ab(a-b)=45045,分析奇偶性可知这是不可能的。因此不可能得到45045。‎ ‎【答案】不能得到这样的数 【例 2】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ ‎ ‎【考点】平方差公式运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设这个数减去为，减去为，则，‎ 可知，且，所以，，这样这个数为．‎ ‎【答案】424‎ 【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ ‎ ‎【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为、，那么这两个完全平方数的差为 ‎，由于和的奇偶性质相同，所以不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数．所以不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的．‎ ‎【答案】不存在这样的数 【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？‎ ‎【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为、，那么这两个完全平方数的差为，由于和的奇偶性质相同，所以不是的倍数，就是奇数，所以不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到．‎ ‎【答案】不存在这样的数 【巩固】 一个正整数加上132和231后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？‎ ‎【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设该正整数为a，根据题意得，两式相减得,注意到和的奇偶性相同，都是奇数．因为，所以，或，或，．解得，或，或，，但是，不符合是正整数的条件．因此，或者．所以这个正整数是2269或97．‎ ‎【答案】2269或97‎ 【例 3】 两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？ ‎ ‎【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设这两个完全平方数分别是和，且，则两个完全平方数的和可以表示为，所以越大，平方和越大，越小，平方和越小，而，，当，时，取得最大值，此时两个完全平方数的和最大，为；当，时，取得最小值2，此时两个完全平方数的和最小，为85．‎ ‎【答案】最小85，最大2965‎ 【例 4】 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数． ‎ ‎【考点】平方差公式运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设这三个数从大到小分别为、、，那么有，，因为，、同奇同偶，所以有，或，，分别解得，和，，对于后者没有满足条件的B，所以A只能等于12，，继而求得，所以这三个数分别为、、．‎ ‎【答案】三个数分别为、、 ‎ 【例 1】 有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是 ．(请写出所有可能的答案) ‎ ‎【考点】平方差公式运用 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】2008年，清华附中 【解析】 设这两个两位数中较小的那个为，则另外一个为，由题知，‎ ‎ (为正整数)，即，由于，所以，由于与均为两位数，所以，故可能为25、50或者75，可能为18、43或者68．经检验，、43、68均符合题意，所以这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82．‎ ‎【答案】这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82‎ 【例 2】 A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为 ． ‎ ‎【考点】平方差公式运用 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 如果把B放在A的左边，得到的五位数为；如果把放在的右边，得到的五位数为；这两个数的差为，是一个完全平方数，而，所以是5与一个完全平方数的乘积．A又是一个两位数，所以可以为、、，A的所有可能取值之和为．‎ ‎【答案】145‎ 【例 3】 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数． ‎ ‎【考点】平方差公式运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设这个四位数为①，‎ 由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故 ‎②‎ 由②①得：③‎ 将分解质因数，有，其有个约数，但是有，所以只有4种可能，即．‎ 由于，故，所以；‎ 又，所以，故；‎ 一一检验，只有满足且，所以，，得，原来的四位数为．‎ ‎【答案】1156‎ 模块二、完全平方数与其他知识点的综合运用 【例 4】 如果△+△=，△-△=b，△×△=c，△÷△=d，a+b+c+d=100，那么，△=___________.‎ ‎【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第5题 【解析】 根据题意，，，，，()，则，.‎ ‎【答案】‎ 【例 5】 已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．‎ ‎【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 本题综合利用数论知识，因为是一个质数，所以B不能为偶数，且同时是一个完全平方数，则符合条件的数仅有16和36，所以可以确定B为1或3，．由于是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，在61～69中只有63和68符合条件，那么A为3或8．那么可能为31，33，81，83，其中是质数的有31和83，所以满足条件的四位数有3163和8368．‎ ‎【答案】3163和8368‎ 【例 1】 称能表示成的形式的自然数为三角数．有一个四位数，它既是三角数，又是完全平方数．则 ． ‎ ‎【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】2007年，走美 【解析】 依题有，即．因为与是两个连续自然数，其中必有一个奇数，有奇数．又由相邻自然数互质知，“奇数”与“”也互质，于是奇数， ()，而为四位数，有，即，又与相邻，有．‎ 当时，，相邻偶数为50时，满足条件，这时，即；‎ 当时，，相邻偶数为80和82都不满足条件；‎ 当时，，相邻偶数为120和122都不满足条件．‎ 所以，．‎ ‎【答案】1225‎ 【例 2】 自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？‎ ‎【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ‎1到3的平方是一位数，占去3个位置；‎ ‎4到9的平方是二位数，占去12个位置；‎ ‎10到31的平方是三位数，占去66个位置；‎ ‎32到99的平方是四位数，占去272个位置；‎ 将1到99的平方排成一行，就占去353个位置，从612减去353，还有259个位置．‎ 从100到300的平方都是五位数，因此，第612个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字．‎ 因为，即从100起到150，共51个数，它们的平方都是五位数，要占去255个位置，而，它的第4个数字是0，所以第612个位置的数字是0．‎ ‎【答案】0‎ 【巩固】 不是零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列，是：149162536……，则从左向右的第l6个数字是_________‎ ‎【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，4年级，初赛，11题 【解析】 通过列举可得1。‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 由，可以断定最多能表示为个互不相等的非零自然数的平方和，请你判定最多能表示为__________个互不相等的非零自然数的平方之和．‎ ‎【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 ‎，所以不能表示成个互不相等的非零自然数的平方之和，而，所以可以表示成个互不相等的非零自然数的平方之和，所以最多能表示为个互不相等的非零自然数的平方之和．‎ ‎【答案】7‎ 【例 4】 有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数．那么这18个数的平均数是： ．‎ ‎【考点】完全平方数与其他知识点的综合运用 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第12题 【解析】 一般而言，4个不同的数字共可组成（个）不同的4位数．如果只能组成18个不同的4位数，说明其中必有0，即按算出来的．在这四个不同的数中，则设最小的数，倒数第二个则是，两数正好是一对反序数．‎ 根据完全平方数特点，“小”、“大”两数必是1，4，6，9之中的两个．且中数在小大之间．‎ 可以为以下3类：‎ 当“大”，在1024、1034中，1034不是完全平方数，，但4201不成立．‎ 当“大”，1026、1036、1046、1056、4056．都不是完全平方数．‎ 当“大”＝9，‎ 在的数中，取，而 在的数中，取632，672不成立．‎ 在的数中，取672，732不成立．‎ 在的数中，取732，772不成立．‎ 所以，符合条件的数只能是由1089开始的四位数，‎ 求这18个数的和，有两种方法，一种是枚举法，‎ 另一种是概率法，可以作为方法来记：‎ 即，对于没有0的四位数，，，排列互不相同的四位数时，共有24个数，每个数字在每位上出现的概率机会是一样的，所以，每个数字在每位上都出现（次）．‎ 则总和为：．‎ 如果有一个数是0，则在此基础上，考虑0作首位的部分要排除．‎ 即：，‎ 所以，本题的总和为，所以，这18个数的平均数为．‎ ‎【答案】6444‎