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- 2021-05-10 发布
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2015中考模拟青岛版九年级数学上册
第4章一元二次方程中考原题训练(附答案)
一．选择题（共20小题）
1．（2015•泰安模拟）方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（ ）
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3
2．（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
0
D．
﹣2
3．（2014•枣庄）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（ ）
A．
x1小于﹣1，x2大于3
B．
x1小于﹣2，x2大于3
C．
x1，x2在﹣1和3之间
D．
x1，x2都小于3
4．（2014•聊城）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A．
（x+）2=
B．
（x+）2=
C．
（x﹣）2=
D．
（x﹣）2=
5．（2014•淄博）一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（ ）
A．
x1=x2=
B．
x1=0，x2=﹣2
C．
x1=，x2=﹣3
D．
x1=﹣，x2=3
6．（2014•荆州）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（ ）
A．
0＜α＜1
B．
1＜α＜1.5
C．
1.5＜α＜2
D．
2＜α＜3
7．（2014•云南）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ）
A．
x1=1，x2=2
B．
x1=1，x2=﹣2
C．
x1=﹣1，x2=﹣2
D．
x1=﹣1，x2=2
8．（2014•邯郸二模）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．
9
B．
11
C．
13
D．
14
9．（2014•苏州）下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．
x2﹣x+1=0
B．
x2+x+1=0
C．
（x﹣1）（x+2）=0
D．
（x﹣1）2+1=0
10．（2014•汕头）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2014•鄂州）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．
2016（1﹣x）2=1500
B．
1500（1+x）2=2160
C．
1500（1﹣x）2=2160
D．
1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160
12．（2014•海南）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A．
100（1+x）2=81
B．
100（1﹣x）2=81
C．
100（1﹣x%）2=81
D．
100x2=81
13．（2014•陕西）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．
1或4
B．
﹣1或﹣4
C．
﹣1或4
D．
1或﹣4
14．（2014•内江）关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（ ）
A．
x1=﹣6，x2=﹣1
B．
x1=0，x2=5
C．
x1=﹣3，x2=5
D．
x1=﹣6，x2=2
15．（2014•琼海二模）一元二次方程x2+3x=0的解是（ ）
A．
x=﹣3
B．
x1=0，x2=3
C．
x1=0，x2=﹣3
D．
x=3
16．（2014•宁津县模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：4★5=42﹣3×4+5，若x★2=6，则实数x的值是（ ）
A．
﹣4或﹣1
B．
4或﹣1
C．
4或﹣2
D．
﹣4或2
17．（2014•内江）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．
k＞
B．
k≥
C．
k＞且k≠1
D．
k≥且k≠1
18．（2014•濮阳二模）已知反比例函数的图象如图，则一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0根的情况是（ ）
A．
有两个不等实根
B．
有两个相等实根
C．
没有实根
D．
无法确定
19．（2014•泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．
（3+x）（4﹣0.5x）=15
B．
（x+3）（4+0.5x）=15
C．
（x+4）（3﹣0.5x）=15
D．
（x+1）（4﹣0.5x）=15
20．（2014•天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．
x（x+1）=28
B．
x（x﹣1）=28
C．
x（x+1）=28
D．
x（x﹣1）=28
二．填空题（共4小题）
21．（2014•白银）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= _________ ．
22．（2013•临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= _________ ．
23．（2014•济宁）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则= _________ ．
24．（2014•丽水）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程 _________ ．
三．解答题（共6小题）
25．（2014•河北）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+x=﹣，…第一步
x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步
（x+）2=，…第三步
x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步
x=，…第五步
嘉淇的解法从第 _________ 步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是 _________ ．
用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．
26．（2014•新疆）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
27．（2014•桂林）电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．
（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；
（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？
28．（2014•巴中）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？
29．（2014•莱芜）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）已知河道治污每平方需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？
30．（2014•凉山州）实验与探究：
三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]
=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1）
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）=300
整理这个方程，得：n2+n﹣600=0
解方程得：n1=24，n2=﹣25
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
2015中考模拟 青岛版九年级数学上册第4章一元二次方程中考原题训练(附答案)
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．（2015•泰安模拟）方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（ ）
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3
考点：
一元二次方程的解．菁优网版权所有
分析：
因为方程有一个公共根，两方程联立，解得x与a的关系，故可以解得公共解x，然后求出a．
解答：
解：∵方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，
∴（a+1）x+a+1=0，
解得x=﹣1，
当x=﹣1时，
a=2，
故选C．
点评：
本题主要考查根与系数的关系的知识点，掌握两根之和两根之积与方程系数的关系．
2．（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）
A．
1
B．
﹣1
C．
0
D．
﹣2
考点：
一元二次方程的解．菁优网版权所有
分析：
由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．
解答：
解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，
∴b2﹣ab+b=0，
∵﹣b≠0，
∴b≠0，
方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，
∴a﹣b=1．
故选：A．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．
3．（2014•枣庄）x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（ ）
A．
x1小于﹣1，x2大于3
B．
x1小于﹣2，x2大于3
C．
x1，x2在﹣1和3之间
D．
x1，x2都小于3
考点：
解一元二次方程-直接开平方法；估算无理数的大小．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案．
解答：
解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，
∴（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x1=1+＞3，x2=1﹣＜﹣1，
故选：A．
点评：
此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．
4．（2014•聊城）用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A．
（x+）2=
B．
（x+）2=
C．
（x﹣）2=
D．
（x﹣）2=
考点：
解一元二次方程-配方法．菁优网版权所有
专题：
转化思想．
分析：
先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．
解答：
解：ax2+bx+c=0，
ax2+bx=﹣c，
x2+x=﹣，
x2+x+（）2=﹣+（）2，
（x+）2=，
故选：A．
点评：
本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．
5．（2014•淄博）一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是（ ）
A．
x1=x2=
B．
x1=0，x2=﹣2
C．
x1=，x2=﹣3
D．
x1=﹣，x2=3
考点：
解一元二次方程-公式法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，再根据x=，将a，b及c的值代入计算，即可求出原方程的解．
解答：
解：∵a=1，b=2，c=﹣6
∴x====﹣±2，
∴x1=，x2=﹣3；
故选：C．
点评：
此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，当根的判别式≥0时，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
6．（2014•荆州）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（ ）
A．
0＜α＜1
B．
1＜α＜1.5
C．
1.5＜α＜2
D．
2＜α＜3
考点：
解一元二次方程-公式法；估算无理数的大小．菁优网版权所有
专题：
判别式法．
分析：
先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．
解答：
解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，
∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，
∴a=，
∵2＜＜3，
∴3＜1+＜4，
∴＜＜2，
故选：C．
点评：
本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
7．（2014•云南）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ）
A．
x1=1，x2=2
B．
x1=1，x2=﹣2
C．
x1=﹣1，x2=﹣2
D．
x1=﹣1，x2=2
考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
专题：
因式分解．
分析：
直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根
解答：
解：x2﹣x﹣2=0
（x﹣2）（x+1）=0，
解得：x1=﹣1，x2=2．
故选：D．
点评：
此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．
8．（2014•邯郸二模）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．
9
B．
11
C．
13
D．
14
考点：
解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．菁优网版权所有
分析：
易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
解答：
解：解方程x2﹣6x+8=0得，
x=2或4，
∴第三边长为2或4．
边长为2，3，6不能构成三角形；
而3，4，6能构成三角形，
∴三角形的周长为3+4+6=13，
故选：C．
点评：
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
9．（2014•苏州）下列关于x的方程有实数根的是（ ）
A．
x2﹣x+1=0
B．
x2+x+1=0
C．
（x﹣1）（x+2）=0
D．
（x﹣1）2+1=0
考点：
根的判别式．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
分别计算A、B中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C进行判断；根据非负数的性质对D进行判断．
解答：
解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；
B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；
C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确；
D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．
故选：C．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
10．（2014•汕头）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
根的判别式．菁优网版权所有
专题：
判别式法．
分析：
先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
解答：
解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故选：B．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
11．（2014•鄂州）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．
2016（1﹣x）2=1500
B．
1500（1+x）2=2160
C．
1500（1﹣x）2=2160
D．
1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
专题：
增长率问题．
分析：
本题是关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设该厂缴税的年平均增长率为x，那么根据题意可用x表示今年退休金，然后根据已知可以得出方程．
解答：
解：如果设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，
那么根据题意得今年退休金为：1500（1+x）2，
列出方程为：1500（1+x）2=2160．
故选：B．
点评：
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
12．（2014•海南）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）
A．
100（1+x）2=81
B．
100（1﹣x）2=81
C．
100（1﹣x%）2=81
D．
100x2=81
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
专题：
增长率问题．
分析：
若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1﹣x）元，第二次降价后价格为100（1﹣x）（1﹣x）=100（1﹣x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可．
解答：
解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为100（1﹣x）2=81．
故选：B．
点评：
本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．
13．（2014•陕西）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a的值为（ ）
A．
1或4
B．
﹣1或﹣4
C．
﹣1或4
D．
1或﹣4
考点：
一元二次方程的解．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．
解答：
解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，
∴4+5a+a2=0，
∴（a+1）（a+4）=0，
解得a1=﹣1，a2=﹣4，
故选：B．
点评：
本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．
14．（2014•内江）关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（ ）
A．
x1=﹣6，x2=﹣1
B．
x1=0，x2=5
C．
x1=﹣3，x2=5
D．
x1=﹣6，x2=2
考点：
解一元二次方程-直接开平方法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，x2=5．
解答：
解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=﹣h±，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，
所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，
方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，
所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．
故选：B．
点评：
本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
15．（2014•琼海二模）一元二次方程x2+3x=0的解是（ ）
A．
x=﹣3
B．
x1=0，x2=3
C．
x1=0，x2=﹣3
D．
x=3
考点：
解一元二次方程-因式分解法；因式分解-十字相乘法等；解一元一次方程．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
分解因式得到x（x+3）=0，转化成方程x=0，x+3=0，求出方程的解即可．
解答：
解：x2+3x=0，
x（x+3）=0，
x=0，x+3=0，
x1=0，x2=﹣3，
故选：C．
点评：
本题主要考查对解一元二次方程，解一元一次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
16．（2014•宁津县模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：4★5=42﹣3×4+5，若x★2=6，则实数x的值是（ ）
A．
﹣4或﹣1
B．
4或﹣1
C．
4或﹣2
D．
﹣4或2
考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
专题：
新定义．
分析：
先根据新定义得到x2﹣3x+2=6，整理得x2﹣3x﹣4=0，再把方程左边分解，原方程化为x﹣4=0或x+1=0，然后解一次方程即可．
解答：
解：∵x★2=6，
∴x2﹣3x+2=6，
整理得x2﹣3x﹣4=0，
∴（x﹣4）（x+1）=0，
∴x﹣4=0或x+1=0，
∴x1=4，x2=﹣1．
故选B．
点评：
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
17．（2014•内江）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）
A．
k＞
B．
k≥
C．
k＞且k≠1
D．
k≥且k≠1
考点：
根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有
分析：
根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
解答：
解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，
∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
点评：
此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2
﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
18．（2014•濮阳二模）已知反比例函数的图象如图，则一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0根的情况是（ ）
A．
有两个不等实根
B．
有两个相等实根
C．
没有实根
D．
无法确定
考点：
根的判别式；反比例函数的图象．菁优网版权所有
分析：
首先根据反比例函数的图象可以得到k的取值范围，然后根据k的取值范围即可判断方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0的判别式的正负情况，接着就可以判断方程的根的情况．
解答：
解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内，
∴k﹣2＞0，
∴k＞2，
∵一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0的判别式为
△=b2﹣4ac=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5，
而k＞2，
∴﹣4k+5＜0，
∴△＜0，
∴一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0没有实数根．
故选C．
点评：
此题考查了反比例函数的图象和性质及一元二次方程判别式的应用，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
19．（2014•泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（ ）
A．
（3+x）（4﹣0.5x）=15
B．
（x+3）（4+0.5x）=15
C．
（x+4）（3﹣0.5x）=15
D．
（x+1）（4﹣0.5x）=15
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
专题：
销售问题．
分析：
根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．
解答：
解：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4﹣0.5x）=15，
故选：A．
点评：
此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．
20．（2014•天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．
x（x+1）=28
B．
x（x﹣1）=28
C．
x（x+1）=28
D．
x（x﹣1）=28
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
分析：
关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．
解答：
解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7．
故选：B．
点评：
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．
二．填空题（共4小题）
21．（2014•白银）一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，则a= 1 ．
考点：
一元二次方程的定义．菁优网版权所有
专题：
计算题；待定系数法．
分析：
根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a2﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．
解答：
解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2﹣1=0，
∴a=1．
故答案为：1．
点评：
本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．
22．（2013•临沂）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= 3或﹣3 ．
考点：
解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
专题：
压轴题；新定义．
分析：
首先解方程x2﹣5x+6=0，再根据a﹡b=，求出x1﹡x2的值即可．
解答：
解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，
∴（x﹣3）（x﹣2）=0，
解得：x=3或2，
①当x1=3，x2=2时，x1﹡x2=32﹣3×2=3；
②当x1=2，x2=3时，x1﹡x2=3×2﹣32=﹣3．
故答案为：3或﹣3．
点评：
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键．
23．（2014•济宁）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则= 4 ．
考点：
解一元二次方程-直接开平方法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．
解答：
解：∵x2=（ab＞0），
∴x=±，
∴方程的两个根互为相反数，
∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2，
∴4a=b
∴=4．
故答案为：4．
点评：
本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．
24．（2014•丽水）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程 （30﹣2x）（20﹣x）=6×78 ．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
解答：
解：设道路的宽为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，
故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
三．解答题（共6小题）
25．（2014•河北）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：
由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：
x2+x=﹣，…第一步
x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步
（x+）2=，…第三步
x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步
x=，…第五步
嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是 x= ．
用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．
考点：
解一元二次方程-配方法．菁优网版权所有
专题：
阅读型．
分析：
第四步，开方时出错；把常数项24移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
解答：
解：在第四步中，开方应该是x+=±．所以求根公式为：x=．
故答案是：四；x=；
用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0
解：移项，得
x2﹣2x=24，
配方，得
x2﹣2x+1=24+1，
即（x﹣1）2=25，
开方得x﹣1=±5，
∴x1=6，x2=﹣4．
点评：
本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
26．（2014•新疆）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
考点：
一元二次方程的应用．菁优网版权所有
专题：
应用题．
分析：
设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
解答：
解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x=400，
解得 x1=20，x2=5．
则100﹣4x=20或100﹣4x=80．
∵80＞25，
∴x2=5舍去．
即AB=20，BC=20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
点评：
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
27．（2014•桂林）电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．
（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；
（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？
考点：
一元二次方程的应用．菁优网版权所有
专题：
增长率问题．
分析：
（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x．等量关系为：1月份的销售量×（1+增长率）2=3月份的销售量，把相关数值代入求解即可．
（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．
解答：
解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，
根据题意列方程：150（1+x）2=216，
解得x1=﹣220%（不合题意，舍去），x2=20%．
答：求该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%．
（2）二月份的销量是：150×（1+20%）=180（辆）．
所以该经销商1至3月共盈利：（2800﹣2300）×（150+180+216）=500×546=273000（元）．
点评：
本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
28．（2014•巴中）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？
考点：
一元二次方程的应用．菁优网版权所有
专题：
销售问题．
分析：
利用销售利润=售价﹣进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．
解答：
解：设每个商品的定价是x元，
由题意，得（x﹣40）[180﹣10（x﹣52）]=2000，
整理，得x2﹣110x+3000=0，
解得x1=50，x2=60．
当x=50时，进货180﹣10（50﹣52）=200个＞180个，不符合题意，舍去；
当x=60时，进货180﹣10（60﹣52）=100个＜180个，符合题意．
答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
29．（2014•莱芜）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）已知河道治污每平方需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？
考点：
一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
专题：
增长率问题．
分析：
（1）设平均每年投资增长的百分率是x．根据2013年投资1000万元，得出2014年投资1000（1+x）万元，2015年投资1000（1+x）2万元，而2015年投资1210万元．据此列方程求解；
（2）设2015年河道治污面积为a平方米，园林绿化面积为平方米，根据2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米及河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍列出不等式组，解不等式组即可．
解答：
解：（1）设平均每年投资增长的百分率是x．
由题意得1000（1+x）2=1210，
解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：平均每年投资增长的百分率为10%；
（2）设2015年河道治污面积为a平方米，园林绿化面积为平方米，
由题意，得，
由①得a≤25500，
由②得a≥24200，
∴24200≤a≤25500，
∴968万≤400a≤1020万，
∴190万≤1210万﹣400a≤242万，
答：园林绿化的费用应在190万～242万的范围内．
点评：
本题考查了一元二次方程及一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式组．
30．（2014•凉山州）实验与探究：
三角点阵前n行的点数计算
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…
容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？
如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系
前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．
2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]
=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]
把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到
1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1）
这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）
下列用一元二次方程解决上述问题
设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）=300
整理这个方程，得：n2+n﹣600=0
解方程得：n1=24，n2=﹣25
根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．
请你根据上述材料回答下列问题：
（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究出前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
考点：
一元二次方程的应用；规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
专题：
规律型；探究型．
分析：
（1）由于第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…，则前n行共有（1+2+3+4+5+…+n）个点，然后求它们的和，前n行共有个点，则=600，然后解方程得到n的值；
（2）根据2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×个进而得出规律；根据规律可得n（n+1）=600，求n的值即可．
解答：
解：（1）由题意可得：=600，
整理得n2+n﹣1200=0，
此方程无正整数解，
所以，三角点阵中前n行的点数的和不可能是600；
（2）由题意可得：
2+4+6+…+2n=2（1+2+3+…+n）=2×=n（n+1）；
依题意，得n（n+1）=600，
整理得n2+n﹣600=0，
（n+25）（n﹣24）=0，
∴n1=﹣25，n2=24，
∵n为正整数，
∴n=24．
故n的值是24．
点评：
此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
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